Экономический колледж

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

по разделу «Дифференциальное исчисление»

преподаватель математики

Бельгибаева Гульнара Аскербековна

Материалы для практикума

ТЕМА 1.Использование понятия производной для решения задач по экономической теории.

Пусть µ= µ(t)-обьем продукции, произведенной за время t, тогда относительное приращениеявляеться средней производительностью за время .

Производная µ(t)= называется производительностью в момент времени t.

Задача. Зависимость объема произведенной рабочим продукции от времени t задается формулой µ(t)= 10- .

Найти производительность труда рабочего через 2 часа и через 10 часов после начала работы.

Решение.Из экономического смысла производной производительность равна

µ(2)= |= =1,25;

µ(10)= |= =0,139

Задача 1. Объем продукции u (усл. ед.) цеха в течение рабочего дня представляет функцию u = -t³ - 5t²+ 75t+ 425, где t- время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Задача 2. Зависимость объема между произведенной рабочим продукции от времени t задается формулой µ(t)= 15- .

Найти производительность труда рабочего через 3 часа и через 10 часов после начала работы.

Задача 3. Объем продукции u, произведенной бригадой рабочих может быть описан уравнением u = -5t³+45t²+600t+300 (ед.), 1, где t рабочее время в часах. Вычислить производительность труда бригады за рабочее время.

Задача 4.Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции ув течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t - 16,

t- время, ч.

Задача 5. Вычислить производительность труда во время первых 4 часов работы, если объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией

у = -t³ +10t² +40t - 16, t- время, ч.

Задача 6-14. Вычислить производительность труда во время первых t часов работы, если объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией.

Задача 6.

у = -2t² +10t+50, 1 ≤ t ≤ 5, t- время, ч.

Задача 7.

у = -3t³ +20t² +100t - 6, 1 ≤ t ≤ 3, t- время, ч.

Задача 8.

y=-2t+10t²+20t, 1 ≤ t ≤ 6, t- время, ч.

Задача 9.

y=5t²+10t³+100t, 1 ≤ t ≤ 4, t- время, ч.

Задача 10.

y=-4t³+20t²+40t+2, 1 ≤ t ≤ 8, t- время, ч.

Задача 11.

y=5t³+30t²+10t, 1 ≤ t ≤ 2, t- время, ч.

Задача 12.

y=4t³+20t²+20t, 1 ≤ t ≤ 7, t- время, ч.

Задача 13.

y=-t³+20t²+40t, 1 ≤ t ≤ 5, t- время, ч.

Задача 14.

y=-5t³+10t²+=50, 1 ≤ t ≤ 3, t- время, ч.

Задачи на эластичность функции.

Эластичностью функции y = в точке x называется предел

(y)==· = · . (1)

Смысл эластичности заключается в следующем, если переменная x получает приращение на 1%, то зависимая переменная получает приращение на%.

Задача. Для функции спроса D(p) =40 - 2p.Найти - эластичность спроса по цене - при p = 4.

Решение.По формуле (1) имеем = . Так как D (4) = 32, D' (4) = -2, то |p=4| = · 4 = - 0,25. Это означает, что если цена возрастет на 1%, то спрос на товар упадет на 0,25%.

Задача 1. Зависимость между себестоимостью и продукции y (тыс.тг) и выпуском продукции x (млрд.тг) выражается функцией y = - x+160. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции равном 600(млн.тг.)

Задача 2. Для функции спроса D(p) =7 - p, при p = 2. Найти эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задача 3. Пусть функция спроса имеет вид = 100-5x, 0 < x < 20. Требуется найти эластичность спроса относительно цены.

Задача 4.Опытным путем установлены функции спроса D = и предложение S = p+0,5, где D и S количество товара покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p- цена товара. Найти а) равновесную цену(D=S); б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задача 5. Функции спроса D и предложения S от цены p выражается соответственно уравнениями D(p) = 10-3p и S = p+2. Найти а) равновесную цену(D=S); б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задача 6. Опытным путем установлены функции спроса D = и предложение S = p+5, где D и S количество товара покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p- цена товара. Найти а) равновесную цену(D=S); б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задача 7. Функции спроса D и предложения S от цены p выражается соответственно уравнениями D(p) = 100-20p и S = p+2. Найти а) равновесную цену(D=S); б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задача 8. Опытным путем установлены функции спроса D = 200- 4p и предложение S = p+1, где D и S количество товара покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p- цена товара. Найти а) равновесную цену(D=S); б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задача 9.Функции спроса D и предложения S от цены p выражается соответственно уравнениями D(p) = 100-5p и S = p+8. Найти а) равновесную цену(D=S); б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задача 10. Пусть функция спроса имеет вид , предложение S=p+4. . Найти

а) равновесную цену(f=S); б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

Задачи на предельные издержки производства.

