Пособие для учащихся Справочные материалы по математике, 6 класс

Содержание

§ 1. Отношения ………………………………………………………………………1

§ 2. Пропорция…………………………………………………………………….......1

§ 3. Прямо пропорциональные величины ………………………………………….1

§ 4. Обратно пропорциональные величины ………………………………………..1

§ 5. Масштаб ..……………………………………………………………………........2

§ 6. Множество и его элементы. Пересечение и объединение множеств ………..2

§ 7. Положительные и отрицательные числа ………………………………………3

§ 8. Координатная прямая …………………………………………………………...3

§ 9. Противоположные числа. Рациональные числа ……………………………….4

§ 10. Модуль числа ………………………………………………………….. ………4

§ 11. Сравнение рациональных чисел………………………………………………..4

§ 12. Сложение чисел с одинаковыми знаками……………………………………..5

§ 13. Сложение чисел с разными знаками …………………………………..……...5

§ 14. Вычитание. Длина отрезка на координатной прямой………………………..5

§ 15. Умножение ……………………………………..………………………………5

§ 16. Деление …………………………………………………..……………………..6

§ 17. Десятичные приближения обыкновенной дроби …………………………....6

§ 18. Сложение и вычитание приближённых чисел………………………………..7

§ 19. Умножение и деление приближённых чисел ………………………………...7

§ 20. Числовое значение буквенного выражения ……………………...…………..8

§ 21. Преобразование буквенных выражений ……………………………………...8

§ 22. Уравнение. Корни уравнения. Свойства уравнения …………………………9

§ 23. Линейное уравнение с одной переменной …………………………………..10

§ 24. Числовые неравенства …………………………………………………………….10

§ 25. Свойства числовых неравенств .……………………………………………...11

§ 26. Сложение и вычитание числовых неравенств …..………………………….11

§ 27. Умножение и деление числовых неравенств ……………………………….11

§ 28. Числовые промежутки ………..………………………………………………11

§ 29. Решение линейных неравенств с одной переменной ……………………....14

§ 30. Пересекающиеся прямые ……..…………………….......................................14

§ 31. Перпендикулярные прямые. Расстояние от данной точки до прямой ……15

§ 32. Параллельные прямые ……………………………………………………….16

§ 33. Координатная плоскость. Построение точки по её координатам …….…..16

Соловьёв В.А.

Справочник

6 класс

Математика. Готовься к экзаменам

Справочные материалы

по курсу математики 6 класса

Издание второе, дополненное

(по учебнику «Математика, 6», 2015 г.)

2015 г.

Точка пересечения оси абсцисс с осью ординат называется началом координат. Начало координат обозначается буквой О. Абсцисса и ордината заданной точки называются координатами точки.

17

1) из точки С опустить перпендикуляр СD на прямую АВ;

2) измерить длину перпендикуляра: СD = 2 см.

Значит, по рисунку 4 расстояние от точки С до прямой АВ равно 2 см.

Смежные стороны квадрата; прямоугольника являются взаимно перпендикулярными отрезками.

Рис. 14

§ 32. Параллельные прямые

Две прямые, лежащие на плоскости, могут пересекаться и не пересекаться. Чтобы две прямые пересекались, у них должна быть одна общая точка.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Для обозначения параллельности прямых используется знак ||.

Запись а || в читается: «прямая а параллельна прямой в».

Отрезки, лежащие на параллельных прямых, параллельны между собой: k || l.

Рис. 15

Так как отрезок АВ лежит на прямой k, отрезок СD лежит на прямой l, то отрезки АВ и СD - параллельны: АВ || СD.

Основное свойство параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной прямой.

§ 33. Координатная плоскость. Построение точки по её координатам

Чтобы определить место точки на плоскости, надо составить прямоугольную систему координат из двух взаимно перпендикулярных координатных прямых, пересекающихся в точке - начале отсчёта.

Две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О - начале отсчёта, образуют прямоугольную координатную систему.

Значит, координатная система - это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, имеющие общее начало отсчёта и одинаковые единичные отрезки.

Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.

