Ашық сабақ Логарифмдік теңдеу (11 сынып)

11-сынып. Алгебра және анализ бастамалары Тексерілді:

Сабақ-56.мерзімі-25.01.16

Сабақтың тақырыбы: Логарифмдік теңдеу

Сабақтың мақсаты: Логарифмдік теңдеулер туралы түсінік беріп, оларды шешу жолдарын меңгерту

Сабақтың міндеттері: а)Білімділік: Оқушыларға логарифмдік теңдеулерді шешудің әдістерін үйрету.

ә) Дамытушылық: Логарифмдік теңдеулерлерді шешу үшін алдымен берілген логарифмдік функцияның анықталу облысын табу керектігін, логарифмнің анықтамасын және логарифмнің қасиеттерін есеп шығару барысында пайдалана алу дағдыларын қалыптастыру

б) Тәрбиелік: Оқушыларды еңбек сүйгіштікке, адалдыққа, тиянақтылыққа, ұқыптылыққа, өз бетінше ізденуге тәрбиелеу.

Сабақтың көрнекілігі: сызба, жазба материалдар

Сабақ түрі: жаңа сабақ. Окыту әдісі: сұрақ-жауап, ізденіс, салыстыру

.Ұйымдастыру кезеңі: Сәлемдесу, журналмен жұмыс, оқушыларды сабаққа дайындау, сабақтың мақсатын қою.

II.Өтілген материалды қайталау

Үй тапсырмасын тексеру №271 (2; 4), №272(2; 4),

№271. ; ;

Шешуі:

; x = 6;

; ; ; D = 6,8; ;

Жауабы:

; x = - 3;

; ;

; D = 5,5; ;

Жауабы:

№272.

2) ; ; ; ; ; 2x = 1;

; x + 1 = 0; x = - 1 Жауабы:

4) ;

; -не бөлеміз

; ;

y = - 1; y = ; ; x =1 Жауабы:

Ой қозғау

1. Санның логарифмінің анықтамасы

Оң және 1-ден өзгеше а негізі бойынша b оң санының логарифмі деп b саны алынатындай а саны шығарылатын дәреженің көрсеткішін айтады.

2.Логарифмдік функция

Көрсеткіштік функцияға кері функция логарифмдік функция деп аталады

3.Логарифмдік функцияның қасиеттері

1. Анықталу облысы оң сандар жиыны, яғни R₊

2. Мәндер жиыны барлық нақты сандар жиыны, яғни R

3. а > 1 болғанда функция өседі; 0 < а < 1 болғанда функция кемиді

4)Функция өзінің анықталу облысында үзіліссіз

4. Ондық логарифм

Негізі 10 болатын санның логарифмі ондық логарифм деп аталады

5. Натурал логарифм

Негізі e болатын санның логарифмі натурал логарифм деп аталады

Логарифмнің негізгі қасиеттері:

1) негізі а (а - кез келген оң сан) болатын а санының логарифмі бірге тең:

2) негізі а болатын бір санының логарифмі нөлге тең:

3) екі немесе бірнеше оң сандардың көбейтіндісінің логарифмі көбейткіштердің логарифмдерінің қосындысына тең:

4) қатынастың немесе бөлшектің логарифмі алымының логарифмі мен бөлімінің логарифмінің айырымына тең:

5) дәреженің логарифмі дәреже көрсеткішін дәреже негізінің логарифміне көбейткенге тең:

6) жаңа негізге көшу формуласы:

Логарифмнің негізгі қасиеттеріне мысал

(Жауабы: )

(Жауабы:25)

(Жауабы:27)

(Жауабы: )

(Жауабы:11)

III. Жаңа сабақ

Анықтама. Айнымалысы логарифм белгісінің ішінде болатын теңдеуді логарифмдік теңдеу деп атайды.

Қарапайым логарифмдік теңдеудің түрі:

мұндағы а және b - берілген сандар, ал х - тәуелсіз шама.

Егер а > 0 және а ≠ 1 болса, онда мұндай теңдеудің

х = а^b

түріндегі бір ғана түбірі болады.

Логарифмдік теңдеуді шешудің тәсілдерін қарастырайық:

1. Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер

теңдеуін шешейік. Логарифмнің анықтамасы бойынша - 5x = - 10 х = 2

Табылған айнымалының мәнін теңдеуге қойып тексеру керек.

х = 2 теңдеуді қанағаттандырады. Жауабы: 2

Логарифмдік функцияның анықталу облысы оң нақты сандар жиыны екені белгілі. Сондықтан логарифмдік теңдеулерді шығару кезінде алдымен айнымалының мүмкін болатын мәндер жиынын анықтайды

2. Потенциалдауды қолдану үшін логарифмдік теңдеуді

түріне келтіру

теңдеуін шешейік.