Издержки производства y рассматривается как функция количества выпускаемой продукции x. Пусть ∆x- прирост продукции, тогда ∆y- приращение издержек производства;

- среднее приращение издержек производства на единицу продукции.

Производная y' = - предельные издержки производства,

характеризующие приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогично определяются предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность др. предельные величины.

Задача.Зависимость между издержками производстваy и объемом выпускаемой продукции xвыражается функциейy=50x-0,05x³( ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение.Функция средних издержек (на ед.продукции) есть отношение = = 50- 0,05x²

При x=10, = 50- 0,05 · 10² = 45(ден. ед)

Функция предельных издержек есть производная y'(x) = 50- 0,15x²

При x = 10, предельные издержки составят y' (10) = 50 - 0,15 · 10² =35(ден.ед.)

Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, то есть дополнительные затраты на производство дополнительные единицы продукции при данном уровне производства (10 ед.), составляет 35 ден.ед.

Задача 1. Пусть издержки производства заданы формулой y = 10x - 0,02x³ (ден.ед.) определить предельные издержки, если объем производства составляет 3 условные единицы продукции.

Задача 2. Зависимость между издержками производства y(ден.ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией y = 40x - · x² (ден.ед.). Определить предельные издержки, если объем производства составляет 5 условных единиц продукции.

Задача 3.Пусть издержки производства заданны формулой y = 40x - 0,02x³(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции в 6 единиц.

Задача 4. Зависимость между издержками производства y(ден.ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией y = 30x -0,01· x³ (ден.ед.). Определить предельные издержки, если объем производства составляет 4 условных единиц продукции.

Задача 5. Пусть издержки производства заданны формулой y = 90x - 0,04x³(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции в 3 единицы.

Задача 6.Пусть издержки производства заданы формулой y = 20x - · x³ (ден.ед.) определить предельные издержки, если объем производства составляет 2 условные единицы продукции.

Задача 7.Зависимость между издержками производства y(ден.ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией y = 10x -0,04 · x³ (ден.ед.). Определить предельные издержки, если объем производства составляет 5 усл. ед. продукции.

Задача 8. Пусть издержки производства заданны формулой y = 100x - 0,03x³(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции в 3 единицы.

Задача 9. Пусть издержки производства заданны формулой y = 80x - 0,04x²(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции в 5 единиц.

Задача 10. Зависимость между издержками производства y(ден.ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией y = 20x -0,08 · x³ (ден.ед.). Определить предельные издержки, если объем производства составляет 4 усл. ед. продукции.

Тема 2.Приложение производной. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Задача I Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х³+98х²+200х.

Решение : Удельные затраты составят К/х=-х²+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х²+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимальны, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача II.

Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансового накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Решение: Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Задача1.

Функция полных издержек производства имеет вид , где - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства имеют наименьшее значение.

Задача2

Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью км/ч, составляет тен/ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наименьшей?

Задача 3. Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В - 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим? Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 - х) = 100х + 6000

Задача 4 Функция полных издержек производства имеет вид у=2х³-3х²+15, где - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства имеют наименьшее значение..

Задача5.Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью км/ч, составляет р=v²+40v+100 тен/ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

Задача 6. Функция полных издержек производства имеет вид у=х³-6х²-7х, где - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства имеют наименьшее значение.

Задача7.Цементный завод производит Х т цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 80 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

Задача 8. Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,05х³+1200x-7000.Исследовать потенциал предприятия.

Задача 9 Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью км/ч, составляет р=10v-18 v²-2 v³- тен/ч. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

Задача10. Функция полных издержек производства имеет вид у=х³-12х²+36х, где - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства имеют наименьшее значение