Преподавателю
Математика
Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Раздел	Математика
Класс	10 класс
Тип	Конспекты
Автор	Симоненко Н.М.
Дата	13.12.2015
Формат	doc
Изображения	Есть

Поделитесь с коллегами:

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ ТА ЇЇ

ЗАСТОСУВАННЯ

Факультативне заняття для учнів 8-10 класів

Сімоненко Н.М.

вчитель математики

Харківської загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів №59

Тема. Теорема Менелая та її застосування для розв'язання задач.

Мета: довести теорему Менелая для трикутника та розглянути її застосування для розв'язання задач; розвивати в учнів: стійкий інтерес до математики; логічне мислення; уміння систематизувати матеріал та робити висновки; навички самостійної та творчої роботи з учбовою літературою.

Очікувані результати: учні знають теорему Менелая та уміють її застосовувати при розв'язанні задач.

Структура заняття.

І. Історична довідка.

ІІ. Теоретичний матеріал.

ІІІ. Колективне розв'язання задач.

IV. Самостійне розв'язання задач.

V. Гра «Математична вікторина».

VI. Домашнє завдання.

Хід заняття

І. Історична довідка.

Геометрія починається з трикутника. Якщо взяти шкільний підручник з геометрії, то ми побачимо, що перші змістовні теореми стосуються саме трикутника. Все попереднє - лише аксіоми, означення або найпростіші з них наслідки. На початку свого виникнення планіметрія була "геометрією трикутника". "Геометрія трикутника" може пишатися теоремами, які носять ім'я Піфагора,Фалеса, Ейлера, Торрічеллі, Лейбниця. На рубежі 19-20 століть завдяки великій кількості робіт, присвячених трикутнику, був створений цілий новий розділ планіметрії - "Нова геометрія трикутника". Багато з цих робіт зараз виглядають малоцікавими, недосконалими; термінологія, яка використовувалась в них майже забута й зустрічається тільки в енциклопедіях. Але деякі теореми "Нової геометрії" продовжують жити й досі, це теореми Менелая та Чеви.

Теореми Чеви та Менелая можна назвати "двоїстими" теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розв'язанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно "з'ясувати відношення" між точками та прямими, - наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.

Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розв'язанні досить складних задач.

Сьогодні ми розглянемо теорему Менелая. Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.

ІІ. Теоретичний матеріал. Перед доведенням теореми треба повторити ознаки подібності прямокутних трикутників.

Теорема Менелая. Нехай задано трикутник Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач і три точки на прямих і відповідно. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач (1)

Зауваження. Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так:

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач Рис. 1.

Доведення.

Необхідність. Нехай пряма Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач перетинає прямі та в точках і відповідно (див. рис. 1) і - перпендикуляри, які опущено з точок Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач на пряму . Трикутники ААС₁, ВВС₁ та ССА_1,ВВА₁ прямокутні та мають по рівному гострому куту отже вони попарно подібні, тоді маємо відношення:

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Перемножимо записані відношення та одержимо:

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Достатність. Проведемо пряму Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач . Ми повинні довести, що ця пряма перетинає в точці . Насамперед доведемо, що Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач дійсно перетинає . Припустимо, що паралельна (див. рис. 2). Але тоді

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Звідси та з рівності (1) випливає Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , що неможливо.

Нехай Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач - точка перетину прямих та . По вже доведеному

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач Рис. 2.

Порівнюючи з умовою, одержуємо, що

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Отже, теорема Менелая повністю доведена.

ІІІ. Колективне розв'язання задач.

Теорема Менелая доведена тепер можна розглянути її використання для розв'язання задач

Задача 1. У трикутнику медіана ділить відрізок Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач (точка належить стороні ) у відношенні 5:3 , починаючи від вершини Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач . У якому відношенні відрізок ділить медіану

Розв'язання.( Треба повторити поняття колінеарних та не колінеарних векторів та додавання векторів за правилом паралелограма).

1-й спосіб. (Векторний).

Н Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

ехай .

Введемо вектори Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Розкладемо вектор Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач за неколінеарними векторами і :

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Оскільки Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , то

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Виходячи з єдиності розкладу вектора Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач за неколінеарними векторами і , маємо:

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Відповідь: 3 : 1.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач і прямої

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Виходячи з умови, маємо :

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Тоді

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Відповідь: 3 : 1.

Задача2. У трикутнику відрізок ( Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач належить стороні ) ділить медіану у відношенні 3:4, починаючи від вершини Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач . У якому відношенні точка ділить сторону

Розв'язання.(Спочатку треба повторити теорему Фалеса).

1

-й спосіб

Проведемо Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач За умовою За теоремою Фалеса . Нехай , тоді

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Відповідь: 3:8.

2-й спосіб

Запишемо теорему Менелая для трикутника Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач і прямої :

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач Тоді .

Відповідь: 3 : 8 .