Координатные прямые называют координатными осями. Горизонтальная координатная прямая называется осью абсцисс (Ох) и обозначается буквой х. Вертикальная координатная прямая называется осью ординат (Оу) и обозначается буквой у.

16

§ 1. Отношения.

Частное двух чисел называется отношением этих чисел.

Отношение двух чисел показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго.

С помощью букв отношение двух чисел записывают так: а : в или.

Читают: отношение чисел а и в или отношение числа а к числу в, где а - предыдущий член, а в - последующий член.

Если члены данного отношения переставить местами, то получив­шееся отношение называют обратным для данного отношения.

Отношения и - взаимно обратные.

Так как отношение - это частное, то и выполняется основное свой­ство частного и для отношения.

Отношение не изменятся, если оба члена отношения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

§ 2. Пропорция

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Основное свойство пропорции: В пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

Например: 3 : 5 = 6 : 10, 3 и 10 - крайние члены пропорции, 5 и 6 - средние члены пропорции. Значит: 3 ∙ 10 = 5 ∙ 6 = 30.

§ 3. Прямо пропорциональные величины

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

С помощью букв прямая пропорциональность записывается так: где

и - значения одной величины, а и- значения другой величины.

Свойство прямой пропорциональности величин:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

§ 4. Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

С помощью букв прямая пропорциональность записывается так: 1

Свойство обратно пропорциональных величин:

Произведение двух соответствующих значений обратно пропорциональных величин - число постоянное.

§ 5. Масштаб

Рис. 16

Допустим, что нас интересует, как будут расположены комнаты квартиры в строящемся доме. Для этого можно посмотреть план квартиры (рис. 16). На плане все размеры уменьшены в одно и то же число раз. Во сколько раз размеры в действительности больше размеров на плане, показывает масштаб плана. На рисунке сделан план в масштабе 1 : 100. Это означает, что все размеры в действительности в 100 раз больше, чем соответствующие размеры на плане. Например, если на плане длина прихожей равна 6,4 см, то в действительности эта длина равна

6,4 ∙ 100 = 640 (см), т.е. 6,4 м.

Масштаб 1: 5000 означает, что длина любого отрезка в действительности в 5000 раз больше, чем длина соответствующего отрезка на плане. Длина на плане и соответствующая ей длина в действительности - это пропорциональные величины: отношение длины на плане к соответствующей длине в действительности - число постоянное.

Большие территории, например государства или части света, изображаются на географических картах. На картах все размеры также уменьшены в одно и то же число раз. Это показывает масштаб карты, например 1: 100 000 и др.

§ 6. Множество и его элементы. Пересечение и объединение множеств

Множество представляет собой объединение некоторых объектов предметов или понятий в единую совокупность по каким-либо общим для них свойствам (признакам) или законам. Например, множество звёзд на небе, множество букв на странице книги.

Множества состоят из элементов.

Множество принято обозначать прописными латинскими буквами, а его элементы записывать в фигурных скобках. Например, если множество букв в слове планета обозначим буквой Р, а его элементы буквами: п, л, а, н, е, т, тогда запись множества Р с перечислением его элементов выглядит так: Р = {а; п; н; л; е; т} или

Р = { п; н; л; е; а}, т. е. элементы множества можно писать в любом порядке.

Если элемент встречается дважды и более, то он считается как один.

Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множество цифр А - конечное множество, в него входит 10 элементов. А = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Запишем, указав число элементов множества А: п (А) = 10.

2

На рисунке 10 изображены углы, образованные при пересечении двух прямых

а и в на плоскости. Это: 1, 2, 3 и 4.

Рис. 10

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

1 и3 - вертикальные углы; 2 и4 - вертикальные углы.

Вертикальные углы равны.

§ 31. Перпендикулярные прямые. Расстояние от данной точки до прямой

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Перпендикулярность прямых обозначается знаком .

Запись АВСВ читается: «прямая АВ перпендикулярна прямой СВ».

Перпендикулярные прямые делят плоскость на четыре прямых угла.

