Элективный курс по теме Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Элективный курс по теме «Показательные и логарифмические

уравнения и неравенства»

Работы выполнила: Габдулзянова Мария

Александровна учитель математики

МОУ «СОШ» с.Корткерос

Элективный курс по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства».

Пояснительная записка.

Элективный курс предназначен для учащихся 11 классов и рассчитан на 11 часов. Прикладная часть курса направлена на расширение знаний учащихся по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства», повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Следует отметить, что навыки в решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств необходимы любому ученику, желающему не только участвовать на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к сдаче Единого Государственного Экзамена и поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения.

Материал данного курса содержит задачи повышенной трудности, что позволяет использовать его учителем как на уроках математики в 11 классах в качестве дополнительного материала, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с основной задачей обучения математики - обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Цель курса: систематизировать и углубить знания в решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Задачи курса

- повторить решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств;

- изучить нестандартные методы решения;

- рассмотреть примеры и основные приемы решения части С ЕГЭ.

Примерное тематическое планирование

Наименование тем курса

Тип занятия

Всего часов

1. Показательные уравнения.

2. Показательные неравенства.

3. Логарифмические уравнения.

4. Логарифмические неравенства.

5. Решение нестандартных уравнений.

6. Логарифмические неравенства с переменной в основании.

7. Задания из части С.

8. Контрольная работа.

Урок - повторение

Урок - повторение

Урок - повторение

Урок - повторение

Урок - лекция

Урок - лекция

Урок - практикум

Урок - оценки и коррекции знаний

1

1

1

1

2

1

3

1

Программа данного элективного курса позволяет организовать повторение и закрепление понятия логарифма и степени, навыков решения уравнений, неравенств, содержащих логарифм и показатель степени.

Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

- преобразовывать выражения, содержащие логарифм и показатель степени;

- решать уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащих логарифм и показатель степени.

Занятие №1. «Показательные уравнения».

Цель:

Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по показательным уравнениям; вспомнить методы решения уравнения этого вида.

Ход урока.

Определение 1. Простейшее показательное уравнение - это уравнение вида: , где

Определение 2. Показательными уравнениями называют уравнения вида: , где а - положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к виду

Теорема. Показательное уравнение (где ) равносильно уравнению

Пример 1. Решить уравнение .

Строим графики , они пересекаются в точке (3;8), значит, уравнение имеет единственное решение х = 3.

Проверка: .

, верно.

Ответ: х = 3.

Уравнение можно решить подбором. Так как показательная функция монотонна, то корень, найденный подбором, будет единственным.

А как решить уравнение ?

По графику можно заметить, что .

Более точное значение можно получить из определения логарифма:

Ответ:

Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.

1)Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции.

Пример 2. Решить уравнение: .

Данное уравнение решаем графически, строим графики функций: ,

(2 ; 4)-точка пересечения,

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения этих графиков. Так как графический метод решения не является точным, то найденные корни нуждаются в проверке.

Проверка:

, верно.

Ответ:

2)Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение а^f(х) = а^g(х) (где а > 0, а ≠ 1) равносильно уравнению f(х) = g(х).

Пример 3. Решить уравнение:

,

,

.

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение: .

;

;

;

.

Ответ:

3)Метод введения новой переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё уравнение не было показательным. С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению.

Пример 5. Решить уравнение: .

. Пусть, , где, а > 0, получим уравнение:

,

,так как , то -6 не является корнем,

, .

Ответ:

После повторения методов решения показательных уравнений приступаем к упражнениям различной сложности. Устные упражнения так же можно использовать, как и устно, так и письменно. Для слабых классов этот список упражнений можно дать для письменного решения, а для сильных классов и классов с углубленным изучением математики дать для устного решения.

Так же присутствуют тренировочные упражнения и задания повышенной сложности. Для каждого уравнения в скобках дан ответ.

Устные упражнения.

