Программа элективного курса «Приложения комплексных чисел». Элективный курс предназначен для классов с углубленным изучением математики

Программа элективного курса «Приложения комплексных чисел»

Элективный курс «Приложения комплексных чисел» предназначен для учащихся 11 профильных классов. Курс является межпредметным (алгебра + геометрия).

Данная программа направлена на: углубление знаний и умений учащихся; обобщение понятия числа; знакомство с гиперкомплексными числами (кватернионами). Для реализации программы достаточно знаний и умений, полученных в основном курсе математики 10 класса.

Актуальность предлагаемой программы определяется следующими соображениями. Она:

1. Расширяет, обобщает и интегрирует знания учащихся по теме «Комплексные числа».

2. Готовит учащихся к более осмысленному пониманию теоретических сведений.

3. Способствует повышению общего уровня математической культуры и расширению кругозора.

Цель элективного курса: формирование у учащихся системы знаний о понятиях, связанных с комплексными числами, их приложениями в геометрии и ознакомить с расширением понятия комплексного числа − кватернионами.

Задачи элективного курса:

− показать практическое применение комплексных чисел в алгебре и геометрии;

− расширить понятие числа и ознакомить с новой числовой системой (системой кватернионов);

−вооружить учащихся специальными и общенаучными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать информацию, необходимую для результативной деятельности;

− активизировать познавательную и творческую деятельность.

Программа элективного курса рассчитана 34 часа (2 ч. в неделю).

Форма занятий: урок − лекция, урок − практикум, а также комбинированный урок, который включает в себя как теоретический материал, так и решение задач, урок самостоятельного решения задач, урок защиты проектов.

Тематическое планирование (34 часа)

Таблица 4

№

занятия

Содержание темы

Кол-во

часов

Виды занятий

1-6

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

6

Урок-лекция

Комбинированные уроки

Урок-практикум

7-12

Использование комплексных чисел для решения задач и доказательств теорем геометрии

6

Урок-лекция

Комбинированный урок

13-18

Классификация перемещений плоскости с использованием комплексных чисел (комплексный множитель как оператор поворота и растяжения (или сжатия)). Моделирование функций комплексной переменной

6

Урок-лекция

Комбинированные уроки

19-24

Основная теорема алгебры и ее следствия. Применение основной теоремы алгебры для нахождения корней многочлена.

6

Урок-лекция

Комбинированные уроки

Урок-практикум

25-30

Кватернионы. Скалярные и векторные кватернионы. Связь кватернионов с векторами в трехмерном евклидовом пространстве.

6

Комбинированный урок

Урок-практикум

31

Контрольная работа.

1

Урок самостоятельного решения задач

32-34

Защита проектов. Итоговое занятие.

3

Урок защиты проектов

Отличительные особенности данного элективного курса:

− преемственность между основными понятиями базового (числовые операции, множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел) и элективного (алгебраические операции, комплексные числа и кватернионы) курсов математики;

- разнообразие задач на доказательство;

- взаимосвязь алгебры и геометрии;

− использование информационно-коммуникативных технологий;

− расширение множества комплексных чисел до множества кватернионов.

Ожидаемые результаты и способы их определения

В результате изучения программы данного элективного курса учащиеся должны:

− правильно употреблять уже знакомые понятия: комплексные числа, действительная и мнимая части комплексного числа, сопряженные числа; и новые термины: кватернионы, скалярная и векторная части кватернионов;

− уметь производить арифметические действия с комплексными числами и кватернионами;

− уметь доказывать свойства и теоремы, относящиеся к основным понятиям и решать типовые задачи, иллюстрирующие основные положения элективного курса.

Для оценки эффективности занятий элективного курса используются следующие показатели:

− уровень помощи учителя: чем меньше помощи, тем больше самостоятельность учащихся и, значит, выше развивающий эффект занятий;

− особенности поведения учащихся на занятиях, уровень их активности, заинтересованности;

− результаты выполнения самостоятельных заданий, в качестве которых используются задания, уже выполнявшиеся учениками, но другие по своему внешнему оформлению, которые выявляют степень усвоения данного типа заданий.

Основными формами подведения итогов реализации данной образовательной программы являются контрольная работа и защита индивидуальных и групповых проектов.

Основное содержание курса «Приложения комплексных чисел» соответствует современным тенденциям развития школьного курса алгебры и начал математического анализа, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний учащихся.

Изучение темы «Приложения комплексных чисел» даст возможность проявить свои способности учащимся, имеющим высокую математическую подготовку, и позволит им не только оценить свои способности и возможности, но и сделать обоснованный выбор дальнейшего обучения и будущей профессии.

Содержание элективного курса

1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел (6 ч.).

Изображение точек, имеющих комплексные координаты, на плоскости. Изображение векторов с комплексными координатами на плоскости. Изображение множества точек комплексной плоскости, удовлетворяющих заданными условиями (представленных в виде равенств, неравенств, двойных неравенств; а так же в случаях, когда комплексное число дано в виде своей мнимой, действительной части или как аргумента числа). Критерий принадлежности трех точек плоскости одной прямой.

Основная цель - показать, как комплексные числа могут быть изображены точками и векторами плоскости.

2. Использование комплексных чисел для доказательств теорем и решения задач геометрии (6 ч.).

Доказательство свойства отрезка, построенного на серединах диагоналей произвольного четырехугольника. Задача Птолемея. Доказательство одного из признаков прямоугольника и свойство диагоналей произвольного четырехугольника. Критерий принадлежности четырех точек окружности. Нахождение координаты точки пересечения секущих единичной окружности. Нахождение координаты точки пересечения двух касательных к единичной окружности. Теорема Ньютона. Теорема Гаусса.

Основная цель - демонстрация применения комплексных чисел для доказательства теорем, касающихся четырехугольников, прямых линий и окружностей.

3. Классификация перемещений плоскости с использованием комплексных чисел (6 ч.).

Тождественное отображение (). Осевая симметрия (). Параллельный перенос (). Поворот на угол . Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии и поворота (). Комплексная функция комплексного переменного. Моделирование функций комплексной переменной.

Основная цель - показ применения комплексных чисел, как оператора поворота и растяжения.

4. Основная теорема алгебры и ее следствия. Применение основной теоремы алгебры для нахождения корней многочлена (6 ч.).

Корни многочлена с целыми коэффициентами. Необходимое условие существования рациональных корней. Решение неполных кубических уравнений с действительными коэффициентами (случай трех действительных корней, случай одного комплексного и пары комплексно сопряженных корней, применение метода разложения на множители). Формулы Кардано. Теорема Декарта о действительных корнях многочлена.

Основная цель - применение теории комплексных чисел для решения уравнений.

5. Кватернионы (6 ч.).

Историческая справка. Триплеты. Скалярные и векторные кватернионы. Связь алгебраических операций над комплексными числами с алгебраическими операциями над кватернионами. Связь кватернионов с векторами в трехмерном пространстве. Модуль кватерниона. Особенности деления кватернионов.

Основная цель - ознакомление учащихся с дальнейшим расширением понятия числа - гиперкомплексными числами и действиями с ними.

6. Контрольная работа (1 ч.).

Основная цель - проверка знаний и умений учащихся по данной теме.

7. Защита индивидуальных и групповых проектов (2 часа).

Тематика исследовательской работы учащихся

Темы исследовательских работ предлагаются учащимся для выполнения индивидуальных или групповых проектов или в качестве индивидуальных научно - исследовательских работ.

Темы выдаются в начале изучения программы. Защита проектов или работ проходит в рамках научно - исследовательской конференции. Лучшие работы отбираются на школьную конференцию учащихся.

1. Происхождение понятия комплексного числа и его развитие.

План работы:

1. Происхождение понятия комплексного числа. Развитие в ХVI − ХVII вв.

2. Комплексные числа в ХVIII в. Труды Даламбера, Муавра и Эйлера.

3. Новый взгляд на комплексные числа в ХIХ веке.

4. Современный взгляд на комплексные числа (Н.Е.Жуковский, С.А. Чаплыгин и др.).

Рекомендуемая литература: [7, 8, 9, 10].

2. Происхождение понятия кватерниона и его развитие. Триплеты.

План работы:

1. От комплексных чисел к триплетам. Труды У.Р. Гамильтона.

2.От триплетов к кватернионам.

3. Работы Г.Грассмана, Б. Пирса, А.Кели и Г.Фробениуса.

4. Современный взгляд на кватернионы.

Рекомендуемая литература: [2, 11, 15].

3. Свойства комплексных чисел и кватернионов.

План работы:

1. Доказательство свойств комплексных чисел.

2. Свойства кватернионов.

3. Отличительные особенности свойств двух числовых систем.

Рекомендуемая литература: [10, 11, 15].

4. Умножение точек на плоскости.

План работы:

1. Как умножаются точки на прямой.

2. Определение умножения на плоскости.

3.Можно ли определить умножение в пространстве?

4. Точки как комплексные числа.

Рекомендуемая литература: [20].

5. Пары чисел и действия с ними.

План работы:

1.Уравнение ax−by=c в целых числах.

2.Пары чисел.

3. Уравнение x²−dy²=1 в целых числах.

4. Замечательное тождество и композиция Виета.

5. Комплексные числа a + bi как пары.

Рекомендуемая литература: [6].

6. Композиции перемещений плоскости при заданном комплексном операторе z.

План работы:

1.Композиции двух поворотов, двух параллельных переносов.

2. Композиция двух осевых симметрий.

3. Композиция двух косых симметрий.

4. Композиция осевой симметрии и поворота.

Рекомендуемая литература: [10; 11; 13].

7. Комплексные числа и кривые второго порядка.

План работы:

1.Функция w= z² −функция комплексного переменного.

2.Образы координатных четвертей и плоскостей и координатной сетки.

3.Прообразы прямых.

4.Концентрические окружности плоскости z.

Рекомендуемая литература: [14].

8. Стереографическая проекция на комплексную плоскость.

План работы:

1. Что такое стереографическая проекция. Примеры (video.yandex.ru).

2. Сфера. Экваториальная плоскость. Полюса.

3. Сфера Римана.

4. Конечная комплексная плоскость.

Рекомендуемая литература: [9].

Литература для учителя и учащихся

1. Алфутова, Н.Б. Алгебра и теория чисел: сборник задач для математических школ./ Н.Б. Алфутова, А.В. Устинов. М.: МЦНМО, 2002. −264 с.

2. Аршинов, М.Н. Грани алгебры / М.Н. Аршинов, Л.Е. Садовский; Под ред. Ю.В.Кузьмина. − М.: Факториал Пресс, 2008. − 328 с.

3. Ашманов, С. Числа и многочлены/С. Ашманов //Квант. -1980 -№ 2.- С. 17-20.

4. Балк, Г.Д. Реальные применения мнимых чисел / Г.Д. Балк [и др.]. − К.: Рад.шк., 1988. − 255с.

5. Вагутен, Н. Сопряженные числа /Н. Вагутен // Квант.- 1980.- № 2. - С.26-32.

6. Васильев, Н.Б. Пары чисел и действия над ними / Н.Б.Васильев,

В.Л. Гутенмахер // Квант. - 1985. - № 1. - С. 19-24.

7. Гиндикин, С. О пользе чисел «поистине софистических»/ С. Гиндикин // Квант. - 1983. − № 6. - С. 10-17.

8. Глейзер, Г.И. История математики в школе. IХ-Х классы. Пособие для учителей. / Г.И. Глейзер.− М.: Просвещение, 1983. − 351 с.

9. Епихин, В.Е. Алгебра и теория пределов Элективный курс: Учебное пособие / В.Е.Епихин. − М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. − 352 с.

10. Избранные вопросы математики 10 класс факул. курс / А.М. Абрамов [и др.]. - М. : Просвещение, 1980. - 191 с.

11. Кантор, И.Л. Гиперкомплексные числа / И.Л.Кантор, А.С. Солодовников. − М. : Наука, 1973. - 144 с.

12. Карп, А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / А.П. Карп. - М. : Просвещение, 1995. - 176 с.

13. Козиоров, Ю.Н. Комплексные числа и тригонометрические функции // Математика в школе. - 1995. - № 2 - С. 57-61.

14. Куланин, Е.Д. Комплексные числа и кривые второго порядка / Е.Д. Куланин, Г.Л. Луканкин // Математика в школе. - 1991. − № 2 - С. 50−53.

15. Мищенко, А. Кватернионы / А. Мищенко, Ю. Соловьев // Квант. - 1983. - №9. - С. 9-14.

16. Понтрягин, Л.С. Комплексные числа /Л.С. Понтрягин //Квант. -1982.- № 4. - С. 16-19.

17. Понтрягин, Л.С. Обобщение чисел /Л.С. Понтрягин //Квант.- 1985.- №2. - С.6-11.

