Разработка внеурочного занятия по геометрии в 8 классе по теме Средние линии трапеции

Методическая разработка

занятия по геометрии в 8 классе по теме

«Трапеция. Средние линии трапеции.»

Учитель: Левина Наталья Александровна

Методические комментарии. Геометрии отводится ведущая роль в формировании дедуктивного стиля мышления. Значительная роль в развивающей функции обучения отводится усвоению, открытию и доказательству теорем наряду с разнообразием геометрических задач. Одним из важных направлений в психолого-педагогических исследованиях, посвященных методам обучения математики, является «проблемное обучение». Существенным условием проявления проблемного обучения является исследовательский характер работы учащегося в процессе обучения. Деятельность учащихся должна быть так организована, чтобы ученик был активным, самостоятельным, решал задачи, требующие не только знания, но и определенной сообразительности и догадки.

Знания, полученные ранее в теме «Четырехугольники. Площадь четырехугольников» позволяют это сделать. В подростковом возрасте ведущей деятельностью учащихся является деятельность общения в процессе обучения. Для организации такой деятельности учитель предлагает учащимся включиться в поиск новых фактов и способов доказательства этих фактов: каждому ученику предлагается канва занятия, которую учащиеся заполняют в течении занятия. В ходе такой деятельности развивается любознательность, интерес к математике, формируются универсальные учебные действия: обобщение, абстрагирование, синтез. Познавательная деятельность направлена на познание системы отношений в процессе отыскания различных методов, приёмов доказательства теорем и решения практических задач.

Технологическая карта занятия

Тема занятия: Трапеция. Средние линии трапеции.

Тип занятия: Систематизация знаний, изучение нового материала.

Оборудование: Компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

Цели занятия:

Предметные:

1) обобщить и систематизировать знания учащихся о свойствах трапеции

2) открыть и доказать новые свойства трапеции

3) узнать приемы дополнительных построений при решении задач на трапецию

Метапредметные :

1) умение самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи в учебе;

2) умение выдвигать гипотезы при решении задачи и понимать необходимость их проверки;

3) устанавливать причинно - следственные связи, проводить доказательные рассуждения и делать выводы;

4) формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать, классифицировать, используя разные основания .

Личностные :

1) готовность и способность к саморазвитию на основе мотивации к обучению и познанию;

2) развивать познавательный интерес к математике;

3) развивать критичность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач и доказательстве математических утверждений.

Планируемые результаты:

1) учащийся узнает о приёмах дополнительных построений при решении задач на трапецию и научится применять их при доказательстве теорем и решении задач;

2) учащийся научится применять свойство отрезка, соединяющего середины боковых и середины оснований при решении задач;

3) учащийся узнает теорему Эйлера, новые свойства средней линии трапеции;

4) учащийся систематизирует свои знания о свойствах трапеции.

Основные понятия: Свойство средней линии трапеции; формулы вычисления площади трапеции; прямая Эйлера; свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции; свойство отрезка, соединяющего середины оснований трапеции;

Организационная структура занятия.

1. Ориентировочно - мотивационная часть

1) Этап мотивации

2) Этап постановки учебной задачи

2. Операционно - познавательная часть

1) Подготовка к восприятию (устная работа в парах и фронтально)

2) Восприятие (практическая работа, доказательство свойств)

3) Осознание, осмысление (доказательство теоремы разными способами)

4) Закрепление, применение (ключевые задачи, тест)

3. Рефлексивно - оценочная часть

1) Подведение итогов

2) Планирование дальнейшей учебной деятельности

3) Домашнее задание

Ход занятия

1. Мотивационно - ориентировочная часть занятия

Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели и задач.

1.1 Организационный этап: Здравствуйте! Сегодня на занятии мы будем работать тетрадях и с выданным раздаточным материалом. В тетрадях запишите число, занятие по геометрии. Лист «Приложение №2» подпишите.

1.2.Установление происхождения темы: Трапеция. Средние линии трапеции.

Неделю назад к этому занятию вам было выдано задание №4 :1) решить задачу№1; 2) выписать все теоретические положения о трапеции, которые вам известны. Сдайте листы.

• Учащиеся сдают задание, выполненное на листах.

• Работают в парах, проверяют решение задачи №1.