Решить уравнения:

1) ();

2) ();

3) ();

4) ();

5) ();

6) ()

7) ();

8) ();

9) ();

10) ().

Тренировочные упражнения.

1) ();

6) ();

2) ();

3) ();

4) ();

7) ();

8) ();

9) ();

10) ().

5) ()

Задачи повышенной трудности.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Занятие №2. «Показательные неравенства».

Цель:

Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме «показательные неравенства».

Ход урока.

Определение 1. Простейшее показательное неравенство - это неравенство вида или , где .

Определение 2. Показательными неравенствами называют неравенства вида , где a - положительное число, отличное от 1, и неравенство, сводящиеся к этому виду.

Теорема: Показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла , если ; , если.

Рассмотрим методы решения неравенств.

1) Сведение к одному основанию.

Пример 1. Решить неравенство: 2^{2х - 4} > 64

2^{2х - 4} > 2⁶

так как основание больше 1, то

Ответ: .

Пример 2. Решить неравенство:

;

так как основание меньше 1, то ;

;

.

Ответ:

2) Замена переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё неравенство не было показательным.

Пример 3. Решить неравенство: 4^х - 2^х+1 - 24<0

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство: .

;

.

Пусть , где , получим уравнение:

;

.

Разложим на множители:

.

.

Поскольку , выражение

3)Функционально-графический метод. При решении неравенств графическим способом необходимо рассмотреть две функции, построить их графики в одной системе координат и выяснить при каких значениях аргумента значения одной функции больше (меньше) значений другой функции. Найденные значения аргумента и есть решения неравенства.

Пример 5. Решить неравенство:

Строим графики:

Эти графики пересекаются в точке (1;2), график функции лежит не выше графика функции при .

Ответ:

4. Метод интервалов (иногда его называют также методом промежутков), так называется метод решения неравенств, основанный на исследовании промежутков знокопостоянства функции. Данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, дробно-линейных неравенств. Так как показательная функция непрерывна на всей области определения, то теорема о непрерывности функции позволит расширить область определения функции, в том числе и показательного неравенства.

Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.

Пример 6. Решить неравенство: .

;

, .

Нули функции: , ,

Ответ:

Устные упражнения

Решить неравенства:

1) 2^х ≥ 4; ()

2) 2^х ≤ 8; ()

3) 2^х > ; ()

4) 3^х ≥ 81; ()

5) 5^х ≤ 125; ()

6) 0,2^х > 0,04; ()

7) ;

8); ()

Тренировочные упражнения

Решить неравенства:

1) ;

2) ; ();

3) );

4) _{(корней нет)};

5) 2^х + 2^{х + 2} ≥ 20 ();

6) 0,3^{6х - 1} - 0,3^6х ≥ 0,7 ();

7) 5^2х + 4 · 5^х - 5 ≤ 0 ();

8) 3^х ≥ 5^х () ;

9) 0,6^х > 3^х ().

Задачи повышенной сложности:

1. ;

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Занятие №3. «Логарифмические уравнения».

Цель:

Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся по теме «логарифмические уравнения».

Ход урока.

Свойства логарифмов:

• ;

•

• ,;

•

•справедливо тогда и только тогда, когда t = s;

•

• ;

• ;

•

Если подлогарифмическое выражение содержит переменную, некоторые формулы имеют следующий вид:

•;

•

• ,, при - четных.

Определение 1. Простейшее логарифмическое уравнение - это уравнение вида , где , .

Определение 2. Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида , где , и уравнения, сводящиеся к виду .

Теорема. Если и , то логарифмическое уравнение (где ) равносильно уравнению

Рассмотрим методы решения логарифмического уравнения.

1)Метод потенцирования. Он основан на теореме приведенной выше.

Привет 1. Решить уравнение: .

;

;

;

;

ОДЗ:

.

Ответ:

2)Метод введения новой переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается так, чтобы относительно неё уравнение не было логарифмическим.

