Факультативный курс по решению логических задач «Нестандартные задачи по математике»

Факультативный курс по решению логических задач

«Нестандартные задачи по математике» в 7 классе

(1 час в неделю, всего 5 часов)

Пояснительная записка

Цели курса:

• расширение и углубление знаний учащихся по математике,

• развитие их умственных способностей путем обучения их общим методам решения задач, ознакомления с важнейшими математическими идеями;

• дать школьникам навыки и умения решения олимпиадных задач различного уровня сложности.

• научить анализировать объекты с целью выделения признаков (существенных, несущественных), строить логические цепи рассуждений и выдвигать гипотезы и их обоснование.

Общая характеристика курса

Изучение курса существенным образом базируется на знании школьной математики. Курс призван расширить и углубить знания, полученные при изучении разных областей математики. Программа предусматривает организацию решения математических задач по разделу: логические задачи.

Основным видом внеурочной деятельности обучающихся при изучении курса «Нестандартные задачи по математике» является решение задач.

Содержание курса

Задачи на переливание. Графы. Логические таблицы. Закон контрапозиции.

Тематическое планирование курса

«Нестандартные задачи по математике» 7 класс

№

Тема занятия

Кол-во часов

Задачи логического характера

5

1

Задачи на переливание

1

2

Графы

1

3

Логические таблицы

1

4

Закон контрапозиции

1

Контрольная работа

1

Учебно-методическое обеспечение курса

1. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку.- М., 1995

2. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. - Челябинск, 1995

3. Фомин Д.В. Задачи ленинградских математических олимпиад.- Л.,1990

4. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад.- М., 1975

5. Лоповок Л.М. Математика на досуге.- М., 1981

6. Шауцукова Л.З. Информатика 10 - 11. - М.: Просвещение, 2000

tomsk.ru/Books/informatica/theory/index.html

7. Образовательный портал для подготовки к экзаменам

reshuege.ru/

Переливание

Ход урока

Логические УУД

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь! Сегодня у нас с вами интересная тема. Давайте взглянем на доску. На доске нарисован стакан, который наполнен водой. Как отлить ровно половину, ничем не пользуясь?

Маша: Отмерить на глаз.

Учитель: Но мы ведь тогда не сможем точно узнать, половину отлили или нет.
Ваня: Выпить половину.

Учитель: А как ты выпьешь ровно половину?

Галя: Отмерить линейкой.

Учитель: У нас ничего нет по условию. Только стакан с водой.

Учитель: Раз больше вариантов нет, то я вам покажу, как это сделать. Смотрите, мы наклоняем стакан (уровень воды параллелен земле) и начинаем выливать воду. Когда будет диагональ, тогда и останется ровно половина воды (учитель продемонстрировал наглядно, заранее подготовив мензурку с водой).

Учитель: Так что мы сегодня будем проходить? Какая тема урока?

Саша: Переливание

Учитель: Открываем тетради. Записываем число, классная работа. Сейчас я вам раздам текст с задачами по нашей теме, которые будут также на экране. Посмотрим первую задачу. Катя, читай условие.

Катя: Один человек имеет в бочонке 12 пинт вина (пинта - это старинная французская мера объема, 1 пинта≈0,568 л) и хочет подарить половину вина, но у него нет сосуда в 6 пинт, однако имеются 2 пустых сосуда объемом 8 пинт и 5 пинт. Как с их помощью отлить ровно 6 пинт вина?

Учитель: Прочитайте еще раз про себя задачу.

Учитель дает 1 минуту детям на прочтение задачи

Учитель: Что нам дано?

Лена: 12 пинт вина и 2 пустых сосуда, объемом 5 пинт и 8 пинт.

Учитель: А что требуется сделать?

Лена: Отлить ровно половину, используя эти сосуды

Учитель: Верно! Подумайте 2 минуты сами, как можно решить эту задачу.

Учитель дает детям 2 минуты на размышление

Учитель: Ну что? Есть идеи, как решить это задание?

Паша: нужно перелить сначала в сосуд объемом 8 пинт, потом перелить в другой сосуд, и т.д.