Шешуі. х айнымалысының мүмкін болатын мәндер жиынын табамыз. Ол үшін келесі жүйені құрамыз:

немесе

х айнымалысының мүмкін мәндер жиыны (5;+∞) аралығы болады

Берілген теңдеуді түрлендіріп, теңдеуін аламыз

Потенциалдау арқылы x + 5 = x² - 25 x² - x - 30 = 0 теңдеуіне келеміз

Бұдан ; Енді шыққан мәндердің (5;+∞) аралығына тиісті болатынын тексеріп, логарифмдік теңдеудің түбірі екенін анықтаймыз. Жауабы: 6.

2. Жаңа айнымалы енгізу тәсілі

теңдеуін шешейік

Шешуі. өрнегін y арқылы өрнектейік. Сонда берілген теңдеудің орнына

y² - y - 2 = 0 теңдеуін аламыз, теңдеудің түбірлері ;

Енді х айнымалысының мәндерін анықтаймыз:

; x = 4; ; x =

Айнымалының екі мәні де берілген теңдеуді қанағаттандырады. Жауабы: 4;

4. Мүшелеп логарифмдеу тәсілі

Мысалы: теңдеуін шешейік

Берілген теңдеуді былай жазамыз. ; ;

Шыққан теңдеуді негізін 2-ге тең етіп логарифмдейік:

; ;

log₂x = y; y² - 2y - 3 = 0; y₁ = 3; y₂ = − 1

демек: 1) log₂x = 3; x = 8

2) log₂x = − 1; x =

Практикада негіздері әр түрлі логарифмдерден тұратын логарифмдік теңдеулер кездеседі. Мұндай жағдайда жаңа негізге көшу формуласы қолданылады.

Шешуі. x айнымалысының мүмкін болатын мәндер жиыны (0;1)U(1;+∞) аралығы екені бірден байқалады. Жаңа негізге көшу формуласын қолданып,

өрнегін негізі 2 болатын логарифмге алмастырамыз:

; ; ; 5

мұнан x = 2; 2(0;1)U(1;+∞) болғандықтан, 2 саны теңдеудің түбірі болады.

Жауабы: 2

Егер айнымалы дәреженің көрсеткішінде де, логарифм белгісінің ішінде де болса, мұндай теңдеуді көрсеткіштік логарифмдік теңдеу деп атайды.

Көрсеткіштік логарифмдік теңдеуді шешу үшін теңдеудің екі жағын логарифмдеу тәсілі арқылы логарифмдік теңдеуге келтіреміз

Мысалы: теңдеуін шешейік

; тепе-теңдігін қолданып, мына теңдеуді аламыз: бұдан шығады.

Шыққан теңдеуді негізін 3-ке тең етіп логарифмдейік:

; ; бұдан және немесе және х₂ = 9

IV. Білімді бекіту. Есеп шығару

Теңдеулерді шешіңдер (291 - 293)

№291. 1) log₃(2x - 1) = 2; 2x - 1 = 3²; 2x = 9 + 1; x = 5

3) log₇(4 - x) =1; 4 - x = 7; x = 4 - 7; x = − 3

№ 292. 1) lg(3 - x) = lg(x + 2); 3 - x = x + 2; 2x = 1; x = 0,5

3) log₅(x + 1) = log₅(4x - 5); x + 1 = 4x - 5; 3x = 6; x = 2

№293. 1) lg(5 - x) + lgx = lg4; lg(x(5 - x) = lg4; x² + 5x - 4 = 0; ; х₂ = 1

3) ln(6 - x) + lnx = ln5; ln(x(6 - x)) = ln5; − x² + 6x - 5 = 0; ; х₂ = 1

Тест есептері бойынша білім деңгейін тексеру:

1-нұсқа

1.Теңдеуді шеш: log₂ х = 4

А) 14; В)4; С)16; D) 2;

2. Теңдеуді шеш: log₅ (2х - 1) = 2

А) 15; В)13; С)26; D)14;

3. Теңдеуді шеш: log₂ (х² - 3х + 10) = 3

А) - 1;2; В)1;2; С)2;6; D)3;5;

4. Тендеуді шеш: log₂ х = 5

А) 15; В)13; С)32; D)14;

5. Теңдеуді шешіңіз: log₃() = 0

A)6; B)8; C)12; D)16; E) 4;

6. Теңдеуді шешіңіз: = 8

А) ± 4; В) 3; С) ± 2; D) 4; E) 2;

7. Теңдеуді шешіңіз: ln(x² - 6x + 9) = ln3 + ln(x + 3)

A) x₁ = 0; x₂ = 3; B) x =1; C) x = 3; D) x₁=0; x₂=9

2-нұсқа

1.Теңдеуді шеш: log₇ (4х - 6) = log₇(2х - 4)

А) 1; В) шешімі жоқ; С) - 1; D) - 2;

2. Теңдеуді шеш: (х² - 4х - 1) = - 2

А) - 5; - 1; В) 2; 3; С) -1;5; D) - 3; - 2;

3. Теңдеуді шешіңіз: .

A) x = 3; B) x = 0,3; C) x = _; D) x = - 3; E) x = - 0,3.