18. Понтрягин, Л.С. Обобщение чисел /Л.С. Понтрягин //Квант. - 1985.- №3. - С.2-5.

19. Скопец, З.А. Геометрические миниатюры / З.А.Скопец.- М. : Просвещение, 1990. − 278 с.

20. Смолянский, М. Умножение…точек на плоскости / М. Смолянский // Квант. -1980. - № 4. - С. 19-22.

Блок 1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Основная цель - систематизация знаний учащихся об основных понятиях темы «Комплексные числа».

Занятие 1. Комплексные координаты точек и векторов

На первом занятии рассматривается связь комплексных чисел с координатами векторов, вводятся новые понятия комплексной координаты точки и комплексной координаты вектора.

Возьмем на плоскости декартову систему координат xOy [6, С. 27].

Пусть Z − некоторая точка на плоскости. Ее положение определяется двумя действительными числами − ее декартовыми координатами (a, b).

Сопоставим точке Z комплексное число z = a + ib.

Это комплексное число назовем комплексной координатой точки Z.

Каждому комплексному числу z соответствует на декартовой плоскости xOy вполне определенная точка Z , комплексной координатой которой является именно это число z. Причем, на оси Oy откладываем коэффициент при i (действительное число), но отметке 1 на оси Oy соответствует число i.

Упражнение 1. Построите точки O(0; 0); P(−3; 0); Q(0; 2); М(−2; 1) Какие комплексные координаты они будут иметь?

Решение. Если O(0; 0); P(−3; 0); Q(0; 2); М(−2; 1) - декартовы координаты данных точек, тогда их комплексные координаты: z_O = 0 + i0; z_P = −3 + i0; z_Q = 0 + 2i; z_M = −2 + 1i.▲

Возьмем на координатной плоскости (рис. 1а) вектор ОZ c началом в начале координат и концом в точке Z, имеющей координаты (a, b). Комплексное число назовем также комплексной координатой вектора ОZ.

Рассмотрим любой другой вектор АВ, равный вектору ОZ.

Это означает, что данные векторы равны по длине, лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых и одинаково направлены.

Вектору АВ сопоставим тоже самое комплексное число z; и будем его называть комплексной координатой вектора АВ.

Так, например, на рисунке 1б) векторы АВ, CD и ОZ имеют одну и туже комплексную координату (2 − 3i). Можно сказать, что если проекция некоторого вектора на ось Oх равна а, а его проекция на ось Oy равна b, то комплексной координатой вектора называется число z = a + ib.

Рис. 1а) Рис. 1б)

Упражнение 2. Какие комплексные координаты имеют векторы KL, MN, PQ, ST, изображенные на рисунке 1б)?

Решение. (3, 1), (4, 0), (0, −2), (−1, −3) − координаты в декартовой системе. Тогда данные векторы имеют следующие комплексные координаты:

z= 3 + 1∙i; z= 4 + 0∙i; z= 0 −2∙i; z= −1 −3∙i.▲

Упражнение 3. Нарисуйте на координатной плоскости какие − либо векторы, начала которых не совпадают с началом координат и которые имеют такие комплексные координаты: i , 3 −i, −i − 3, − 2, .

Решение. Пусть векторы имеют следующие координаты:

(0; 1); (3 ; −1); (−3 ; −1); (−2 ; 0); ( ; ).

Построим эти векторы сначала от начала координат, а затем, используя параллельный перенос, распределим по плоскости xOy (см ниже рис. 2). ▲

Упражнение 4. Пусть векторы ОА и АВ (рис. 3) смеют комплексные координаты z₁ и z₂, а сумма этих векторов (вектор ОВ) имеет комплексную координату z. Как выражается число z, через числа z₁ и z₂?

Рис.2

Решение. Пусть z₁ = a₁ + ib₁, z₂ = a₂ + ib₂.

Тогда проекция векторов ОА и АВ на ось Oх равна соответственно a₁ и a₂, а проекция их суммы ОВ на ось Oх равна a₁ + a₂.

Аналогично, проекция векторов ОА и АВ на ось Oу равна соответственно b₁ и b₂, а проекция их суммы ОВ на ось Oх равна b₁ + b_2.

Тогда комплексная координата z вектора ОВ равна

(a₁ + a₂) + i (b₁ + b₂), то есть z = z₁ + z₂.▲

Итак, при сложении двух векторов их комплексные координаты складываются.

Упражнение 5. Две точки Z₁ и Z₂ координатной плоскости xOy (рис. 4) имеют комплексные координаты z₁ и z₂. Какую комплексную координату имеет вектор Z₁Z₂?

Решение. Обозначим через z комплексную координату вектора Z₁Z₂ . Так как ОZ₂ = ОZ₁ + Z₁Z₂, то z₂ = z₁ + z, откуда z = z₂ − z₁.▲

Итак, комплексная координата вектора равна разности между комплексной координатой его конца и координатой его начала.

Упражнение 6. Концы отрезка Z₁Z₂ (рис. 5) имеют соответственно комплексные координаты z₁ и z₂. Какова комплексная координата z середины Z этого отрезка?

Решение. Векторы Z₁Z и ZZ₂ равны и потому имеют одну и ту же комплексную координату; обозначим ее за с.

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

Так как ОZ = ОZ₁ + Z₁Z и ОZ₂ = О Z + ZZ₂, то z = z₁ + с, z₂ = z + с.

Исключая с, найдем, что z = .▲

Итак, комплексная координата середины отрезка равна полусумме комплексных координат его концов.

Упражнение 7. Точки А и В на координатной плоскости имеют комплексные координаты и . Какую комплексную координату имеет вектор АВ? Какую комплексную координату имеет середина отрезка АВ?

Решение. Комплексная координата вектора :

z = ((−)) + i∙(−1−3) = 2− 3∙i.

Пусть точка C середина отрезка, её декартовы координаты:

C(; 3−1) или C(0; 2).

Значит середина отрезка имеет следующую комплексную координату

z_С = 0 + 2∙i.▲

Занятие 2. Модуль и аргумент комплексного числа

На втором занятии рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа, геометрическая интерпретация противоположных и сопряженных комплексных чисел, вводится уравнение окружности, записанное при помощи комплексных чисел.

Если число z = a + ib − комплексная координата вектора АВ, то длина r этого вектора называется модулем числа z (обозначается ).

r = = .

Угол наклона вектора АВ к оси Ох (отсчитываемый в положительном направлении, то есть против часовой стрелки) называется аргументом числа z (обозначается Arg z) [54, С.17−18].

.

У каждого комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов, если z ≠ 0, то аргументы отличаются на кратное , а аргумент 0 произволен.

Изображение комплексных чисел при помощи точек на плоскости позволяет представить число a + bi в другом виде, а именно в так называемой тригонометрической форме. Пусть точка М изображает комплексное число a + bi. Тогда ОА = а; АМ = b. Из прямоугольного треугольника ОАМ имеем: а = ∙ cos, b = r ∙ sin. Подставив в число найденные выражения получим a + bi = ∙(cos + i ∙sin). Это и есть тригонометрическая форма комплексного числа.

Рис.6

Упражнение 1 [66, C.153-154]. Изобразите на плоскости XOY множество всех точек , удовлетворяющих условию .

Решение. Из определения главного аргумента комплексного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис 8), образующем угол с положительным направлением оси Ох. ▲

Рис.7 Рис. 8 Рис. 9

Если дано комплексное число z = x + iy, то число называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу . Точки М(z) и симметричны относительно оси х (рис.8).

Упражнение 2. Изобразите на плоскости XOY множество всех точек , удовлетворяющих условию .

Решение. Из определения главного аргумента комплексного числа и определения сопряженного числа следует, что множество точек z, удовлетворяющих данному соотношению, является открытым лучом Oz (рис. 9), образующем угол с положительным направлением оси Ох. ▲

Точки с комплексными координатами z и −z симметричны относительно начальной точки О. Точки с комплексными координатами z и симметричны относительно оси у. Из равенства z= вытекает x=0 и обратно.

Поэтому условие z = является критерием чисто мнимого числа.

Для любого числа z, очевидно, |z| = || = |-z| = ||. Проверьте.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами: .

Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Квадрат модуля не меняется при сопряжении: поэтому он является действительным числом [6, С. 31].

Если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с = а+b является координатой точки С, такой, что (рис.10) [66, С.153].

Рис. 10

Комплексному числу d = a - b соответствует такая точка D, что .

Расстояние между точками А и В равно :

|АВ| = |а − b| (1).

Так как |z|²= z∙, то |AB|² = (a − b)∙ () (2).

Уравнение определяет окружность с центром О радиуса r.

Занятие 3. Расположение комплексных чисел

Занятие 3 посвящено решению задач, связанных с расположением комплексных чисел на плоскости, используя основные определения и факт, что расстояние между двумя точками z и w равно расстоянию между 0 и z−w, т.е. [30, С. 92−94].

Задача 1. Где расположены комплексные числа z, для которых =?

Решение. Данное равенство означает, что точка находится на одинаковом расстоянии от точек 1 и i; следовательно она находится на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти точки. Поэтому искомые числа расположены на биссектрисе первого и третьего координатных углов.▲

Задача 2. Где расположены комплексные числа z, для которых:

а) ; б) < < ; в) .

Решение: а) ответ следует из определения главного аргумента: искомые точки составляют луч ОА, проведенный под углом к положительному направлению оси абсцисс;

б) искомые точки составляют угол между лучами ОВ и ОС (рис. 11а);

в) точка w = z + i лежит на отрицательном луче оси абсцисс, а точка z получается из нее сдвигом вниз на расстояние 1. Следовательно, искомые точки образуют луч АВ (рис. 11б).▲

Рис. 11а Рис. 11б Рис. 11в

Задача 3. Найдите аргумент чисел и .

Решение. При решении данной задачи необходимо использовать тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Воспользуемся формулами

и

из которых можно найти угол .

Так для первого числа отмечаем, что аргумент лежит в промежутке от 0 до (рис. 11в) и поэтому может быть записан как арккосинус: .

Для второго числа аргумент расположен в третьей четверти, а значения арккосинуса и арксинуса не могут быть больше и поэтому воспользуемся формулой арктангенса: .▲

Задача 4. Решите систему уравнений:

Решение. Данная система элегантно решается, используя комплексные числа.

Умножив первое уравнение на i и сложив со вторым получим:

.

Пусть z =, w = , а а = .

Тогда получаем равенство в виде z + w = а.

== =1,

то есть все точки лежат на единичной окружности (рис.12).

Параллелограмм Ozaw - ромб, у которого длина диагонали равна длине стороны, а значит углы .

Рис. 12

Другими словами, если и - главные аргументы чисел z и w, то

и

и решение данной системы может быть записано в виде: ,

Ответ: , ▲

Занятие 4. Изображение комплексных чисел,

заданных своей мнимой или действительной частью

На данном занятии рассматриваются простейшие изображения комплексных чисел. Учащиеся могут выполнять самостоятельно задания, с последующей проверкой.

Задача 1. Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия [32, С. 5-7]:

а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) ,

и) , к) .

Решение.

а) . Из равенств и , получаем: .

Множество точек - прямая (рис. 13).▲

б) . , . Следовательно, .

Множество точек - верхняя относительно оси OX полуплоскость, включая прямую (рис. 14).▲

Рис. 13. Рис. 14.

в) . Из равенств и , получаем: .

Множество точек - прямая (рис. 15).▲

г) , , и . Следовательно, . Множество точек - левая относительно прямой полуплоскость, включая прямую (рис. 16).▲

д) . , поэтому .

Множество точек - прямая . (рис. 17).▲

Рис. 15. Рис. 16. Рис. 17.

е) Если , то условия и означают, что и . Множество точек - часть плоскости, ограниченная снизу прямой , справа , исключая указанные прямые (рис.18).▲

ж) Если , то , и условие означает, что , т.е. . Множество точек - прямая (рис. 19).▲

Рис. 18 Рис. 19

з) Если , то при условии, что сумма отлична от нуля, имеем , поэтому .

Следовательно, , откуда получаем уравнение:, или . Преобразуем его .

Таким образом, множество точек - это окружность с центром в точке O радиуса , у которой «выколота» точка (рис. 20).▲

Рис. 20

и) ; по условию , следовательно, .

Множество точек - окружность с центром в начале координат радиуса 1.▲

к) По условию , поэтому , т.е. , , , . Последнее условие означает, что либо , либо . В первом случае получаем уравнение оси Ox, в во втором случаи точку . Учитывая, что , т.е. что действительная часть комплексного числа неотрицательна.

Искомое множество точек - положительная полуось Ox с началом в точке .▲

Задача 2 (для самостоятельного решения с последующей проверкой). Изобразите графически множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполняются данные условия [32, С. 5-7]:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Занятие 5. Изображение множества точек комплексной плоскости,

заданных в виде неравенств

На пятом занятии рассматриваются задачи, в которых необходимо изобразить множество комплексных чисел, заданных в виде обыкновенного или двойного неравенства.

