Выступление на методическом объединении: Развитие умственных способностей учащихся на уроках математики

МОУ «Верхне - Гуторовская основная общеобразовательная школа»

Развитие умственных способностей учащихся

на уроках математики

Подготовила

учитель математики

Алтухова Л.Н.

2008 год

В психолого-педагогической литературе постоянно обсуждается проблема учета индивидуально-психологических особенностей школьников. Потребность в этом ощущают и педагоги-практики. Естественно возникает вопрос о том, какие же именно особенности должен учитывать учитель. Их очень много: качественные особенности восприятия (предметность, осознанность, структурность и т.д.); преобладающие виды памяти (зрительная, слуховая, двигательная и т.д.); виды мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое и т.д.), его качества (гибкость, глубина, широта и т.д.)...

Список этих показателей легко может быть продолжен каждым педагогом. Какие же из этих особенностей должен учитывать учитель математики в первую очередь? Я полагаю, что внимание педагогов прежде всего должно быть направлено на индивидуальные особенности математического мышления. Именно поэтому педагогу важно знать структуру математического мышления.

Согласно психологическим исследованиям (1, 2, 4), структура математического мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур. Охарактеризуем каждую из них.

Топологическая подструктура обеспечивает замкнутость, компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, вылепливание в представлении требуемого объекта (его образа).

Порядковые подструктуры дают возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше - меньше, ближе - дальше, часть - целое, изменение направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета.

Метрические подструктуры позволяют вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний).

С помощью алгебраических подструктур человек осуществляет не только прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, но и замену нескольких операций - одной из определенной совокупности, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последовательности.

Наконец, проективные подструктуры обеспечивают изучение математического объекта или его изображения с определенного самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта на изображение (или изображений на объект) и установление соответствия между ними.

Указанные пять подструктур в математическом мышлении человека существуют не автономно, не изолированно, не равнозначны и не рядоположны, а пересекаются и находятся в определенной зависимости, иерархии по степени значимости и представительности в интеллекте. В соответствии с индивидуальными особенностями каждого та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита.

В соответствии со своей ведущей подструктурой человек по-разному воспринимает, оперирует, перерабатывает и воспроизводит математическую информацию. Например, при восприятии математического объекта один ученик прежде всего выделяет метрические соотношения - его интересует вопрос "сколько?". Другой воспринимает в первую очередь топологические инварианты и оперирует ими (непрерывность, замкнутость, связность и т.д.). При этом он акцентирует свое внимание не на количественных, а лишь на качественных отношениях. Очевидно, представитель именно этой группы мог сформулировать известный афоризм: «Не математики считают, что математики считают».

Третий ученик (с ведущей алгебраической подструктурой) постоянно стремится к сокращениям, замене нескольких операций одной. Он часто свертывает, а порой и пропускает какие-то шаги в рассуждениях (например, одним действием он осуществляет сразу несколько операций: переносит все члены уравнения в одну сторону, приводит подобные и тут же выносит общий множитель за скобки). Сделать проверку собственного решения для такого ученика - мука.

Проиллюстрирую сказанное примером выполнения

школьниками следующего диагностирующего теста.

Учащимся предлагается исключить из данного на рис. 1 ряда фигур лишнюю фигуру и обосновать свой ответ.

Рис.1

Дети с ведущей топологической подструктурой исключают фигуру 5 на том основании, что она находится вне замкнутого контура.

«Метристы» (школьники, у которых ведущей является метрическая подструктура) предлагают исключить фигуру 4, поскольку у нее только п я т ь граней, вто время как у всех остальных фигур - по ш е с т ь.

"Алгебраисты" выбрасывают фигуру 2 как единственную не цельную, а сложенную из нескольких частей (кубиков).

С ними не согласны "проективисты", которые твердо убеждены, что логическую закономерность нарушает фигура 3, так как, в отличие от всех остальных, центр ее проецирования на чертеж находится слева, а не справа от фигуры.

Наконец, дети с ведущей порядковой подструктурой утверждают, что лишней является фигура 1, и обосновывают это тем, что она резко отличается от остальных своими размерами (значительно больше).

С учетом этих особенностей мышления я строю процесс обучения школьников математике. Суть его заключается в том, что от детей не требуется общего, одинакового для всех решения. Каждый может выполнять задание своим способом, тем, который ему понятнее, а этот индивидуальный способ зависит от ведущей подструктуры математического мышления школьника. В зависимости от нее и помощь учителя, его подсказки должны быть различными. Только в этом случае они будут услышаны, восприняты и приняты.

Поясню сказанное описанием тех индивидуальных подсказок, которые оказывают реальную помощь школьникам в зависимости от индивидуальной ведущей подструктуры их математического мышления.