На прикладі розв'язання цих задач видно, що за допомогою теореми Менелая вони розв'язуються набагато простіше.

Задача 3. Висота рівнобедреного трикутника з основою Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач поділена на три рівні частини. Через точку та точки поділу проведено прямі, які ділять бічну сторону, що дорівнює Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач см, на три відрізки. Знайти ці відрізки.

Розв'язання.

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Звідси Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач см , см.

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Звідси Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач см, (см)

Відповідь: 12 см, 18 см, 30 см.

Задача4. Через середину сторони паралелограма Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , площа якого дорівнює 1, і вершину проведено пряму, яка перетинає діагональ Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач у точці . Знайти площу чотирикутника .

Розв'язання.

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

,

Оскільки площі трикутників з рівними висотами відносяться як основи, тоді

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Відповідь: Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач _.

_{IV. Самостійне розв'язання задач.}

Задача1. У трикутнику на стороні взято точку , а на стороні Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач точки і так , що і . У якому відношенні пряма ділить відрізок Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Розв'язання.

За умовою Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Відповідь: 11 : 3.

Задача2. На сторонах і трикутника Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач дано відповідно точки і такі , що .У якому відношенні точка Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач перетину відрізків і ділить кожен з цих відрізків ?

Розв'язання.

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

_.

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Відповідь: Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , .

Задача3. З вершини прямого кута трикутника проведено висоту Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , а в трикутнику проведено бісектрису . Пряма, що проходить через точку Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач паралельно , перетинає у точці . Довести, що пряма ділить відрізок Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач навпіл.

Р

озв'язання.

Нехай Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , тоді , .

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ( - бісектриса).

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Тому Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач - рівнобедрений, .

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Трикутники Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач і подібні,

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Тоді

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач (1)

З подібності трикутників Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач і запишемо:

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач (2)

З трикутника Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач за властивістю бісектриси:

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач (3)

Порівнюючи співвідношення (1), (2), (3) маємо:

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач

Підставимо знайдений результат у теорему Менелая :

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Тобто Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , що і треба було довести.

V. Гра « Математична вікторина»

( Учні уважно слухають питання , які задає вчитель. Відповідь дають усно).

1. Вони такі непомітні, але дуже потрібні, важливі. В геометрії без них неможливо обійтися.

(Крапка)

2. Майже всі приміщення мають таку форму. І зараз ми знаходимося всередині такого приміщення.

(Паралелепіпед)

3. Яка теорема називається "магістр математики"?

(Теорема Піфагора)

4. Якщо квадрат і ромб мають однакові сторони, то площа якої фігури більша?

(Площа квадрата більша, оскільки висота ромба менша за його сторону)

5. Вітрина, актриса, тритон. Яке число об'єднує всі ці слова?

(Три)

6. Що більше cos 40º чи sin 50º?

(cos 40º = sin (90º - 40º) = sin 50º)

7. Якому вченому належать слова:"Математику вже тому вчити треба, що вона розум до порядку приводить».

(М. В. Ломоносов)

8. Як знайти центр кола, користуючись тільки косинцем?

(Покласти вершину прямого кута в точку кола так, щоб його сторони перетинали коло. Відмітити ці точки перетину, потім з'єднати їх - дістанемо діаметр кола. Таким самим методом побудувати другий діаметр. Їх точка перетину і буде центром кола)

9. Поясніть переклад і походженння слова «геометрія».

(«Гео» - земля, «метрейн» - виміряти)

10. Кому належать слова «Математика - це політ»?

(В. Чкалов)

11. Яке велике творіння давньогрецької математики лежить в основі підручника геометрії для середньої школи в усіх країнах світу? Хто її автор?

(Лежить відоме «Начало» Евкліда, написані в IV столітті до н. е.)

12. Для перевірки того, що вирізаний кусок має форму квадрата, кравчиня перегинає його по кожній з діагоналей і переконується, що краї обох частин співпадають. Чи достатня така перевірка?

(Ні, оскільки вказані дії задовільняють також і ромб)

VІ. Домашнє завдання. Розв'язати задачі.

Задача 1. Нехай - медіана трикутника . На Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач взята точка так, що . В якому співвідношенні пряма ділить площу трикутника Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ?

Р

озв'язання.

Відношення площ трикутників Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач та дорівнює відношенню відрізків та Застосовуючи теорему Менелая до трикутника ACD та прямої BP, маємо

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач ,

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач , .

Відповідь: AP:PC=3:2.

Задача 2. В бісектриса поділяє Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач в відношенні 2:1. В якому відношенні медіана поділяє цю бісектрису ?

Розв'язання.

Застосовуємо теорему Менелая до трикутника Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач та прямої

Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

Так як Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач - медіана, то , ВС=ВD+СD звідси

Відповідь: Разработка факультативного занятия для 8-10 классов Теорема Менелая и её использование при решении задач .

загрузить