Научимся строить перпендикуляр к прямой через точку, не лежащую на данной прямой. Пусть дана прямая АВ и точка С, не лежащая на ней. Чтобы из точки С опустить перпендикуляр на прямую АВ:

1) чертим прямую АВ (рис. 11);

2) располагаем чертёжный треугольник так, чтобы одна его сторона совпала с прямой АВ, а вторая его сторона проходила через точку С;

3) по стороне чертёжного треугольника, проходящей через точку С, надо провести отрезок СВ до пересечения с прямой АВ. Отрезок СD является перпендикуляром, опущенным из точки С на прямую АВ.

Пишут: СDАВ.

Точка D называется основанием перпендикуляра.

Этим способом строится перпендикуляр к пря мой АВ, когда точка D лежит на этой прямой (рис. 12).

К прямой из заданной точки можно провести только один перпендикуляр.

Длина перпендикуляра - это кратчайшее расстояние от точки

С, не лежащей на данной прямой, до данной прямой АВ (рис. 13). СD > СЕ > СF, СF АВ.

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.

Например, чтобы найти расстояние от точки С до прямой АВ, надо (рис. 14):

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

15

Рис. 8

Объединение двух числовых промежутков.

Каждое число из промежутка [- 2; 6] может принадлежать хотя бы одному из промежутков [- 2; 3] или [1; 6] либо обоим промежуткам (рис. 9).

Рис. 9

В этом случае промежуток [- 2; 6] называют «объединением» промежутков

[- 2; 3] и [1; 6]. Обозначают: [- 2; 3][1; 6] = [- 2; 6].

§ 29. Решение линейных неравенств с одной переменной

Неравенства вида ах > в или ах < в называют линейными неравенствами с одной переменной, где а и в - некоторые числа, х - переменная, числовое значение которой обращает заданное неравенство в верное неравенство.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство - значит найти множество его решений или доказать, что их нет. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, так же считаются равносильными.

Неравенство преобразуется в равносильное ему неравенство, если:

1) слагаемое из одной части неравенства перенести в другую с противоположным знаком;

2) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число;

3) обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

§ 30. Пересекающиеся прямые

Если на плоскости (на тетрадной странице) обозначим две точки А и В, соединим их с помощью линейки, то получим отрезок АВ. С помощью линейки продолжим отрезок в обе стороны и получим прямую АВ. Значит, через две точки А и В на плоскости проводится только одна прямая АВ. Прямая бесконечна

Мы знаем, что прямая обозначается двумя заглавными (прописными) латинскими буквами, но можно прямую обозначить и одной строчной латинской буквой (а, в, с, , ...).

Прямые, которые имеют только одну общую точку, называются пересекающимися.

При пересечении двух прямых на плоскости образуется четыре угла с общей

14 вершиной (не считая развёрнутых углов).

Множество натуральных чисел N - бесконечное множество.

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называют пустым множеством. Обозначение пустого множества: . Например, множество букв на чистой странице тетради - пустое множество.

Если элемент а принадлежит множеству В, то пишут аВ. Читают: «а - элемент множества В» или «а принадлежит множеству В».

Если элемент с не принадлежит множеству А, то пишут сА. Читают: «с не принадлежит множеству А».

Например: 1) число 7 принадлежит множеству натуральных чисел: 7N;

2) число 0 не принадлежит множеству натуральных чисел: 0N.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А.

Например, множество А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Выделим из множества А те его элементы, которые являются чётными числами. Получим множество В = {2; 4; 6}. Все элементы множества В являются элементами множества А. Это обозначают так: ВА. Читают: «В - подмножество множества А».

Пустое множество считается подмножеством любого множества. Обозначают: А, где А - произвольное множество.

Если два множества состоят из одних и тех же элементов, то их называют равными множествами. Например, А ={а; в, с} и В {а; в; с}, тогда А = В. Читают: «множество А равно множеству В».

Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств. Обозначают так: АВ.

Например, А = {4; 9; 7; 13}, В ={2; 6; 7; 10; 13), АВ = {7; 13).

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересечением будет пустое множество. Обозначают: АВ = .