Учитель: Верно, Паша! Ход мыслей правильный. Выходи к доске. Решим эту задачу. Остальные в тетрадях.

Паша (у доски): Сначала из 12 пинт переливаем 8 пинт, потом их выльем в 5 пинт, и в сосуде, объемом 8 пинт, останется 3 пинт. Перельем 5 пинт обратно в первый сосуд, объемом 12 пинт. Перельем эти 3 пинт в 5 сосуд, объемом 5 пинт. Снова наберем 8 пинт. Дольем в сосуд, где уже есть 3 пинт, останется 6. Те 5 обратно перельем в первый сосуд. У нас получилось 6 пинт, как и требовалось в задаче.

Сосуд объемом 8 пинт

0

8

3

3

0

8

6

6

Сосуд объемом 5 пинт

0

0

5

0

3

3

5

0

Учитель: Молодец, Паша! Садись. Ребят, кто не понял, как решить это задание?
6 детей подняли руки

Учитель объяснил все еще раз, после чего дети поняли

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство;

• выдвижение гипотез и их обоснование

Учитель: Давайте теперь взглянем на вторую задачу. Кто желает пойти к доске?
8 учеников подняли руки. Учитель вызвал Машу.

Маша: Имеются два пустых бидона - трехлитровый и пятилитровый. Как, пользуясь этими бидонами, набрать из реки ровно один литр воды?

Учитель: Маша, что нам дано?

Маша: 2 пустых бидона, трехлитровый и пятилитровый

Учитель: Хорошо, и что нам нужно сделать?

Маша: Нужно пользуясь этими бидонами набрать из реки 1 литр

Учитель: И как будем решать эту задачу?

Маша: Так же, как и прошлую.

Учитель: Хорошо. Остальные решают в тетрадях.

Маша: Сначала наберем трехлитровый бидон и перельем в пятилитровый бидон. Потом снова наберем из реки 3 литра и дольем в пятилитровый бидон. В трехлитровом бидоне останется один литр. Выльем из пятилитрового бидона всю воду обратно в реку. Мы получили один литр, как и требовалось в задании.

3 литра

3

0

3

1

1

5 литров

0

3

3

5

0

Учитель: Хорошо, Маша! Садись. Ребят, у кого-нибудь получилось другое решение?

4 ученика подняли руку. Учитель вызвал одного из них к доске

Саша:

3 литра

0

3

0

2

2

3

0

3

0

5 литров

5

2

2

0

5

4

4

1

1

Учитель: Молодец. Садись. У кого-то еще вышло по-другому?

Никто из учеников не поднял руку

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство;

• выдвижение гипотез и их обоснование

Учитель: Хорошо. Переходим к следующей задаче. Попробуйте решить ее самостоятельно.

Можно ли, пользуясь двумя пустыми ведрами объемом 12 л и 9 л, набрать из речки ровно 4 литра?

Учитель дает 2 минуты на размышление

Ни у кого из учеников не получается решить

Даша: Это решение бесконечно

Дима: Никак не получается

Учитель: У этой задачи нет решения, так как начальные емкости ведер делятся на 3, то при любом переливании из одного ведра другое и набирании воды из речки в каждом из них будет находиться количество воды, с объемом, делящимся на 3. Но поскольку 4 на 3 не делится, то 4 литра воды получиться не могут.

ОБОБЩИМ: Пусть имеются два пустых сосуда объемом a л и b л и требуется набрать из реки ровно c л воды (где a, b и c - натуральные числа, причем c не превосходит большего из чисел a и b). Если число c не делится на НОД чисел a и b, то, аналогично предыдущему, это сделать невозможно.

НАИБОЛЬШИМ ОБЩИМ ДЕЛИТЕЛЕМ (НОД) для двух целых чисел называется наибольший их общий делитель

• анализ объектов с целью выделения признаков

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство;

• выдвижение гипотез и их обоснование

Учитель: Давайте теперь посмотрим следующую задачу: Можно ли налить ровно 4 л воды, пользуясь двумя пустыми ведрами объемом 5 л и 7 л, водопроводным краном для наливания воды и раковиной для ее выливания?

Почти весь класс тянет руки

Андрей: Можно, т.к. НОД(5,7) = 1, а 4 на 1 делится.

