Лекция на тему: Тригонометрическая форма комплексного числа

Лекция

Тригонометрическая форма комплексного числа

План

1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i; 2 - 3i (рис.3).

Рисунок 3

Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус - вектора с координатами (a; b) (рис.4).

Рисунок 4

Определение. Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается или r.

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле .

Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).

a = r · cos φ, b = r · sin φ.

Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде: z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · (cos φ + i sin φ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1- i.

a = 1, b = -1.

φ = .

1 - i = (cos + i sin ).

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1) Умножение.

Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах: z₁ = a₁ + b₁i = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁),

z₂ = a₂ + b₂i = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂).

На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:

z_1· z₂ = r_{1 ·} r₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)); r_{1 ·} r₂>0.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z₁z₂ = z₂z₁

2º. Ассоциативность: (z₁z₂) z₃ = z₁ (z₂ z₃).

Пример 9. Найти произведение комплексных чисел

z₁ = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z₂ = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z₁ = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z₂ = 1· (cos 40º + i sin 40º). Тогда

z₁ · z₂ = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = = 2(0 + i) = 2i.

2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z₁ и z₂ заданы в тригонометрической форме z₁ = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂), причем z₁ ≠ 0, то комплексное число является частным чисел z₁ и z₂ (то есть z₁y = z₂).

Пример 10. Найти частное комплексных чисел z₁ = 2cos50º + 2i sin50º, z₂ = cos40º + i sin40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z₁ = 2 · (cos50º + i sin50º), z₂ = 1· (cos40º + i sin40º).

Тогда (cos (50º - 40º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos10º + i sin10º).

3) Возведение в степень.

Определение. n - ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.

Число z называется основанием степени, а натуральное число n - показателем степени.

Возвести комплексное число в n - ую степень можно по формуле: z ⁿ = (r ⁿ) [cos (nφ) + i sin (nφ)].

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) ⁿ = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N.

Пример 11. Вычислите (1 + i)¹⁰⁰.

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1.

.

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i)¹⁰⁰ = [(cos + i sin)]¹⁰⁰= ()¹⁰⁰ (cos·100 + i sin·100) = = 2⁵⁰(cos 25π + i sin 25π) = 2⁵⁰(cos π + i sin π) = - 2⁵⁰.

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о, то ;

если b < о, то .

Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 можно найти по известной формуле:

.

Пример 12. Вычислите .

Так как b < о, то воспользуемся формулой

.

= ,

= .

Упражнения

1.Записать в тригонометрической форме число

Т.к.то нужно взять равным.Значит,

2. Записать в тригонометрической форме число - 1 - і.

Тогда

3. Записать в тригонометрической форме число 1.Имеем , или

4.Выполнить действия

1)

5. Представить следующие комплексные числа в тригонометрическом виде:

1) 1, 1, i, i;

2) z = 3  3i;

3) .

6. Даны числа

.

Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Вопросы для самопроверки:

1.Дать определение модуля комплексного числа. Каков его геометрический смысл?

2. Комплексное число умножили на 2. изменился модуль этого числа?

3. Почему равны модули чисел: i; -i; 1; 1; 0?

4. Что такое аргумент комплексного числа?

5. Как определить главное значение аргумента числа z = a + bi?

6. Могут ли аргументом комплексного числа быть одновременно углы а и -а?

7. Найти геометрическое место точек плоскости, изображают комплексные числа с одинаковыми модулями.

8.Как размещаются на плоскости точки, изображающие комплексные числа с одинаковыми аргументами?

9. Как представить комплексное число вида а + bi в тригонометрической форме? Как найти модуль и аргумент этого числа?

10. Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа в алгебраической?

11. Вывести правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. По какому правилу выполняют действие возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?