Привет 2. Решить уравнение: . ОДЗ:

;

Пусть , получим квадратное уравнение: ;

;

;

.

Ответ: = 100

3)Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции.

Пример 3. Решить уравнение: .

Строим графики следующих функций:

;

;

Проверка: .

Следовательно, .

Ответ: .

Устные упражнения

Решить уравнения:

1) ();

2) ;

3) ();

4) ;

5) ;

6) ();

7) ();

8) ();

9) ();

10) . .

Тренировочные упражнения

Решить уравнения:

1) ();

2) ();

3) ();

4) ;

5) ();

6) ;

7) ();

8) ();

9) ();

10) (

Задачи повышенной сложности:

1) ;

2) ;

3)

4)

5)

6)

Занятие №4. «Логарифмические неравенства».

Цель:

Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по теме «логарифмические неравенства».

Ход урока.

Определение 1. Простейшее логарифмическое неравенство - это неравенство вида (вместо знака > может стоять <, ), где , .

Определение 2. Логарифмическими неравенствами называют неравенства вид_,где а - положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если и , то:

при логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла: ;

при логарифмическое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: .

Методы решения неравенств совпадают с методами решения логарифмических уравнений.

1)Потенцирование.

Пример 1. Решить неравенство: .

;

Первое неравенство приравниваем к нулю и решаем как квадратное уравнение:

Решение находим с помощью координатной прямой:

Ответ:

2)Введение новой переменной.

Пример 2. Решить неравенство:

;

t = , получим неравенство: ;

;

,

делаем обратную замену:

.

Ответ:

3)Графический метод.

Пример 3. Решить неравенство:

Ответ:

4)метод интервалов.

Пример 4. Решить неравенство:

;

;

Нули функции: ;

Ответ:

Устные упражнения

Решить неравенства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ();

6) ;

7) ;

8)

9) ;

10) .

Тренировочные упражнения

Решить неравенства:

1) (нет корней);

2) ();

3) ();

4) ();

5) ();

6) ();

7) ();

8) ;

9) .

Задачи повышенной сложности

1) ;

2) ;

3)

4)

5)

6)

Занятие 5. «Решение нестандартных уравнений».

Цель:

Изучить показательно-логарифмические уравнения, логарифмические уравнения с переменной в основании, показательно-степенные уравнения и методы их решения.

Ход урока:

1)Показательно-логарифмические уравнения.

Определение: Показательно-логарифмическим уравнением называется уравнение, у которого неизвестные уравнения входят в показатель степени и под знак логарифма. Показательно-логарифмические уравнения решают логарифмированием обеих частей уравнения, после чего получают логарифмическое уравнение при этом, так как в основании степени находится переменная, то часто учащиеся логарифмируют по переменному основанию. Такой подход может привести к потере корней. Рассмотрим этот случай на примере.

Пример 1. Решить уравнение: ОДЗ: > 0

Логарифмируем по основанию х:

;

;

Пусть ;

;

.

Ответ: .

Это же уравнение прологарифмируем по основанию 2:

Пусть

Ответ:.

Произошла потеря корня при переходе к основанию х, следовательно, при решении таких уравнений необходимо логарифмировать по постоянному основанию, чтобы не произошла потеря корня.

Тренировочные упражнения

1. ()

2. ()

3. ()

4. ()

2)Логарифмические уравнения с переменной в основании.

Это уравнение вида: , a(x)>0, a(x)≠1. Уравнение равносильно системе:

Пример 2. Решить уравнение: ОДЗ:

Ответ:

Тренировочные упражнения

1);

2);

3);

4);

5) ;

6)

.

3) Показательно-степенные уравнения.

Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени. Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) <0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) ^f(x) и а(х)^g(x) теряют смысл. То есть при переходе от к f(x) = g(x) при могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи, а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно. Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи.
1. . Корни этого уравнения являются корнями данного, если значения функций f(x) и g(x) от этих корней - целые числа одинаковой четности или дробные несократимые с нечетными знаменателями и одинаковой четности числителя.

2. . Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения, если значения функций f(x) и g(x) от этих корней положительны.
3. . Корни этого уравнения являются корнями данного, если они входят в область определения функций f(x) и g(x).

4. f(x)= g(x). Корни этого уравнения являются корнями данного, если они входят в область определения уравнения.

Пример 3. Решить уравнение:.
Решение.
По определению арифметического квадратного корня: ОДЗ: - 1 ≥ 0, ≥ 1.
1) - 1 = 0 или = 1, , это не решение.
2) - 1 = 1 ₁ = 2.
3) - 1 = -1 ₂= 0 не входит в ОДЗ.
4) ,

- корней нет.

Ответ: = 2.

Тренировочные упражнения:

1)

2)

3)

4) ()

Занятие 6. «Логарифмические неравенства с переменной в основании».

Цель.

Изучить логарифмические неравенства с переменной в основании.

Ход урока.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.

Пусть неравенство имеет вид:

Мы помним, что:

Если основание логарифма больше единицы , то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы , то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.

Чтобы не рассматривать эти два случая по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде:

Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:

если , то - знак неравенства сохраняется;

если , то - знак неравенства меняется на противоположный.

Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство: будет равносильно системе:

Последние четыре неравенства системы - ОДЗ исходного неравенства.

Пример 1. Решите неравенство .

Решение. ;

;

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство:

Решение:

Ответ:

Пример 3. Решите неравенство .

Решение:

Решение первого неравенства последней системы - объединение промежутков . Пересечением решений трех оставшихся неравенств является множество . Следовательно, решение всей системы:

Ответ: .

Тренировочные упражнения

1) ;

2) ;

3)

4)

5)

6)

Занятие 7. «Задания из части С ЕГЭ».

Цель.

Подготовить к решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств, которые встречаются на едином государственном экзамене.

Рассмотрим некоторые виды части С.

Пример 1. Решить систему неравенств:

Пусть тогда:

,

,

,

,

ОДЗ:

1) если

С учетом ОДЗ:

2) если

Объединив оба случая, получим:

Теперь решим следующую систему:

Откуда решением будет: .

Ответ: .

Пример 2. Решить систему:

ОДЗ: .

1)

.

2)

3. Объединяем решения первого и второго неравенства.

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение: .

;

;

;

;

Ответ: .

Пример 4. При каждом значении а решите систему:

.

Решение. Пары (х;у), дающие решение системы, должны удовлетворять условиям:

Из второго уравнения системы находим . Осталось заметить, что тогда .

Уравнение при условии и имеет при решение . тогда и из полученной системы находим .

Ответ: при решений нет, при

Тренировочные упражнения:

1. При каждом а решите систему уравнений:

;

;

3. Решить систему:

;

4. Решить неравенство:

.

Занятие 8. «Контрольная работа».

Цель: контроль качества усвоения изученного материала и самостоятельной работы учащихся.

Ход урока.

Данная контрольная работа проверяет знания и умения учащихся по теме: «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства». Работа проводится в форме теста, применяемого, в ЕГЭ до 2010 года и состоит из двух вариантов. В каждом варианте по 8 заданий, разбитые на три вида: А, В, С. Часть А состоит из 4 заданий, В из 3, а в части С два задания.

При этом решение оформляется кратко, по необходимости, или вообще выполняется устно. Подробное решение записывается только у заданий части С.

Критерии оценки:

«3» - правильно выполнена часть А и хотя бы одно задание части В;

«4» - правильно выполнены части А и В;

«5» - правильно выполнены все части работы.

На все части контрольной работы даны ответы.

Вариант 1.

При выполнении заданий А1 - А4 обведите номер правильного ответа.

А1. Указать промежуток, которому принадлежат все корни уравнения

А2. Решить неравенство:

А3. Укажите промежуток, принадлежат все корни уравнения:

.

