Методическое пособие по проведению лабораторной работы «Биномиальное распределение»

Методическое пособие по проведению лабораторной работы «Биномиальное распределение»

Автор:

Корчуганова Ирина Борисовна ( [email protected])

Место работы:

Бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования вологодской области "Череповецкий металлургический колледж" (БОУ СПО ВО ЧМК)

Предмет: Математика.

Тема: «Биномиальное распределение».

Продолжительность: 1 пара ( 130 минут)

Технологии: справочные, обучающие, информационно-поисковые, демонстрационные и расчётные.

Цели урока:

Дидактические:

1. Установление межпредметных связей;

2. Проверка и углубление знаний по теме «Вероятность события»;

3. Формирование практических умений решения задач;

Развивающие

1. Развитие познавательной активности и интереса студентов к изучаемым предметам;

2. Развитие логического мышления .

3. Развитие абстрактного и наглядно-образного мышления.

4. Формирование умений оформления результатов учебной деятельности;

Воспитательные:

1. Формирование интереса к изучаемой дисциплине;

2. Формирование сознательной дисциплины и норм поведения ,

3. Формирование умений осуществлять взаимоконтроль учебно-познавательной деятельности, учебно-практической деятельности;

4.Формирование умений осуществлять самоконтроль хода и результатов учебной деятельности.

Методические рекомендации по проведению лабораторной работы по теме «Биномиальное распределение». Для обучающихся вычисления с применением данной формулы очень трудоёмки, особенно когда в одной задаче необходимо применить формулу неоднократно. Решение задач на применение формулы Бернулли показало, что применение пакета MathCAD позволяет студентам лучше усвоить программный материал, не отвлекаясь на проведение вычислений и сэкономить время.

Во всех компьютерных кабинетах БОУ СПО ВО «Череповецкий металлургический колледж» установлен пакет MathCAD, студенты и преподаватели могут использовать его при решении различных задач.

Лабораторная работа «Биномиальное распределение »

1. Цели работы:

- научиться пользоваться формулой Бернулли для составления закона распределения случайной величины;

- научиться графически изображать закон распределения случайной величины c помощью пакета MathCAD.

- научиться вычислять вероятности заданного события c помощью пакета MathCAD.

2. Оборудование: MathCAD

3. Теоретическое обоснование

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причём каждый раз может наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р (А) = р - вероятность успеха. Р () = 1-р= q - вероятность неудачи.

Тогда вероятность того, что в m случаях из n произойдёт событие А вычисляется по формуле Бернулли: Р=

Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Так как вероятности P_n(m) для различных значений m представляют слагаемые в разложении бинома Ньютона ,

то оно называется биномиальным.

Пример 1

В корзине чёрные, красные и белые шары Вероятность выбора белого шара 0,8 Наугад берут 10 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется:

а) четыре белых шара; б) не более одного белого.

Решение. р=0,8 q=1-p=1-0,8=0.2 , n=10.

a) m = 4 Р₁₀(4)=

б) p=0.6 n=10 m=0 и m=1. P₁₀(m)=Р₁₀(0)+P₁₀(1)=

Ответ : вероятность того, что среди взятых десяти шаров четыре будут белого цвета равна 0,0088; а вероятность того, что среди взятых десяти шаров будут белого цвета один или ни одного 0,000004198.

Пример 2

Некоторый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6. Oн собирается произвести 10 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадёт в цель:

а) три раза, б) хотя бы один раз.

Решение: р = 0,6, q = 1-p = 1- 0,6 = 0,4, n=10.

a) p=0.6 n=10 m=3 P₁₀(3)=

б) p=0.6 n=10 m=1…10.

Пример 3

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,8. Найти вероятность четырёх попаданий при шести выстрелах.

Решение:

Здесь n=6. m=4, р=0,8 q=0,2.

По формуле Бернулли находим

Р₆(4)= р⁴q ^6-4 = =0,246

Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая величина, которая при осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение. Для полной характеристики случайной величины необходимо знать те значения, которые она может принимать, а также вероятности, с которыми она принимает эти значения.

Будем обозначать случайную величину Х, её значения х₁, х₂, …,х_n а соответствующие им вероятности р₁, р_{2, …} р_n. Если для случайной величины Х известны все значения х₁, х₂, …,х_n которые она может принимать, и все вероятности р₁, р_{2, …} р_nс которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения случайной величины Х. Закон распределения удобно записывать в виде таблицы 1.

Таблица 1 - Закон распределения дискретной случайной величины

X_i

X₁

X₂

…

X_n

P_i

P₁

P₂

…

P_n

Пример 4

Устройство состоит из трёх взаимно независимых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения случайной величины Х - число элементов, отказавших в одном испытании. Построить многоугольник распределений.

Решение :

Случайная величина Х может принимать четыре значения:

x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3 .

Вероятность значения каждой вычислим по формуле Бернулли:

p₁=P₃(0)=

p₂=P₃(1)=

p₃=P₃(2)=

p₄=P₃(3)=

Таким образом, случайная величина Х имеет биномиальное распределение:

Таблица 2 - Закон распределения дискретной случайной величины

Закон распределения случайной величины можно изобразить графически с помощью многоугольника распределений. Выполним это в MathCAD.

