Министерство образования и науки Самарской области Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации специалистов)

СИПКРО

Зачетная работа

по курсам повышения квалификации по ИОЧ

«Методические особенности изучения вероятностно-стохастической линии и элементов логики в условиях перехода к новым стандартам»

с 09.02 - 13.02.2015 г.

Педагогический проект

Разработка многоуровневых задач по стохастической линии

Проверил Выполнила

зав.кафедрой ФМО СИПКРО учитель математики

А.А. Максютин ГБОУ ООШ с. Кузькино

Л.А. Рыжова

Самара, 2015 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В настоящее время одной из наиболее актуальных проблем методики преподавания математики является проблема введения в школьный курс вероятностно-статистической линии, которая давала бы возможность познакомить всех учащихся с миром случайного, с самых ранних лет формировать у них умение накапливать систематизировать представления о свойствах окружающих явлений, в большинстве своем имеющих стохастическую природу.

Эта линия требует своеобразных форм, средств и приемов обучения, соответствующих возрасту и интересам учащихся: дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и предметной деятельности.

Изучение вероятностно-статистического материала должно быть направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умения ориентироваться в общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.

Подавляющее большинство школьников не станут специалистами в данной области науки. Из них выйдут как представители иных научных интересов и практических областей деятельности, так и представители свободных профессий - писатели, артисты, художники. Именно поэтому для всех учащихся необходимо получить в школе сведения об установившихся научных концепциях и приобрести твердые основы научных знаний, а кроме того умения логически рассуждать и ясно излагать свои мысли. Школа должна дать представления о том, что наука и ее концепция тесно связаны с практикой, из которой она черпает постановки своих проблем.

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремиться сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что "завтра ожидается дождь с вероятностью 40%".

Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способность жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно - статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием комбинаторного и вероятностного мышления.

Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе. Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он постоянно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий "вероятность" и "достоверность", проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях - все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка. Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе. Подборка задач по теории вероятности очень важна. Задачи скомплектованы так, что ребенок при решении их переходит от знакомых задач к задачам малознакомым, а затем уверенно может найти решение незнакомой задачи. Всё это приводит к формированию умений применения мыслительных приёмов. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики.

Вариант 2.

З.З.

1. Миша, Оля, Коля и Лена бросили жребий- кому первому рассказывать стихотворение. Найдите вероятность того, что рассказывать должен будет Коля.

Решение:

P(А) - вероятность того, что первый стихотворение будет рассказывать Коля

А - событие «Коля первый будет рассказывать стихотворение»

m = 1 (благоприятные условия)

n = 4 (все возможные события)

Вероятность того, что будет именно Коля Р(А)=m/n=1/4=0,25

Ответ: 0,25.

2. В сборнике заданий по математике всего 280 заданий, в 21 из них встречается вопрос по процентам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на уроке задании школьнику не достанется вопроса по процентам.

Решение:

P(А) - вероятность того, что в случайно выбранном на уроке задании школьнику не достанется вопрос по процентам

А - событие «задание не на проценты»

Благоприятных исходов m= 280-21=259 ( заданий, не содержащих вопрос по процентам), n = 280 (все возможные события)

Вероятность того, что в случайном выбранном задании на уроке не достанется вопроса по процентам, равна Р(А)=m/n=259/280=37/40=0,925

Ответ: 0,925.

3. В соревнованиях по прыжкам в длину участвуют 200 спортсменок: 85 из России, 65 из Канады, остальные- из Украины. Порядок, в котором выступают спортсменки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой окажется из Украины.

Решение:

количество всех участников=200

количество участников из России=85

количество участников из Канады=65

количество участников из Украины 200-(85+65)=50

P(А) - вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Украины.
А - событие «спортсменка из Украины»

m = 50 (благоприятные условия)

n = 200 (все возможные события)

Р(А) = m/n = 50/200 = 0,25

Ответ: 0,25.

4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение:

Обозначим выпадение орла буквой о, а решки - буквой р.
Выпишем все элементарные события: о;о о;р р;о р;р. Всего 4 событий.

Р(А) - вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз
А - событие «орёл выпадет ровно один раз»
m = 2 (благоприятный исход): о;р и р;о. n = 4 (все возможные исходы)
Р(А) = m/n = 2/4 = 0,5

Ответ: 0,5.

5. В чемпионате России по регби участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Ростовской области окажется во второй группе?

Решение:

Обозначим через А событие «команда Ростовской области во второй группе».

Количество благоприятных событий m=4 (четыре карточки с номером 2), а общее число равновозможных событий n=20 (20 карточек). Тогда по определению, вероятность P(А)= m/n ===0,2

Ответ: 0,2.

6. Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А- «сумма очков равна 6»?

Решение:

А - событие «сумма очков на обеих костях равна 6»

При двойном бросании игральной кости благоприятствуют только пять элементарных событий: «1 + 5», «5 + 1», «2 + 4», «4 + 2», «3 + 3» .

Ответ: 5.

7. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 13 участников из России, в том числе Роман Исаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Роман Исаев будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Решение:

Р(А) - вероятность того, что в первом туре Роман Исаев будет играть с каким- либо теннисистом из России
А - событие «Роман Исаев будет играть с каким- либо теннисистом из России»
m = 12 (благоприятные исходы), так как против Романа 12 теннисистов из России
n = 75 (все возможные исходы), так как против Романа 75 теннисистов
Р(А) = m/n = 12/75 = 0,16

Ответ: 0,16

МЗ

1. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 19 пассажиров, равна 0,26. Вероятность того, что окажется меньше 6 пассажиров, равна 0,009. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 6 до 18.

Решение:

А - событие «в автобусе меньше 6 пассажиров», Р(А)= 0,009.
В - событие «в автобусе от 6 до 18 пассажиров», Р(В)-?
Теперь найдём сумму вероятностей А и В. Их сумма - это событие:
А + В - «в автобусе меньше 19 пассажиров».

Действительно, события А и В независимые (несовместные), то есть, они не могут произойти одновременно. Вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Тогда, используя данные, получаем: 0,26 = 0,009 + Р(В)
Таким образом, Р(В) = 0,26 - 0,009 = 0,251

Ответ: Р(В) =0,251

2. В магазине четыре продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все четыре продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение:

Р - вероятность того, что в случайный момент времени все четыре продавца заняты одновременно

Р(А) - вероятность того, что занят 1 продавец

Р(В) - вероятность того, что занят 2 продавец

Р(С) - вероятность того, что занят 3 продавец

Р(D) - вероятность того, что занят 4 продавец Так как здесь все три события независимые, то нужно найти их произведение.

Р = Р(А)*Р(В)*Р(С)*Р(D)= 0,3*0,3*0,3*0,3=0,0081

Ответ: 0,0081

3. Биатлонист шесть раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,2. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последние два- промахнулся. Результат округлите до тсячных.

Решение:

А1 - первый выстрел
А2 - второй выстрел
А3 - третий выстрел
А4 - четвёртый выстрел
А5- пятый выстрел
А6 - шестой выстрел
Вероятность попадания 0,2
Все исходы - 1
Вероятность промаха 1 - 0,2 = 0,8 В - событие «Попадание», тогда Р(А1)=0,2 Р(А2)=0,2 Р(А3)=0,2 Р(А4)=0,2 , т.к. попал первые четыре Р(А5)=0,8 Р(А6)=0,8, т.к. промахнулся Поскольку каждое событие не зависит одно от другого (каждое наступает в любом случае), то применим правило умножение вероятностей. Р= Р(А1)*Р(А2)*Р(А3)*Р(А4)*Р(А5)*Р(А6)=0,2*0,2*0,2*0,2*0,8*0,8=0,00102 (округлив до тысячных приблизительно равно 0,001) Ответ: 0,001.

4. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,6. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Необходимо найти вероятность события, когда не перегорят обе лампы, либо не перегорит только первая лампа, либо не перегорит только вторая лампа. По условию вероятность перегорания лампы 0,6. Значит, вероятность исправности лампы в течение года равна 1 - 0,6 = 0,4. Вероятность события: «не перегорят обе» равна 0,4∙0,4 = 0,16 «не перегорит первая, но перегорит вторая» равна 0,4∙0,6 = 0,24 «перегорит первая, но не перегорит вторая» равна 0,6∙0,4 = 0,24

Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна не перегорит равна
Р= 0,16 + 0,24+ 0,24 = 0,64

Второй способ:

А - перегорит первая лампа
В - перегорит вторая лампа
С - перегорят обе лампы Р(С)=Р(А)*Р(В)= 0,6∙0,6 = 0,36. (вероятность того, что перегорят обе лампы равна)
Эти события независимые, но при одновременном их совершении их вероятности перемножаются. Вероятность того, что не перегорит хотя бы одна лампа, равна 1 - 0,36 = 0,64. Это событие противоположное тому событию, когда перегорят обе лампы.

Ответ: 0,64

5. Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,08. В некотором городе из 4000 проданных таких ноутбуков в течение года в гарантийную мастерскую поступило 408 штук. Насколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение:

А - количество проданных ноутбуков
n(А) - количество неисправных Частота события «гарантийный ремонт» равна 408/4000=0,102, а значит, искомая величина равна 0,102 - 0,08=0,022.

Ответ: 0,022.

6. На рисунке 5 изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью жук придёт к выходу Е.

Рис. 5.

Решение.
Сначала обозначим путь (или пути), которым жук достигнет выхода Е. Так же обозначим развилки (красными точками). То есть, это участки пути, в которых паук выбирает один из двух возможных направлений.

Путь, которым может проследовать жук один. Всего на этом пути три развилки. На каждой развилке жук с вероятностью 1 к 2 (0,5) может выбрать верное направление.
Вероятность того, что жук на всех трёх развилках выберет верное направление равна произведению вероятностей событий, то есть:
«Жук выберет верное направление на первой развилке» вероятность 0,5.
«Жук выберет верное направление на второй развилке» вероятность 0,5.
«Жук выберет верное направление на третьей развилке» вероятность 0,5.
Т.к. события независимые, таким образом, вероятность прийти к выходу Е равна:
0,50,50,5 = 0,125.

