Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №50

г.Комсомольска-на-Амуре

Практическое пособие

«Использование интерактивной доски на уроках стереометрии по теме: «Векторы в пространстве»

Автор: учитель математики МОУ СОШ № 50, г.Комсомольска-на-Амуре, Хабаровского края, Гончарова Ольга Валентиновна

2015

Введение.

Для решения геометрических задач с помощью векторов каждый учащийся должен усвоить векторную терминологию и символику, научиться безошибочно выполнять все действия над векторами.

За 6 часов, которые отводятся на изучение темы «Векторы в пространстве» необходимо

• повторить объемный теоретический материал, связанный с векторами в учебнике 7-9 классов, поскольку в учебнике 10-11 классов некоторые вопросы теории изложены достаточно кратко, а при переходе от плоскости к пространству определения не изменяются;

• вспомнить связанные с этими понятиями обозначения;

• рассмотреть правила сложения векторов в пространстве, законы сложения, способы построения суммы и разности двух векторов, суммы нескольких векторов, правило умножения вектора на число и основные свойства этого действия;

• ввести новые для учащихся понятия, связанные с векторами, а именно определение компланарных векторов, признак компланарности 3-х векторов, правило параллелепипеда (сложение 3-х некомпланарных векторов);

• доказать теорему о разложении векторов по 3-м некомпланарным векторам;

• решить задачи на отработку всех выше изложенных теоретических вопросов, при этом необходимо использовать большое количество чертежей и рисунков;

• научиться применять векторы при решении геометрических задач;

Перед каждым учителем невольно встает вопрос: как все это успеть за отведенное количество часов? Ответ прост: попробуй воспользоваться техническими новинками, а в частности интерактивной доской. В результате процесс обучения станет более интенсивным, наглядным, динамичным.

Интерактивная доска позволяет:

• рационально использовать время урока;

• за 40 минут решить большее количество задач;

• лучше отработать пройденный материал.

Интерактивная доска обеспечивает:

• быструю проверку домашнего задания;

• эффективное повторение основных моментов урока;

• наглядность;

• новизну и привлекательность урока.

Интерактивная доска способствует:

• развитию воображения, пространственных представлений;

• развитию познавательного интереса учащихся;

• повышению успеваемости учащихся.

Преподавание ведется по учебнику Л.С. Атанасян «Геометрия 10 - 11 классов» (М.: Просвещение 2008г.)

Глава IV.

Векторы в пространстве.

(6 часов)

Урок 1.

Тема: Понятие вектора. Равенство векторов.

Цель урока: Ввести понятия вектора в пространстве и равенство векторов; символы, связанные с этими понятиями. Решить задачи, на закрепление введенных понятий.

Оборудование: интерактивная доска.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

Учитель: Ребята, вы знакомы с понятием вектора на плоскости и действиями над ними. Основные понятие вектора в пространстве вводится аналогично. Давайте вспомним, что мы называем вектором?

На доске появляется слайд 1.1

Ученики отвечают на вопрос и по иллюстрации слайда вспоминают, какой вектор принято считать нулевым, а также обозначения ненулевых и нулевого векторов.

Учитель: Что является длиной ненулевого вектора?

На доске слайд 1.2.

Учитель: Решите задачу, предложенную на слайде.

Ученик с дополнительными выкладками (показывает прямой угол) устно комментирует решение задачи у доски. Остальные при необходимости дополняют.

Слайд 1.3 (используется эффект «шторки»)

Учитель: Давайте вспомним, что два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Назовите пары коллинеарных векторов, изображенные на рисунке слайда.

Ученики называют пары коллинеарных векторов.

А учитель выписывает их на доске в два столбика (в первом - сонаправленные в другой - противоположно направленные). Ребята, чем отличаются коллинеарные векторы первого столбика от второго?

После ответа учеников открывается «шторка» слайда. (Если ученики затрудняются ответить, то это будет подсказкой)

1.3 слайд («шторка» открыта)

Учитель: Какие векторы называются равными? Укажите равные векторы и поясните свой выбор.

Затем появляется слайд 1.4. На нем учащиеся выполняют построение и доказывают утверждение, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и при том только один.

3. Закрепление материала при решении задач.

По готовым заготовкам на слайдах решаем задачи, решение и дополнительное построение можно оформлять маркером поверх слайда.

Слайд 1.5.

Слайд 1.6.

4. Подведение итогов.

Пролистывая слайды, повторяем главные моменты урока: понятия и как они применяются при решении опорных задач.

5. Задание на дом.

Слайд 1.7.

Урок 2.

Тема: Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов.

Цель урока: Рассмотреть правила треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве, законы сложения, два способа построения разности двух векторов, правило сложения нескольких векторов в пространстве.

Оборудование: интерактивная доска, карточки с тестовыми заданиями.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы.

