Научно-исследовательская работа. Тема: «Конусы вокруг нас»

Главное управление образования и науки г. Севастополя

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГОРОДА СЕВАСТОПОЛЯ «ГИМНАЗИЯ №5»

Научно-исследовательская работа

на гимназическую научно-практическую конференцию старшеклассников

«Молодёжь в науке и творчестве»

Тема: «Конусы вокруг нас»

Автор:

Ткаченко

Максим Дмитриевич

ученик 11-А класса

ГБОУ Гимназия №5

Руководитель:

Мотуз

Татьяна Васильевна

учитель математики

Севастополь

2015 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение стр. 4

1. История изучения геометрического тела конус стр. 5

2. Конус и его составляющие стр. 10

3. Экспериментальная часть стр. 15

   1. Праздничные конусы в Севастополе стр. 15

   2. Конусы в исторической архитектуре г. Севастополя стр. 18

   3. Конусы в быту стр. 19

Заключение стр. 22

Литература стр. 23

Введение

Геометрические объекты являются неотъемлемой частью нашей жизни. На уроках геометрии школьники изучают различные геометрические тела, изображают их в тетради, решают задачи. Но очень часто бывает, что выйдя из школы, они не могут применить знания в обыкновенной жизни. Теряется связь с приобретенными знаниями. В связи с этим назрела необходимость исследования объектов в форме конуса в нашем городе, которые позволят наглядно (визуально) представить геометрическое понятие тел, которое будет способствовать качественному освоению материала.

Разработанный материал можно будет использовать c применением интерактивных средств обучения, которые позволят проводить уроки продуктивнее и интереснее. Благодаря наглядности и интерактивности класс вовлекается в активную работу, обостряется восприятие, повышается концентрация внимания, улучшается понимание и запоминание материала.

Цель работы: исследовать, где встречается в г. Севастополе и его окрестностях геометрическое тело конус и составить задачи для использования в интерактивных средствах обучения школьников.

Задачи:

1. Рассмотрение вариантов применения конуса в отдельных архитектурных объектах нашего города.

2. Составление задач с использованием применяемых типов конусов

3. Решение составленных задач

Объекты исследования: архитектурные здания и строения, выставочные экспонаты г. Севастополя.

Предмет исследования: геометрическая фигура конус

Методы исследования:

1. Наблюдение (рассмотреть многообразие архитектурных сооружений города) .

2. Анализ (проанализировать литературу по исследуемой теме).

3. Сравнительно - описательный (показать в каких объектах встречается конус).

4. Моделирование.

5. Эксперимент.

6. Оформление результатов исследования.

1. История изучения геометрического тела конус

Первоначальные сведения о свойствах геометрических тел люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических тел можно выводить из других свойств путем рассуждения. Так возникли теоремы и доказательства.
Появилось естественное желание по возможности сократить число тех свойств геометрических тел, которые берутся непосредственно из опыта. Утверждения, оставшиеся без доказательства свойств стали аксиомами. Таким образом, аксиомы имеют опытное происхождение.

Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого уровня в Египте. В первом тысячелетии до нашей эры геометрические сведения от египтян перешли к грекам. За период с VII по III век до нашей эры греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали также серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожено Евклидом в его знаменитом труде «Начала».

ЕВКЛИД

(330-275гг. до н.э.)

Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I Сотера. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427-347 до н. э.), но старше Архимеда (ок. 287-212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением т. н. платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны - его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре». С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как науки.

В XI книге «Начал» дается следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом. Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается треугольник, называется осью конуса, а круг, описываемый вращающимся катетом, называется основанием конуса. Евклид рассматривает только прямые конусы, т.е. такие, у которых ось перпендикулярна к основанию, лишь Аполлоний различает прямые и косые конусы, у которых ось образует с основанием угол, отличный от прямого.
В XII книге «Начал» Евклида содержится следующие теоремы.

• Объем конуса равен одной трети объёма цилиндра с равным основанием и равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.

• Отношение объёмов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.

• Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.

АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ
(ок.260-ок.170гг до н.э.

