Показательная функция, Решение показательных уравнений

Урок разноуровневого обобщающего повторения

«Показательная функция. Решение показательных уравнений».

Длительность урока 40 мин. Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Цель урока. Обобщить теоретические знания по темам «Показательная функция, свойства показательной функции» и «Решение показательных уравнений», рассмотреть методы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.

1 этап урока - организационный (1 минута)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.

2 этап урока (5 минут) - фронтальный опрос.

Повторение теоретического материала по теме «Показательная функция и её свойства».

? Учитель обращается к учащимся с вопросом: «Какую функцию называют показательной?»

/учащиеся дают свои варианты определений; важно, чтобы прозвучало определение «Функцию вида у = а^х, где а > 0, a ≠ 1 называется показательной функцией с основанием а»/

? Учитель: «Какими основными свойствами обладает показательная функция?»

/ учащиеся указывают область определения функции, множество значений функции, характер монотонности в зависимости от значения параметра а, точку пересечения графика функции с осью ординат/.

Должны прозвучать ответы:

- область определения функции - множество R действительных чисел;

- Множество значений функции - множество R₊ всех положительных действительных чисел;

- Если а > 1, то функция возрастает на всей числовой прямой; если 0 < а < 1, то функция убывает на всей числовой прямой (на множестве R);

- График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1), пересечения с осью абсцисс нет.

Учитель демонстрирует графики функций, обращая внимание на то, как определить значение параметра а относительно 1 и значения функции при х = а.

/используя интерактивную доску (или виде слайдов), проектируются слайды, на которых изображены графики функций: 1) у = а ^х, при а > 1 2) у = а ^х, при 0 < а < 1/.

? Учитель: «Какие виды преобразования графиков вы знаете и как определить смещение точек вдоль осей координат?»

/ на доске изображены графики функций у = 3 ^{- х}; 2) у = 3 ^{- х +1}; 3) у = 3 ^х + 1;

учащиеся отвечают на вопросы, важно услышать:

- для построения графика функции f (x) +b , где b - постоянное число, надо перенести график функции f(x) на вектор (0; b) вдоль оси ординат.

- для построения графика функции f (x + a), где a - постоянное число, надо перенести график функции f (x) на вектор (- а; 0) вдоль оси абсцисс./

Ответы учащихся иллюстрируются на доске (слайды или анимации, учитель показывает вектор смещения, используя интерактивную доску).

3 этап урока (5 - 7 мин)

Устная работа по решению простейших задач на тему «Показательная функция, её свойства».

/задания можно предложить с использованием интерактивной доски, слайдов презентации или раздаточного материала/

Учитель предлагает учащимся применить только, что сформулированные теоретические факты к решению задач.

1.На одном из рисунков изображен эскиз график функции . Укажите этот рисунок.

/изображены графики функций: 1) y = 3^x; 2) ; 3) y = ; 4) y = log₃ x /

(ответ № 2)

2. Укажите область значений функции .

1) (2; + ); 2) (5; + ); 3) (- ; + ); 4) (3; + )

(ответ № 4)

3. На одном из рисунков изображен эскиз график функции . Укажите этот рисунок.

/изображены графики: 1) у = 2 ^{х - 1}; 2) у = 2 ^{- х +1}; 3) у = 2 ^{- х} + 1; 4) у = 2 ^х + 1 /.

(ответ № 4)

4. Для каждого из рисунков (смотри задание 3) укажите функцию.

(Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ).

5. Укажите характер монотонности функций:

а) у = 5^х; б) ; в) ; г) ; д) .

(Ответы: 1) монотонно возрастающая; 2) монотонно убывающая; 3) монотонно возрастающая; 4) монотонно убывающая; 5) монотонно убывающая).

/Учащиеся по очереди отвечают на сформулированные вопросы, обосновывая свой ответ, при этом ссылаясь на теоретический материал, учитель вносит коррективы при необходимости/.

4 этап урока (7 - 8 мин)

Повторение теоретического материала по теме «Равносильные уравнения. Решение показательных уравнений».

С учетом подготовки учащихся возникла необходимость повторения теоретического материала. Фронтальный опрос проводился по следующим вопросам:

- какие уравнения называются равносильными?

- что можно сказать о корнях равносильных уравнений?

- что называют областью допустимых значений уравнения f(x) = g(x)?

- какие способы решения уравнений вы знаете?

/должны прозвучать ответы: 1) два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

2) корни равносильных уравнений совпадают.

3) областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения f(x) = g(x) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).

4) графический метод и аналитический: вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, сведение к простейшему путем тождественных преобразований.

Каждый ответ сопровождается примером учащегося, учитель следит за соответствием ответа и примера/.

? Учитель: «Когда возникает необходимость в проверке полученных корней уравнения?»

/должен прозвучать ответ: если при решении уравнения, мы на каком - то шаге выполняем преобразования без учета ОДЗ (вводим новую переменную, возводим в квадрат или четную степень, освобождаемся от знаменателя (умножаем на общий знаменатель), сокращаем на общий множитель)/.

? Учитель: «Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?»

Ответ: Простейшим показательным уравнением называют уравнение вида

а^х = b, где a > 0, a ≠ 1.

? Учитель: «Что вы можете сказать о корнях этого уравнения?»

Ответ: Уравнение имеет единственное решение при b > 0, при b ≤ 0 уравнение корней не имеет.

? Учитель: «Как найти корень уравнения?»

Ответ: х = log _ab. Если же b = a ^c, то х = с.