Задача 1. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: [30, С. 92].

Решение. Поскольку , то искомые точки z отстоят от точки А(2−i) на расстояние, большее или равное 5. Таким образом, это множество точек, которое лежит вне окружности радиуса 5 с центром в точке с координатами (2;−1) и на этой окружности. ▲

Задача 2. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение. Положим . Тогда , . Неравенство при равносильно неравенству или .

Последнее неравенство задает круг с центром в точке (0; 0,5) и радиусом 0,5 включая границу круга. Вследствие ограничения точка (0; 0) не принадлежит заданному множеству (рис. 21).▲

Рис. 21

Задача 3. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам , для которых .

Решение. Представим выражение в виде разности двух комплексных чисел: . Тогда становится ясно, что равенство является уравнением окружности с центром в точке и радиусом 2.

Неравенству удовлетворяют внутренние точки указанного круга вместе с точками, лежащими на окружности , тогда неравенству соответствует внешность круга радиуса 1 концентрическому первому.

Так как нас интересуют точки, удовлетворяющие одновременно двум условиям: , поэтому искомая область является пересечением двух найденных областей и представляет собой кольцо, содержащее точки внешней ограничивающей окружности. Так как левое неравенство является строгим, точки внутренней ограничивающей окружности не входит в полученную область (рис. 22). ▲

Рис. 22.

Задача 4. Укажите, где на плоскости расположены точки, соответствующие комплексным числам, удовлетворяющим условию: .

Решение. Равенство является уравнение прямой l, перпендикулярной отрезку AB (A(0;0) и B(0;2)) и проходящей через середину, т.е. прямая l параллельна оси Ox и проходит через точку (0;1). Так как из равенств , , следует равенство , а значит, , т.е. .

Поэтому этому равенству удовлетворяют точки полуплоскости, лежащие ниже прямой l не входит в указанную область, так как данное неравенство строгое (рис. 23).▲

Рис. 23.

Задача 5. Из всех чисел , удовлетворяющих условию , найдите такие, что принимает наименьшее значение [2, С. 102].

Решение. Пусть . Тогда .

Уравнение задает на комплексной плоскости окружность с центром в точке O(0; 0), радиуса 5.

С геометрической точки зрения величина представляет собой сумму расстояний от точки, соответствующей комплексному числу , до точек A(7; 0) B(0; 7), соответствующих числами 7 и 7i. Окружность с центром в O и радиусом 5 пересекает отрезок AB в двух точках P и Q. Эти точки и будут соответствовать тем комплексным числам, для которых величина принимает наименьшее значение.

Действительно, для точек P и Q значение равно длине отрезка AB, а для любой точки N окружности, отличной от P и Q, в силу неравенства треугольника справедливо соотношение AN+BN >AB.

Найдем координаты точек P и Q.

Эти точки лежат на прямой AB, которая задается уравнением . Решим систему

Так как , то перейдем к системе

Уравнение имеет корни 3 и 4, поэтому решениями системы являются пары (3; 4) и (4; 3). Таким образом, точкам P и Q соответствуют числа и (рис. 24).▲

Рис. 24

Занятие 6. Изображение множества точек комплексной плоскости,

заданных в виде частного.

Для решения задач на пятом занятии необходимы умения выполнять преобразования комплексных чисел и решать простые квадратные и кубические уравнения, содержащие комплексные числа. В начале занятия можно решить несколько несложных квадратных или кубических уравнений:

Упражнение. Решите уравнения: а) x² - 4x + 5 = 0; б) .

Решение. а )D = 16 - 4∙1∙5 = - 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни

; .

б) ; ;

.

Получим систему: или

У данной системы два решения: и

Ответ: а) ; б) , ▲

Задача 1. Изобразите на плоскости комплексные числа, удовлетворяющие условию: [2, С.102].

Решение. ,значит

и .

Получили две точки: B() и C() ( см ниже рис.25).▲

Задача 2. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: .

Решение. . Следовательно, .

Таким образом, , , тогда

, , .

Этим числам соответствуют три точки: A(), B() и C(). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 26).▲

Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27

Задача 3 [57, С. 264]. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: .

Решение. Данное неравенство равносильно выполнению двух условий: и . Если , где x и y - действительные числа, то получаем следующие неравенства:,

, , ,

.

Искомая область лежит вне круга с центром в точке (-2; 0) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (2; 0) (рис. 27).

Задача 4. Изобразите множество точек комплексной плоскости,

удовлетворяющих условию: .

Рис. 28 Рис. 29

Решение. Данное неравенство равносильно выполнению двух условий:

и . Если взять , то получаем следующее неравенство: .

Преобразуем его , , . Получаем .

Искомая область - круг с центром в точке (0; 2) радиуса 2, включая границу круга и исключая точку (0; 1) (рис. 28).

Задача 5 [57, С.264]. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: .

Решение. Пусть = .

Тогда ;

.

По условию, , откуда

; ;

.

Левая часть двойного неравенства задает область, лежащую вне круга с центром в точке K(-0,5; 0,5) и радиусом 1. правая часть задает круг с центром в точке K и радиусом 2. В каждом случае граница не включается в заданное множество. Искомое множество точек изображено на рисунке 29.

Блок 2. Использование комплексных чисел

для решения задач и доказательств теорем геометрии

Основная цель - демонстрация применения комплексных чисел для доказательства теорем и решения задач геометрии.

Занятие 7. Применение комплексных чисел для решения задач

на доказательство по теме «Четырехугольники»

На занятии рассматривается три задачи на доказательство свойств диагоналей четырехугольников, причем доказательство последней задачи можно предложить учащимся выполнить самостоятельно, так как оно выполняется аналогично доказательству первых двух задач.

Пусть дан параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату = при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство a + c = b + d является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

Задача 1[66, С.155]. Точки М и N - середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD (рис.30).

Доказать, что |AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|² = |AC|²+|BD|²+4|MN|².

Рис.30

Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, m, n. Так как m = и n = , то

|AB|²+|BC|²+|CD|²+|DA|²=

(1).

|AC|²+|BD|²+4|MN|²

(2).

Правые части (1) и (2) равны, значит равны и левые. ▲

Задача 2 [66, c.155]. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|²+|MC|²=|MB|²+|MD|², тo ABCD - прямоугольник (рис.31).

Рис. 31 Рис. 32

Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с = −a, d = − b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству , которое означает, что диагонали параллог-ма равны, т. е. он прямоугольник. ▲

Задача 3 [6, С.30]. Доказать, что сумма квадратов диагоналей AC, BD четырехугольника ABCD равна удвоенной сумме квадратов отрезков MN, PQ, соединяющих середины противоположных сторон (рис.32).

Решение. Требуется доказать:

Запишем левую часть равенства в комплексной форме:

.

Воспользовавшись формулой середины отрезка, находим комплексное равенство правой части и непосредственным подсчетом убеждаемся, что она равна левой. ▲

Занятие 8. Показательная форма записи комплексных чисел

Для дальнейших решений нам потребуется представление комплексных чисел показательной форме [6, С. 40] .

Выражение вида встречается в математике и ее приложениях весьма часто. Для него используются различные сокращенные обозначения. Например, в работах по картографии его обозначают знаком I, а в работах по математике − через е.

Таким образом, по определению е = (1).

Обозначение (1) оправдано сходством в свойствах выражений вида е(с вещественным показателем х) и выражений вида е.

Известно, что для вещественных х, х₁ и целых n верны следующие формулы:

е∙ е = е , (2)

е = , (3)

(е)ⁿ = е . (4)

Иными словами, при перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются; при возведении какой-либо степени в целую степень показатели перемножаются. Напишем для выражения вида е аналогичные формулы ( и − произвольные действительные числа, n − любое число). Записи вида е, е, е следует понимать как е, е, е. Значит:

е∙ е = е, ()

е = , ()

(е)ⁿ = е ()

Формулы (2') − (4') позволяют производить преобразования с выражениями вида так, как будто это обычные степени.

Формулу е = называют формулой Эйлера.

Формулу (е)ⁿ = е − формулой Муавра.

Более распространена другая запись формулы Муавра:

()ⁿ =

Формула Эйлера позволяет каждое комплексное число записать компактно в виде z = r е, где − аргумент числа, а r−его модуль.

Следствия:

1. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Пусть даны два комплексных числа

z₁= е =

и z₂ = е = = (5).

Выразим тригонометрические функции через показательную форму комплексных чисел (складывая и вычитая эти числа):

е+ е, = е− е.

Откуда и (6).

Упражнение 1. Какие комплексные числа заданы выражениями: е; е; е; е?

Решение. Используя тригонометрическую запись комплексного числа и формулу Муавра, получим:

е = ; е = i;

е = ^, е= ^.▲

Упражнение 2 [53, С. 254]. Представьте в показательной форме число 3−4i.

Решение. Найдем модуль числа z = 3−4i : .

Следовательно, z = 5, при этом среди углов , удовлетворяющих двойному неравенству <, существует, и при том только единственный, такой угол , что , а , и поэтому

z = 5( + ) = , где .

Значит z = ^.▲

Упражнение 3 [6, С. 86]. Пусть z₁ и z₂ − комплексные координаты двух точек, расположенных на окружности радиуса R с центром в начале координат, и аргументы данных чисел, (рис.33). Проверьте справедливость следующего тождества:

z₁ − z₂ = ∙ i .

Рис.33

Решение. Так как z₁ − z₂ = R е− R е,

то .

Отсюда .

Значит z₁ − z₂ = ∙ i.▲

Занятие 9. Использование показательной формы записи

комплексных чисел для доказательства задачи Птолемея

На девятом занятии рассматривается два доказательства теоремы Птолемея: при помощи показательной записи комплексного числа и при помощи тригонометрической записи числа. Доказательство следствия этой задачи можно предложит учащимся выполнить самостоятельно.

Задача Птолемея (эта задача была решена впервые по 2 веке нашей эры древнегреческим геометром и астрономом Клавдием Птолемеем).

Пусть в окружность вписан выпуклый четырехугольник А₁А₂А₃А₄ (рис.34). Требуется выразить сумму произведений противоположных сторон через диагонали четырехугольника.

Рис. 34

Решение1 [6, С. 88]. Доказательство с помощью показательной формы записи комплексного числа.

Будем считать, что центр окружности взят в качестве начала координат и что при обходе окружности против часовой стрелки мы последовательно встречаем вершины А₁, А₂, А₃, А₄. Их комплексные координаты обозначим через z₁, z_2, z₃ и z₄.

Пусть , где k = 1, 2, 3, 4.

Воспользуемся формулами из упражнения 2.

А₁А₂ ∙ А₃А₄ + А₂А₃ ∙ А₄А₁ = =

= А₂А₄ ∙ А₁А_3.

Итак, в каждом вписанном выпуклом четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей. ▲

Решение 2 [30, С. 99]. Доказательство с помощью тригонометрической записи комплексного числа.

Будем считать, что центр окружности взят в качестве начала координат и что при обходе окружности против часовой стрелки мы последовательно встречаем вершины А₁, А₂, А₃, А₄. Точку О выберем за начало координат. Повернем четырехугольник так, чтобы вершина А₁ принадлежала положительному лучу оси абсцисс (рис.35). Вершины А₂, А₃, А₄ теперь можно рассматривать как комплексные числа x, y, z, модули которых равны R, а главные аргументы соответственно; вершина А₁-комплексное число R.

Рис. 35

Нам нужно доказать равенство А₁А₂ ∙ А₃А₄ + А₂А₃ ∙ А₄А₁ = А₂А₄ ∙ А₁А_3.

Его можно переписать в виде

. (1)

=,

и аналогично , .

Далее: =

= = ,

и аналогично , .

Равенство (1) теперь принимает вид:

+=,

и для его доказательства достаточно воспользоваться формулой синуса разности:

+==

== .▲

Задача 2. Может ли произведение диагоналей выпуклого четырехугольника А₁А₂А₃А₄ быть большей, чем сумма произведений противоположных сторон [6, С.89].

Решение. Воспользуемся тождеством, верным для любых комплексных чисел z₁, z_2, z₃ и z₄:

.

Опираясь на свойства модулей комплексных чисел, получим:

, то есть всегда А₁А₃ ∙ А₂А₄ ≤ А₁А₂ ∙ А₃А₄ + А₂А₃ ∙ А₁А_4.

Получили, что в каждом четырехугольнике произведение диагоналей не больше суммы произведений его противоположных сторон. ▲

Занятие 10. Коллинеарность точек и векторов

на плоскости комплексных чисел.

На девятом занятии вводится новая интерпретация уже знакомых определений сонаправленных и противоположно направленных векторов, рассматривается критерий коллинеарности точек и определение коллинеарных векторов. Выводится уравнение прямой комплексной плоскости.