Объединением двух множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Объединение множеств А и В обозначают так: АВ. Например, А = {3; 5; 9; 14}; В = {3; 6; 9; 11}; АВ = {3; 5; 9; 14; 6; 11}; п (А) = 4; п (В) = 4.

§ 7. Положительные и отрицательные числа

Множество всех чисел делится на 3 класса: положительные числа, отрицательные числа и нуль.

§ 8. Координатная прямая

Координатная прямая - прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка О), единичный отрезок и направление. За положительное направление принимается направление вправо от нуля, за отрицательное направление - влево от нуля. Положительное направление указывается стрелкой, направленной вправо.

3

Каждому числу на координатной прямой соответствует только одна точка.

§ 9. Противоположные числа. Рациональные числа

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют

противоположными числами.

Противоположные числа изображаются на координатной прямой на одинаковом расстоянии от начала отсчёта, но в противоположных направлениях.

Для каждого числа есть только одно противоположное ему число.

Если одно из противоположных чисел имеет знак «+», то другое число имеет знак «-» и, наоборот, если одно из противоположных чисел имеет знак «-», то другое число имеет знак «+». Поэтому знаки «+» и «-» называются противоположными знаками. Тогда знаки «+» и «+», а также знаки «-» и «-» называются одинаковыми знаками.

Противоположные числа имеют противоположные знаки.

В общем виде: число - а противоположно числу а.

1) Число, противоположное положительному числу, есть число отрицательное.

Например, если а =14,2, то - а = - 14,2.

2) Число, противоположное отрицательному числу, есть число положительное.

Например, если - а = - 14,2, то - (- а) = - (- 14,2) = 14,2.

То есть, - (-а) = а.

Число 0 противоположно самому себе.

Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….

Числа, противоположные натуральным числам: - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, ….

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль составляют множество целых чисел. Множество целых чисел обозначают буквой Z.

Множество целых чисел - бесконечное множество.

Целые числа и дроби (положительные и отрицательные) составляют вместе множество рациональных чисел. Множество рациональных чисел обозначают буквой Q.

Множество рациональных чисел - бесконечное множество. Термин «рациональное число» произошёл от латинского слова rаtiо, что в переводе означает «отношение» (частное).

§ 10. Модуль числа

Модуль - это число без знака.

Значит модуль положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному числу, а модуль нуля равен нулю.

Например: ‌‌‌|+ 54| = 54; ‌‌‌| - 32, 7| = 32, 7; ‌‌‌| 0 | = 0; ‌‌‌|187| = 187.

§ 11. Сравнение рациональных чисел

4

Рис. 4

4. Изобразим на числовом промежутке множество решений неравенства х ≥ 8.

Множество решений данного неравенства показано на рисунке 5.

Рис. 5

Так как х ≥ 8 - нестрогое неравенство, то множество его решений на координатной прямой изображают лучом, куда включается и число 8. Такой числовой промежуток называют «лучом». Обозначают: [8; + ∞). Читают: «промежуток от 8 до плюс бесконечности, включая 8».

5. Изобразим на числовом промежутке множество решений неравенства х < 5. Множество решений данного неравенства показано на рисунке 6. Во множество решений данного неравенства входят числа от минус бесконечности (- ∞) до 5. Число 5 в решение неравенства не включается. Поэтому такой числовой промежуток называют «открытым лучом». Множество решений данного неравенства на числовом промежутке обозначают (- ∞; 5). Читают: «промежуток от минус бесконечности до 5».

Рис. 6

6. Решения неравенства - ∞ < х < ∞ - множество действительных чисел. Множество действительных чисел изображается всеми точками координатной прямой. Обозначают: (- ∞; +∞). Читают: «промежуток от минус бесконечности до плюс бесконечности». Это называют числовой прямой.

Два числовых промежутка между собой могут «пересекаться», «объединяться» или их пересечение может быть «пустым» множеством.

Пересечение двух числовых промежутков.

Например, [1; 4] - общая часть числовых промежутков [- 2; 4] и [1; 6] (рис. 7).