Учитель: Верно. Иди к доске, решишь эту задачу.

Андрей:

5 литров

0

5

0

2

2

5

0

7 литров

7

2

2

0

7

4

4

Учитель: Молодец! Садись. У кого-нибудь получилось другое решение?

Никто из учеников не поднял руку

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство;

• выдвижение гипотез и их обоснование

Учитель: Хорошо. Тогда решим с вами последнюю задачу: в бидоне не менее 10 л молока. Как отлить из него ровно 6 л молока с помощью пустых девятилитрового ведра и пятилитрового бидона? Кто знает, как решить эту задачу?

Ученики промолчали

Учитель: Я вам немного подскажу: обозначим начальное количество молока в первом бидоне через a литров. Поразмышляем, как использовать тот факт, что число a меньше 10? Разностью a-10 пользоваться можно, а разностью a-11 уже нельзя.

a л

a

a-5

a-5

9 л

0

0

5

5 л

0

5

0

Кто дальше продолжит решение?

5 учеников подняли руки

Валя:

a л

a

a-5

a-5

a-10

a-10

a-1

a-1

a-6

a-6

9 л

0

0

5

5

9

0

1

1

6

5 л

0

5

0

5

1

1

0

5

0

Учитель: Верно! Садись. Кто не понял, как мы решили эту задачу?

Никто из учеников не поднял руку

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Тогда на этом наш урок подходит к концу. Ребят, посмотрите на экран: продолжите фразы:

Теперь я точно знаю…

Я понял(а)…

Я научился(ась)…

Мое мнение…

Я попробую…

Даша: Я научилась решать задачи на переливание

Катя: Я попробую дома еще решать задачи такого типа

Паша: Я узнал, что такое наибольший общий делитель

Учитель: Хорошо. Сейчас я вам раздам листочки с домашним заданием. На этом урок закончен. Спасибо. До свидания.

Ученики: До свидания!

Графы

Ход урока

Логические УУД

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь! Сегодня у нас с вами новая тема. Давайте взглянем на доску. На доске нарисован домик. Сможете ли вы, начиная с одной точки, пройтись по всем линиям только один раз?

Почти все ученики поднимали руку, чтобы выйти к доске. Учитель вызвал 3 детей по очереди, которые показали различные пути решения. Один из них:

Учитель: Хорошо, ребят! Кто скажет, какая у нас тема урока?

Виталий: Графы

Учитель: Верно

Учитель: Открываем тетради. Записываем число, классная работа. Сейчас я вам раздам текст с задачами по нашей теме, которые будут также на экране. Вы, наверно, знаете, что есть такой город Калининград. Раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В XVIII веке в городе было 7 мостов, расположенных так, как указано на картинке. Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако, придумать решение никто не смог.

Ребят, попробуйте и вы.

Учитель дает 2 минуты на размышление детям

Ученики не могут решить и просят помочь учителя.

Учитель: Этот вопрос привлек внимание ученых разных стран. Разрешить проблему удалось известному математику Леонарду Эйлеру. Причем, он не только решил эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» суши в точку, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображенная ниже.

Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом. Точки A, B, C, D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины - ребрами графа. На рисунке из вершин B, C, D выходят по 3 ребра, из вершины A - 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное число ребер, - четными.

Решая задачу про кенигсберские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа:

• Если все вершины графа четные, то можно одним расчетом (аазрешить проблему удалось известному математику т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.

• Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

• Граф с более чем двумя нечетными нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов

Учитель: Давайте теперь взглянем на первое задание на листках: Какие буквы русского алфавита можно нарисовать одним росчерком? Попробуйте сначала самостоятельно.

Учитель дает 2 минуты на размышление детям

Все ученики тянут руку, чтобы выйти к доске. Учитель вызывает Настю

Настя: Б, В, Г, З, И, Л, М, О, П, Р, С, Ф, Ъ, Ь, Я.