Проверку № 321, 325 выполнить, используя слайд 2.1

3. Проверка усвоения материала прошлого урока.

Карточки с тестом №1 «Понятия вектора в пространстве» раздаются учащимся, и они самостоятельно выполняют их в течение 2 мин.

Тест №1

Вариант 1.

Укажите номера верных утверждений

1. Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны.

2. Если два вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых, то они сонаправлены.

3. Любые три коллинеарных вектора сонаправлены.

4. Любые два равных вектора коллинеарны.

5. Если длины векторов равны, то векторы равны.

6. Если , , то .

7. Любая точка может выступать в роли вектора.

8. Если два вектора коллинеарны ненулевому вектору, то они коллинеарны.

9. От любой точки можно отложить вектор, равный данному.

10. Если два вектора коллинеарны третьему вектору, то они коллинеарны.

11. Определите по чертежу, какие утверждения верны, и укажите соответствующие им буквы.

А) ; Б) ;

В) ; Г) ;

Д) .

Тест №1

Вариант 2.

Укажите номера верных утверждений

1. Любые два коллинеарных вектора сонаправлены.

2. Если длины векторов равны, то векторы равны.

3. Любая точка может выступать в роли вектора.

4. Если два вектора коллинеарны ненулевому вектору, то они сонаправленны.

5. Векторы, лежащие на одной прямой, коллинеарны.

6. Любые два противоположно направленных вектора кллинеарны.

7. Если два вектора коллинеарны третьему вектору, то они коллинеарны.

8. Если , , то .

9. Любые два вектора сонаправлены.

10. От любой точки можно отложить вектор, равный данному.

11. Определите по чертежу, какие утверждения верны, и укажите соответствующие им буквы.

А) ; Б) ;

В) ; Г) ;

Д)

Затем проводится самопроверка. Ответы заранее приготовлены на доске, скрытые за «шторкой».

Слайд 2.2

4. Изучение нового материала.

Учитель: Ребята, вспомните из курса планиметрии как можно сложить два вектора. Попробуйте объяснить, как складываются векторы в пространстве, используя слайды на доске.

Ученики вспоминают правило треугольника, правило параллелограмма сложения двух векторов.

Слайд 2.3

Слайд 2.4

Здесь же вспомнить свойства сложения векторов.

Понятия противоположные векторы и разности векторов, правило многоугольника нахождения суммы нескольких векторов можно ввести, используя следующие слайды.

Слайд 2.5. Решить №329 на закрепление противоположных векторов.

Слайд 2.6. Два способа построения разности двух векторов.

Учитель предлагает вспомнить правило многоугольника и с его помощью выполнить задания слайда 2.7, 2.8.

Слайд 2.7

Слайд 2.8

5. Закрепление нового материала на опорных задачах.

Для этого полезны заготовки чертежей, которые используются для нескольких задач.

Например, слайд 2.9 можно использовать для задачи на самом слайде, а так же № 330, 332, 334, 338, 339.

Слайд 2.9

Слайд 2.10. Решение№ 328, 333.

Слайд 2.11. Решение №331

4. Подведение итогов.

Пролистывая слайды, повторяем главные моменты урока: понятия и как они применяются при решении опорных задач.

5. Задание на дом.

Слайд 2.12

Урок 3.

Тема: Умножение вектора на число.

Цель урока: Рассмотреть правило умножения вектора на число и основные свойства этого действия. Рассмотреть решения базовых, опорных задач по данной теме.

Оборудование: интерактивная доска, сканер.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы. Повторение теоретических вопросов предыдущей темы.

Работа ученика сканируется и выводится на доску. Он поясняет свое решение. При необходимости учитель или другие ученики исправляют допущенные ошибки маркером.

Если задача имеет несколько решений, на доску с помощью сканера выводятся другие варианты, и учащиеся имеют возможность быстро сравнить различные способы решения задачи.

Домашние вопросы 5 - 10 задаются по ходу проверки домашних задач.

Используя слайд 3.0 можно быстро повторить изученные понятия и правила.

Учитель задает вопрос и одновременно открывает его на экране. После ответа ученика открывает ответ.

Ученик проверяет правильность своего ответа.

Слайд 3.0. (эффект «шторки»)

3. Изучение нового материала.

По конспекту на слайде 3.1 учитель объясняет тему.

Слайд 3.1

4. Решение базовых, опорных задач.

Учащиеся могут в парах самостоятельно решать задачи из учебника (№ 343, 344, 346, 347, 351, 352), с последующей проверкой через сканер и доску.

Слайд 3.2

Урок 4.

Тема: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Цель урока: Ввести определение компланарных векторов, рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов. Рассмотреть теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал (конспект урока).

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка усвоения материала прошлого урока.

Фронтальный опрос учащихся по конспекту предыдущего урока. Можно использовать слайд аналогичный слайду 3.0

3. Изучение нового материала.

