Статья Математические игры и числа (7 класс)

Малая Алла Александровна

Новикова Дарья Александровна

Математические игры и числа, их исследования

Математика - это человеческая деятельность; сравнительная ценность задач и правильный их выбор в математике гораздо более важны, чем способность совершать сложные действия в уме.

А.К. Звонкин, Малыши и математика

Исследовательские задачи в школах используются редко, в основном на факультативах или кружках. А, между тем, они очень полезны и их можно решать с обычными школьниками.

Когда сильный ученик решает сложную задачу, ему волей-неволей приходится выдвигать гипотезы, ставить вспомогательные задачи и т.д. А обычный ученик, решающий задачи из учебника, может успешно пройти весь курс школьной математики и нигде не столкнуться с математическим открытием. На помощь приходит школьный кружок и исследовательская работа.

Существует два подхода к обучению: традиционный - ученик изучает новую теорию, решает задачу, получает оценку, исследовательский - ученик сам ставит вопросы и ищет на них ответы, выдвигает гипотезы, доказывает и опровергает их. Можно сказать, что ученик попадает в новый математический мир и учится жить в нём.

Начинать решать такие задачи надо с начальной школы, вводить элементы исследования, начинать с самого простого, с вещей, доступных несильным ученикам.

Итак, ученик попадает в новый незнакомый мир. Он привык, что раньше учитель знакомил его с основными законами этого мира, а здесь он должен открыть их сам. Поэтому хорошая задача для начинающих - та, которая учить мыслить, легко выделять последовательность частных случаев, искать закономерности, путь от простого к сложному, от непонимания к пониманию.

Здесь мы расскажем, как вместе с группой учащихся 7-го класса мы решали исследовательскую задачу в летнем физико-математическом профильном лагере «Звездный городок», проходившем с 1 по 10 июня 2015 года.

Игра в «Красно-синий Хакенбуш»

Главной целью являлось - познакомить учащихся с математической теорией игр, изучить основы теории графов, разработать выигрышные стратегии для игроков на примере простейших случаев и найти закономерность.

1. Этап погружения.

На первом этапе участники познакомились с правилами игры; обсудили, что такое «выигрышная стратегия» и зафиксировали, что решить задачу на «математические игры» - значит обосновать выигрышную стратегию.

Правила игры

Имеется картинка - граф с красными и синими рёбрами (рис. 1). Двое игроков ходят по очереди - один стирает только красные рёбра, другой - только синие. За один ход разрешается стереть какое-нибудь одно ребро, при этом удаляются все рёбра, которые перестают быть связанными с «землёй».

Рис. . Красно-синий Хакенбуш

Участникам в группах была поставлена задача нахождения стратегии игры, выигрыш (20 минут).

Общая сборка позволила обсудить стратегии, предложенные группами. Таким образом, были не только усвоены правила игры, но и зафиксировано различение правдоподобного рассуждения и обоснованного решения. Многократная необходимость обосновывать свои гипотезы по ходу работы - одна из важных и полезных составляющих математического погружения.

На следующем шаге была сформулирована задача погружения: исследовать игру «красно-синий Хакенбуш». Научиться определять, кто выигрывает, и какая у него должна быть стратегия при любом графе.

2. Начало исследования - разбор частных случаев, классификация.

Цели этого этапа: актуализировать мысль, что классификация может быть проведена по разным основаниям, выделить способы определения выигрышной стратегии в простых случаях; рассмотреть в группах различные простейшие игры, попробовать их классифицировать и обозначить выигрышные стратегии для этих частных случаев; научиться выигрывать в различных ситуациях (для любого графа).

На рисунках 2 и 3 представлены результаты работы учащихся на этапах погружения и разработки выигрышной стратегии в формате слайдов Microsoft PowerPoint.

Рис. 2. Работа учащихся на этапе погружения

Рис. 3. Работа учащихся на этапе исследования

3. Индивидуальная работа в свободное время с консультациями учителя.

В сильных классах необходимо отводить один урок в неделю на решение исследовательских задач. Задачи обсуждаются в классе один раз в неделю, а через неделю подытоживаются. Дети, которые думают медленно и от этого на уроках обычно страдают, тут оказываются в выигрышной ситуации. Важно требовать запись решения: ребёнок ещё раз всё продумывает, выстраивает логически, обосновывает.

Сильные и интересующиеся математикой школьники могут работать над исследовательскими задачами в своей школе в течение учебного года. Длительность работы позволяет глубоко погрузиться в задачу, пройти несколько исследовательских циклов.

Таким образом, для учащихся, одаренных в математике, появляется новая возможность не пассивного, а активного углубления за счет самостоятельного движения в овладении новых сложных тем исследовательских задач.

Список литературы

1. Высшая школа экономики. Образовательный модуль «Содержание образования и продуктивные методики преподавания математики». Москва, 2015.

2. Перельман Я.И. Живая математика. ИД Мещерякова, 2013.

3. Сгибнев А.И., Шноль Д.Е. Исследовательские задачи при обучении математике в школе «Интеллектуал» // Математика, 2007.

4. Физико-математический журнал «Квант», А.Кириллов, И.Клумова, А.Сосинский., №11, 1979.

Добавить научности перед п.3

Продвижение в решении исследовательской задачи.

Если увеличивать уровни, что меняется?

Что получится, если поставить на палочку одного цвета палочку другого цвета?

Какое получится число? Целое или нецелое?

Как это проверить? Поставить рядом ещё такую же. потом одну синюю, получится нейтральная игра, то тогда это будет ½! Проверили, получилось!

И это нецелое число равно ½!

В итоге в группах определились следующие вопросы:

• Что такое симметрия? Какова выигрышная стратегия при симметрии?

• Играет ли роль связности на втором уровне?

• Кто выигрывает в данной игре?

• Есть ли другие дроби, кроме ½? Можно ли получить дроби с другим знаменателем,не 2?

• Существуют ли игры (в красно-синем Хакенбуше), в которых всегда выигрывает первый?

• Какова общая стратегия игры?

В дальнейшем ходе погружения над каждым вопросом работали две группы.

Вывод: Если два уровня, то важно, сколько ребер вверху, а значит надо считать ребра. Тогда возникает вопрос, что и как считать? Если на втором уровне больше красных, кто выигрывает?

К каким «математическим красотам» может привести игра «Красно-синий Хакенбуш»?

Сюрреальные числа:

Английский математик Джон Конвей смог соорудить очень интересную модель.которая содержит не только все действительные числа, но еще и многие другие - с интересными и необычными свойствами. Эти числа называются сюрреальными ( сверхвещественными).