Учитель: Хорошо. У кого-нибудь получился другой ответ?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Молодец, Настя. Садись

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Посмотрим следующую задачу: четыре острова соединены между собой и с берегами реки 14 мостами так, как это показано на рисунке. Можно ли за одну прогулку обойти все эти мосты, побывав на каждом из них один раз? Если это возможно, то начертите один из маршрутов. Нарисуйте соответствующий граф.

Есть желающие пойти к доске?

7 учеников подняли руку

Маша: Имеются две нечетные вершины (В и С). Следовательно, за одну прогулку можно обойти все мосты, побывав на каждом из них хоть один раз. При это прогулку надо начинать с острова В и заканчивать на острове С или наоборот.

Учитель: Хорошо. Но нужно еще нарисовать граф.

Маша:

Учитель: Молодец, Маша! Садись. Ребят, запишем еще 2 правила, которые помогут нам решать задачу с графами:

• Число нечетных вершин графа всегда четное.

• Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно начертить граф, равно половине числа нечетных вершин этого графа.

Например, если фигура имеет четыре нечетных вершины, то ее можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• доказательство

Учитель: Вадим, читай следующую задачу.

Вадим: В первенстве классов по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий, Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина - с Андреем, Виктором, Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Учитель: Хорошо, есть идеи, как можно решить это задание?

Галя: Наверно, с помощью графов.

Учитель: Верно. Галя, иди к доске.

Галя еще раз читает текст задачи

Учитель: Давайте отметим по кругу точки с именами участников турнира.

Теперь линиями соединим тех участников, которые уже сыграли. Галя, соединяй.

Галя:

Учитель: Сколько игр уже сыграно?

Галя: Семь

Учитель: Верно. Давайте теперь соединим пунктиром оставшиеся вершины.

Галя:

Учитель: Сколько игр осталось сыграть?

Галя: Восемь

Учитель: Правильно. Хорошо. Садись. Ответ у нас получился: проведено 7 игр, осталось провести 8 игр

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений

Учитель: Ребята, взгляните на следующую задачу: в школьном драматическом кружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.
- Ляпкиным-Тяпкиным буду я! - решительно заявил Дима. - С раннего детства я мечтал воплотить этот образ на сцене.
- Ну хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена.

- …А мне - Осипа, - не уступил ему в великодушие Дима.

- Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.

- Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. - Или Хлестаковым, - добавили они одновременно.
Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?

8 учеников подняли руку

Катя: Эту задачу нужно решить тем же способом ,что и прошлую.

Надо выбрать из десяти пять ребер, не имеющих общих вершин: Дима - Осип, Вова - Земляника, Гена - Ляпкин-Тяпкин. Остается 2 случая: Алик - Хлестаков, Боря - Городничий, или наоборот. Как показывает граф, других решений нет.

Учитель: Очень хорошо. Садись

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений

Учитель: Ребят, кто не понял, как решать задачи с помощью графов?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Тогда на этом наш урок подходит к концу. Ребят, посмотрите на экран: продолжите фразы:

Теперь я точно знаю…

Я понял(а)…

Я научился(ась)…

Мое мнение…

Я попробую…

Саша: Я научилась решать задачи с графами

Паша: Я попробую дома еще решать задачи такого типа

Учитель: Хорошо. Сейчас я вам раздам листочки с домашним заданием. На этом урок закончен. Спасибо. До свидания.

Ученики: До свидания!

Логические таблицы

Ход урока

Логические УУД

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь! Сегодня у нас с вами интересная тема. Давайте взглянем на экран: встретились 3 друга - Белов, Серов и Чернов. Чернов сказал другу, одетому в сером костюме: «Интересно, что на одном из нас белый костюм, на другом - серый и на третьем - черный, но на каждом костюме цвета, не соответствующего фамилии». Какой цвет костюма у каждого из друзей?

Учитель дает 2 минуты на размышление детям

Вася: Белов - в сером, Чернов - в белом, Серов - в черном.

Учитель: У кого еще какой ответ получился?

Даша: Чернов - в сером, Белов - в черном, Серов - в белом.

Учитель: Еще есть варианты?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Ребят, а как вы решали эту задачу?

Даша: Подбором

Учитель: Хорошо. А как вы думаете, можно ли другим способом решить эту задачу?

Паша: Скорее всего, можно, но мы не знаем каким.