Аполлоний Пергский древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида дал полное изложение теории и основанных им трудов «Конические сечения» в восьми книгах. В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа: параболу, эллипс, гиперболу.
У Евклида нет понятия конической поверхности, оно было введено Аполлонием в его "Конических сечениях", при этом он имел в виду обе плоскости конуса. Вот что пишет Аполлоний Пергский: "Если от какой-либо точки окружности круга, который не находится в одной плоскости с некоторой точкой, проводить прямые, соединяющие эту точку с окружностью, и при неподвижности точки перемещать прямую по окружности, возвращая ее туда, откуда началось движение, то поверхность, описанную прямой и составленную из 2 поверхностей, лежащих в вершине друг против друга, из которых каждая бесконечно увеличивается, если бесконечно продолжать описывающую прямую, я называю конической поверхностью, неподвижную же точку - её вершиной, а осью - прямую, проведённую через эту точку и центр круга».

Определение конической поверхности Аполлония воспроизведено в современных школьных учебниках с существенной заменой круга на любую линию, так называемую направляющую.

ЕВДОКС КНИДСКИЙ

(408 - З55 гг.до.н.э )

Евдокс Книдский древнегреческий математик и астроном, родился в Книде, на юго-западе Малой Азии. О его жизни известно немного. Евдокс учился медицине, потом математике (у пифагорейца Архита в Италии), затем присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе. Позднее Евдокс переселился в город Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.
Около 368 г. до н.э. Евдокс вместе с частью учеников вернулся в Афины. Умер в родном Книде, окружённый славой и почётом. Кроме математики и астрономии, Евдокс занимался врачеванием, философией и музыкой; был известен также как оратор и законовед. Неоднократно упоминается у античных авторов; сочинения самого Евдокса до нас не дошли. В честь Евдокса названы кратеры на Луне и на Марсе.
Строгое доказательство теорем, служащих для вывода формулы объема конуса и изложенных в пяти предложениях 12 книги "Начал" Евклида, дал Евдокс Книдский. В первом из них методом исчерпывания доказывается, что объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего то же основание и ту же высоту. В следующем предложении тем же методом доказывается, что отношение объемов конусов с равными высотами равно отношению площадей их оснований. В третьем из упомянутых предложений доказывается, что объемы 2 подобных конусов, т. е. таких, у которых оси и диаметры оснований пропорциональны, относятся как кубы диаметров. Наконец, в последних 2 предложениях устанавливается, что отношение объемов 2 конусов, площади оснований которых равны, равно отношению высот. По определению Евклида, конус образуется от вращения прямоугольного треугольника, вокруг одного из катетов.

АРХИМЕД (лат. Archimedes)
(около 287 до н.э., Сиракузы,
Сицилия - 212 до н.э.)

Архимед древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и гидростатике (закон Архимеда) дал образцы применения математики в естествознании и технике. Архимеду принадлежит множество технических изобретений (архимедов винт, определение состава сплавов взвешиванием в воде, системы для поднятия больших тяжестей, военные метательные машины), завоевавших ему необычайную популярность среди современников.

Архимед получил образование у своего отца, астронома и математика Фидия, родственника сиракузского тирана Гиерона II, покровительствовавшего Архимеду. В юности провел несколько лет в культурном крупнейшем центре того времени Александрии Египетской, где познакомился с Эратосфеном. Затем до конца жизни жил в Сиракузах. Во время Второй Пунической войны (218-201), когда Сиракузы были осаждены войском римского полководца Марцелла, Архимед участвовал в обороне города, строил метательные орудия. Военные изобретения ученого (о них рассказывал Плутарх в жизнеописании полководца Марцелла) в течение двух лет помогали сдерживать осаду Сиракуз римлянами. Архимеду приписывается сожжение римского флота направленными через систему вогнутых зеркал солнечными лучами, но это недостоверные сведения. Гений Архимеда вызывал восхищение даже у римлян. Марцелл приказал сохранить ученому жизнь, но при взятии Сиракуз Архимед был убит.

В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед рассматривает шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет их объемы. В сочинении «О спиралях» исследует свойства кривой, получившей его имя (см. Архимедова спираль) и касательной к ней. В трактате «Измерение круга» Архимед предлагает метод определения числа pi, который использовался до конца 17 в., и указывает две удивительно точные границы числа : 37110371.