Рис.7

В этом случае говорят, что промежутки [- 2; 4] и [1; 6] пересекаются. Это обозначают так: [- 2; 4] ∩ [1; 6] = [1; 4].

Два числовых промежутка могут не пересекаться. Например, промежутки [- 4; 1] и [3; 7] между собой не пересекаются (рис. 8) или не имеют общих элементов. Тогда пересечением числовых промежутков [- 4; 1] и [3; 7] будет «пустое» множество.

13

Рис. 1

Промежуток между точками, соответствующими заданным на координатной прямой числам а и в, изображает числовой промежуток между числами а и в.

Виды числовых промежутков: интервал, отрезок, полуинтервал, луч, открытый луч и числовая прямая.

Решениями неравенства называются значения переменной (неизвестного), которые обращают его в верное числовое неравенство.

1. Рассмотрим изображение множества решений неравенства 2 <х < 7

на числовых промежутках. Это двойное неравенство и строгое неравенство.

Решениям данного неравенства 2 <х < 7 (значениям х) на координатной прямой соответствуют координаты точек, лежащих между точками с координатами 2 и 7

(рис. 2).

Рис. 2

Это называют числовым промежутком или интервалом «от 2 до 7». Обозначают:

(2; 7). Читают: промежуток от 2 до 7. Так как неравенство 2 <х < 7 - двойное строгое неравенство, то числа 2 и 7 не включаются в решение неравенства, что на чертеже это изображается маленькой «пустой» точкой.

2. Рассмотрим изображение множества решений нестрогого неравенства - 4 ≤ х ≤ 3 на числовом промежутке. Во множество решений нестрогого неравенства также включаются числа, показывающие числовой промежуток (рис. 3). Такой числовой промежуток называют «отрезком». Обозначают: [- 4; 3]. Читают: «промежуток от - 4 до 3, включая - 4 и 3». На координатной прямой точки, включаемые в числовой промежуток, изображают закрашенными точками.

Рис. 3

3. Рассмотрим изображение множества решений неравенства - 2 ≤ х < 4

на числовом промежутке. Множество решений данного неравенства показано

на рисунке 4. В этом случае во множество решений данного неравенства число 2 включается, а число 4 не включается. Такой числовой промежуток называют «полуинтервалом». Множество решений данного неравенства на числовом промежутке обозначают: [- 2; 4). Читают: «промежуток от - 2 до 4, включая - 2».

12

На координатной прямой из двух сравниваемых чисел большее изображается справа от меньшего, а меньшее число изображается слева от большего числа.

Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа. Например: 2 > 0; 3,4 > 0; 3 > - 5.

Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. Например: - 3 < 0; - 3,4 < 0; - 4 < 2.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Например: - 3 < - 1; - 3,4 > - 7; - 4 < - 2,5, так как 3 > 1; 3,4 < 7; 4 > 2.

§ 12. Сложение чисел с одинаковыми знаками

Чтобы сложить два положительных числа, надо: в ответе поставить знак «+»,

а модули сложить.

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: в ответе поставить знак «- »,

а модули сложить.

Таким образом, сумма двух положительных чисел есть число положительное; сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное.

Например: 1) - 0,3 + (- 0,8) = - (0,3 + 0,8) = - 1,1;

2) - 9,7 + (- 5) = - (9,7 + 5) = - 14,7;

§ 13. Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: в ответе поставить знак большего модуля и из большего модуля вычесть меньший,

Например: 1) 0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5;

2) - 4,7 + 5 = + (5 - 4,7) = 0,3.

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Например: 1) 6 + (- 6) = 0; 2) - 4,7 + 4,7 = 0.

§ 14. Вычитание. Длина отрезка на координатной прямой

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - в = а + (- в).

Например: 1) 7 - (- 2) = 7 + 2 = 9; 2) 4 - (- 8) = 4 + 8 = 12;

3) - 8 - (+ 2) = - 8 + (- 2 ) = - 10; 4) - 9 - 1 = - 9 + (- 1) = - 10.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты правого конца отрезка вычесть координату левого конца.

