Методическая разработка по теме Логарифмы

Министерство образования Московской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования

«Российский художественно - технический колледж игрушки»»

ЛОГАРИФМЫ

Методические указания к решению упражнений

при изучении темы «Свойства логарифмов»

рассмотрены и одобрены на заседании предметной (цикловой) комиссии общеобразовательного и социально-экономического циклов

Протокол № _______ от «____» __________20____ г.

Председатель ПЦК ___________ М.В. Рыбалкина

2012 г.

Логарифмы: Методические указания / Сост. Рыбалкина М.В. - Сергиев - Посад: ,

2012- 13с.

Данные методические указания содержат необходимые теоретические сведения по теме «Логарифмы» дисциплины математика, примеры решения упражнений, набор упражнений для самостоятельного решения с ответами к некоторым из них, десять вариантов для выполнения контрольной работы.

Содержание

Введение_{…………………………………………………………………………………………………………..}4

1. Определение логарифма _{……………………………………………………………………}5

1. 1. Примеры для самостоятельного решения_{………………..…………….}7

2. Преобразование логарифмических выражений_{………………..…………….}7

   1. Примеры для самостоятельного решения_{…………………………………..}9

3. Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»_{………………….}11

Список литературы _{………………………………………………………………….…………}14

Введение

Настоящие методические указания предназначены в помощь учащимся всех форм обучения при изучении темы «Свойства логарифмов». Разделы указаний содержат необходимые теоретические сведения (определения, формулы без доказательства) и подробно разобранные упражнения. В конце каждого раздела предлагаются задания для самостоятельного решения с ответами для самопроверки.

Теоретические сведения и примеры для самостоятельного решения дают возможность использовать данные методические указания на практических занятиях по математике, а также для самостоятельного изучения темы «Свойства логарифмов».

В конце указаний приведены десять вариантов заданий для выполнения контрольной работы.

1. Определение логарифма

Понятие логарифма числа вводится при решении показательных уравнений, например, решим уравнение , в котором необходимо найти показатель х, представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени . В этом уравнении удалось левую и правую части представить в виде степени с одинаковым основанием 2. Ответ такого уравнения . Но уравнение таким способом решить не удается. А корень все-таки есть. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают log_аb. Например, корнем уравнения является число 4, т.е log₂16=4.

Из определения следует, что записи log_аb=х. и а^х=b равносильны.

Например, log₂8=3, потому что при возведении основания 2 в степень 3 получается 8: 2³=8, действительно 222=2³=8. Значит в результате вычисления логарифма 8 по основанию 2 получается показатель степени двойки, при возведении в которую получаем восемь.

Определение логарифма можно кратко записать так: . Это равенство справедливо при b>0, a>0, а1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

Для вычислений значений логарифмов полезно использовать значения степени следующих чисел:

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125

5⁴ = 625

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

7¹ = 7

7² = 49

7³ = 343

8¹ = 8

8² = 64

8³ = 512

9¹ = 9

9² = 81

9³ = 729

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000 и т.д.

Также необходимо помнить правила возведения чисел в степень с отрицательным, дробным и нулевым показателем: а⁰=1; ;

Пример 1. , т.к. 3³=27

Пример 2. , т.к. 3⁰=1

Пример 3. , т.к. 2^-1=

Пример 4. Вычислить

_{Пусть. По определению логарифма 32}^t_{=64. Это простейшее показательное уравнение. 32=2}⁵_{, 64=2}⁶_{, поэтому (2}⁵₎^t₌₂⁶_{; 2}^5t₌₂⁶ _{; 5t=6, t=}

Ответ:

Пример 5. Вычислить

Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

Пример 6.

Для некоторых логарифмов имеются специальные обозначения: десятичный log₁₀х=lgx, натуральный log_ех=lnx.

Пример 7. lg1000=3 , т.к. 10³=3

Пример 8. lg0,01=-2 , т.к. 10^-2==0,01

1. Примеры для самостоятельного решения:

Ответы:

2. Преобразование логарифмических выражений

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а>0, а1, b>0, с>0, p - любое действительное число. Тогда справедливы формулы

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Формулы (1) и (2) можно применять к выражениям, содержащим логарифмы с одинаковыми основаниями.

Формулы (4) и (5) позволяют переходить от одного основания логарифмов к другому.

Пример 1. Вычислить:

На основе формул (1) и (2) преобразуем

Теперь можно применить формулу (4), т. е. перейти к новому основанию, в данном примере логарифмы чисел 16 и 8 легко вычислить при основании 2, тогда

Пример 2. Вычислить

Применим формулу (3), для этого вспомним определение степени с рациональным показателем (), тогда

Пример 3. Зная, что , найти

Применяем формулу (1)

Пример 4. Прологарифмировать выражение по основанию 5.

Запишем данное выражение в виде

Теперь применим формулы (1), (2) и (3)

Пример5. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):

В этом примере необходимо правую часть представить в виде одного логарифма по основанию 4:

(2 представили в виде log₄16)

(применили формулы (1), (2) и (3))

1. Примеры для самостоятельного решения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. Зная, что , найти

9. Прологарифмировать выражение по основанию 10.

10. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):

Ответы:

Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»

1. Вычислить:

_3.

5.

7.

9.

_2.

_4.

6.

8.

10.

2. Вычислить:

1. 

3.

5.

7.

9.

2. 

4.

6.

8.

10.

3. Вычислить:

1. 

3.

5.

7.

9.

2. 

4.

6.

8.

10.

4. Вычислить:

1. 

3.

5.

7.

2.

4.

6.

8.

9.

10.

5. Вычислить:

6. Вычислить:

1.

3.

5.

7.

9.

2.

4.

6.

8.

10.

7. Доказать тождество:

8. Найти значение выражения:

1. , если

6. , если

2. , если

7. , если

3. , если

7. , если

4. , если

7. , если

5. , если

7. , если

9. Прологарифмировать выражение:

1. по основанию 2

6. по основанию 4

2. по основанию 3

7. по основанию 2

3. по основанию 5

8. по основанию 8

4. по основанию 3

9. по основанию 9

5. по основанию 6

10. по основанию 10

10. Найти х по данному его логарифму (а>0,m>0,c>0,h>0,n>0,k>0):

1.

6.

2.

7.

3.

8.

4.

9.

5.

10.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа - учебник для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений - М.: Просвещение, 2006.- 384с.

2. Креславская О.А. ЕГЭ-2009. Математика: Сдаем без проблем! - М.: Эксмо, 2008.-192с.