Учитель: Верно. Сейчас я вам покажу: возьмем таблицу 4×4. В левом столбце таблицы напишем фамилии друзей, а в верхней строке - цвета их костюмов. По условию на Белове - не белый костюм, на Серове - не серый и на Чернове - не черный. Поставим три минуса на пересечении соответствующих строк и столбцов. Далее, на Чернове - не серый костюм, т.к. из условия видно, что в серый костюм одет один из его друзей; ставим минус в соответствующей клетке.

Следовательно, на нем может быть только костюм белого цвета; поставим в соответствующей клетке таблицы плюс. Тогда на Серове - не белый костюм; значит, на нем может быть только черный. Наконец, на Белове - серый костюм.

б

С

ч

Б

-

+

-

С

-

-

+

Ч

+

-

-

Учитель: Хорошо, ребят! Кто скажет, какая у нас тема урока?

Виталий: Логические таблицы

Учитель: Верно

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство;

• выдвижение гипотез и их обоснование

Учитель: Открываем тетради. Записываем число, классная работа. Сейчас я вам раздам текст с задачами по нашей теме, которые будут также на экране. Решим первую задачу, аналогичную предыдущей. Катя, читай условие.

Катя: А, Б, В и Г - друзья. Один из них - врач, другой - журналист, третий - тренер спортивной школы и четвертый - строитель. Журналист написал статьи про А и Г. Тренер и журналист вместе с Б ходили в туристический поход. А и Б были на приеме у врача. У кого какая профессия?

Учитель: Попробуйте решить самостоятельно.

Учитель дает 2 минуты на размышление детям

Учитель: Ну что, решили? Есть желающие пойти к доске?

10 учеников подняли руку. Учитель вызвал Петю

Петя: возьмем таблицу 5×5. В левом столбце таблицы напишем имена друзей, а в верхней строке - их профессии. По условию, А и Г не могут быть журналистами, Б - не тренер и не журналист, А и Б - не врачи. Поставим минусы на пересечении соответствующих строк и столбцов. У нас получается, что журналистом является В, а строителем - Б. Поставим в соответствующей клетке таблицы плюс. Далее мы видим, что врач - Г, поставим в соответствующей клетке плюс. И остается, что тренером является А.

в

ж

т

с

А

-

-

+

-

Б

-

-

-

+

В

-

+

-

-

Г

+

-

-

-

Учитель: Верно, Петя, садись. У всех получилось решить это задание?

2 ученика подняли руку и сообщили о том, что плохо поняли. Учитель все еще раз объяснил. Дети усвоили новую тему

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Давайте посмотрим следующую задачу. Кристина, читай условие.

Кристина: в одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик - младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.

Учитель: Хорошо. Прочитайте про себя еще раз эту задачу.

Учитель дает 1 минуту детям на прочтение задачи

Учитель: Что нам дано?

Вера: 4 друга и 4 профессии.

Учитель: Верно, что еще?

Катя: Еще даны некоторые факты

Учитель: А что требуется сделать?

Валя: определить профессию каждого

Учитель: Хорошо. Кто желает пойти к доске?

8 учеников подняли руку. Учитель вызвал Сашу

Саша: Возьмем таблицу 5×5. В левом столбце таблицы напишем имена друзей, а в верхней строке - их профессии. По условию Вадим и Сергей не шоферы, Николай не слесарь, а Сергей и Антон не электрики и не токари.

ш

с

э

т

В

-

С

-

-

-

Н

-

А

-

-

Мы видим, что Сергей - слесарь. Тогда Антон - шофер. Остаются Вадим и Николай.

ш

с

э

т

В

-

-

С

-

+

-

-

Н

-

-

А

+

-

-

-

В условии сказано, что электрик - самый младший из друзей и, что Вадим и шофер старше Сергея. Получается, что Вадим не может быть электриком. Следовательно, Вадим - токарь, Николай - электрик.

ш

с

э

т

В

-

-

-

+

С

-

+

-

-

Н

-

-

+

-

А

+

-

-

-

Ответ: Вадим - токарь, Сергей - слесарь, Николай - электрик, Антон - шофер

Учитель: Молодец, Саша, садись. Ребята, есть вопросы? Может у кого-то получилось другое решение?