До нас дошло тринадцать трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них - «О шаре и цилиндре» (в двух книгах) Архимед устанавливает, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его сечения; формулирует соотношение объемов шара и описанного около него цилиндра как 2:3 - открытие, которым он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета (памятник через полтора века видел Цицерон). В этом же трактате сформулирована аксиома Архимеда (называемая иногда аксиомой Евдокса), играющая важную роль в современной математике.

В «Началах» Евклида мы находим определение только объёмов цилиндра и конуса, площадь же боковых поверхностей была найдена Архимедом. В 14-м предложении его произведения «О шаре и цилиндре» он доказал следующую теорему: «Поверхность всякого равнобедренного (т.е. прямого кругового) конуса, за вычетом основания, равна кругу, радиус которого есть средняя пропорциональная между стороной (т.е. образующей) конуса и радиуса круга, являющегося основанием конуса».
Площадь S боковой поверхности дается таким образом (в современных символах) формулой S = Pi r l, где l - длина образующей, r - радиус основания конуса, Pi=. «Равнобедренным» прямой круговой конус называется потому, что он имел в осевом сечении равнобедренный треугольник.

Конус и его составляющие

Конус (с греческого «konos») - сосновая шишка. Конус знаком людям с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга «О методе», написанная Архимедом (287-212 гг. до н. э.), в этой книге дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед говорит, что это открытие принадлежит древнегреческому философу Демокриту (470-380 гг. до н.э.), который с помощью данного принципа получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.

Конус - геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Круговой конус - это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков, которые соединяют вершину конуса с точками основания).

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус - это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Прямой круговой конус - это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высота конуса - это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса - это прямая, котораясодержит его высоту. котораясодержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса - это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом. Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле:

S_бок = πRl,

где R - радиус основания, l - длина образующей.

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле:

S_кон = πRl + πR²,

где R - радиус основания, l - длина образующей.

Объём кругового конуса равен

V = 1/3 πR²H,

где R - радиус основания, Н - высота конуса

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_бок = π(R + r)l,

где R - радиус нижнего основания, r - радиус верхнего основания, l - длина образующей.

Площадь полной поверхности усеченного конуса можно найти по формуле:

S_кон = πR² + πr² + π(R + r)l,

где R - радиус нижнего основания, r - радиус верхнего основания, l - длина образующей.

Объём усечённого конуса можно найти следующим образом:

V = 1/3 πH(R² + Rr + r²),

где R - радиус нижнего основания, r - радиус верхнего основания, Н - высота конуса.

Пирамида, вписанная в конус, это пирамида, у которой основание является многоугольником, вписанным в окружность основания конуса, а его вершина - это вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, которая вписана в конус, становятся образующими конуса.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

S_n=½P_nl_n,

где P_n - периметр основания пирамиды, а l_n - апофема.

При неограниченном увеличении n периметр основания P_n неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема l_n - к длине l образующей. Значит, боковая поверхность пирамиды неограниченно приближается к ½Cl. Поэтому величину ½ Cl принимают как площадь боковой поверхности конуса.

То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:

S=½Cl=π Rl,

где R - радиус основания конуса, а l - длина образующей.

Аналогично для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R₁, R₂ и образующей l получается формула

Касательная плоскость к конусу - это плоскость, которая проходит через образующую конуса и которая перпендикулярна плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Пирамида, описанная около конуса это пирамида, у которой основанием является многоугольник, который описан около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды - это касательные плоскости конуса.

Праздничные конусы в Севастополе

Бал хризантем

24 октября 2014 г.

ЗАДАЧА 1

14 февраля 2014 г в Севастополе проходила выставка цветов, посвященная Дню влюбленных. Одной из главных композиций был конус, состоящий из вазонов с цветами. Высота конуса 2 м 15 см, диаметр основания равен 2 м 80 см. Площадь вазона с цветком равна 170 см². По окончанию выставки цветы были подарены севастопольцам. Какое количество людей поздравили с праздником?

День Святого Велентина

14 февраля 2014 г.

Решение

1.Определение радиуса по формуле:

2. Определение образующей по теореме

Пифагора

3.Определение площади боковой поверхности конуса:

4. Определение количества вазонов

Ответ: 664 человека.

