Планирование учебного материала при подготовке к ЕГЭ

Методика подготовки обучающихся к сдаче ЕГЭ

(из опыта работы учителя математики МОУ СОШ№7 Москаленко М.Г.)

Система работы

В основу положены следующие концептуальные положения:

Личностный подход, педагогика успеха, педагогика сотрудничества.

Обучать математике значит обучать решению задач, а обучать решению задач значит обучать умениям типизации и умениям решить типовые задачи.

Индивидуализировать обучение «трудных» и «одаренных».

Органическая связь индивидуальной и коллективной деятельности.

Характерной особенность-перестроить учебный процесс, активизировать учащихся, заинтересовать их, приучить их к самостоятельной работе.

Важное требование школьной реформы - развитие логического мышления.

Выделяю следующие направления деятельности на уроке:

- уроки-лекции (проводятся с целью изучения новой темы крупным блоком, активизируют мышление школьников при изучении нового, экономят время для дальнейшей творческой работы.)

- уроки решения ключевых задач по теме. (Вместе с учащимися) выделяю минимальное число задач, на которых реализуется изученная теория, учу распознавать и решать ключевые задачи, после которых задается определенный объем индивидуальной работы. Учащемуся для нормального изучения чего-либо надо проделать самому огромный объем духовной и умственной работы.

- уроки-консультации, на которых вопросы задают ученики, а отвечает на них учитель.

- зачетные уроки, на которых обучающиеся докладывают решения задач, над которыми они трудились дома. В идеале было бы замечательно, если все учащиеся побывали у доски. Каждая самостоятельно решенная задача - это успех ученика, который способствует воспитанию у него чувства собственного достоинства и уверенности в своих силах.

- уроки контроля и оценки знаний, умений и навыков, целью которых является организация управления процессом усвоения, его коррекции.

Главными в обучении служат следующие два принципа.

Принцип активного обучения

Учащиеся должны понять, что для усвоения научных истин одного примитивного прилежания недостаточно, а нужны долгие, порой мучительные размышления.

Принцип дифференцированного обучения и оценки

Этот принцип реализуется довольно просто. Ведь предлагаются задачи разной сложности - от типовых до трудных. И каждый учащийся волен выбирать для решения те задачи, которые ему доступны.

Задача нахождения множества значений функции

Задачи, связанные с поиском множества значений функции, не находят, как правило, должного развития в рамках школьного курса математики. Причем речь идет не столько об основных элементарных функциях. Сколько о композиции основных элементарных функций.

Выделяю две основные группы задач на нахождение множества значений функции.

Нахождение множества значений непрерывной на отрезке функции сводится к нахождению наименьшего fmin и наибольшего fmax ее значений на заданном отрезке.

Эта задача, в свою очередь, решается по известной схеме:

вычисляем значения функции f(a) и f(b) на концах отрезка [a;b];

находим критические точки х1, х2, … , хk функции f на интервале (a;b) и вычисляем значения f(x) в этих точках;

выбираем fmin = min{f(a), f(x1), … , f(xk), f(b)} и fmax = max{f(a), f(x1), … , f(xk), f(b)}.

Нахождение множества значений сложной функции (композиции функций) на произвольном множестве и, в частности, на естественной области определения.

Решение этих примеров предполагает знание основных свойств всех элементарных функций, изучаемых в школьном курсе, и потому так любимы авторами - составителями ЕГЭ.

Нахождение множества значений сложной функции удобно осуществлять в виде многошаговой процедуры, на каждом шаге которой находится множество значений некоторой элементарной функции.Например: Найдем множество значений функции

Пусть t = x2 + x - 2; p = 3 / t; y = 1 + p, имеем композицию трех функций y = y(p(t(x))).

Найдем множество значений каждой из элементарных функций в порядке их вложенности. При этом множество значений E(t) первой функции будет областью определения D(p) функции p(t) (за исключением точек, в которых функция p(t) не определена: х = -2 и х = 1). Аналогично E(p) ⊆ D(y).

Е(t) = [-9 / 4; +∞), с учетом области определения функции p = 3 / t, D(p) = [-9 / 4; 0) ∪ (0; +∞). Функция p = 3 / t строго убывает на области определения, поэтому E(p) = (-∞; -4 / 3] ∪ (0; +∞) = D(y). E(y) = (-∞; -1 / 3] ∪ (1; +∞).

Приведем основные свойства композиции функций.