А4. Решить неравенство .

Ответом к заданиям В1 - В3 должно быть некоторое число. Это число надо записать в ответ.

−авенство инадлежат все корни уравнения ний. нения с переменной в основании.

ием их решения, так же

В1. Решить неравенство: .

В2. Решить неравенство:

В3. Решить неравенство:

Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение.

C1. Решить систему:

Ответы 1 вариант:

А1. 4;

А2. 3;

А3. 2;

А4. 4;

В1. ;

В2. ;

В3. ;

С1. .

Вариант 2.

При выполнении заданий А1 - А4 обведите номер правильного ответа.

А1. Указать промежуток, которому принадлежат все корни уравнения

А2. Решить неравенство:

А3. Укажите промежуток, принадлежат все корни уравнения:

.

А4. Решить неравенство .

Ответом к заданиям В1 - В3 должно быть некоторое число. Это число надо записать в ответ.

−авенство инадлежат все корни уравнения ний. нения с переменной в основании.

ием их решения, так же

В1. Решить неравенство:.

В2. Решить неравенство:

В3. Решить неравенство:

Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение.

C1. Решить систему:

Ответы 2 вариант:

А1. 4;

А2. 3;

А3. 3;

А4. 3;

В1. ;

В2. ;

В3. ;

С1. .

Литература

1. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Алгебра и начала анализа. [Текст]: Учеб. для 10 - 11 кл. общеобразовательных учреждений. - 8 изд. перераб. - М.: Просвещение, 2000. - 384с.

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10 - 11 класс. [Текст]: учебник для общеобразовательных учебных заведений. - 4-е издание стереотип. - М.: Дрофа, 2002. - 400с.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев - Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 классов. [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 288с.

4. ЕГЭ 2013. Математика. Задачи С3. Уравнения и неравенства [Текст] / Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. - 4 изд., стереотип. - М.:МЦНМО, 2013. - 80с.

5. ЕГЭ 2013. Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий [Текст]/ авт.-сост. И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. - М.: АСТ: Астрель, 2013. - 123с.

6. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. [Текст]/ под. ред. А.Н. Колмогорова: - 17-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 384с.

7. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия [Текст]: учебное пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. институтов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: «ABF», 1995. - 352с.

8. Лихтарников Л.М., Поволоцкий А.И. Основы математического анализа. Книга для учителей математики старших классов средних школ. [Текст]/ Оформление обложки А. Олексенко, С. Шапиро. - СПб.: Издательство Лань, 1997. - 304с.

9. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты: учебно-методическое пособие [Текст]/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион, 2013. - 144с.

10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 - 11 класс: В двух частях, часть 1. [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003. - 375с.

11. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс: В двух частях. Часть 1. [Текст]: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) - М.: Мнемозина, 2007. - 287с.

12. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа 11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений профильный уровень [Текст]/ М.Я. Пратусевич, К.М. Столбов, А.Н. Головин. - М.: Просвещение, 2010. - 400с.

13. Рыжик В.И., Черкасов Т.Х. «Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу» 10 - 11 класс. [Текст]: учебное пособие для профильной школы. - СПб: СМИО Пресс, 2013 - 432с.

14. Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства [Текст]: учебное пособие. - М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. - 352с. - (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»).

15. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса [Текст]/ М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 424с.

Интернет ресурсы:

16. Аналитический отчет о результатах ЕГЭ 2012года. ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL: fipi.ru/view/sections/138/docs/ (дата обращения: 7.04.13).

17. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году ЕГЭ. [Электронный ресурс] / Федеральный институт педагогических измерений. URL: fipi.ru/view/sections/226/docs/627.html (дата обращения: 3.04.13).

18. Статистические информационно - аналитические материалы ЕГЭ - 2012. [Электронный ресурс] / Республиканский информационный центр оценки качества. - URL: ricoko.ru/?page_id=2213 (дата обращения: 7.04.13).