Никто из учеников не поднял руку

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Посмотрим следующую задачу. Женя, читай условие.

Женя: В розыгрыше первенства по волейболу команда А отстала от команды Б на три места, команда Е опередила Б, но отстала от Д, команда В опередила Г. Какое место заняла каждая из этих шести команд?

Учитель: Есть желающие пойти к доске?

7 учеников подняли руку. Учитель вызвал одного из них

Маша: Если А отстала от Б на 3 места, то А заняло 4, 5 или 6 место, а Б - 1, 2 или 3, соответственно. Но команда Е опередила Б, и отстала от Д. Отсюда следует, что Б на 3 месте, а команда А - на 6. Далее, В опередила Г, значит, В на 4 месте, а Г - на 5. Задача решена. Составим таблицу:

1

2

3

4

5

6

А

-

-

-

-

-

+

Б

-

-

+

-

-

-

В

-

-

-

+

-

-

Г

-

-

-

-

+

-

Д

+

-

-

-

-

-

Е

-

+

-

-

-

-

Ответ: Д - 1, Е - 2, Б - 3, В - 4, Г - 5, А - 6

Учитель: Хорошо. Есть такие, у кого вышел другой вариант решения или ответ?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Молодец, Маша! Садись

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: посмотрим следующую задачу: Журавлев, Данилов и Никольский - друзья и владеют каждый двумя из следующих шести иностранных языков: английским, французским, немецким, итальянским, испанским и арабским. Каждым из этих языков владеет только один из них. Знающие французский и испанский языки - любители хоккея. Журавлев - самый младший из друзей. Никольский чаще ходит в гости к знающему немецкий язык, чем к знающему испанский язык. Знающий немецкий язык старше знающего арабский язык. Журавлев и владеющий английским языком часто играют в шахматы, а владеющий арабским языком не умеет играть в шахматы. Какими языками владеет каждый из друзей? (Указание: используйте таблицу 4×7)

Кто желает пойти к доске?

7 учеников подняли руку. Учитель вызвал Женю

Женя: Как и сказано в примечании, составим таблицу 4×7.

Из указанных данных в задаче, мы можем сказать, что Никольский не знает немецкий и испанский языки, Журавлев не знает немецкий, английский и арабский языки. Т.е. Данилов знает немецкий. Поставим в соответствующей клетке плюс. Также, из данных в задаче, мы можем сказать, что люди, знающие французский и испанский - это разные люди. То же самое можем сказать про людей, знающих немецкий и испанский языки, немецкий и арабский языки, английский и арабский языки. Получается, что Данилов также не знает испанский и арабский языки. Выходит, что испанский язык знает Журавлев, а арабский - Никольский.

ан

ф

н

ит

ис

ар

Ж

-

-

+

-

Д

+

-

-

Н

-

-

+

Мы уже говорили, что владеющие французским и испанским языками - это разные люди. Следовательно, Журавлев не может знать французский, а знает испанский. Аналогично, Никольский не владеет английским. Выходит, что Данилов знает английский, а Журавлев - французский.

ан

ф

н

ит

Ис

ар

Ж

-

-

-

+

+

-

Д

+

-

+

-

-

-

Н

-

+

-

-

-

+

Ответ: Журавлев знает итальянский и испанский языки, Данилов - английский и немецкий, Никольский - французский и арабский.

Учитель: Молодец. У кого-нибудь есть вопросы или комментарии к решенной задаче?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Хорошо, Женя. Садись

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Давайте теперь взглянем на следующее задание на листках: Написав контрольную работу по математике, три сестры сообщили родителям следующее. Ира: «Я написала не на 5.» Светлана: «На этот раз я написала на 5.» Лиза: «Я написала не на 3.» После проверки работ выяснилось, что сестры получили разные положительные оценки и из трех высказываний сестер только одно верное. Какую оценку получила за контрольную работу каждая из сестер? Попробуйте сначала самостоятельно.