Пусть на плоскости комплексных чисел даны точки А(а) и B(b).

Определение 1 [66,С. 156]. Векторы и сонаправлены тогда и только тогда, когда arg a = arg b, т. е. при arg а - arg b = arg=0 (при вычитании комплексных чисел, из аргумента делимого вычитается аргумент делителя) (рис.36).

Определение 2. Векторы направлены противоположно в том и только в том случае, если arg a - arg b= arg_.

Комплексные числа с аргументами 0, и являются действительными.

Теорема (Критерий коллинеарности точек О, А, В):

Для того чтобы точки А(а) и В(b) были коллинеарны с начальной точкой О, необходимо и достаточно, чтобы частное было действительным числом, т. е. или (1) (рис.37).

Рис.36 Рис. 37

Действительно, так как в этом случае число действительное (k =), то критерий (1) эквивалентен такому: . (2)

Возьмем теперь точки A(а), B(b), C(c), D(d).

Определение 3. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда точки, определяемые комплексными числами а-b и с-d, коллинеарны с началом О.

Другими словами [66, С.158]: Два вектора тогда и только тогда коллениарны, когда отношение их комплексных координат является действительным числом (положительным, если векторы сонаправлены и отрицательным, если противоположно направлены) (рис. 38).

Рис. 38

Упражнение. Изобразите на координатной плоскости точки Z₁, Z₂ и Z₃ с координатами 8+13i, 13+21i и 21+34i. Лежат ли они на одной прямой?

Решение. При рассмотрении указанных точек создается впечатление, что они лежат на одной прямой. Проверим это. Точки Z₁, Z₂ и Z₃ лежат на одной прямой, если векторы и коллинеарны, а это будет в том случае, когда отношение их комплексных координат z и w представляет собой действительное число. Но

и . А это не действительное число.

Значит данные точки не лежат на одной прямой. ▲

Отметим несколько важных утверждений:

1.Условие параллельности двух прямых:

(3);

2. Если точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности = l, то , и поэтому (рис.39) (4).

Рис. 39

3. Коллинеарность точек A, В, С характеризуется коллинеарностью векторов и .

Используя (3), получаем: . (5)

Это критерий принадлежности точек A, B, С одной прямой. Его можно представить в симметричном виде . (6)

Если точки A и B принадлежат единичной окружности =l, то , и поэтому каждое из соотношений (5) и (6) преобразуется (после сокращения на (а−b) в такое: . (7)

Точки А и В фиксируем, а точку С будем считать переменной, переобозначив ее координату через z. Тогда каждое из полученных соотношений (5), (6), (7) будет уравнением прямой АВ:

. (5а) . (7a)

В частности, прямая ОА имеет уравнение

Занятие 11. Перпендикулярность векторов на плоскости комплексных чисел. Касательные и секущие единичной окружности

На десятом занятии рассматриваются критерии перпендикулярности векторов, решается задача на нахождении координаты точки пересечения хорд единичной окружности. Приводится уравнение касательной к единичной окружности и с ее помощью решается задача о точке пересечения двух произвольных касательных к единичной окружности.

Переходим к выводу критериев перпендикулярности отрезков.

Ясно, что .

Комплексные числа с аргументами и − являются чисто мнимыми. Поэтому,

или .

Отрезки АВ и CD (рис. 40) перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы точек с комплексными координатами а-b и с-d перпендикулярны. Получаем:

.

Рис. 40 Рис. 41

В частности, когда точки А, В, С, D принадлежат единичной окружности = l, то полученная зависимость упрощается:

.

Задача 1 [66, С. 158]. Найти координату точки пересечения секущих АВ и CD единичной окружности = l, если точки А, В, С, D лежат на этой окружности и имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d (рис. 41).

Решение. Пользуясь уравнением прямой АВ: .

Получаем систему

из которой почленным вычитанием находим:

В том частном случае, когда хорды АВ и CD перпендикулярны, получаем ab= −cd, и поэтому результат приводится к виду

откуда

В этом случае точка пересечения определяется только тремя точками A, В, С, так как и, значит,

Ответ: Z().▲

Выведем уравнение касательной к единичной окружности = l в ее точке P(р). Если М (z) - произвольная точка этой касательной, то и обратно. Имеем: или .

Поскольку , то уравнение касательной : .

3адача 2. Найти комплексную координату точки пересечения касательных в точках A(а) и B(b) единичной окружности = l (см. рис. 42).

Решение. Для искомой координаты z имеем систему

из которой находим: .

Рис. 42

Поскольку то получаем окончательно:

или .

Ответ: Z().▲

Задача 3 [66, С. 175]. (рекомендуется для решения дома, с проверкой на следующем занятии) Доказать, что сумма квадратов медиан BM, AN, CP треугольника ABC равна суммы квадратов его сторон (рис. 43).

Решение. Требуется доказать:

Указание:

1) Расстояние между двумя точками равно |AB|²=(a-b)();

2) Если точка С является серединой отрезка АВ, то c = .

Рис. 43

Занятие 12. Использование комплексных чисел

для доказательства классических теорем геометрии.

Теорема Ньютона, теорема Гаусса и теорема Паскаля

Теорема Ньютона [66, 159]. В описанном около окружности четырехугольнике середины диагоналей коллинеарны с центром окружности.

Доказательство. Примем центр окружности за начало, полагая ее радиус равным единице. Обозначим точки касания сторон данного четырехугольника A_oB_oC_oD_o через А, В, С, D (в круговом порядке) (рис.44).

Рис. 44

Пусть М и N - середины диагоналей А_oС_o и B_oD_o соответственно. Тогда точки А_o, В_o, С_o, D_o будут иметь соответственно комплексные координаты (см. задачу 2 предыдущего занятия):

где a, b, c, d - комплексные координаты точек A, B, C, D.

Поэтому

Вычисляем

Поскольку то непосредственно видно, что На основании этого точки О, М, N коллинеарны. ▲

Теорема Гаусса. Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно в точках А₁, B₁, C₁, то середины отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁ коллинеарны (рис.45).

Рис. 45

Доказательство. Запишем условия коллинеарности троек точек АВ₁С, СА₁В, ВС₁А, A₁B₁C₁:

,

,

,

.

Если М, N, P − середины отрезков AA₁, BB₁, CC₁, то предстоит показать, что .

Так как то доказываемое равенство эквивалентно такому:

или после перемножения:

Теперь легко видеть то, что это равенство получается почленным сложением равенств, значит середины отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁ коллинеарны.▲

Теорема Паскаля [66, С.160]. Точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны вписанного шестиугольника, лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть в окружность вписан шестиугольник ABCDEF и (рис.46).

Рис. 46

Указание: Перед тем, как доказывать теорему нужно вспомнить, как находятся координаты точки пересечения секущих ( ).

Примем центр окружности за нулевую точку плоскости, а ее радиус − за единицу длины. Имеем:

Вычисляем

и аналогично

Далее находим:

Поскольку числа равны соответственно , то устная проверка обнаруживает, что найденное выражение совпадает со своим сопряженным, т. е. является действительным числом. Это означает коллинеарность точек М, N, Р. ▲

Блок 3. Классификация перемещений плоскости

с использованием комплексных чисел

Основная цель - показ практического применения комплексных чисел внутри школьной математики (в том числе, как оператора поворота и растяжения).

Занятие 13. Перемещения плоскости

Определение [30, С. 129]: Перемещение плоскости - это такое отображение плоскости на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами.

Выберем на плоскости систему координат. Тогда перемещение f каждому комплексному числу z ставит в соответствие некоторое число f(z), и при этом расстояние между двумя различными точками z и t равно расстоянию между их образами f(z) и f(t). Согласно геометрическому смыслу разности комплексных чисел, расстояние между z и t равно , а расстояние между образами − . Таким образом отображение f обладает следующим свойством: для любых z, t

= . (1)

Это свойство и есть фактически определение перемещения на языке комплексных чисел. Функция комплексного переменного f(z) в действительности имеет достаточно простой вид.

Теорема: Если перемещение плоскости f имеет две неподвижные точки 0 и 1, то f либо тождественное отображение z z, либо отображение z .

Доказательство: Так как функция имеет неподвижные точки, то выполняются следующие равенства: f(0) = 0, f(1) = 1. Рассмотрим такую точку , для которой . По условию (1) выполняются равенства = , = . Эти равенства означают, что каждая из точек 0 и 1 равноудалена от точек z₀ и . Следовательно, прямая, проходящая через 0 и 1 , т.е. ось абсцисс, является серединным перпендикуляром отрезка, соединяющего точки z₀ и . Иначе говоря, точки z₀ и симметричны относительно оси абсцисс, а это означает, что .

Таким образом, если , то , т.е. при отображении f всякая точка z либо остается на месте, либо переходит в свою сопряженную. ▲

При тождественном преобразовании все точки плоскости неподвижны, при осевой симметрии − неподвижные точки составляют прямую - ось симметрии.

Отображения и , при задают параллельный перенос на вектор b=. Параллельный перенос не имеет неподвижных точек.

Задача [57, С.264].Изобразите на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам: . При решении задачи используйте геометрические преобразования плоскости.

Решение. Пусть .

Тогда .

Комплексным числам, имеющим одинаковые модули, соответствуют точки плоскости, лежащие на окружности с центром в начале координат, поэтому неравенству удовлетворяют все точки открытого кольца, ограниченного окружностями с общим центром в начале координат и радиусами и (рис.47).

Пусть некоторая точка комплексной плоскости соответствует числу w₀. Число , имеет модуль, в раза меньший модуля w₀, аргумент, на больший аргумента w₀.

С геометрической точки зрения точку, соответствующую w₁, можно получить, используя поворот с центром в начале координат и сжатие с коэффициентом , а также поворот относительно начала координат на угол против часовой стрелки. В результате применения этих двух преобразований к точкам кольца (рис. 1) последнее перейдет в кольцо, ограниченное окружностями с тем же центром и радиусами 1 и 2 (рис. 48).

Рис. 47. Рис. 48.

Преобразование реализуется с помощью параллельного переноса на вектор . Перенося кольцо с центром в точке на указанный вектор, получим кольцо такого же размера с центром в точке (рис. 49).▲

Рис. 49

Подробнее гомотетию рассмотрим на следующем занятии.

Занятие 14. Комплексный множитель

как оператор поворота и растяжения

На этом занятии рассматривается комплексное число как оператор поворота и растяжения. Это возможно используя тригонометрическую (или показательную) запись комплексного числа. Модуль числа рассматривается как оператор растяжения или сжатия, а аргумент как угол поворота. В конце занятия можно акцентировать внимание, что с помощью комплексного множителя можно описывать и повороты плоскости.

Комплексное число можно толковать как точку и как вектор[6, С.30].

Рассмотрим еще одно важное геометрическое толкование комплексного числа. Пусть имеется на плоскости какой-то вектор (рис. 50) и пусть z − его комплексная координата. Повернем вектор вокруг его начала О на угол(против движения часовой стрелки, если , и по часовой стрелки, если ) и растянем этот вектор (не меняя его начало) с коэффициентом растяжения (растягиваем «в раз»; при 0 < < 1 это преобразование будет в самом деле сжатием). В результате этого получаем вектор , его комплексную координату обозначим через w. Как же выражается число w через z, и .

Пусть . Тогда , − один из аргументов числа w. Поэтому . Обозначим через с комплексное число , тогда имеем: w = cz.

Рис. 50

Таким образом, если над вектором выполнить операции поворота (на угол ) и растяжения (с коэффициентом растяжения ), то его комплексную координату z нужно умножить на комплексное число .

И наоборот, если комплексную координату z некоторого вектора умножить на комплексное число , то новое число w = cz будет представлять собой комплексную координату вектора , который может быть получен из вектора путем поворота (на угол ) и растяжения (с коэффициентом растяжения ).

Можно сказать так: каждый комплексный множитель с (c ≠ 0) можно истолковать геометрически как оператор поворота (на угол , равный аргументу числа с) и растяжения (с коэффициентом растяжения, равным ).

Латинское слово оператор означает исполнитель. Можно сказать, что множитель с (в формуле w = cz) преобразует вектор с координатой z в вектор с координатой cz. Мы выяснили, что «делает» комплексный множитель с с вектором z, какие элементарные геометрические преобразования следует выполнить над этим вектором, чтобы получить вектор cz.

Упражнение 1. Пусть векторы и имеют комплексные координаты z и w, причем . Постройте вектор и изобразите вектор , полученный при помощи данного преобразования.

Решение. Необходимо векторповернуть вокруг К (см. ниже рис.51) на угол радиан () и «растянуть» его с коэффициентом 3 () получим вектор =. ▲

Особенно важен тот случай, когда . Тогда комплексное число с (оно имеет вид ) представляет собой оператор поворота.