Пусть сложная функция y = f(g(x)), x ∈ X, такова, что функция u = g(x) - непрерывна и строго монотонна на промежутке Х, функция y = f(u), u ∈ U, U = g(X) - непрерывна и строго монотонна на промежутке U. Тогда сложная функция y = f(g(x)), x ∈ X также будет непрерывной и монотонной на Х, причем:

композиция двух строго возрастающих функций является строго возрастающей;

композиция двух строго убывающих функций является строго возрастающей;

композиция строго возрастающей и строго убывающей функций будет строго убывающей функцией.

Множество значений композиции трех и более основных элементарных функций находится аналогично в результате последовательного (в порядке вложенности) анализа пар функций.Например: Найдем множество значений функции

Пусть t = x2 + 1 - убывающая при x ≤ 0, p = 1 / t - убывающая, u = (2 / π)arcctg p - убывающая, v = log1 / 2 u - убывающая, y = arctg v - возрастающая.

Поэтому композиция у = у(х), составленная из четырех убывающих и одной возрастающей функции будет возрастающей.

E(t) = [1; +∞) = D(p). Функция p = 1 / t строго убывает на области определения, поэтому E(p) = (0; 1] = D(u).

Функция u = (2 / π)arcctg p строго убывает на области определения, поэтому E(u) = [1 / 2; 1] = D(v).

Функция v = log1 / 2 u строго убывает на области определения, поэтому E(v) = (0; 1] = D(y).

Функция y = arctg v строго возрастает на области определения, поэтому E(у) = (0; π / 4].

Методическая подготовка к ЕГЭ

Далее: зачастую учителя, репетиторы и родители, помогающие своим детям подготовиться к ЕГЭ, пытаются прорешать как можно больше вариантов предыдущих лет. Такой путь неперспективен. Во-первых, варианты не повторяются. Во-вторых, у школьника не формируется устойчивый общий способ деятельности с заданиями соответствующих видов. В-третьих, у школьника появляется чувство растерянности и полной безнадежности: заданий так много и все они такие разные. И каждый раз нужно применять соответствующий подход. Естественно, запомнить все решения всех заданий невозможно. Поэтому намного разумнее учить школьников общим универсальным приемам и подходам к решению.

Сформулирую принципы построения методической подготовки к ЕГЭ.

Первый принцип - тематический. Разумнее выстраивать такую подготовку, соблюдая правило - от простых типовых заданий до заданий части С. Система развития логического мышления учащихся осуществляется с помощью системы различных типов задач с нарастающей трудностью. Анализы репетиционных работ показали, что расположение однотипных задач группами особенно полезно, поскольку дает возможность научиться логическим рассуждениям при решении задач и освоить основные приемы их решения.

Второй принцип: переход к комплексным тестам разумен только в конце подготовки (апрель-май), когда у школьника накоплен запас общих подходов к основным типам заданий и есть опыт в их применении на заданиях любой степени сложности.

Третий принцип: все тренировочные тесты провожу с жестким ограничением времени. Занятия по подготовке к тестированию нужно стараться всегда проводить в форсированном режиме с подчеркнутым акцентированием контроля времени. Этот режим очень тяжел школьникам на первых порах, но, привыкнув к этому, они затем чувствуют себя на ЕГЭ намного спокойнее и собраннее.

Четвертый принцип в шутливой форме звучит так: «Нормальные герои всегда идут в обход!». Нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для получения ответа наиболее простым и понятным способом.

Например: найти наименьшее значение функции f(x) = log1 / 3(9 - x2).

Можно, конечно, решать стандартным путем: найти производную и исследовать ее. Но не сразу и вспомнишь формулу производной «полного логарифма».

Вместо того чтобы тратить время на попытки ее вспомнить, можно пойти таким путем: в области допустимых значений логарифма 9 - x2 ≤ 9, значит, 9 - наибольшее значение выражения, стоящего под знаком логарифма. Поскольку в основании логарифма 1 / 3 (функция убывающая), то наименьшее значение функции получается при х = 0, f(0) = log1 / 39 = -2.

Таким образом, на выполнение задания уходит около 30 сек.

Система работы при подготовке обучающихся к сдаче ЕГЭ

Опираясь на вышеизложенные принципы можно предложить следующую систему работы при подготовке школьников к сдаче ЕГЭ по математике.

С учетом первого принципа все предлагаемые задания разбиты по следующим темам:

Функции.