З а д а ч а . В комнате стоят 15 стульев и табуретов, у которых вместе 50 ножек. Сколько стульев и сколько табуретов находится в комнате, если у стульев по 4 ножки, а у табуретов - по 3?

Порядковый способ рассуждения

Подсказки учителя:

Пусть в комнате стоят только стулья.

1. Сколько тогда должно быть ножек? 4 * 15 = 60 (ножек).

2. На сколько ножек оказалось больше, чем было на самом деле?

60 - 50 = 10 (ножек).

3. Почему ножек оказалось на 10 больше? Так как вместо табуретов брали стулья.

4. На сколько больше ножек у стула, чем у табурета? На 4 - 3 = 1 (ножку).

5. Сколько в комнате табуретов? 10: 1= 10 (табуретов).

6. Сколько стульев? 15 - 10 = 5 (стульев).

Топологический способ рассуждения

Подсказки учителя: мысленно выноси из комнаты в м е с т е по одному табурету и одному стулу.

Далее каждый раз отвечай на следующие вопросы подсказки.

Этапы повторения

I раз

II раз

III раз

IV раз

V раз

Вопросы-подсказки

1. Сколько вместе ножек у одного табурета и у одного стула?

3+4=7

3+4=7

3+4=7

3+4=7

3+4=7

2. Сколько всего ножек у тех вещей, которые еще не вынесены?

50 - 7=43

43 - 7=36

36 - 7==29

29 - 7=22

22 - 7=15

15-2=13

13-2= 11

11 - 2=9

9-2=7

7-2=5

4. Могут ли остаться невынесенными только табуреты или только стулья?

Нет

Число 43

не делится

ни на 3,

ни на 4

36:3=12

36:4=9 Нет. Должно остаться 11

штук, но 12> 11, а 9<11

Нет.

Число29 не делится ни на 3,

ни на 4

Нет. 22 не делится ни на 3, ни на 4

15:3=5 Да,осталось 5

табуретов

5. Если ответ отрицательный, повтори все рассуждения с - вопроса 1 для следующего раза.

6. Сколько всего табуретов? Пятый раз вынесли пятый

табурет (вместе с пятым стулом), и осталось 5 табуретов,

значит, всего было 5 + 5 = 10 (табуретов).

7. Сколько стульев? 15- 10 = 5 (стульев)

Вопросы-подсказки должны задаваться последовательно. Некоторым учащимся достаточно оказывается только одной подсказки, и затем они решают задачу самостоятельно. Если первая подсказка школьнику не помогла, то ему предлагается следующая подсказка и т.д.

Аналогичным образом даются подсказки учащимся и с другими ведущими подструктурами (порядковой, проективной и т.д.).

Проективный способ рассуждения

Дети с этой подструктурой математического мышления прежде всего пытаются построить наглядный образ ситуации, описанной в задаче. Думать над решением они начинают только после того, как этот образ (или его изображение) у них появился, и решение они строят при активном использовании этого образа.

Поэтому этим школьникам целесообразно давать подсказки следующего типа.

Попробуй изобразить ножки от табуретов и стульев, если они расположены в один ряд (рис. 2).

• • • • • • •

• • • • • • … • • • • …

Табуреты Стулья

Рис. 2

Какое минимальное количество ножек есть у табурета и стула? Далее идут рассуждения, аналогичные порядковому способу, но в отличие от него они строятся не аналитически, а посредством постоянной опоры на рисунок или схему.

Метрический способ рассуждения

Предположим, что задача уже решена. Какие числа удовлетворяют условию задачи?

Учащиеся с данной ведущей подструктурой с большим желанием и удовольствием готовы длительное время без устали совершать различные операции над числами. При этом особая интуиция позволяет им "почувствовать" те числа, которые следует брать, и к ответу они приходят довольно быстро: 4*7 + 3*8 = 52- не удовлетворяет; 4 *5+ 3* 10 = 50 - удовлетворяет.

Ответ: 10 табуретов и 5 стульев.

Не следует сразу отвергать этот способ, дело в том, что метод подбора, как искусственный не так уж редко используется, особенно при решении нестандартных задач. При этом он довольно быстро приводит к результату. Например, подставив значение

0 (-1) в уравнение 3467х²+9832х-2359=0 или значение -1 в уравнение 3467х² + 9832х + 2359 = 0, гораздо проще установить наличие или отсутствие действительных корней этих уравнений, нежели вычисляя дискриминанты. Развитие у школьников особой интуитивной чувствительности к числовым величинам; к целесообразному оперированию количеством является одной из составляющих математических способностей (В.А.Крутецкий, С.И.Шапиро).

Алгебраический способ рассуждения

Здесь возможны два различных подхода;

а) комбинирование всевозможными вариантами ответов с помощью прикидки или перебора возможных вариантов;

б) комбинирование (совмещение) различных способов решения.

Например:

1. 3 + 4= 7 (ножек) вместе у одного табурета и одного стула.