Рис. 51

Например, комплексное число i () является поворотом на угол радиан (поворот совершается в положительном направлении, то есть против часовой стрелки).

Теорема [6, С. 32]. Преобразование умножения на комплексное число с модулем 1 является поворотом плоскости {w}.

Доказательство. Рассмотрим комплексное число w (рис.52).

Рис. 52

Сосчитаем модуль комплексного числа, в которое переходит w при данном преобразовании:

.

Следовательно, любой вектор переходит в вектор такой же длины. Кроме того, расстояние между концами векторов также сохраняется:

.

Таким образом, преобразование умножения на комплексное число с модулем единица сохраняет длины. Это преобразование также сохраняет ориентацию.

Занятие 15. Применение перемещений для решения задач

На этом занятии рассматриваются три задачи, в которых используются формулы перемещения для квадрата (угол между диагоналями равен 90⁰, ромба (один из углов которого равен 45⁰ и центров квадратов, построенных на сторонах произвольного треугольника (квадраты Наполеона).

Задача1 [6, С.54]. Пусть ОАВС − квадрат (рис. 53). Вектор имеет комплексную координату . Вычислите комплексную координату вектора (обозначим ее через w₁) и вектора (обозначим через w₂)

Решение. Можно получить вектор , если повернуть на угол

радиан и затем растянуть с коэффициентом растяжения .

Поэтому .

Если повернуть на 90^◦ в положительном направлении, то получим вектор =.

Поэтому .

Ответ: , .▲

Рис. 53 Рис. 54

Задача 2. Острый угол при вершине О ромба ОZ₁Z₂Z₃ (О − начало координат) равен 45^◦, а вершина Z₁ имеет комплексную координату z₁= (вершины О, Z₁, Z₂ и Z₃ следуют против часовой стрелки). Найдите комплексные координаты остальных вершин ромба (рис. 54).

Решение. Обозначим комплексные координаты вершин ромба Z₁, Z₂, Z₃ соответственно через z₁, z₂, z₃. Вершина О(0; 0) имеет комплексную координату 0.

Вектор поворачивается на угол 45^◦ ( радиан).

Поэтому имеем:

.

Так как =+, то получим

z₂ = z₁ + z₃ = ()+=.

Ответ: Z₂(), Z₃( ). ▲

Задача 3 [6, С.58]. На сторонах треугольника А₁А₂А₃ построены квадраты (рис. 55), не имеющие с треугольником общих внутренних точек, и отмечены их центры В₁ , В₂ и В₃. Проверьте справедливость соотношений: В₁ В₂ =А₃ В₃, В₁В₂ А₃ В₃ .

Рис. 55

Решение. Выберем в плоскости треугольника декартову систему координат XOY, обозначим комплексные координаты точек и векторов

следующим образом:

А₁(а₁), А₂ (а₂), А₃(а₂), В₁(b₁) , В₂ (b₂), В₃(b₃), (z), (w).

Тогда z = b₂ − b₁, w = b₃ - a₃.

Для того, чтобы найти b₂, отметим середину С₂(с₂) отрезка А₁А₃.

Тогда с₂.

Вектор имеет комплексную координату

а₃-с₂

Вектор получается из вектора поворотом на радиан и поэтому комплексная координата вектора равна

Используя решение предыдущей задача получаем:

b₂ = + i .

Заменяя индексы получим:

b₃ = + i ; b₁ = + i .

Подсчитаем значение комплексных координат z и w:

z= + i ; w =

Отсюда получаем, что w = z ∙ i .

Это означает, что при повороте вектора на 90⁰ против часовой стрелки, получим вектор, равный вектору .

Но в таком случае В₁ В₂ = А₃ В₃ и В₁В₂ А₃ В₃. ▲

Занятие 16. Функции комплексной переменной.

Линейная функция

Значительное применение нашли комплексные числа при изучении движения искусственных и естественных небесных тел [6, С.31]. Приведем пример. Одна из важных задач, вставшая при подготовке к запусков спутников, состояла в следующем: как будет двигаться спутник под влиянием силы притяжения к «сплюснутому сфероиду» (как известно, именно такую форму имеет земной «шар»: этот «шар» несколько сплюснут у полюсов, его полярный диаметр примерно на 43 километра меньше экваториального диаметра). Было предложено несколько способов решения этой задачи, и одним из самых эффективных способов решения этой задачи оказался способ, использующий комплексные переменные и принадлежащий советским ученым, лауреатам Государственной премии Е.П. Аксенову, Е.А. Гребенникову и В.Г. Демину.

Так же комплексные числа нашли свое применение в самолетостроении [5, С.18]. Когда появились самолеты, потребовалась теория обтекания крыла самолета потоком воздуха. Выяснилось, что самым естественным языком описания подобного процесса, т.е. языком аэродинамики, является теория функций комплексного переменного. Поэтому, когда вы видите современный авиалайнер, знайте, что его сделали гений конструкторов, инженеров, рабочих и …комплексные числа.

Пусть G - некоторое множество комплексной плоскости [25, С.306] и каждому z поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел w , то говорят, что на G определена функция комплексного переменного z. При этом w называют значением функции в точке z и записывают w= f(z), или

Многочлены, которые мы подробнее рассмотрим в блоке 4, это целые рациональные функции, являющиеся частным видом комплексной функции, зависящие от комплексного аргумента.

Рассмотрим отображение, осуществляемое простейшие аналитической функцией − линейной, которая имеет вид: w= ax + b (a ≠ 0).

При a = 1 отображение : w= x + b является параллельным переносом на вектор b (рис. 56 а).

Рис. 56 а) Рис. 56 б)

Пусть теперь a ≠ 1. Тогда уравнение имеет единственное решение: . Вычитая из обеих частей w= ax + b полученное решение имеем: . Итак, вектор получается из умножением на a, т. е. поворотом вектора на угол Arg a и растяжением его в раз (рис. 56 б). Как это сделать было рассмотрено выше.

Занятие 17. Моделирование функций комплексной переменной.

Линейная функция

Основная цель - использование компьютера для изучения свойств функций комплексного переменного.

Для изучения свойств функций комплексного переменного удобно использовать компьютер, так как он может быстро просчитать множество значений функции и представить его на экране [79].

В качестве примера рассмотрим линейную функцию.

Она имеет вид: F(z) = w = a∙z + b, где a и b - заданные комплексные постоянные.

Если комплексные числа a, b, z и w представить в виде: a₁ + i∙a₂; b₁ + i∙b₂; z₁ + i∙z₂; w₁ + i∙w₂ то, произведя преобразования, получим:

w₁ + i∙w₂ = (a₁ + i∙a₂)(z₁ + i∙z₂) + (b₁ + i∙b₂) =

= (a₁z₁− a₂z₂ + b₁) + i∙(a₁z₂ + a_2∙z₁ + b₂)

Смоделируем линейную функцию комплексной переменной с помощью программы на алгоритмическом языке Qbasic:

Программа:

Программа строит область определения функции - квадрат с центром в начале координат, которая по введенным комплексным постоянным a и b строит область значений линейной функции.

Рассмотрим поведение функции при разных значениях a и b:

а) Тождественная функция:

a = 1 + i∙0; b = 0 + i∙0,

w₁+i∙w₂ = 1∙(z₁+i∙z₂) + 0+i∙0 = z₁ + i∙z₂, w = z.

Область определений и область значений совпадают.

б) Параллельный перенос: a = 1 + i∙0; b = b₁ + i∙b₂,

w₁ + i∙w₂ = 1∙(z₁ + i∙z₂) + (b₁ + i∙b₂), w = z + b.

Область определений и область значений имеют одинаковую форму, но область значений сдвинута относительно области определений по оси x на b₁, а по оси y на b₂.

в) Поворот: a = 1 + i∙a₂; b = 0 + i∙0;

w₁ + i∙w₂ = (1 + i∙a2)(z₁ + i∙z₂) + 0 + i∙0 = (z₁ − a₂∙_∙z₂) + i∙(a₁∙z₂ + a₂∙z₁),

w = z∙a

Область определений и область значений имеют одинаковую форму, но область значений повернута на угол, который можно определить из тригонометрической формы записи комплексных чисел.

г) Растяжение или сжатие: a = a₁ + i∙1; b = 0 + i;

w₁ + i∙w₂ = (a₁ + i∙1)(z₁ + i∙z₂) + 0 + i0 = (a₁∙z₁- z₂) + i∙(a₁∙z₂ + z₁)

Область определений и область значений имеют вид квадратов с совпадающими центрами, но область значений больше (или меньше) области определений в a₁ раз. То есть, если a₁ = 3, область значений - квадрат в три раза больший, чем область определений, а если a₁=0,5, область значений −квадрат в два разе меньший, чем область определений.

д) Общий случай: a₁ + i∙a₂; b₁ + i∙b₂.

В общем случае, линейная функция комплексного переменного преобразует комплексную плоскость z в комплексную плоскость w путем подобного растяжения (сжатия), поворота и сдвига.

Занятие 18. Моделирование функций комплексной переменной.

Квадратная функция

Квадратная функция комплексной переменной имеет вид: w=f(z)= z² . Подставив значения действительной и мнимой части получим:

w₁ = z₁² − z₂²; w₂ = 2∙z₁∙z₂

Программа для представления квадратной функции имеет вид:

Интересно исследовать квадратную функцию вида:

w = f(z)=a∙ z² + b при различных значениях комплексных постоянных a и b.

Если задавать различные области определения функции и менять ее, можно получить разнообразные интересные фигуры, изображающие области значения функции. Эти фигуры имеют и физический смысл. Функции комплексной переменной отображают важные физические явления, которые происходят в жидкостях, газах, электромагнитных и иных полях, позволяя теоретически исследовать эти явления.

Так выглядит график преобразования окружности (она показана белым цветом) квадратной функцией w = f(z) = a ∙ z².

Исследование функции корня из комплексного числа (для самостоятельного изучения).

Для наглядного отображения корней комплексных чисел применяется программа, выводящая изображение корней на комплексной плоскости.

Формула, используемая в программе имеет вид:

.

Рисунок, получаемый при нахождение значения , где n - любое натуральное число (в данном случае n = 7).

Блок 4. Основная теорема алгебры, ее следствия и применения

Основная цель - демонстрация применения теории комплексных чисел для решения уравнений.

Занятие 19. Вводное занятие

На этом занятии мы вспомним, как решаются квадратные уравнения, имеющие комплексные корни, как можно решить уравнения высших степеней, раскладывая их на множители, содержащие первую и вторую степень переменных.

Нахождение корней двучленных уравнений вида azⁿ + b = 0 сводится к извлечению корней, так как такое уравнение равносильно уравнению zⁿ = , а для его решения достаточно найти все значения для .

Пример 1. Решите уравнение z² = i.

Решение. Представим данное число в тригонометрической форме:

для числа i имеем r = 1, φ = , поэтому i = 1(cos + i sin).

Пуcть z = r (cos φ + i sin ), тогда данное уравнение примет вид:

r²(cos2φ + i sin 2) = 1(cos + i sin).

Отсюда находим:

r = 1, 2φ=+2k, т.е. φ = + k(k = 0, ,,…).

Таким образом, все решения уравнения z² = i, представляются в виде

z_k = cos ( + k) + i sin( + k), k = 0, ,,…

Заметим, что для всех четных k эта формула даёт комплексное число

z₁ = cos + i sin = ,

z₂ = cos + i sin = - .

Ответ: z_1,2 = .▲

Пример 2 [73, С. 126]. Решите уравнение x³ + 8 = 0.

Решение. x³ = − 8; x = .

Можем записать :

−8 = 8∙ (cos(180^◦ + 360^◦k) + isin(180^◦ + 360^◦)),

= .

При k = 0, 1, 2 получим соответственно:

z₀ =2 ∙ (соs60^◦ + i sin60^◦ ) = =;

z₁ = 2 ∙ (соs180^◦ + i sin180^◦ ) = 2 ∙ (;

z₂ =2 ∙ (соs300^◦ + i sin300^◦ ) = 2 ∙ (.

Ответ: −2; ▲

Пример 3 [36 , C.230]. Решите уравнение z⁶ = −1.

Решение. Применяя формулу:

,

где r = 1, n = 6, , получаем

+, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Следовательно (см. ниже рис. 57),

+ i_*; + i_*;

+ i_*; + i_*;

+ i_*; + i_*.▲

Рис. 57

Для решения следующих уравнений требуется произвести замену переменной:

Пример 4 [10, С.201]. Решите уравнение z⁶ - 9z³ + 8 = 0.

Решение. Подстановка z³ = w приводит к квадратному уравнению

w² - 9 w + 8=0,

имеющему корни 1 и 8.

Решая отдельно уравнения z³ = 1 и z³ = 8, получаем корни данного уравнения:

z₁ = 1, z_{2, 3} = , z₄ = 2, z_{5, 6} = .