Ответ: 0,125.

7. Ковбой Джо попадает в муху на стене с вероятностью 0.72, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джо стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,16. на столе лежит 12 револьверов, из них только 3- пристрелянные. Ковбой Джо видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джо промахнётся

Решение:

Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер Р=3/12=0,25 и попадает из него Р1=0,72, или если схватит не пристрелянный револьвер Р=9/12=0,75 и попадает из него Р2=0,16. Вероятность того, что попадется пристрелянный и Джон попадет, равна 0,25*0,72=0,18. Вероятность того, что попадется не пристрелянный и Джон попадет, равна 0,75*0,16=0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий=0,18+0,12=0,3. Событие, состоящее в том, что Джон промахнётся противоположно. Его вероятность равна 1-0,3=0,7.

Ответ: 0,7.

НЗ

1. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 18% яиц из первого хозяйства- яйца высшей категории, а из второго хозяйства- 23% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 22% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает х яиц, в том числе 0,18х яиц высшей категории, а во втором хозяйстве у яиц, в том числе 0,23у яиц высшей категории. Тем самым, всего агрофирма закупает х+у яиц, в том числе 0,18х+0,23у высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 22% яиц, тогда (0,18х+0,23у)/( х+у)=0,22, 0,18х+0,23у=0,22( х+у), 0,04х=0,01у, х=1/4у. Т.о всего закуплено х+у=1/4у+у=1 у шт. Из них х=1/4у из первого хозяйства. Найдём вероятность, что выбранное яйцо из первого хозяйства Р=х/(х+у)=1/5=0,2.

Ответ: 0,2.

2. Чтобы поступить в институт на специальность «Биотехника», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не мене 80 баллов по каждому из трёх предметов- математике, русскому языку и химии. Чтобы поступить на специальность «Управление», нужно набрать не менее 80 баллов по каждому из трёх предметов- математике, русскому языку и обществознанию. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 80 баллов по математике, равна 0,3, по русскому языку- 0,4, по химии- 0,7 и по обществознанию-0,6. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение:

Чтобы поступить хоть куда-то, надо сдать математику, русский обязательно и химию или обществознание.
А - сдать на «биотехнику»
В - сдать на «управление»
С - сдать и на «биотехнику и на управление»
Р(А) = 0,3*0,4*0,7 = 0,084 - успешно сдать на «биотехнику»
Р(В) = 0,3*0,4*0,6 = 0,072 - успешно сдать на «управление»
Р(С) = 0,3*0,4*0,7*0,6 =0,0504 - успешно сдать и на «биотехнику» и на «управление»

Так как события совместные, то Р= Р(А)+Р(В)-Р(С)=0,084+0,072 - 0,0504=0,1056

Ответ: Р=0,1056

3. На рок-фестивале выступают группы- по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из России будет выступать перед группой из Чехии и перед группой из Дании? Результат округлите до сотых.

Решение:

Перестановок может быть 6, т.к. n=3, то Р3=3!=6

Р- Россия, Ч- Чехия, Д- Дания

РЧД, РДЧ, ДРЧ, ДЧР, ЧРД, ЧДР

Россия будет перед Чехией и перед Данией - 2. Поэтому вероятность того, что группы будут распределены именно так, равна Р=2/6=0,333…≈0,33.

Эти события являются несовместными, а их совокупность - полной (то есть какое-то из них обязательно наступит). Значит, сумма их вероятностей равна 1. Поскольку жребий не отдаёт предпочтение ни одной из рок-групп, то вероятность наступления каждого из перечисленных событий одинакова и равна ≈0,33.

Ответ: 0,33.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,7. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,56. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Рассмотрим события: А= кофе заканчивается в первом автомате, В= кофе заканчивается во первом автомате. Тогда А*В= заканчивается в обоих автоматах, А+В= кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию Р(А)=Р(В)=0,7; Р(А*В)=0,56.

События А и В совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)=0,7+0,7-0,56=1,4-0,56=0,84. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1-0,84=0,16

Ответ: 0,16.

Список литературы:

1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М.:Наука, 1968. - 328 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. Пособие для студентов вузов. Изд. 5-е стер. - М.: Высш. шк., 2000. - 400 с.

3. ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 (С). /Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. - М.:Издательство «Экзамен», 2013. - 215 с.

4. Математика. ЕГЭ 2013. Книга I./Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева. - Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д.А.; М.:Народное образование, 2013. - 304 с.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2007. - 336 с.

6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). - М.: Мнемозина, 2010. - 264 с.

7. Тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену по математике 2013: Учебное пособие/Сост.: С.В. Богатырев, А.А. Максютин, Ю.Н. Неценко, Т.П. Шаповалова. - Самара: СИПКРО, 2012. - 76 с.

Интернет-ресурсы:

1. festival.1september.ru

2. school-collection.edu.ru

3. uztest.ru

4. interneturok.ru

5. Решение практических задач с применением вероятностных методов. К1 fcior.edu.ru/card/3519/reshenie-prakticheskih-zadach-s-primeneniem-veroyatnostnyh-metodov-k1.html