Исследовательская работа Формула Пика

Муниципальная научно-практическая конференция «Ломоносовские чтения»

Секция Математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

Тема: Формула Пика

Выполнил(а): Дзилихова Анна

Школа (вуз) МБОУ СОШ №50

класс (курс) 10 «Б»

Руководитель: Гуцунаева Рита Маировна, СОШ №50______________

(ФИО полностью, ученая степень, место работы)

Владикавказ, 2014

І. Введение

На ГИА и ЕГЭ по математике с каждым годом увеличивается число геометрических задач, требующих обычно большего времени на обдумывание решения, чем алгебраические. Их можно разделить на следующие типы:

• Задачи на формулы площади.

• Задачи на площадь фигуры на клетчатой бумаге.

• Задачи на площадь фигуры на координатной плоскости.

• Задачи на понятие координатной плоскости.

• Задачи на вектора.

Я посвятила работу второму типу заданий, конкретно задачам на нахождение площади многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге и вершины которых лежат в узлах клеток. В этих задачах указан масштаб

- размер одной клетки равен 1 см, соответственно, площадь одной клетки равна 1 см². Поэтому требование дать ответ в квадратных сантиметрах равносильно требованию дать ответ в клеточках. Навыки, необходимые для решения таких задач, мы начали приобретать еще в детском саду, когда впервые взяли в руки ножницы и бумагу. Вопрос только в том, насколько эффективно мы сможем распорядиться своим экзаменационным временем.

Способ 1.

Например, для треугольника, параллелограмма или трапеции во многих случаях достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон. Выбирать в качестве стороны и высоты нужно те отрезки, длины которых выражаются целым числом делений сетки.

Задание B3 (№ 27556)

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.Ѕ=

Ответ.

В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов следует использовать теорему Пифагора.

Способ 2

Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисление площадей которых не представляет труда, или, заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.

Прототип задания B3 (№ 254009)

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Достроим фигуру до прямоугольника и выделим квадрат и прямоугольные треугольники.

Ѕ₁=24

Ѕ₂=1+1,5+1,5+2+6=12

Ѕ=24-12=12

Ответ.12

И третий способ - использование формулы Пика. Когда мы первый раз столкнулись с этой формулой, нам показалось, что легче этого ну разве что таблица умножения. Но каково было наше удивление, когда мы начали искать обоснование этой формулы и ее применение в разных областях математики в литературе. Источников практически мало, а то, что есть либо сложно и для понимания нужны дополнительные знания, либо со сплошными ошибками (интернет-источники). Пришлось серьезно потрудиться.

ІІ.Формула Пика

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, т. е. имеют целочисленные координаты.

Существует формула, позволявшая найти его площадь путём подсчёта числа содержащихся в нём узлов

Ѕ=В+ -1,

Где В - число узлов внутри многоугольника и Г - число узлов на сторонах, включая вершины. Эту формулу открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 г.

Докажем эту формулу двумя способами, причем в том же порядке, в каком мы смогли найти их в источниках.

Способ 1.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны и .

В этом случае,В=(а-1)(b-1) , Г=2a+2b, тогда по формуле Пика,

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на линиях решетки. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами и , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали.

Пусть на диагонали лежат целочисленных точек.

Тогда для этого случая

В =

Г=(+1)+(+1)-1+-2=++-1 и получаем,

что Ѕ= + - 1= - 1=/2.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник.

Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Докажем формулу Пика для многоугольника.

Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.

Пусть многоугольник и треугольник имеют общую сторону. Предположим, что для формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из добавлением . Так как и имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через и получим:

- число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,

Г(МТ)=Г(М) -( -2)+Г(T)-(с-2)-2= Г(М) )+Г(T)-2 + 2 - число граничных точек нового многоугольника.

Так как мы предположили, что теорема верна для и для по отдельности, то

S(MT) = S(M)+S(T)=(В(М)+-1)+(В(T)+-1)=

=(В(М)+В(T))+(=В(MT)-(c-2)+-2=

=В(MT)+.

Тем самым, формула Пика доказана.

Способ 2.

Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки.

Любой такой многоугольник легко разбить на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах.

Треугольники, которые не имеют внутренних узлов, называются простыми. Площадь простого треугольника равна ½

Следовательно, площадь Ѕ многоугольника равна половине их числа Т, то есть

Ѕ= .

Найдем это количество треугольников. Обозначим через n число сторон многоугольника, через В - число узлов внутри него и через Г - число узлов на сторонах, включая вершины. Общая сумма углов всех треугольников равна πТ.

Теперь найдём эту сумму другим способом.

Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 2π, т. е. общая сумма таких углов равна 2πВ; общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна (Г - n)π, а сумма углов при вершинах многоугольника - (n - 2) π. Таким образом,

πТ = 2Вπ + (Г - n) π + (n - 2)π, T=2B+Г-n+n-2, T=2B+Г-2

Так как S=½ получаем выражение для площади S многоугольника:

S= =B+ -1.

Итак, S=B+-1.

ІІІ. Использование формулы Пика

Использовать формулу можно напрямую, если рисунок это позволяет.

Задача1.

Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Понятно, что многоугольник надо разбивать на более «простые» фигуры, но это весьма трудоемкая и требующая много времени работа. Решим эту задачу, используя формулу Пика.

Ѕ=28+20/2-1=37 (кв.см.)

Ответ.37 кв.см.

А что, если задачу несколько усложнить, так как знание формулы Пика сильно упростило ее решение.

Задача2.

Найдите площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.) с помощью формулы Пика. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение.

Применение формулы Пика для вычисления площадей этой фигуры не совсем удобно. Для стертых узлов нельзя определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу. Как точно сосчитать число узлов на границе? Поскольку граница состоит из отрезков, то нас интересует количество узлов сетки, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах.

Сделаем сначала небольшое наблюдение. Пусть А и В - узлы сетки. Обозначим через С₁ первый узел, встречавшиеся после А на отрезке АВ (значит, между А и С₁ больше нет узлов). Построим прямоугольный треугольник АС₁D₁ с гипотенузой АС₁ и катетами, лежащими на линиях сетки. Если С ≠ В, то сместим этот треугольник вдоль отрезка АВ на расстояние А С. Получим равный ему треугольник ССD.

Следовательно, С - узел, и между С и Снет узлов. Ясно, что если эту процедуру продолжить, мы когда-нибудь получим в качестве очередной точки С точку В - узел сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник ARB с гипотенузой АВ, приходим к равенствам:

AR = (k+1) · AD₁,

BR = (k+1) · С₁D₁ ,

AB = (k+1) · AС₁.

Теперь мы можем выяснить, сколько узлов лежит между точками А и В(конечно, мы считаем, что А и В не лежат на одной линии сетки). Построим прямоугольный треугольник ARB с вершинами в узлах сетки и с гипотенузой АВ.

Пусть AR = р, BR = q. Понятно, что р и q - целые положительные числа.

Теорема. Если р и q взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки. Если же наибольший общий делитель р и q равен n, где n> 1 (НОД (р, q) = n> 1), то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно (n - 1) узлов сетки.

Доказательство.

Пусть числа p и q взаимно просты. Если между А и В были k узлов (k ≥ 1), то, взяв ближайший к А узел С₁, мы получим по формулам :

p=(k+1) · AD₁,

q = (k +1) · С₁D₁,

то есть р и q имеют общий делитель k + 1, больший 1. Но ведь они взаимно просты, значит в этом случае на отрезке АВ между точками А и В нет узлов.

2)Пусть НОД (р,q) = n> 1. Поделив отрезки AR и BR на n равных частей, мы опять приходим к первому рисунку, где С₁, С₂, …, С_к-1 - какие-то узлы сетки и k=n - 1. Таким образом, в этом случае между точками А и В есть хотя бы n - 1 узел. Почему их не может быть больше, чем n - 1? В этом случае между узлами А и С₁ были бы и другие узлы. Пусть С₁ - ближайший к А узел. Тогда АС´ < АС₁, а значит, - целое число, большее, чем n

(поскольку). Но если мы воспользуемся формулами, то увидим, что

р = AR = (k+1) · AD₁,

q = BR = (k+1) · С₁D₁,

где k + 1 = , а D₁ - основание перпендикуляра, опущенного из точки С₁ на AR. Но это невозможно, так как самый большой общий делитель чисел р и q равен n. Следовательно, между А и В ровно n - 1 узел.

Теперь, не вглядываясь долго и напряжённо в картинку и не мучаясь сомнениями, мы всегда можем сказать, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах сетки!

ІV.Заключение

Сделано по данной теме не мало, однако это капля в море. Нам еще предстоит разобрать с помощью фомулы Пика большой блок олимпиадных задач, задач на разрезание, на шахматной доске и т.д. Каждый, кто берётся за решение задач на клетчатой бумаге, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению.

ЛИТЕРАТУРА.

1.В. В. Прасолов Задачи по планиметрии. - М.: МЦНМО, 2001. - 584 с.

2.А. Кушниренко Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. - 1977. - № 4. - С. 13-20.

3.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=

16