Ответ: 1, 2, , .▲

Пример 5. Решите уравнение z⁵ - 1=0.

Решение.

Разложим многочлен z⁵ - 1 на множители:

z⁵ - 1 = (z - 1) .

Отсюда следует, что z₁ =1.

Чтобы найти остальные четыре корня, надо решить уравнение

Разделим обе части уравнения на z² и положим .

Так как , то получаем уравнение

, т.е. .

Это уравнение имеет два корня: .

Теперь осталось решить два уравнения:

и .

z² +z + 1 = 0, z² +z + 1 = 0.

Решая их, получаем:

,

.

Ответ: 1, , , ,.▲

Задания для самостоятельного решения [10, С.201, 73, С. 126]:

Упражнение 1. z⁴ - 1 = 0, Ответ: 1, − 1, .

Упражнение 2. z⁴ + 1 = 0, Ответ: .

Упражнение 3. z⁴ - 6 z² + 25= 0, Ответ: ,

Упражнение 4. , Ответ: .

Занятие 20. Основная теорема алгебры и ее следствия

На следующих двух занятиях мы рассмотрим основную теорему алгебры и 5 основных следствий из этой теоремы. Для их доказательства требуются утверждения, выходящие далеко за рамки школьной программы и поэтому только на занятии 21 будет приведено краткое доказательство теоремы Виета.

Теория многочленов с комплексными коэффициентами оказывается более стройной и более простой, чем теория многочленов с действительными коэффициентами [30, С. 122], и объясняется это именно основной теоремой, справедливой для многочленов с комплексными коэффициентами. Первую попытку доказательства этой теоремы предпринял Даламбер в 1746 году [5, С.19]. Но впервые строгое доказательство было приведено немецким математиком К.Ф. Гауссом в 1799 году [54, С.3] и часто называется теоремой Гаусса. Существуют еще доказательства этой теоремы: доказательство А.Н. Колмогорова, в современной терминологии оно было изложено Л.С. Понтрягиным; аналитическое доказательство Ж.А. Аграна, основанное на теореме Больцано−Вейерштрасса.

Теорема: Всякий многочлен степени n c комплексными коэффициентами, имеет по крайней мере один комплексный корень.

Следствие 1. Всякий многочлен степени n c комплексными коэффициентами раскладывается в произведение n линейных множителей.

Пример 1. x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) = (x + 1)(x )(x );

Пример 2. x⁴ - x³ + 4x² - 4x = x(x -1)(x² + 4) = x(x -1)(x - 2i)(x + 2i).▲

Следствие 2. Всякий многочлен степени n c комплексными коэффициентами имеет n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Пример 3 [73, С.126]. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x₁ = 3 и x₂ = 1 + i являются его корнями, причем x₁ является двукратным корнем, а x₂ - простым.

Решение. Число тоже является корнем уравнения, т.к.

коэффициенты уравнения должны быть действительными.

Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x₁, x₁, x₂, . Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени:

=

.

Ответ: .▲

Следствие 3. Всякий многочлен f(x) делится на многочлен g(x) тогда и только тогда, когда всякий корень f(x) является корнем g(x) и кратность его в g(x) не больше кратности в f(x).

Отметим, что для многочленов с действительными коэффициентами соответствующее утверждение не всегда верно; например многочлен не делится на многочлен , хотя оба они имеют ровно один корень.

Пример 4. Решить кубическое уравнение x³ - 7x² + 36x - 52=0.

Решение. Уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения x₁ =2

По следствию из теоремы Безу исходный многочлен делится на (х−2). Вычисляем это деление «в столбик» (см. ниже):

Представляя теперь многочлен в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:

x³ - 7x² + 36x - 52 = (х - 2)( x² - 5x + 26) .

Другие корни находим как корни квадратного уравнения: x²−5x+ 26= 0.

_

_

_

х_{2, 3} = .

Ответ: 2, , .

Самостоятельно:

Упражнение 1. Составьте биквадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известны два его корня: и .

Ответ: x⁴ + 13x² - 48 = 0.

Упражнение 2. Составьте уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющие корни: и .

Ответ: .

Задача 1 [30, C. 125].Доказать, что при любых натуральных p и q число (p + 1)^2q+1 + p^q+2 делится на p² + p + 1.

Доказательство. Рассмотрим многочлен

f(x) = (х + 1)^2q+1 + х^q+2

и покажем, что он делится на квадратный трехчлен х² + х + 1.

Данный трехчлен имеет два различных комплексных корня и , и поэтому в силу следствия 3 достаточно показать, что числа и являются корнями f(x).

Заметим, что число по определению таково, что , а с другой стороны ² + + 1=. Поэтому = 1. Поэтому

f() = ( + 1)^2q+1 + ^q+2 =

= =

= .

Аналогично показывается, что f() = 0, так что f(x) действительно делится на g(x) = х² + х + 1.

Способ деления углом показывает при этом, что частное g(x) будет иметь целые коэффициенты, значит будет выполняться равенство f(р) =(p² + p + 1) g(р), при котором g(р) целое число. ▲

Задача 2. При каких число простое?

Решение. При и это число равно 1 и простым не является, при оно равно3.

Докажем, что для всех остальных число будет составным.

Рассмотрим многочлен f(х) = и докажем, что он делится на квадратных трехчлен х² + х + 1.

Пусть (см. задачу 1) и являются корнями квадратного трехчлена.

Тогда f() = = ² ++ 1 = 0 и аналогично f() = 0.

В силу следствия 3, = (х² + х + 1) _* Р(х), где Р(х) − многочлен с целыми коэффициентами.

Так как при > , то − делитель числа не равный единице и самому числу. ▲

Занятие 21. Основная теорема алгебры и ее следствия

На этом занятии рассматривается следствие из основной теоремы алгебры, которое доказал Ф.Виет и решается четыре задачи, в которых применяется это утверждение.

Основная теорема алгебры многочленов позволяет для многочленов любой степени сформулировать утверждение, которое при n = 2 доказывается в школьном курсе математики под названием теоремы Виета. Это утверждение и в общем случае называется теоремой Виета.

Следствие 4 [30, С.123]. Пусть

f(x) = , () −

многочлен с комплексными коэффициентами. Тогда для любого k = 1, 2,…, n сумма всевозможных произведений корней многочлена f(x), состоящих из k сомножителей, равна . В частности, сумма всех корней многочлена f(x) равна , сумма попарных произведений равна , а произведение всех корней равно .

Доказательство. Для k = 1 и k = n.

Представим f(x) в виде:

f(x) = ….

После раскрытия скобок в правой части будем иметь:

=

+ ….+.

Если равны два многочлена, то и равны их коэффициенты при одинаковых степенях х. Поэтому:

,

▲

Следствие 5: Всякий многочлен степени n c действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами, имеющими действительные коэффициенты.

При решении последующих задач, связанных с теоремой Виета, будем использовать следующие тождества:

(1),

(2).

Задача 1. Найти сумму квадратов корней степени 1980 из числа 2 - i.

Решение. Обозначим рассматриваемые корни через

, где n =1980.

Эти числа являются корнями многочлена , и по теореме Виета их сумма равна 0, так же, как и сумма их попарных произведений.

Тогда из тождества (1) следует, что сумма квадратов этих корней также равна 0.▲

Задача 2. Найти сумму кубов корней уравнения: .

Решение. Если − корни этого уравнения, то по теореме Виета

, , ,

И тогда из тождества (2) получаем

▲

Задача 3. Решить систему уравнений

Решение. Если () −решение данной системы, то из тождества (1) при n = 3 получаем

а тогда из тождества (2) следует, что .

Поскольку из первого уравнения системы следует еще, что

то по теореме Виета получаем, что являются корнями уравнения

t³ - 3t² + 3t - 1=0. Однако левая часть этого уравнения равна (t − 1)³, так что все три его корня равны 1.

Следовательно, . Подставив в систему эти значения получаем, что тройка (1, 1, 1) является ее единственным решением.

Задача 4 [30, С.128]. Числа a, b, c связаны равенством

Докажите, что какие − либо два из них противоположны.

Решение. Заданное соотношение между числами a, b, c легко переписать в виде

abc = (a + b + c)(ab + ac + bc). (3)

Пусть a, b, c являются корнями кубического уравнения

t³ + рt² + qt + r=0.

Тогда теорема Виета позволяет записать соотношение (3) в виде

,

после чего полученное кубическое уравнение переписывается в виде (t + p)(t² + q) = 0.

Поэтому один из корней этого уравнения равен ; пусть, например, с = . Тогда получается c = a + b + c, а + b = 0, а = − b.

Итак: с = и а = − b.

Что и требовалось доказать. ▲

Занятие 22. Корни многочлена с целыми коэффициентами

На 22 занятии рассматриваются решение четырех уравнений, для решения которых используются следствия из основной теоремы алгебры и необходимое условие существования рациональных корней.

Для нахождения рациональных корней многочлена

P (x) = , ()

c целочисленными коэффициентами часто используется следующее утверждение:

Теорема [25, С. 294].(Необходимое условие существования рациональных корней). Если дробь корень уравнения P (x) = 0 (), то число является делителем свободного члена, а число р делителем старшего коэффициента.

Следствие. Если коэффициенты многочлена, старший из которых равен 1, − целые числа, то рациональными корнями этого многочлена могут быть только целые числа.

Применение этой теоремы и ее следствия позволяют получить множество рациональных чисел, которые могут быть корнями данного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение P₄ (x) =

Решение. Число 3 имеет делители {1; 3}, число 4 имеет делители {1; 2; 4}. Поэтому множество возможных значений числа m есть {1; -1; 3; -3}, а множество допустимых значений числа р есть {1; 2; 4}. Тогда корнями данного уравнения могут быть рациональные дроби из множества: {}

Корнями уравнения являются числа {}.

Для нахождения оставшихся корней понизим степень данного уравнения делением на двучлены и дважды применяя схему Горнера:

4

8

-3

-7

3

0, 5

4

10

2

-6

0

1, 5

4

4

-4

0

Таким образом P₄ (x) = 4()()(x² + x - 1).

Квадратный трехчлен x² + x - 1 = 0 имеет корни .

Ответ: ; ; .▲

Пример 2 [25, С. 295]. Докажите, что уравнение имеет действительные корни, среди которых только один положительный и только один отрицательный.

Решение. Сгруппируем одночлены: первый − с четвертым, второй − с третьим и получим равенства.

= = ==,

Итак, имеем два действительных корня, так как дискриминант больше нуля, и два комплексных корня; причем квадратный трехчлен имеет действительные корни разных знаков, так как их произведение равно (- 3).▲

Пример 3 [25, С. 298]. Докажите, что не все корни уравнения являются действительными числами.

Доказательство. Используем метод «от противного». Предположим,

что все корни действительные, тогда по теореме Виета можно записать следующие равенства:

, , .

Воспользуемся формулой

(,

из которой следует, что

= (.

Таким образом, сумма квадратов действительных чисел − отрицательное число. Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно, значит не все корни данного уравнения являются действительными. ▲

Пример 4 [25, С. 303]. Решить уравнение

P₇ (x) = .

Решение. Это симметрическое уравнение нечетной степени, имеющее корень x₁ = -1. После деления левой и правой части этого уравнения на х + 1, получим симметрическое уравнение 6 степени и объединив попарно слагаемые получим уравнение:

.

В полученном уравнении сделаем замену .

Ввиду равенств , ,

получим уравнение , имеющего корень у = 1.

Возвращаясь к неизвестной x, решим уравнение ,

имеющего корни и .

Ответ: −1; (кратности 3); (кратности 3).▲

Занятие 23. Решение неполных кубических уравнений

с действительными коэффициентами

На этом занятии мы познакомимся с формулами Кардано для неполных кубических уравнений с действительными коэффициентами. Эти формулы аналогичны тем, с которыми учащиеся познакомились в 8 классе для решения квадратных уравнений.

Для приведенного кубического уравнения (1)

дискриминант вычисляется по формуле:

.

При этом:

а) если , то уравнение (1) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня;

б) если , то уравнение (1) имеет три действительных корня, два из которых равны;

в) если , то уравнение (1) имеет три различных действительных корня.

Таким образом, в любом случае уравнение

с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Упражнения. Не решая следующие уравнения, определите характер корней каждого их них:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) .

Дискриминант , т.е. , то уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

б) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем:

(б*). Откуда дискриминант , т.е. , то уравнение (б*), а, значит, и (б) имеет три различных действительных корня.

в) .

Переходя к приведенному кубическому уравнению, получаем: (в*). Отсюда , , то уравнение (в*) и значит, уравнение (в) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

Ответ: а) один действительный и два комплексно сопряженных корня; б) три различных действительный корня; в) один действительный и два комплексно сопряженных корня. ▲

Если дано приведенное кубическое уравнение [25, С.326], то для вычисления используются следующие формулы, называемые формулами Кардано.