Учитель дает 1 минуты на размышление детям

Ученики затрудняются и не могут решить данную задачу. Учитель дает подсказку

Учитель: Ребят, данную задачу нужно решить, рассмотрев все возможные случаи в зависимости от того, кто получил оценку 5, или от того, чье высказывание оказалось верным.

Учитель дает еще минуту на размышление

Учитель: Есть желающие пойти отвечать к доске?

2 ученика потянули руку. Учитель вызвал одного из них

Настя: Сначала за условие возьмем, что Ира говорит правду. Следовательно, Светлана и Лиза - врут. Составим таблицу:

5

4

3

И

-

С

-

Л

+

Ира написала не на 5. Света тоже написала не на 5, получается, что Лиза написала на 5. Но Лиза должна говорить неправду, а получается, что она тоже говорит правду. Следовательно, наше предположение неверно. Тогда предположим, что Светлана говорит правду. Значит, Ира и Лиза говорят неправду. Составим таблицу:

Если Света говорит правду, то она получила 5. Но Ира говорит, что написала не на 5 и говорит неправду. Значит, она должна была написать на 5. По условию, сестры получили разные оценки. Наше утверждение снова неверно. Остается предположить, что Лиза сказала правду, а Ира и Света - неправду. Составим таблицу:

Раз Ира говорит неправду, значит, она написала на 5. Лиза написала не на 3, т.е. на 4 или 5. На 5 написала Ира, получается, что Лиза написала на 4. Остается, что Светлана написала на 3. Все верно. Ответ: Ира - 5, Лиза - 4, Светлана - 3.

Учитель: Хорошо. У кого-нибудь получился другой ответ?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Молодец, Настя, садись

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Ребят, кто не понял, как решать задачи с помощью графов?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Тогда на этом наш урок подходит к концу. Ребят, посмотрите на экран: продолжите фразы:

Теперь я точно знаю…

Я понял(а)…

Я научился(ась)…

Мое мнение…

Я попробую…

Валя: Я научилась решать задачи с логическими таблицами

Денис: Это очень интересная тема, и мне она понравилась

Учитель: Хорошо. Сейчас я вам раздам листочки с домашним заданием. На этом урок закончен. Спасибо. До свидания.

Ученики: До свидания!

Закон контрапозиции

Ход урока

Логические УУД

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь! Сегодня у нас с вами новая тема. Мы будем решать задачи, которые встречаются на экзаменах. Давайте взглянем на экран: учитель математики Иван Петрович обязательно отключает свой телефон, когда ведёт урок. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Если телефон Ивана Петровича включён, значит он не ведёт урок.

2) Если телефон Ивана Петровича выключен, значит он ведёт урок.

3) Если Иван Петрович проводит контрольную работу по математике,

значит, его телефон выключен.

4) Если Иван Петрович не ведёт урок, значит, его телефон включён.

Попробуйте решить самостоятельно.

Учитель дает 2 минуты ученикам на размышление

Учитель: Получилось решить? Есть желающие ответить?

3 ученика подняли руку. Учитель вызвал одного из них к доске

Виталий: 1) Верно, потому что если бы он вёл урок, телефон был бы выключен.

2) Неверно, Иван Петрович может выключать телефон не только во время урока.

3) Контрольная работа является уроком, а на уроках Иван Петрович выключает телефон.

4) Как и во втором пункте, мы ничего не знаем про внеурочное время.

Учитель: Верно. У кого-нибудь вышел другой ответ?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Хорошо. А мы можем быть точно уверенными, что решили правильно?

Саша: Скорее всего, нет. Мы полагались просто на логику, поэтому можем ошибиться и дать неправильный ответ.

Учитель: Поэтому я вам сейчас покажу, как можно решить эту задачу другим способом: подставим в условие «если». Получим: «Если Иван Петрович ведёт урок, то он обязательно отключает свой телефон». Обозначим через А - ведёт урок, Б - отключает свой телефон. Получаем, что из А следует Б. Обозначается так .

Запишем закон контрапозиции:

Смотрим, что получается:

1)

2) (не верно)

3) (верно)

4) (не верно)

Ответ: 1 и 3, так же, как и вышло у нас в первом решении. Кто не понял, как решить с помощью закона контрапозиции?