Учитель объясняет новую тему, используя слайды 4.1 - 4.4

У каждого ученика на парте распечатка конспекта урока. По мере работы на слайдах они тоже выполняют дополнительные построения прямо на карточках и на специально отведенных местах записывают доказательство.

Учитель: Отложите от точки D₁ данные векторы и определите, какие из них являются компланарными, а какие не являются компланарными?

Слайд 4.1

Перед работой со слайдом 4.2, необходимо рассмотреть случаи компланарности двух векторов, трех векторов, два из которых коллинеарные и произвольных трех векторов. Потом ввести признак компланарности трех векторов.

Слайд 4.2

Доказать справедливость обратного утверждения предлагается на дом.

Учитель, рассказывая правило параллелепипеда, демонстрирует сложение трех некомпланарных векторов.

Слайд 4.3

Слайд 4.4

Учитель демонстрирует доказательство прямо на слайде и здесь же записывает план доказательства.

Ученики оформляют доказательство в конспектах.

4. Подведение итогов.

Пролистывая слайды, повторяем главные моменты урока.

5. Задание на дом.

Слайд 4.5

Урок 5.

Тема: Повторение теоретических вопросов. Решение задач.

Цель урока: Обобщить и систематизировать теоретический материал. Отработать умения и навыки при решении геометрических задач, применения векторный метод.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал (тест №2), сканер.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка усвоения материала прошлого урока.

а) Карточки с тестом №2 «Компланарные векторы» раздаются учащимся, и они самостоятельно выполняют их в течение 2 мин.

Тест №2

Вариант 1.

1. Векторы называются компланарными, если…

А) Они лежат в одной плоскости.

Б) При откладывании от одной и той же точки будут лежать в одной плоскости.

В) Лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Г) При откладывании от одной и той же точки будут лежать на одной прямой.

Отвечая на вопросы 2 - 4 используйте рисунок

2. Укажите, какие из следующих векторов компланарны.

А) ; Б) ;

В) ; Г) ;

Д) .

3. Укажите вектор, компланарный векторам и .

А) ; Б) ;

В) ; Г)

4. Укажите вектор, не компланарный векторам и

А) ; Б) ;

В) ; Г)

Тест №2

Вариант 2.

1.Векторы называются компланарными, если…

А) При откладывании от одной и той же точки будут лежать на одной прямой.

Б) Лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

В) При откладывании от одной и той же точки будут лежать в одной плоскости.

Г) Лежат в одной плоскости.

Отвечая на вопросы 2 - 4 используйте рисунок

2. Укажите, какие из следующих векторов компланарны.

А) ; Б) ;

В) ; Г) ;

Д) .

3. Укажите вектор, компланарный векторам .

А) ; Б) ;

В) ; Г) .

4. Укажите вектор, не компланарный векторам .

А) ; Б) ;

В) ; Г) .

Затем проводится самопроверка. Ответы заранее приготовлены на доске, скрытые за «шторкой».

Слайд 5.1

б) Необходимо разобрать домашнюю задачу 366.

3. Решение задач. Решить задачи 1 и 2, которые показывают, как используется векторный метод при решении геометрических задач. Векторы, выделенные зеленым цветом на слайдах 5.2 и 5.3, вводятся по мере решения задачи.

Слайд 5.2

Слайд 5.3

Задачу из учебника №398 ученики решают самостоятельно в тетрадях, а затем ее решение сканируется с тетради одного из учащегося на доску и коллективно обсуждается.

4. Повторение теоретического материала по теме «Векторы в пространстве».

Для повторения можно использовать слайды предыдущих уроков.

5. Задание на дом.

Слайд 5.4

Урок 6.

Тема: Зачет № 4. Векторы в пространстве.

Цель урока: Проверить уровень усвоения материала.

Оборудование: Раздаточный материал (карточки с 4 заданиями).

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Выполнение зачетной работы.

Ученики в течение всего урока выполняют задания своей карточки.

Образец карточки.

1. Сформулируйте определения вектора, его длины, коллинеарности двух ненулевых векторов, равенства векторов. Проиллюстрируйте их, используя изображения параллелепипеда.

2. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

3. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1. Найдите .

4. В тетраэдре ABCD точки M и N - центроиды граней соответственно ADB и BDC. Докажите, что MN║AC, и найдите отношение длин этих отрезков.

Список литературы:

1. Изучение геометрии в 10 - 11 классах. Москва «Просвещение» 2003г. С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов

2. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» №3, 2000г

3. Геометрия - тесты. Москва «АСТ - ПРЕСС» 1998г. Л. Жевлакова.

4. Задачи и упражнения на готовых чертежах. Москва - Харьков «Илекса» «Гимназия» 2003г. Е.М. Рабинович.

5. Геометрия 10 - 11 классы: Авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и

др. - Москва: «Просвещение», 2008 год.