4. Тендеуді шеші: log₅ х = 3

А) 15; В)125; С)16; D) 243;

5. Теңдеуді шешіңіз: log₂(3x - 5) = 0

A) 2; B) 2,5; C) - 2; D)1; E) 0.

6. Теңдеуді шешіңіз: log₆₄ () =

A) 8; B) 4; C) - 4; D)16; E) - 16

7. Теңдеуді шешіңіз: log₅x = log₅18 - log₅2 + log₅3

A)1; B)7; C)3; D)9; E)27

3- нұсқа

1.Теңдеуді шеш: .

A) x = 1,5; B) x = 4; C) x = 5; D) x = - 1,5; E) x = - 5;

2. Теңдеуді шеш: .

A) 0,5; B) - 1,5; C) - 0,5; D) 1,5; E) 0

3.Теңдеуді шеш: .

A) 0,508; B) 0,51; C) 2,32; D) 2,032; E) 5,08;

4. Логарифмнің мәнін тап: log₂32

А) 1; В) 4; С)2; D) 5;

5. Теңдеуді шешіңіз: log₂x =1+ log₂5

A)5; B)10; C) 0,1; D)3; E)1

6. Теңдеуді шешіңіз: .

A) 4; B) 5; C) 6; D) 3; E) 7

7. Теңдеуді шеш: .

A) - 5; 1; B) Түбірі жоқ; C) 1; 5 D) 1 E) 2

4-нұсқа

1.Теңдеуді шеш:

A) x = 2; B) x = 1; C) x = - 0,2; D) x = - 2; E) x = - 1

2. Теңдеуді шеш: log₃ (4 - 2х) - log₃ 2 = 2

А) - 2; В) - 6; С) - 7; D) 2; E) 7.

3. Теңдеудің түбірлерініңқосындысын тап: log₂ (х² - 4х + 3) = 3

А) 2; В) 4; С) 5; D) 3; E) 6.

4.Логарифмнің мәнін тап: log₅125

А) 3; В)4; С)16; D) 2;

5. Теңдеуді шешіңіз: lg(7 - x) = 1

A) - 3; B) 0,1; C) 6,9; D) 7,1; E) 7

6. теңдеуді шешіп, табыңыз, х-теңдеудің түбірі.

A) 30; B) 12; C) 20; D) 6; E) 2

7. Теңдеуді шешіңіз: log₂(3x - 19) = 3

A) 2; B) 2,5; C) 9; D) 1; E) 0

Тест тапсырмалары

Тест жауаптары

1

2

3

4

5

6

7

1 нұсқа

С

В

В

С

С

С

D

2 нұсқа

В

С

A

В

А

D

Е

3 нұсқа

C

C

A

D

В

D

D

4 нұсқа

A

A

А

А

D

С

V. Қорытынды. Жаңа сабақ бойынша оқушыларға логарифмдік теңдеулерді шешу барысында неге көңіл аудару керектігін және қалай орындау керектігі жайында сұрақтар қоя отырып, сабақты қорытындылап бекітемін.

Логарифмдік теңдеуді шешудің тәсілдері:

1. Логарифмнің анықтамасын қолдану арқылы шығарылатын теңдеулер

2. Потенциалдауды қолдану үшін логарифмдік теңдеуді түріне келтіру

3. Жаңа айнымалы енгізу тәсілі.

4. Мүшелеп логарифмдеу тәсілі

(жаңа негізге көшу; екі жағын логарифмдеу)

Ауызша:

(625); (32); (11);

(7); (20); (1); log_x5 = (25)

VІ. Үй тапсырмасы. §8. № 291 (2; 4), №292 (2; 4), №293 (2; 4);

Теңдеулерді шешіңдер (271 - 273)

№291. 2) ln(3x - 5) = 0; 3x - 5 = e⁰; 3x = 1 + 5; x = 2

4) lg(2x - 1) = lg3; 2x - 1 = 3; 2x = 3 + 1; x = 2

№ 292.

2) lgx + lg(x - 1) = lg2; lg(x(x - 1) = lg2; x² - x - 2 = 0; ; х₂ = − 1

х₂ = − 1 жауабы болмайды; Жауабы:

4) log₂(4 - x) = log₂(1 - 2x); 4 - x = 1 - 2x; x = − 3

№293.

2)lg(x + 1) + lg(x - 1) = lg3; lg(x + 1)(x - 1) = lg3; x² - 4 = 0; ; х₂ = − 2

х₂ = − 2 жауабы болмайды; Жауабы:

4) lgx + lg(x - 3) = 1; lg(x(x - 3) = lg10; x² - 3x - 10 = 0; ; х₂ = − 2

х₂ = − 2 жауабы болмайды; Жауабы:

VІІ. Бағалау: Оқушылардың жұмысын бағалау

Бағалау парағы

Р/с

Аты-жөні

Үй тапсырмасы

Ой қозғау

Оқулық пен жұмыс

Тест тапсырмасы

Ауызша тапсырма

Жалпы ұпай

Бағасы

1

2