3 ученика подняли руку

Учитель еще раз все объяснил, после чего все ученики поняли, как решать задачи данным способом

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство;

• выдвижение гипотез и их обоснование

Учитель: Открываем тетради. Записываем число, классная работа. Сейчас я вам раздам текст с задачами по нашей теме, которые будут также на экране. Рассмотрим аналагичную задачу: Согласно градостроительным нормам, в домах выше 5 этажей должен быть установлен лифт. Считая, что эти нормы неукоснительно исполняются, выберите утверждения, которые непосредственно из этого следуют.

1) Если в доме нет лифта, то он не выше 5 этажей.

2) Если в доме 3 этажа, то в нём лифта нет.

3) Если в доме больше 5 этажей, то в нём есть лифт.

4) Если в доме есть лифт, то он выше 5 этажей.

Кто желает пойти к доске?

8 учеников подняли руку. Учитель вызвал одного из них

Костя: Возьмем за условие А - дом выше 5 этажей, а за Б - установлен лифт.

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1 и 3.

Учитель: Молодец, Костя. У кого-нибудь вышел другой ответ?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Хорошо, тогда переходим к следующему заданию

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Какие из приведённых ниже утверждений равносильны утверждению «Если Вы ― слон, значит, Вы ничего не забываете»?

1) Если Вы ничего не забываете, значит, Вы ― слон.

2) Если Вы ― не слон, значит, Вы все забываете.

3) Если Вы ― не слон, значит, Вы что-то забываете.

4) Если Вы что-то забываете, значит, Вы ― не слон.

Есть желающие пойти к доске?

10 учеников подняли руку. Учитель вызвал одного из них

Денис: Возьмем за условие А - «Вы - слон», а за Б - «Вы ничего не забываете»

1)

2)

3)

4)

Ответ: 4

Учитель: Хорошо, садись. У кого-нибудь есть вопросы по данной задаче?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Хорошо, давайте решим следующую задачу

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: В офисе фирмы компьютеры работают только от сетевого электропитания. Если компьютеры работают, то электричество в офисе есть. Выберите утверждения, которые непосредственно следуют из этих данных.

1) Если в офисе нет электричества, то компьютеры не работают.

2) Если в офисе есть электричество, то компьютеры работают.

3) Если компьютеры не работают, значит в офисе нет электричества.

4) Если в офисе нет электричества, то не работает компьютер директора.

Кто желает пойти к доске?

10 учеников подняли руку. Учитель вызвал одного из них

Катя: Возьмем за условие А - компьютеры работают, а за Б - электричество в офисе есть

1)

2)

3)

4)

Ответ: 1 и 4.

Учитель: Хорошо, Катя. Садись. У кого-нибудь вышел другой ответ?

Никто из учеников не поднял руку

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Тогда рассмотрим последнюю задачу: собака Шарик, живущая в будке возле дома, обязательно лает, если какая-нибудь кошка идёт по забору. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

1) Если Шарик лает, значит, по забору идёт кошка.

2) Если Шарик молчит, значит, кошка по забору не идёт.

3) Если кошка по забору не идёт, Шарик не лает.

4) Если по забору пойдёт белая кошка, Шарик будет лаять.

Есть желающие решить эту задачу у доски?

13 учеников подняли руку. Учитель вызвал одного из них

Вася: Возьмем за условие А - кошка идет по забору, а за Б - Шарик лает

1)

2)

3)

4)

Ответ: 2 и 4.

Учитель: Молодец, Вася. Садись. Есть вопросы по этой задаче?

Никто из учеников не поднял руку

• анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

• синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство

Учитель: Тогда на этом наш урок подходит к концу. Ребят, кто не понял, как решать задачи такого типа?

Никто из учеников не поднял руку

Учитель: Посмотрите на экран: продолжите фразы:

Теперь я точно знаю…

Я понял(а)…

Я научился(ась)…

Мое мнение…

Я попробую…

Саша: Я научилась решать задачи с законами контрапозиции

Паша: Я попробую дома еще решать такие задачи

Учитель: Хорошо. Сейчас я вам раздам листочки с домашним заданием. На этом урок закончен. Спасибо. До свидания.

Ученики: До свидания!