Преобразования выражений.

Уравнения и неравенства.

Системы уравнений и неравенств.

Проценты. Прогрессии. Пропорции.

Производная и первообразная.

Задания даны в приложении.

В начале учебного года выпускники и их родители знакомятся с планом подготовки к ЕГЭ.

Учащимся 11-х классов предлагаются тренировочные материалы по теме (часть В1-В6) для самостоятельного решения дома в течении заданного срока (две- три недели). Провожу ряд индивидуальных консультаций. При необходимости на некоторых консультациях задания решаются на доске.

Проводится зачет по части (В7-В12.) Задания для зачета составлены из решенных заданий части В.

Учащимся, успешно сдавшим зачет, предлагаю задания части (С1-С3 тоже на две-три недели). Учащиеся, не сдавшие зачет, продолжают получать консультации по части В, остальные по части С.

На втором зачете каждый учащийся сдает тот материал, который ему необходим.

Учащимся, претендующим на более глубокое знание математики, выдаются задания части С4 -С6, и следует еще один зачет.

К третьему, завершающему, зачету учащиеся оказываются дифференцированными на три группы по уровню подготовленности.

ЧастьВ - это базовый уровень, определенный образовательным стандартом. Если ученик успешно достигает запланированного данным стандартом уровня знаний, умений и навыков, то он и получает в соответствии с достигнутыми результатами отметки. Если он претендует на более высокий уровень знаний ( а это всегда выбор САМОГО УЧАЩЕГОСЯ), то справедливо оценивать его, исходя из более высоких требований к знаниям, умениям и навыкам. Для учащихся со слабыми РУВ предоставляется возможность пересдать зачет. На ту же работу ему дается в три раза больше времени.

Возможность пересдачи зачета учит распоряжаться своим временем, планировать работу ( не успел сегодня, надо сделать завтра, но не позднее оговоренного времени). Выпускник учится определять главное звено в цепи событий на каждый конкретный момент времени. В процессе такой деятельности у него вырабатывается склонность к систематичности, основательности в работе, происходит присвоение таких черт характера, как умение планировать свое время, быстро входить в работу, умение отдыхать в перерывах между делом, концентрировать внимание, что немаловажно для формирования уверенности в собственных силах.

Организованная таким образом работа создает ситуацию взаимопомощи, взаимного обучения, обеспечивает возможность достижения результатов «неуспешными» учениками, самореализации успешных школьников в качестве консультантов.

Получение текущей информации о достижениях учащихся обеспечивается за счет внедрения графика оперативного учета, расположенного на информационном стенде. График постоянно обновляется и дополняется по мере сдачи зачетов.

К началу четвертой четверти тематическое повторение закончено и можно приступить к комплексным тестам. На весенних каникулах проводится первое пробное тестирование. Учащиеся приглашаются на четыре часа и не более 15 человек в группу, что позволяет психологически настроиться на сдачу ЕГЭ, формирует убеждение в том, что, если очень постараться, то можно получить вполне приличный балл и в то же время позволяет понять, что ЕГЭ - это не очень легко и просто. И пока есть время можно ликвидировать пробелы и подготовиться к экзамену.

В апреле - мае происходит обучение постоянному жесткому самоконтролю времени, оценке объективной и субъективной трудности заданий и соответственно разумному выбору этих заданий, прикидке границ результатов и минимальной подстановке и приему «спирального движения» по тесту.

Приложение №1

Приложение №2

Приложение №3

Преобразования А

А1. Вычислите:

1. 2. 0,36 +32; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .

А2. Вычислите:

1. ; 2. 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. .

А3. Представьте выражение в виде степени:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

А4. Упростите выражение:

1. ; 2. ; 3.; 4. ; 5. ; 6. .

А5. Упростите выражение:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

А6. Найдите значение х, если: 1. ; 2. .

А7. Вычислите:

1. ; 2. log₂50-2log₂5; 3. ; 4. ; 5. .

А8. Вычислите:

1. ; 2. ; 3. log₁₅5³+log₁₅3⁴+log₁₅5⁶3⁵; 4. ; 5. .

A9. Упростите выражение:

1.log₄x+2log₁₆x-log₂x; 2. log₅+log_5; 3. log₅75+log₅(25)^-1; 4. ; 5. 6. .

А10. Упростите выражение:

1. ; 2. ; 3. log₇()-2log₇3-5; 4. ; 5. (log₃72-log₃18)log₄3+2.