Для вычисления действительного корня: .

Корень третьей степени на множестве комплексных чисел имеет три значения. Для каждого случая необходимо найти промежуточное значение:

и

Итак, формулы для вычисления корней:

,

,

.

Пример 1 [25, С.328]. Решить уравнение

Решение. С помощью замены преобразуем уравнение к виду

, где p = −9, q = 12.

Q = => 0.

Значит уравнение имеет действительный и пару комплексно сопряженных корней.

= ==,

= ==.

Формулы для корней уравнения имеют вид

,

;

.

Переходим к неизвестной х и записываем ответ.

Ответ: ,}.▲

Пример 2. Решить уравнение ;

Решение. Переходя к приведенному кубическому уравнению с помощью подстановки , получим уравнение:

, где , .

,

значит уравнение имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня.

По формулам Кардано:

= = ,

== .

,

;

.

Получили: ; ; .

Откуда, , , .

Ответ: {7; ; }.▲

Пример 3. Решить уравнение (для самостоятельного решения с последующей проверкой).

Решение. Это приведенное кубическое уравнение,

где , .

Q = =,

значит уравнение имеет три действительный корня, два из которых равны.

По формулам Кардано:

= , .

,

.

, .

Ответ: {; ; }.▲

Занятие 24. Теорема Декарта о действительных корнях

На этом занятии приводится теорема, позволяющая судить о количестве действительных корней многочлена по его коэффициентам.

Определение: Если в конечной последовательности чисел имеется v переходов от одного знака к другому, то говорят, что в ней содержится v перемен знака.

Пример 1: В последовательности чисел имеется три перемены знака. Заметим также, что в этой последовательности чисел содержится четыре сохранения знака: между 1-м и 2-м, 3-м и 4-м, 4-м и 5-м, 5-м и 6-м числами.

Теорема Декарта [25, С. 334]. Количество положительных корней многочлена с действительными коэффициентами, с учетом их кратностей, равно или на четное число меньше количества перемен знака в ряду его коэффициентов. При этом нулевые коэффициенты при подсчете количества перемен знака не учитываются.

Если все корни многочлена − действительные числа, то теорема Декарта дает точное количество корней.

Доказательство этой теоремы достаточно объемно и поэтому не приводится. Можно рассмотреть уравнения, уже решенные на предыдущих занятиях в аспекте приведенной теоремы.

Следствие. Если многочлен не имеет нулевых коэффициентов, то количество его отрицательных корней, взятых с учетом их кратности, равно количеству сохранений знака в ряду его коэффициентов или меньше его на четное число.

Пример 2: а) Пусть дано уравнение

P₄ (x) = .

В последовательности его коэффициентов имеется три перемены знака. Значит, это уравнение имеет три положительных действительных корня. Решая это уравнение получим корни: .

б) Пусть дано уравнение P₄ (−x) = .

В последовательности его коэффициентов имеется одна перемена знака. Значит, это уравнение имеет один положительный действительный корень. Решая это уравнение получим корни: .

Задача 1 [8, С. 30]. Запишите уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен . Проверьте справедливость теоремы Декарта.

Решение. Вместе с данным корнем = уравнению с целыми коэффициентами удовлетворяют и сопряженные, которые обозначим , , . Причем:

= >0, = >0,

=>0, =<0,

У многочлена, который мы должны получить должно быть три перемены знака коэффициентов, так как у нас три положительных корня.

Нужное уравнение записывается так:

(x −)(x −)(x −)(x −)= 0;

то есть (x −)(x −)(x −)(x −)= 0;

после преобразований получаем

((x − 1)² − 5 − 2)(x − 1)² − 5 + 2)) = 0.

(x² −2х −4)² − 24 = 0.

.

В последовательности коэффициентов полученного уравнения имеются три перемены знака. Значит, это уравнение имеет три положительных действительных корня. ▲

Задача 2 [25, С. 338]. Применить теорему Декарта к многочлену

P₅ (x) = .

Решение. Число перемен знака в ряду коэффициентов P₅ (x) равно 3. По теореме Декарта многочлен P₅ (x) может иметь 5 или один положительный корень.

Многочлен P₅ (x) не имеет нулевых коэффициентов, а в ряду его коэффициентов имеется 2 сохранения знака; следовательно, P₅ (x) имеет либо 2, либо ни одного отрицательного корня, а поскольку при больших по модулю отрицательных значениях х многочлен P₅ (x) < 0, P₅ (−1) = 18 > 0 и P₅ (0) = − 3 < 0, то получаем, что 2 есть точное число отрицательных корней данного многочлена. ▲

Свойства комплексных чисел, являющихся корнями некоторого многочлена используются в математической теории устойчивости [5, С.18]. Эта теория применяется в гидродинамике, естественно, уровень рассматриваемых вопросов более высокий и состоит в рассмотрении сложных механических, электрических и т. п. систем. Элементарным примером может служить обыкновенная игрушка Ванька - встанька. Положишь его спать, а он тут же вскочит - у него самое устойчивое положение, когда он стоит.

Блок 5. Кватернионы

Основная цель- ознакомление учащихся с дальнейшим расширением понятия числа - кватернионами и действиями с ними.

Занятие 25. Триплеты. Кватернионы.

Сложение и вычитание кватернионов

На данном занятии происходит ознакомление с историей возникновения кватернионов. Для чего было необходимо введение кватернионов и рассматриваются две арифметические операции.

Своим открытием и названием сам кватернион обязан ирландскому математику У.Р. Гамильтону (1805-1865).

Уильям Роуан Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 19 лет опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, а в 23 года получил звание королевского астронома Ирландии. К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в г. Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механике [43, С.11].

Гамильтон придумал способ описания комплексных чисел. По Гамильтону комплексные числа это пары действительных чисел с определенными правилами действий над этими парами. И важно то, что полученная числовая система, во первых сохраняет все алгебраические свойства обычных чисел и, во - вторых, содержит их в себе. Сделав этот шаг, Гамильтон решил рассматривать не пары, а например тройки действительных чисел. Он предположил, что если комплексные числа можно использовать для описания преобразований плоскости - сдвигов, вращений, гомотетий, то тогда тройки (или триплеты) окажутся пригодными для описания аналогичных преобразований трехмерного пространства. [4, С.143].

Со сложением не было проблем − триплеты надо складывать, как векторы и такой операции будут соответствовать сдвиги пространства. Оказалось, что умножение вращений в пространстве, в отличии от умножения плоских вращений вокруг данной точки, уже не обладает свойством коммутативности. Это иллюстрируют рисунки.

Рис. 55 а) Рис. 55 б)

На рис. 55 (а) показано, во что переходит точка А при композиции двух вращений: сначала вокруг оси Oz, а затем вокруг оси Ox. При выполнении этих вращений в ином порядке, как показано на рис. 55б), результат оказывается иным − образом точки А является не точка А₁ (как в первом случае), а точка А₂.

Объяснялось это тем, что триплетов недостаточно, чтобы охарактеризовать произвольные вращения пространства с растяжениями, точнее, композиции вращений с гомотетиями. Один параметр нужен для оси х, другой для оси у, третий для z, а четвертый для задания коэффициента гомотетии.

Для этого Гамильтон ввел четверки действительных чисел или кватернионы (от латинского quaterni - по четыре), числа, представляющие собой линейные комбинации не двух (как 1 и i в комплексном числе), а четырех «базисных единиц»: 1, i, j, k, т.е. числа вида x + yi + uj + vk, где x, y, u, v − действительные числа. Как оказалось позднее, кватернионы представляют собой частный случай более общего понятия гиперкомплексных чисел. В этом и выражается одна из форм диалектического развития математических понятий.

Определение: Кватернионы − это четверки действительных чисел

(x, y, u, v), которые удобно записывать в виде q = x + yi + uj + vk, (1)

где i, j, k новые числа, являющиеся аналогом мнимой единицы в комплексных числах [43, С.103].

Требуется, чтобы числа i, j, k удовлетворяли следующим соотношениям: , , , (2)

которые удобно записывать в виде таблицы умножения (рис.56)

i

j

k

i

−1

k

− j

j

− k

−1

i

k

j

−i

−1

Рис. 56

По определению операции сложения и умножения кватернионов производятся по обычным правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов с учетом правил (1)−(2).

Согласно этому определению, если q₁ и q₂ два кватерниона, то

q₁ + q₂ = (x₁ + y₁i + u₁j + v₁k) + (x₂ + y₂i + u₂j + v−v₁u₂i−v₁v₂k) =

=x₁+y₁i+ u₁j+v₁k+ x₂ + y₂i+ u₂j +v₂k=

= (x₁+x₂)+(y₁i + y₂i)+(u₁j + u₂j)+(v₁k + v₂k) =

= (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i + (u₁ + u₂)j + (v₁ + v₂)k.

Это привычное «покоординатное» сложение.

У операции сложения кватернионов, очевидно, имеется обратная операция - вычитание. Именно, разность двух кватернионов и определяется формулой:

q₁ − q₂ = (x₁ − x₂) + (y₁ − y₂)i + (u₁ − u₂)j + (v₁ − v₂)k.

Если q₁ = q₂, то разность кватернионов q₁ − q₂ - это нулевой кватернион, равный q₁ − q₂= 0 + 0∙i + 0∙j + 0∙k = 0.

Упражнение 1. Найдите сумму и разность двух кватернионов

q₁ = 1 + 3i - j + 7k и q₂ = 2 - 9i - 6 j - 7k.

Решение. q₁+ q₂ = 3 − 6i − 7 j ; q₁ − q₂ = − 1 + 12i + 5 j + 14 k.

Занятие 26. Умножение кватернионов

На этом занятии рассматриваются особенности умножения кватернионов.

Произведение кватернионов вычисляется так:

q₁ ∙ q₂ = (x₁y₁i + u₁j + v₁k)∙(x₂ + y₂i + u₂ j + v₂k)=

=x₁∙(x₂ + y₂i + u₂j + v₂k) + y₁i∙(x₂ + y₂i + u₂j + v₂k) + u₁j∙(x₂ + y₂i + u₂j + v₂k) +

+v₁k∙(x₂ + y₂i + u₂j + v₂k) = x₁∙x₂ + x₁∙y₂i + x₁∙u₂j + x₁∙v₂k + y₁i∙x₂ + y₁i∙y₂i + y₁i∙u₂j + y₁i∙v₂k + u₁j∙x₂ + uj∙y₂i + u₁j∙u₂j + u₁j∙v₂k + v₁k∙x₂ + v₁k∙y₂ i+ v₁k∙uj + v₁k∙v₂k = =x₁x₂ + x₁y₂i + x₁u₂j + x₁v₂k + y₁x₂i + y₁y₂i² + y₁u₂i j+ y₁v₂ik + u₁x₂j + u₁y₂ji + u₁u₂j² + u₁v₂jk + v₁∙ x₂k + v₁y₂ki + v₁u₂kj + v₁v₂k² =

= x₁x₂ + x₁y₂i + x₁u₂j + x₁v₂k + y₁x₂i − y₁y₂ + y₁u₂k − y₁v₂j + u₁x₂j − u₁y₂k − u₁u₂ + u₁v₂i + v₁x₂k + v₁yj − v₁u₂i−v₁v₂=(x₁x₂ −y₁y₂−u₁u₂ − v₁v₂) + (x₁y₂ + y₁x₂ + u₁v₂ − −v₁u₂)∙i + (x₁u₂ + u₁x₂ − y₁v₂ + v₁y₂)∙j + (x₁v₂ + v₁x₂ + y₁u₂ − u₁ y₂)∙ k.

Длинная, но совершенно автоматическая проверка (поэтому она и не приведена) показывает, что умножение кватернионов обладает сочетательным свойством:

(q₁∙q₂)∙ q₃ = q₁∙(q₂∙ q₃).

На конкретном примере мы убедимся, что произведение кватернионов не коммутативно.

Упражнение 1. Найдите произведение двух кватернионов. Сравните полученные результаты для q₁∙ q₂ и q₂ ∙ q₁

q₁ = 1 + 3i − j + 7k и q₂ = 2 − 9i − 6 j − 7k.

Решение.

q₁∙ q₂ = (1 + 3i − j + 7k) ∙ (2 − 9i − 6 j − 7k) = 72 + 60i + 76j + 20k ,

q₂ ∙ q₁= (2 − 9i − 6 j − 7k) ∙(1 + 3i − j + 7k) = 72 − 52i + 34j + 34k .

На конкретном примере убеждаемся, что получили разные кватернионы.

Далее можно разбить учащихся на пары и предложить им привести свои примеры умножения. А затем сделать вывод, что первые коэффициенты всегда получаются равными, а остальные различны.