2. 7 * 5= 35 (ножек) вместе у 5 табуретов и 5 стульев.

3. 50 - 35= 15 (ножек) осталось несосчитанных.

4. 15 - 10= 5 (штук) осталось либо табуретов, либо стульев.

5. 15: 5 = З (ножки). Значит, осталось 5 табуретов.

6. 5 + 5 = 10 (табуретов).

Следующее действие (15-10=5шт.) не выполняется (оно сворачивается, так как кажется этим детям очевидным), и сразу записывается ответ: 10 табуретов и 5 стульев.

Ведущая подструктура математического мышления проявляет себя во всех математических действиях школьников, и в зависимости от нее каждый выбирает свой индивидуальный метод решения. В заключение проиллюстрируем это примером сравнения двух обыкновенных дробей 2/3 и 3/4 разными учащимися.

Школьники с ведущей топологической подструктурой строят единичный отрезок. Делят его соответственно на З и 4 части и откладывают отрезки длиной 2/3 и 3/4 (рис. 3). Так как на чёртеже ясно видно, что отрезок 2/3 включается (является частью, подмножеством) в отрезок 3/4, то легко делается соответствующий вывод о том, что 2/3 < 3/4.

Рис. 3

Дети с ведущей порядковой подструктурой уравнивают знаменатели дробей, а затем сравнивают числители и делают соответствующий вывод: 2/3= 8/12; 3/4 = 9/12.

Так как 8 < 9, то и 8/12 < 9/12, и, следовательно, 2/3< 3/4.

Метрический способ решения не отличается оригинальностью. Эти школьники просто ищут разность двух обыкновенных дробей: 3/4 - 2/З= (9 - 8)/12 = 1/12, следовательно, 3/4 > 2/3.

Учащиеся с ведущей алгебраической подструктурой поступают так. Они пытаются дополнить каждую дробь до целого, в данном случае до единицы:

2/3+1/3- 1; 3/4+1/4=1.

Так как 1/З > 1/4, то очевидно, что 2/З < 3/4.

Наконец, школьники с ведущей проективной подструктурой располагают друг под другом два параллельных отрезка. На одном отмечают длину 2/3, на другом 3/4, проецируют один полученный отрезок (например, 2/3) на другой (3/4) и сравнивают длины полученных проекций (рис. 4). В итоге получают ответ: 2/З < 3/4.

Рис. 4

К сожалению, отсутствие учета индивидуальных особенностей математического мышления учащихся ведет к тому, что педагог навязывает детям тот способ рассуждения, который свойствен е м у (в силу наличия у самого учителя определенной ведущей подструктуры). В этом случае дети, ведущая подструктура которых совпадает с ведущей подструктурой педагога, легко его понимают, для них он понятно и доступно объясняет. Для остальных же школьников усвоение математики - мука. Если учитель преподает в одном классе несколько лет, то возможно, что за это время он постепенно "переломает" и переформирует ведущую подструктуру некоторых школьников, В результате дети начинают думать так, как объяснял этот процесс учитель (например, сравнивать дроби метрическим или порядковым способом в зависимости от приверженности педагога, т.е. от его ведущей подструктуры). другие же школьники (с наиболее устойчивой ведущей подструктурой) продолжают испытывать трудности.

Не этим ли объясняется тот факт, что некоторые выдающиеся математики не справлялись с этой наукой в школе или проваливались на вступительных экзаменах? Например, гениальный французский математик Эварист Галуа дважды пытался поступить в Политехническую школу и оба раза проваливался на вступительных экзаменах. Причина заключалась в том, что экзаменатор не мог поверить, что юноша способен так много преобразований совершать в представлении, свертывать их, и задавал много уточняющих вопросов, а Э.Галуа, действительно обладавший такой способностью (очевидно, в силу доминирования в его математическом мышлении алгебраической подструктуры), считал, что экзаменатор издевается над ним, задавая слишком простые вопросы, и однажды даже бросил в него тряпку.

А кто из нас во время учебы не сталкивался с таким фактом, когда казалось, что новый преподаватель, пришедший на замену основному, объясняет понятнее? Теперь эти факты несложно истолковать различием или совпадением ведущих подструктур математического мышления учителя и ученика.

Не ломать математическую индивидуальность ученика, а учитывать ее и строить процесс обучения в соответствии с ней - наша задача. Именно этот путь (в соответствии со структурой мышления школьника) известный математик и методист А.И.Маркушевич назвал «подлинно "детским путем" в математику» (3; с. 5).

Литература

1. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся. М.: Педагогика, 1989. С. 69 - 95.

2. Каплунович И.З. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. Новгород, 1996.

3. Маркушевич А.Н. К вопросу о реформе школьного курса математики // Математика в школе. 1964. 146. С. 3 -6.

4. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. М.: Учпедгиз, 1960. С. 10 - 30.