Например: А(- 3), М(5). АМ = 5 - (- 3) = 5 + 3 = 8.

§ 15. Умножение

Произведение двух чисел будет отрицательным, если множители имеют разные знаки: один - отрицательный, другой - положительный.

5

Произведение двух чисел с разными знаками есть отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей.

(- а)∙ в = - ав; а ∙ (- в) = - ав.

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками есть положительное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей: (- а)∙ (- в) = ав.

При чётном количестве отрицательных множителей произведение будет положительным числом.

§ 16. Деление

Частное от деления двух чисел с разными знаками есть отрицательное число, модуль которого равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя.

- а : в = а : (- в) =.

Пример: 1) - 15 : 3 = - 15 : 3 = - 5; 2) 1,5 : (- 3) = - 1,5 : 3 = - 0,5.

Частное от деления двух чисел с одинаковыми знаками есть положительное число, модуль которого равен частному от деления модуля делимого на модуль делителя.

- а : (- в )= + а : в =.

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю. 0 : а = 0.

Например, 0 : (- 5) = 0; т. к. 0 (- 5) = 0.

Делить на нуль нельзя!

При делении любого рационального числа на единицу частное равно заданному числу. а : 1 = а.

Если любое рациональное число, не равное нулю, делится на (- 1), то частное есть число, противоположное делимому.

Например, 2 : (- 1)= - 2; (- 0,8) : (- 1) = 0,8.

§ 17. Десятичные приближения обыкновенной дроби

Для вычислений вместо обыкновенных дробей удобнее использовать десятичные дроби, так как их легче считать. Поэтому часто при вычислениях обыкновенные дроби обращают в десятичные дроби.

Чтобы найти десятичное приближение до заданного разряда, нужно выполнить деление до следующего разряда и полученный результат округлить.

При вычислениях используются десятичные приближения бесконечной десятичной периодической дроби по недостатку или по избытку.

В десятичном приближении данного числа до некоторого его разряда по недостатку отбрасываются все его цифры, записанные правее цифры этого разряда или заменяются нулями.

6 Пример 1. Запишем десятичное приближение дроби по недостатку: .

§ 25. Свойства числовых неравенств

При тождественном преобразовании числовых неравенств используются свойства числовых неравенств.

Первое свойство: Если а > в, то в < а, если а < в, то в > а.

По первому свойству числового неравенства, если правую (левую) часть неравенства поменять местами с его левой (правой) частью, то знак неравенства изменится на противоположный.

Второе свойство: Если а > в и в > с, то а > с.

Третье свойство: Если к обеим частям числового неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Если к обеим частям неравенства а > в прибавим число с, то получим:

а + с > в + с (с - любое число).

Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Пример 1. Неравенство 7,2 +3 >8,1 можно записать в виде: 7,2 + 3 - 3 > 8,1 - 3 или 7,2 > 8,1 - 3.

Четвёртое свойство. а) Если обе части числового неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

б) Если обе части числового неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства надо изменить на

противоположный.

Пятое свойство. Если а > в, (а и в - положительные числа), то .

§ 26. Сложение и вычитание числовых неравенств

Неравенства одного знака можно почленно складывать, оставляя прежний знак неравенства.

Два неравенства противоположного знака можно почленно вычитать, оставляя знак уменьшаемого неравенства.

§ 27. Умножение и деление числовых неравенств

Два неравенства одного знака с положительными членами можно почленно умножать и делить, оставляя знак неравенства прежним.

Например: 1) 5 < 7, 6 < 9 5 ∙ 6 < 7 ∙ 9, то есть 30 < 63;

1) 15 > 7, 16 > 9 15 ∙ 16 > 7 ∙ 9, то есть 240 > 63.

§ 28. Числовые промежутки.

Геометрическое изображение решений числовых неравенств

Обозначим на координатной прямой точки, соответствующие числам а и в (рис. 1).

11

При решении уравнений иногда встречаются уравнения, имеющие одни и те же корни. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями.

Например, 2х = 10; 3х = 15; 3х - х = 2,5 ∙ 4 - равносильные уравнения, т. к. у них один и тот же корень: х = 5.