Задача№1 В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, меньшее основание равно 3, а большее 5. Найти площадь трапеции.

• Ответ :16

31) S = 0,5(BC + AD)*BK, BC + AD = 8

2) KH = 3, AK =DH = 1

3) ∆ACD = ∆DBA (по трем сторонам), то

˂CAD =˂BDA

54) ∆AOD - равнобедренный и прямоугольный,

˂ODA=45°

5 )∆BKD -прямоугольный, равнобедренный, то BK = KD

6) BK= 3 + 1= 4, S = 0,5*8*4 = 16

1.3.Мотивация учебной деятельности: Решите устно задачи

Задача №1

1) Основания трапеции равны 14 и 42. Найти больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

2) Найти площадь равнобедренной трапеции, боковая сторона которой равна 5, а высота и меньшее основание равны 4.

3) Углы при основании трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 1. Найти основания трапеции.

• Учащиеся фронтально решают устно задачи

№

14

41.1 №1.2 №1.3

4

5

5

85°

5°

42

Ответ: 21 Ответ: 28 Ответ:?

• Учащиеся затрудняются в решении третьей задачи.

1.4. Постановка целей урока. Почему вы не можете решить эту задачу. Ведь не случайно она включена в список устных задач? Наверное есть свойства трапеции, о которых нам неизвестно. Какие задачи можно поставить на этом уроке?

• Узнать свойства трапеции, связанные со средними линиями, т. е. Отрезками, соединяющими середины боковых сторон и середины оснований трапеции.

• Свойство средней линии трапеции, соединяющей боковые стороны трапеции нам известно.

Итак, тему урока можно обозначить так: Трапеция. Средние линии трапеции.

2. Операционно - познавательная часть занятия

2.1 Актуализация знаний

Заполните таблицу в листе «Приложение №2» самостоятельно, а затем проверьте свое решение в парах.

• Учащиеся решают тест и приходят к необходимости доказать свойство: Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен

полуразности оснований трапеции.

• Во фронтальной работе учащиеся доказывают данное свойство.

С

М

В

Д

А

N

Необходимы дополнительные построения для доказательства свойства. Вспомним какие дополнительные построения в трапеции помогают решать задачи. Обратимся к материалам проекта «Дополнительные построения в трапеции»

• Учащиеся работают с Приложением №3 «Дополнительные построения в трапеции»

2.2 Изучение нового материала

• Учащиеся предлагают построить прямые параллельные боковым сторонам трапеции через середину меньшего основания.

• Во фронтальной работе учащиеся доказывают данное свойство.

C

M

A

D

N

K

T

1) МК ׀׀ АВ, МТ׀׀ СД, то ˂МКТ + ˂МТК = 90° и ˂КМТ = 90°;

2) АN = NД, АК = ВМ и ТД = МС, тогда КN = NT;

3) МN - медиана треугольника КМТ, проведенная из вершины прямого угла, то МN равна половине гипотенузы КТ;

4) КТ = АД - АК - ТД = АД - (ВМ + МС) = АД - ВС

5) МN = 0,5КТ = 0,5(АД - ВС)

2.3 Применение изученного материала

Теперь можно решить устно задачу: Углы при основании трапеции равны 85° и 5°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 1. Найти основания трапеции.

a

b

1) Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, равна 11, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 1;

2) По свойству средней линии трапеции 0,5(а + в) = 11;

3) По свойству отрезка, соединяющего середины оснований 0,5(а - в ) = 1

4) а + в= 22, а - в = 2, то а = 12, в = 10

2.4 Контроль и коррекция знаний

Работа в пара. Какие теперь виды трапеций можно определить? Разделите все трапеции на четыре группы и определите отличительное свойство этой группы.

• Произвольные трапеции.

• Прямоугольные трапеции. Высота прямоугольной трапеции является боковой стороной трапеции.

• Равнобедренные трапеции. Диагонали и углы при основании равнобедренной трапеции равны.

• Трапеции, в которых сумма углов при одном основании равна 90°. Отрезок, соединяющий середины оснований равен полуразности оснований трапеции.

Работа в учебных четверках. Решите задачу на один из видов трапеции.