ЗАДАЧА 2

Высота елки 12 м , образующая 15 м. Для симметрии бантики

и снежинки размещались на расстоянии 1,5м. Сколько игрушек понадобилось для украшения новогодней елки?

Новогодний конус

«Елочка»

г.Севастополь 2015 год

Решение

1. Определение радиуса елки по т.Пифагора

2. Определение боковой поверхности елки

3. Определение количества игрушек

Ответ: 283 игрушки.

Конусы в исторической

архитектуре г.Севастополя

Панорама. Исторический

бульвар Севастополя

Комплекс памятника Нахимову

Покровский собор в Севастополе

Адмиральский собор святого Владимира

Екатерининская миля на Северной стороне

Задача 3

Храм представляет собой усеченный конус, с диаметрами оснований 15 и 3 м. Высота купола - 10 м. Сколько потребовалось краски при оформлении данной часовни, если известно, что на 1 м² расходуется 200 г бронзового покрытия.

Часовня во имя святого великомученика Георгия Победоносца расположена в мемориальном комплексе на Сапун-горе

Решение

1. Определение радиусов конуса

2. Определение образующей по

т. Пифагора

3. Определение боковой поверхности купола

4. Определение массы краски

Ответ: 65 кг.

Конусы в быту

Задача 4

Озеро Сасык-Сиваш - самое большое в Крыму соленое озеро. Оно находится недалеко от Евпатории, и от Черного моря его отделяет дамба. Весной низины наполняют морской водой, за три месяца влага испаряется, а на пересохшем дне остается соль. Специальными ножами комбайн срезает пласт соли, который тут же дробит и по транспортерной ленте подает в вагонетки. Одна вагонетка перевозит 15 м3 соли. Хранят соль в виде конических соляных гор. Сколько вагонеток соли пришлось привезти, чтобы сформировать коническую гору, окружность которой 120 м. Длина образующих 44 м.

Соляные горы на озере

Сасык-Сиваш

Решение

1. Определение длины образующей:

2. Определение длины радиуса:

3. Определение высоты конуса:

4. Определение объема конуса:

5. Определение количества вагонеток:

Ответ: 277 вагонеток

Задача 5

В ведро, имеющее форму усеченного конуса с диаметрами 28 и 20 см собрали 4 л березового сока , что составило половину высоты ведра. Сколько литров сока нужно еще собрать, чтобы заполнить ведро доверху?

Сбор

березового сока

Решение

1. Определение радиусов оснований

2. Определение средней линии трапеции

3. Определение высоты трапеции ЕО1

4. Определение объема усеченного конуса

Ответ: необходимо собрать еще 5,5 л сока

Заключение

Проведенная поисково-исследовательская работа позволила мне расширить и приобрести дополнительные знания о геометрическом теле - конус. Я обнаружил, что вокруг очень много различных геометрических фигур, в том числе и конус. Он широко применяется нами в быту. Так же мы сталкиваемся с этой геометрической фигурой в природе. Прогуливаясь по улицам нашего любимого города, я начал замечать, что элементы конуса часто встречаются в архитектуре. Примером этого служат крыши различных зданий и сооружений, где мы с лёгкостью можем увидеть конус. Так же знания о конусе и его элементах иногда очень требуется в жизни. Например, при подсчёте объёма жидкости, находящейся в ведре, которое имеет форму прямого кругового конуса или усечённого конуса.

Теперь я стал внимательнее относиться к окружающим меня предметам, разнообразие которых влияет на наше настроение и эмоции.

Источники

1. Геометрические тела. Конус.- [Электронный ресурс]. - Режим доступа. - calc.ru/Geometricheskiye-Tela-Konus.html

2. Конус.- [Электронный ресурс]. - Режим доступа.- tutoronline.ru

3. ЕГЭ по математике - [Электронный ресурс]. - Режим доступа. -uztest.ru/abstracts/?idabstract=523545

4. Атанасян Л.С. Геометрия / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.- М.: Просвещение, 2014.-255 с.

5. Геометрия в таблицах по новой программе 10-11 класс Роева Т.Г, Хроленко Р.Ф

6. Погорелов М.И «Геометрия 7-11» Просвещение 2001.

7. Геометрия в таблицах. 7-11 классы. Нелин Е.П., М.: 2012.- 80 с.

8. ФИПИ fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

21