Заметим, что уравнения иногда не имеют корней. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Свойства уравнения:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить (вычесть) одно и то же число или одно и то же буквенное выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Любое слагаемое уравнения можно перенести из одной части равенства

в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Используя это свойство уравнения, делим обе части уравнения

на коэффициент при неизвестном (переменной) и находим числовое значение

неизвестного или корень уравнения.

Пример. 4х + 3 = х + 9, по первому свойству: 4х - х = 9 - 3, 3х = 6,

по второму свойству: х = 2.

Корень уравнения обращает уравнение в верное числовое равенство.

§ 23. Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение вида ах = в называют линейным уравнением с одной переменной, где а и в - некоторые числа, х - переменная.

Если а ≠ 0, то линейное уравнение имеет единственный корень: х = в : а.

Если а = 0, в = 0, линейное уравнение имеет бесчисленное множество решений:

х - любое число.

Если а = 0, в ≠ 0, линейное уравнение не имеет решений.

§ 24. Числовые неравенства

Если при сравнении чисел а и в разность а - в - положительное число, то а > в.

Если при сравнении чисел а и в разность а - в - отрицательное число, то а < в.

Если разность двух сравниваемых чисел равна нулю, то эти числа равны между собой.

Если неравенства записываются знаками > или <, то их называют строгими неравенствами.

Например: 9,3 < 12; 8,3 > 4 - это строгие неравенства.

Если неравенства записываются знаками ≥ или ≤, то их называют нестрогими неравенствами.

Например: неравенство 12 ≤ х ≤ 16 - двойное нестрогое неравенство.

10

0,1 (десятичное приближение по недостатку до десятых);

0,16 (десятичное приближение по недостатку до сотых);

0,166 (десятичное приближение по недостатку до тысячных).

В десятичном приближении данного числа до некоторого разряда по избытку последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1.

Пример 2. Запишем десятичное приближение дроби по избытку:

0,7 (десятичное приближение по избытку до десятых);

0,67 (десятичное приближение по избытку до сотых).

0,667 (десятичное приближение по избытку до тысячных).

Правила округления десятичных дробей:

Если при округлении бесконечной десятичной дроби первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3, 4, то результатом округления будет десятичное приближение по недостатку.

Если при округлении бес конечной десятичной дроби первая из отбрасываемых цифр 5, 6, 7, 8, 9, то результатом округления будет десятичное приближение по избытку.

§ 18. Сложение и вычитание приближённых чисел

При сложении приближённых чисел в сумме следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом слагаемом с наименьшим числом десятичных знаков.

§ 19. Умножение и деление приближённых чисел

Правила умножения и деления приближённых чисел отличаются от правил сложения и вычитания приближённых чисел.

При умножении и делении приближенных чисел учитываются значащие цифры приближённых чисел.

Значащими цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих левее первой, отличной от нуля цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят взамен неизвестных или отброшенных цифр.

Например, а ≈ 14,5; в ≈ 0,461; с ≈ 0,03706;

в приближенном числе а - три значащие цифры. Это: 1, 4 и 5;

в приближенном числе в - три значащие цифры. Это: 4, 6 и 1;

в приближенном числе с - 4 значащие цифры. Это: 3, 7, 0 и 6. 7

При умножении приближённых чисел надо определить число значащих цифр

в каждом множителе.

При умножении приближённых чисел в произведении следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеется в сомножителе с наименьшим числом значащих цифр.

Пример 1. Найдем произведение приближенных чисел х =1,5261 и у = 0,34.

х ∙ у =1,5261 ∙ 0,34 = 0,51884 ≈ 0,52.

Пример 2. Найдём произведение чисел х = 0,33 и у = 0,44. Множители имеют одинаковое число значащих цифр (по две значащие цифры)

х ∙ у = 0,33 ∙ 0,44 =0,1452 ≈ 0,15.

Если при умножении приближённых чисел число значащих цифр у множителей одинаковое, то число значащих цифр в произведении равно числу значащих цифр в одном из сомножителей.