Рисунок 1 - - Многоугольник распределения дискретной случайной величины

4. Порядок выполнения работы

1. Проработать теоретический материал по теме.

2. Ответить на контрольные вопросы.

3. Получить вариант, задание.

4. Выполнить задание.

5. Сделать вывод по работе.

6. Оформить отчёт.

Приложение А - Варианты заданий

Составить, используя MathCAD , закон распределения случайной величины Х-число попаданий в цель при N выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна Р.

Изобразить графически закон распределения.

Найти наиболее вероятное число попаданий.

Найти наименее вероятное число попаданий.

Определить вероятность того, что число попаданий:

а) k<А;

б) k≥В;

в) больше С;

г) не больше D;

д) от E до F.

Приложение В - Образец решения задачи:

Составить, используя MathCAD , закон распределения случайной величины Х-число попаданий в цель при 12 выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7.

Изобразить графически закон распределения.

Найти наиболее вероятное число попаданий.

Найти наименее вероятное число попаданий.

Определить вероятность того, что число попаданий:

а) k<11; б) k≥6; в) больше 4; г) не больше 8;

д) от 5 до 12.

Методические рекомендации.

1. Переключитесь на английский алфавит.

2. Введите значения переменных через знак присвоения :=

n - число выстрелов ; m - число попаданий;

р - вероятность попадания при каждом выстреле.

Ниже значений введите формулу Бернулли.

Можно округлить результаты до трёх- четырёх цифр после запятой с помощью команды Result Format

Полученные таблицы, объединённые в одну, и будут образовывать закон распределения.

m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Р

0

0

0

0.001

0.008

0.029

0.079

0.158

0.231

0.24

0.168

0.071

0.014

Для графического изображения закона распределения выполните следующее:

1. Щелкните в том месте экрана, где необходимо создать график

( обязательно ниже, чем определены переменные и функция ).

2. Выберите на математической панели кнопку построения графиков

3. На ней выберите кнопку Декартов график или нажмите клавиши [Shift] + [2].

4. Н
   
   а экране появится пустой график с двумя полями ввода, по одному на каждой оси.

5. Чтобы увидеть график, заполните пустые поля:

• Пустое поле в середине горизонтальной оси предназначено для независимой переменной m.

• Пустое поле в середине вертикальной оси содержит выражение или имя функции, график которой нужно построить, т.е.

6. После того как поля ввода будут заполнены, щелкните указателем мыши вне графической области.

7. Чтобы по горизонтальной оси значения были целыми, нужно в меню убрать

и поставить или подобрать нужное число ( в данном примере 15).

По графику видно, что наиболее вероятное число попаданий равно 9, а наименее вероятное число попаданий 0.

Чтобы с помощью МАТHCAD найти сумму нескольких значений одной и той же функции, необходимо выбрать в палитре символов «Производные, интегралы и пределы» оператор суммирования.

Для этого в свободном месте щёлкните. Затем нажмите клавиши[ctrl] [shift] 4. Появится знак суммирования с четырьмя пустыми полями В нижнем поле слева от знака = введите имя переменной. Эта переменная m - индекс суммирования. Она определена только внутри оператора суммирования. В поле справа от знака = и в поле над знаком суммы введите целые числа. В оставшемся поле введите выражение, которое необходимо просуммировать. Обычно оно содержит индекс суммирования. В нашем примере это выражение . Чтобы увидеть результат, нажмите знак =.

Теперь определим вероятность того, что число попаданий:

а) m < 11; б) m ≥ 6; в) больше 4; г) не больше 8; д) от 5 до 12.

а)

б)

в)

г)

д)

Литература

1. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов.- М.: Наука, 1989.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

3. Калинина В.П., Понкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.

4. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум. - М.: Финансы и статистика, 1999.

5. Черняк А. А., Черняк Ж. А., Доманова Ю. А. Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс. - СПб.: БХВ - Петербург, 2004.

Приложение С - Шаблон оформления лабораторной работы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

Биномиальное распределение

1 Цели работы:

1.1.Научиться пользоваться формулой Бернулли для составления закона распределения случайной величины;

1.2.Научиться графически изображать закон распределения случайной величины c помощью пакета MathCAD.

1.3.Научиться вычислять вероятности заданного события c помощью пакета MathCAD.

2. Оборудование MathCAD

3. Выполнение работы Вариант

Составить, используя MathCAD , закон распределения случайной величины Х-число попаданий в цель при …. выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна …..

Изобразить графически закон распределения.

Найти наиболее вероятное число попаданий.

Найти наименее вероятное число попаданий.

Определить вероятность того, что число попаданий:

а) m<….; б) m ≥….; в) больше …..; г) не больше …..; д) от …..до …...

Таблица 1 - Закон распределения дискретной случайной величины

х_i

0

1

p_i

Многоугольник распределения:

Наиболее вероятное число попаданий. равно ______________________

Наименее вероятное число попаданий. равно ______________________

Вероятность того, что число попаданий:

а) m <

б) m ≥

в) Больше

г) Не больше

д) От до

4. Вывод

В ходе выполнения данной работы построен многоугольник распределения в Mathcad следующим образом: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________