Занятие 27. Сопряжение кватернионов. Модули кватерниона

Так как комплексные числа частный случай кватернионов, значит для кватернионов должны выполняться какие - то утверждения, справедливые для комплексных чисел. На 27 занятии мы их и рассмотрим.

Для любого комплексного числа существует сопряженное ему число, значит можно предположить, что для любого кватерниона существует кватернион, сопряженный данному [31, С.19].

Пусть дан кватернион q = x + yi + uj + vk.

Определение: Сопряженным ему называется кватернион

.

Сумма сопряженных кватернионов есть число действительное. Но, оказывается, что и произведение сопряженных кватернионов является действительным числом, что следует из формулы умножения кватернионов:

= = .

Продолжим аналогию с комплексными числами.

Определение: Число называется модулем кватерниона и обозначается .

Тогда последнее равенство перепишется так: − в точности та же формула, что и для комплексных чисел.

Определение: Кватернион называется чисто мнимым кватернионом.

Если взять чисто мнимый кватернион, найти его квадрат, то получим

.

Верно и обратное утверждение, что если квадрат некоторого кватерниона есть действительное число, меньшее или равное нулю, то этот кватернион чисто мнимый.

Утверждение 1. Операция сопряжения обладает следующими свойствами:

а. Сопряженное к сумме равно сумме сопряженных

;

б. Сопряженное к произведению равно произведению сопряженных кватернионов взятых в обратном порядке

.

Утверждение 2. Модуль произведения двух кватернионов рано произведению модулей этих кватернионов.

Рассмотрим эти свойства на конкретных примерах:

Пример. Пусть даны два кватерниона

и .

а) Их сумма равна .

Кватернион, сопряженный к сумме равен .

Кватернион, сопряженный первому .

Кватернион, сопряженный второму .

Сумма сопряженных кватернионов равна .

= = .▲

б) Найдем произведение кватернионов

=

==

= .

Кватернион, сопряженный полученному равен

.

Произведение сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке, находится аналогично

= .▲

в) Модуль первого кватерниона,

Модуль второго кватерниона ,

Произведение модулей .

Модуль произведения . ▲

Далее можно разбить учащихся на пары и предложить им привести свои примеры доказательства этих утверждений.

Занятие 28. Деление кватернионов

Существуют два подхода к делению кватернионов. Приведем оба. Необходимо, чтобы учащиеся сделали вывод, что знание сопряжения при рассмотрении кватернионов необходимо для облегчения вычислений.

I. Перейдем теперь к операции деления кватернионов, обратной к операции умножения. Вообще, что мы понимаем под частным от деления числа a на число b, не равное нулю? Это такое число c, что b∙c = a.

Так определяется частное от деления для действительных и комплексных чисел. К сожалению, для кватерниона применить непосредственно это определение мы не можем. Для того чтобы формула "корректно" определяла частное, нужно, чтобы произведение не зависело от порядка сомножителей. В противном случае наряду с частным определенным данной формулой, существует вполне равноправное "левое" частное" с', определяемое формулой c'∙b = a, которое может отличаться от "правого частного" c [43, С.105].

Так как произведение кватернионов зависит от порядка сомножителей, значит и операция деления также будут зависить от порядка.

Таким образом, можно говорить лишь о "делении справа" и "делении слева". Как реально найти, скажем, "левое частное" от деления кватерниона q₁ на кватернион q₂ ≠ 0?

Обозначим искомое частное через q = x + yi + uj + vk. Тогда, используя правило умножения для кватернионов и определение левого частного, получим следующее равенство кватернионов: q ∙ q₂ = q₁, или

(xx₂−yy₂−uu₂−vv₂)+(xy₂+yx₂+uv₂−vu₂)∙i+

+(xu₂+ux₂−yv₂+vy₂)∙j+(xv₂+vx₂+yu₂−uy₂)=

= x + yi + uj + vk.

Полученное равенство равносильно системе четырех линейных уравнений с переменными x, y, u, v:

Аналогичным образом находится "правое частное" от деления q₁ на q₂.

Рассмотрим частный случай, когда делимое равно единице.

В этом случае частное от деления q₁=1 на кватернион q₂ (и "слева" и "справа") равно одному и тому же кватерниону p=.

Поэтому кватернион p обозначается через q⁻¹.

Тогда "правое частное" от деления кватерниона q₁ на ненулевой кватернион q₂ выражается формулой q₁=∙ q_1, а "левое частное" от деления кватерниона q₁ на q₂ - формулой q₁= q₁∙_.▲

Этот подход очень трудоемкий. Есть способ проще.

II. Прежде всего необходимо обратить внимание на существенное различие деления кватернионов от деления комплексных чисел.

Для комплексных чисел, частным от деления z₁ на z₂ называется решение уравнения z₂x = z₁ . Но так как для кватернионов произведение зависит от порядка сомножителей необходимо рассматривать не одно, как у комплексных чисел, а два уравнения:

(1) и . (2)

Соответственно этому решение первого уравнения будем называть левым частным от деления на и обозначать , а решение второго − правым частным от деления на и обозначать .

Чтобы решить эти уравнения, применим тот же самый прием, что и в случае комплексных чисел.

Умножим обе части уравнения (1) слева сначала на , а затем на . Получим . Непосредственной подстановкой в уравнение (1) убеждаемся, что выражение действительно является решением. Таким образом,

.

Аналогично находится и :

.

Пример. Пусть даны два кватерниона и .

Найдите правые и левые частные от деления кватернионов.

Решение.

.▲

Далее можно разбить учащихся на пары и предложить им привести свои примеры деления кватернионов.

Занятие 29. Связь кватернионов с векторами

в трехмерном пространстве

Действительные и комплексные числа являются частным случаем кватернионов.

Действительное число x - это кватернион вида x = x + 0∙i + 0∙j + 0∙k.

Комплексное число z = x + yi представляется как кватернион

z = x + yi + 0∙j + 0∙k.

Сумма yi + uj + vk называется векторной частью кватерниона. Кватернион с нулевой скалярной частью будем называть векторами (рис. 57), они изображаются как векторы трехмерного эвклидова пространства.

Рис. 57

Так же как комплексные числа разлагаются в сумму своей действительной и мнимой частей, кватернион тоже можно разложить в сумму q = x + (yi + uj + vk). Первое слагаемое в этом разложении называется скалярной частью кватерниона, а второе - векторной частью. Скалярная часть х - это просто действительное число, а векторная часть может быть изображена вектором r = yi + uj + vk в трехмерном пространстве, где i, j, k мы теперь рассматриваем как единичные вектора прямоугольной системы координат (рис. 58).

Таким образом, каждый кватернион q представляется в виде суммы

q = x + r, где x - скалярная часть кватерниона q, а r - векторная часть.

Если r = 0, то q = x и кватернион q называется скалярным кватернионом. Если же x = 0, то q = r и q называется векторным кватернионом.

Рис. 58

При сложении кватернионов независимо складываются их скалярные и векторные части.

При умножении дело обстоит сложнее. Если q₁ и q₂ - скалярные кватернионы, то их произведение тоже скалярный кватернион.

В случае, когда q₁ = х - скалярный кватернион, а q₂ = r - векторный кватернион, произведение q₁∙q₂ = x ∙( yi + uj + vk) = (x y)∙i + (xu)∙j + (xv)∙k является векторным кватернионом, и операция умножения совпадает с умножением вектора r в пространстве на действительное число x.

И, наконец, если оба кватерниона векторные:

q₁= r₁= y₁i + u₁j + v₁k ,

q₂= r₂= y₂i + u₂j + v₂k , то

q₁ ∙ q₂ = −(y₁y₂ + u₁u₂ + v₁v₂) + (u₁v₂ − v₁u₂)∙i + (v₁y₂ − y₁v₂)∙j + (y₁u₂ − u₁ y₂)∙k.

Как видно из последней формулы, скалярная часть произведения q₁∙q₂ равна скалярному произведению (r₁∙ r₂) векторов r₁ и r₂ с обратным знаком. Векторная же часть q₁∙q₂ - это векторное произведение, записанное в координатах.

Объединяя все рассмотренные случаи, получим общую формулу для умножения кватернионов. Если q₁ = x₁ + r₁ и q₂ = x₂ + r₂, то

q₁∙q₂ =(x₁x₂ − r₁r₂) + (x₁r₂ + x₂r₁ + r₁ r₂).

Гамильтон и его последователи возлагали большие надежды на кватернионы. От кватернионов ожидали таких же результатов, как и от комплексных чисел, и даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд важных физических явлений. Кватернионы заслуженно получили признание, когда началось исследование эффектов, с так называемым спином элементарных частиц, когда была понята их роль в построении различных геометрических преобразований пространства, используемых в квантовой физике.

Кватернион, долгие годы считавшийся бесперспективным, в настоящее время начинает свое триумфальное шествие по науке (физика, химия кристаллов, информатика) и информационно-интерактивные технологии).

Занятие 30. Использование интернет ресурсов

для наглядного представления

комплексных чисел и кватернионов

На последнем занятии можно посмотреть несколько фильмов, представленных в Интернете, посвященных кватернионам и четырехмерному пространству:

Адрес: youtube.com/watch?v=UcYoC7uQzNA&feature=related.

Особое внимание учащихся можно обратить на серию видеороликов, расположенных по адресу: video.mail.ru/mail/hmedd/Dimensions/

Вот как сам автор характеризует эти фильмы:

Глава 1, размерность 2, очень простая. Её смогут понять ученики средней школы, и мы считаем, что даже если вы уже знаете, что такое меридианы и параллели, вы можете просто получить удовольствие от вида Земли, катящейся, словно мячик!

Глава 2, размерность 3, всё ещё лёгкая, но всё-таки требует некоторого воображения. Её можно смотреть просто как спектакль, навевающий философское настроение. В ней даже есть упражнения, которые помогут вам проверить, действительно ли вы поняли эту главу. Дополнительные объяснения, информацию и справки вы можете найти на этой странице сайта.

Главы 3 и 4 выведут нас в четвёртое измерение. Конечно, эти главы уже гораздо сложнее, и от них у вас может закружиться голова! Если вы хотите их понять, не стесняйтесь нажимать на кнопку "пауза", пересматривать их по нескольку раз и читать эту страницу (на ней вы найдёте отсылки к дополнительной информации). Но даже если вы не хотите и пытаться всё это понять, вы можете просто откинуться на спинку стула и наслаждаться красивыми картинками.

Главы 5 и 6, комплексные числа, содержат введение в теорию комплексных чисел. Во Франции её изучают в старшем классе средней школы. Эти главы не заменяют классический школьный курсы, но, как нам кажется, могут быть хорошим дополнением к нему. Если вы изучали комплексные числа давно и многое уже забыли, эти главы помогут освежить вашу память. Если же вы, наоборот, ничего о них не знаете, почаще нажимайте кнопку "пауза", и постарайтесь, используя нашу справочную информацию, понять, о чём идёт речь. Это наиболее «школьные» главы фильма. В награду за ваши старания 6-я глава заканчивается удивительным погружением в множество Мандельброта.

Занятие 31. Контрольная работа

Основная цель - проверка знаний и умений учащихся по теме «Приложения комплексных чисел».

Вариант 1.

1. [30, С.108] Даны комплексные числа и .

а) Изобразите на чертеже множество М всех таких комплексных чисел , что .

б) Изобразите на чертеже множество К всех таких комплексных чисел , что .

в) Найдите все числа, содержащиеся и в К и в М.

г) Среди чисел, принадлежащих множеству К найдите число с наименьшим модулем.

Ответ: а) б)

в) ; г) .

2. Решите приведенное кубическое уравнение .

Ответ: , ,

3. Найдите сумму, разность и произведение кватернионов

q₁ = −1 + 2i + j + 3k и q₂ = 2 − 5i − 3j + k.

Ответ: q₁ + q₂ = 1 − 3i − 2j + 4 k; q_{1 −} q₂ = −3 + 7i + 4j + 2k;

q_{1 ∙} q₂ = 8 + 19i − 12j + 4k .

Вариант 2.

1. [30, С.109] Даны комплексные числа и .

а) Изобразите на чертеже множество К всех таких комплексных чисел , что .

б) Изобразите на чертеже множество Р всех таких комплексных чисел , что .

в) Найдите все числа, содержащиеся и в К и в Р.

г) Среди чисел, принадлежащих множеству К найдите число с наименьшим модулем.

Ответ: а) б)

в) ; г) .

2. Решите приведенное кубическое уравнение .

Ответ: 2; ; .

3. Найдите сумму, разность и произведение кватернионов

q₁ = 2 + 5i + 3j − k и q₂ = −1 − 2i − j − 3k.

Ответ: q₁ + q₂ = 1 + 3i + 2j − 4 k; q_{1 −} q₂ = 3 + 7i + 4 j + 2k;

q_{1 ∙} q₂ = 8 − 19i + 12j − 4k .