При делении приближённых чисел в частном следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеется в данном с наименьшим числом значащих цифр.

Пример 3. х = 0,63; у = 0,3842. Найти х : у.

х : у = 0,63 : 0,3842 =1,639 ≈ 1,6.

Если некоторые приближённые числа имеют больше значащих цифр, чем другие, то их следует округлять раньше, чем производить действие, сохраняя лишнюю (запасную) цифру по сравнению с менее точными числами.

Пример 4. х =2,3; у = 3,5б8; z = 0,4615.

х ∙ у ∙ z = 2,3 ∙ 3,57 ∙ 0,462 ≈ 3,79 ≈ 3,8.

§ 20. Числовое значение буквенного выражения

Буквенным выражением называется выражение, которое содержит одну или несколько букв.

Буквенные выражения используются при записи формул и при составлении уравнений по условию задачи.

При записи буквенных выражений наряду с буквами могут быть использованы числа, скобки и знаки арифметических действий.

Заменяя буквы числами, при которых выражение имеет смысл, можно вычислить значение буквенного выражения.

Буквы в буквенном выражении могут принимать различные числовые значения. Поэтому, назвав букву в буквенном выражении переменной, само буквенное выражение называют выражением с переменной.

Замену буквы на её числовое значение в буквенном выражении называют подстановкой. Само число называют значением переменной. Результат подстановки называют значением выражения.

Числа, которые можно подставить вместо переменных в заданное выражение, называют допустимыми значениями переменных.

§ 21. Преобразование буквенных выражений

8

Если перед скобкой стоит знак «+», то при раскрытии скобок у алгебраических слагаемых сохраняются свои знаки.

Если перед скобкой стоит знак «-», то при раскрытии скобок знаки алгебраических слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Если в алгебраической сумме буквенных выражений слагаемые имеют общий множитель, то можно вынести его за скобки и преобразовать буквенное выражение.

Пример 1. Вынесем за скобки общие множители и преобразуем выражение

7х + 3у + 4х -5у - 8х. В заданном выражении 7х; 4х и - 8х - подобные слагаемые, их общий множитель х. 3у и - 5у - подобные слагаемые, их общий множитель у.

Вынесем за скобки общие множители подобных слагаемых и преобразуем выражение: 7х + 3у + 4х -5у -8х = (7 + 4 - 8)х + (3 - 5)у = 3х - 2у.

Мы преобразовали выражение способом приведения подобных слагаемых. Иногда в выражении подобные слагаемые называются подобными членами, а нахождение их алгебраической суммы называется приведением подобных членов.

При заключении буквенных выражений в скобки:

1) Если перед скобками ставится знак «+», то все члены, заключаемые в скобки, записываются с их знаками.

2) Если перед скобками ставится знак «-», то все члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

§ 22. Уравнение. Корни уравнения. Свойства уравнения

При вычитании приближённых чисел следует в разности сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном, данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Если некоторые приближённые числа имеют больше десятичных знаков, чем другие, то их следует округлять раньше, чем производить действия, сохраняя лишнюю (запасную) цифру по сравнению с менее точными числами.

Пример: х ≈ 5,13; у ≈ 12,4536; z ≈ 3,14538

5,13 + 12,454 + 3,145 = 20,729 ≈ 20,73.

Равенство, содержащее неизвестное число (переменную), обозначенное буквой, называется уравнением.

Например, 5х + 8 =18; 6х + 7 = - 5; 3 (х + 7) =15 - уравнения. х - неизвестное число (переменная). Такие уравнения называют уравнениями с одним неизвестным или уравнениями с одной переменной.

Уравнение имеет левую и правую часть. Например, в уравнении 4х + 7 = 19 выражение 4х + 7 - левая часть уравнения, а число 19 - правая часть уравнения. Каждое слагаемое в уравнении называется его членом. 4х; 7; 19 - члены уравнения, причём 4х - член, содержащий неизвестное, 7 и 19 - свободные члены.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение - значит найти множество его корней или доказать, что уравнение не имеет корней.

9