1) В трапеции АВСД отрезки АД и ВС основания, угол А равен 67°, угол Д равен 23°, средняя линия равна 10,5см, а отрезок, соединяющий середины отрезков АД и ВС равен 3,5см. Найти наибольшее основание. (ответ :7см и 14см)

2) В трапеции АВСД отрезки АД и ВС основания, угол А равен 70°, угол Д равен 20°, средняя линия равна 24см, а отрезок, соединяющий середины отрезков АД и ВС равен 12см. Найти наименьшее основание. (ответ :12см и 36см)

3) В трапеции сумма углов при одном из оснований равна 90°, отрезки соединяющие середины оснований и боковых сторон равны 3,5 и 17,5. Найти основания трапеции.

(ответ: 21 и 14)

4) Основания равнобедренной трапеции равны 30см и 40см, а диагональ 37см. Найти площадь трапеции.

(Ответ: 420см²)

5) Найдите площадь равнобедренной трапеции, меньшее основание которой равно 10см, боковая сторона - 6см, а угол при меньшем основании - 120°.

(Ответ: 39√3 см²)

6 )Основания равнобедренной трапеции равны 11см и 17см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

(Ответ: 196см²)

7) Основания прямоугольной трапеции равны 6см и 10см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшая диагональ является биссектрисой прямого угла трапеции.

(Ответ: 48см²)

• Учащиеся решают задачу в парах, затем проверяют решение в своей четверке и открывают свой ответ на зашифрованном табло.

14

48

21и 14

39√3

420

196

12

• На оборотной стороне откроется тема урока: m=1/2(a+b), n= 1/2(a - b)

3. Рефлексивно - оценочная часть занятия

3.1 Планирование дальнейшей учебной деятельности.

Каким общим свойством обладают все трапеции? Это свойство связан со средней линией трапеции.

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

• Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями

• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований трапеции.

• Теорема Эйлера: точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

Чтобы решать более сложные задачи, нужно проверить и доказать эти свойства трапеции. Это и будет план учебной деятельности на последующих уроках.

3.2 Рефлексия учебной деятельности на занятии

Подведем итоги занятия. Продолжите высказывания:

1) Самым интересным для меня было...

2) Я получил(а) полезную информацию о том, что...

3) Я хотел(а) бы еще узнать...

4) Мне понравилось...

5) Мне не понравилось…

3.3 Задание на длительное время:

Контрольные вопросы

1) Определение трапеции.

2) Виды трапеций

3) Средняя линия трапеции. Ее свойство.

4) Площадь трапеции.

5) Теорема Пифагора.

6) Какие еще свойства трапеции тебе известны?

Задачи.

1) В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, меньшее основание равно3, а большее 5. Найти площадь трапеции.

2) Найти площадь трапеции, если ее основания равны 6 и 27, а боковые стороны 13 и 20.

3) В равнобедренной трапеции АВСД большее основание АД равно 22, а боковая сторона равна 10. Диагональ АС делит угол А пополам. Найти площадь трапеции.

4) Найти площадь равнобедренной трапеции, если угол при большем основании равен 60°. Средняя линия трапеции равна 4см, одно основание больше другого на 4 см.

5) Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма ее оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

6) Диагонали трапеции АС и ВД пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 9, а площадь треугольника АОД равна 16. Найти площадь трапеции АВСД.

7*) Доказать свойства средних линий трапеции:

1) Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный между основаниями

2) Теорема Эйлера: точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой (проверить практическим путем).

3) Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности оснований трапеции

4) Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований трапеции (вторым способом).

Приложение№2

Мозговой штурм «Трапеция. Неизвестное об известном»

Выясните, верно ли утверждение.

1

Фамилия, имя

Ответ

2

Умозаключение

Изображение (при необходимости)

да

нет

не знаю

3

Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник - трапеция

4

Средняя линия трапеции параллельна основаниям

5

Сумма углов любой трапеции равна 360°

6

Сумма углов при любой стороне трапеции равна 180°

7

Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная

8

Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований

9

Площадь трапеции равна произведению ее основания на высоту

10

Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10

11

Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, заключенный

между основаниями трапеции

12

Точки пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, диагоналей трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

13

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции.

14

Если сумма углов при одном основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен

полуразности оснований трапеции.

15

Всего

Приложение №3

Дополнительные построения в трапеции при решении задач