Учитель предлагает учащимся привести примеры простейших показательных уравнений и записать их решение. Это могут быть примеры типа: 3 ^х = 5; ; 2 ^х = 2; , важно, чтобы примеры были с целыми и дробными основаниям; равные 1 (вспомнить а ⁰ = 1) и чтобы b нельзя было представить в виде степени с основанием а. Учащиеся комментируют свои решения.

Учитель приглашает одного из учащихся (более подготовленного) к доске для решения уравнения: , класс записывает в тетрадь решение. Ответ: х = 1.

? Учитель: «Нужно ли делать проверку?»

Ответ: Нет, т. к. при решении был совершен равносильный переход.

Задание классу: решить уравнение 9^х - 8∙3^х - 9 = 0.

/предварительно обсудив алгоритм его решения: 1. ввести новую переменную, учесть ОДЗ для введенной переменной (с учетом свойств показательной функции);

2. решить квадратное уравнение,

3. сделать обратную замену

4. выписать ответ/

Решение проверяется по заранее записанному решению на доске: это может быть затемненный экран интерактивной доски или слайд в презентации, или решение за закрытой доской в зависимости от возможностей кабинета.

Ответ: 2.

Учитель обращает внимание учащихся, что в основании показательной функции может стоять функция и тогда уравнение приобретает вид: , которое равносильно совокупности систем (предлагается записать сильному учащемуся на доске):

5 этап урока (15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель выдает задания для самостоятельной работы (лежат на столе учащихся), сообщая, что на её выполнение отводится 15 минут. Работа в четырех уровнях, не менее трех вариантов для каждого уровня. 1 - й уровень - учащиеся со слабой математической подготовкой (0 - 5 баллов при выполнении диагностической работы из 12 возможных),

2 - й уровень - учащиеся с недостаточной математической подготовкой (6 - 8 баллов при выполнении диагностической работы),

3 - й уровень - учащиеся с хорошей математической подготовкой (9 - 11 баллов при выполнении диагностической работы)

4 - й уровень - учащиеся с высокой математической подготовкой (12 баллов).

Задания 1 уровня.

Задания аналогичные тем, по которым у них уже были успехи и задания, которые разбирались на уроке. Все задания базового уровня сложности. Правильные ответы отмечены *. Можно предложить следующие задания.

1. Вычислите: .

1) ; 2) 30; 3) 10; 4)^* 15.

2. Упростите выражение .

1) 4m⁴; 2) ; 3)^* : 4) 4m.

3. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции .

1) 1,5; 2) 2; 3) ; 4)^* 0.

4. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите этот рисунок.

/ изображены графики функций: 1) у = ; 2) у = 2 ^{х - 1}; 3) ; 4) /

Ответ: 4.

5. Решите уравнение: . Ответ: 1,75.

6. Решите уравнение: 16∙3^х - 3^х = 15. Ответ: 0.

Задания 2 уровня .

Задания базового уровня сложности, но среди них есть задания, которые не разбирались на уроке, одно задание повышенного уровня сложности, которое разбиралось на уроке.

1. Вычислите: .

1) 7,25; 2) 7,1; 3)^* 7,01; 4) 9,5.

2. Укажите область определения функции .

1)

3)

2)*

4)

3. График какой функции изображен на рисунке? <Рисунок 1 >.

1) 2) ; 3) ; 4)

Ответ: 4. Рис. 1

4. Укажите наименьшее целое значение функции .

1) - 1; 2) 0; 3)^* 1; 4) .

5. Решите уравнение . Ответ: 0,5.

Задания 3 уровня сложности.

Учащимся 3 группы были даны задания из книги «Тестовые задания по алгебре и началам анализа» Е. А. Семенко с вложенными бланками для ответов и номерами варианта, который должен выполнять каждый учащийся (6 вариантов по теме «Показательные уравнения» стр. 98), 2 учащийся решают свои задания на доске, для последующей проверки./ Можно предложить задания с полной записью решения.

Решить уравнения: а) 2 ^{2х + 1} = 4; б) ; в) (7 ^3-х) ³ = 49;

г) (2 ^х)^{2 .} 2 ^{- 3} = 2 ^5х; д) 625 ^. 25 ^х = ; е) .

Задания 4 уровня сложности.

(задания выполняются в тетрадях, с последующими комментариями учителя; уровень подготовки класса не позволяет обсуждать это решение со всеми, т. к. в классе большинство учащихся имеют слабую математическую подготовку и для них полезнее обсуждение заданий 3 уровня). В своих работах учащиеся этой группы должны были предоставить краткий ответ на первое задание и развернутое решение второго.

Вариант 1.

1. Найдите решение уравнения , принадлежащее области определения функции .Ответ: - 1.

2. Решите уравнение . Ответ: - 1.

Вариант 2.

1. Решите уравнение . Ответ: 0.

2. Решите уравнение . Ответ: 3.

Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает учащимся 1 группы выполнять задания наводящими вопросами и контролирует решение задач на доске.

По истечении времени учащиеся сдают работы.

6 этап урока (5 минут)

Обсуждение решений записанных на доске.

На доске учащиеся решали две задачи (голубая карточка), это задачи из «Тестовых заданий по алгебре и началам анализа» Е. А. Семенко. Учащиеся, выполнявшие задания на доске, комментируют решения, отвечают на вопросы одноклассников, а остальные вносят, при необходимости, коррективы.

7 этап урока (2 минуты)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель ещё раз обращает внимание на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет оценки за работу на уроке.

Домашнее задание: обменяться вариантами заданий в группах и решить их;

учащимся более подготовленным предлагается ещё решить

уравнение . Ответ: 9