А11. Запишите число в виде логарифма с основанием а:

1. 2; ; 1; 0 при а = 4; 2. 3; -1; -3; 1 при а = 3;

3. 3; ; 0; -1 при а = 2; 4. 1; -2; 0; 3 при а = 5.

12. Упростите выражение:

1. 2. 3.

4. 5. sin 6.

А13. Упростите:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

А14. Упростите выражение:

1. 2. cos 3 . 2cos 4. 5. sin15 6. 7. .

А15. Вычислите значения обратных тригонометрических функций:

1. 2. arcsin 3 arccos 4. arcctg 5. arccos1; 6. arcsin2; 7. arctg(-1); 8. arccos .

А16. Вычислите:

1. arcctg1; 2.arccos(-3); 3. arcsin; 4. arcctg; 5. arcsin; 6. arctg; 7. arccos0.

А17. Найдите значение выражения:

1. sin 2. 3. 4. ctg

5. arcsin(sin); 6. 7. 8.

А18. Найдите:

1. 2.

3. ; 4.

А19. Вычислите:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6..

А20. Упростите:

1. 7cos²x - 5 + 7sin²x; 2. cosx + tgx sinx; 3. ; 4. 1-sinx ctgx cosx; 5. 1+ctgsinx cosx ; 6. 1-.

А21. Упростите выражение:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.; 6. .

А22. Упростите:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. .

А23. Найдите значение выражения:

1. sin, если ; 2. 3. ; 4. ; 5. .

А24. Вычислите:

1. ; 2. ; 3. ; 4. .

А25. Найдите , если:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .

А26. Найдите:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. .

Преобразования В

В1. Выполните действия:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. .

В2. Найдите значение выражения:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. .

B3. 1. Известно, что . Найдите .

В4. Вычислите , если log₂b=3.

B5. 1. Найдите значение выражения lga + lgb , если lg(0,01ab) = 2,5.

В6.Найдите , если log_a29=24.

B7. Известно, что log₇4 = m, log₇5 = n. Выразите через m и n log₇80.

B8. Найдите х, если:

1.log₂x = log₄9; 2. log₃x = ; 3. ; 4. lgx = lg6+lg2; 5.lgx = lg25-lg5; 6. ; 7. ; 8. .

B9. Вычислите log_a х, если log_a b = 3, log_a c = - 2 и :

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .

B10. Прологарифмируйте по основанию 10, где a>0, b>0.

1. 100; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. .

B11. Упростите выражение:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. .

B12. Найдите х по данному его логарифму (a>0, b>0):

1. = + 7log₃b; 2. log₅x = 2log₅a-3log₅b; 3. ; 4. ; 5. .

B13. Замените все логарифмы логарифмами по основанию 2:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. log ₃ a; 6. ; 7. ; 8. .

B14. Найдите значение выражения:

1. , если а= 81, b=16; 2. , если х=3;

3. , если а=81,b=16; 4. , если p = 49;

5. , если x=81, y=16; 6. , если x=16, y=25.

В15. Известно, что . Вычислите:

1. +; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. .

В16. Найдите значение выражения:

1. ; 2. ; 3. .

В17. Упростите:

1. ; 2. ;

3. 4. ;

5. ; 6. .

В18. Упростите выражение:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

В19. Найдите значение выражения:

1. , если ; 2. , если ; 3. , если ; 4. если tg = 3.

В20. Вычислите:

1. ; 2. sin(200arcsin(-0,5)); 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;

7. 8.

В21. Найдите значение выражения:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Преобразования С

С1. Известно, что Найдите наименьшее целое значение , большее двух.

С2. При каких значениях а сумма будет равна единице хотя бы при одном значении х?

С3. При каких значениях а значение выражения больше значения выражения при всех допустимых значениях х?

С4. При каких значениях а значение выражения будет равно 1 хотя бы при одном значении х?

С5. Известно, что лежит между числами 8 и 13, а принимает целые значения. Найдите количество этих значений.

С6. . При каких значениях а значение выражения не будет равно нулю ни при каких значениях х?

С7. При каких значениях а выражение больше выражения стно, что . Найдите с.

С10. Многочлен с целыми коэффициентами имеет ровно два корня х=-2 и х=3. Найдите С.

С11. Известно, что Во сколько раз а больше b, если оба эти числа положительны?

С12. При каком значении х из множества значение выражения ближе всего к 73?

16