Решение задач на проценты, задач экономического содержания

26

Проценты.

Симутина Н.В., учитель математики МБОУ СОШ №5

Г. Тайшета

Аннотация

Актуальность темы была и остается в том, что проценты - это одна из сложнейших тем математики. Очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты, встречающиеся в государственной итоговой аттестации. Умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Знание процентов затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. В настоящее время очень большое количество людей берут деньги или товары в кредит под определенный процент. И каждый человек должен понимать как начисляются проценты. И именно поэтому в контрольных измерительных материалах единого государственного экзамена 2015 года по математике добавлено задание с развернутым ответом профильного уровня (19) с экономическим содержанием., проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей, умение использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности при проведении банковских операций. Изучение процента продиктовано самой жизнью.

Оглавление

1. Введение

   1. Актуальность

   2. Цель работы

   3. Методы и приемы

2. Основная часть

   1. Из истории происхождения процентов

   2. Решение задач на проценты

2.1. Задачи на проценты по категориям

2.2. 1 категория задач на проценты

2.3. 2 категория задач на проценты

2.3.1. Задачи на концентрацию и процентное содержание (теория)

2.3.2. Типичные ситуации

2.3.3. Различные методы решения

2.3.4. Задачи на сложный процент и банковские операции

3. Применение процентов в жизни

3.1. Изучение банковских вкладов

3.2. Изучение знаний учащихся по решению задач на проценты

IV. Заключение

V. Литература

VI. Приложение

I.Введение

В контрольно - измерительных материалах имеются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6 классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются. Не только при проведении государственной итоговой аттестации есть задачи на проценты, они также включаются службой по надзору и контролю при проведении мониторинговых исследований, но и при отработке технологии проведения экзамена в 9 и 11 классах.

1. Актуальность темы. В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт или взять кредит в банке, наши родители интересуются размером процентных начислений. И в торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные изменения цен на товары, налог на прибыль и т.д. - всё это проценты. И каждый человек должен уметь вычислять эти проценты. Данная тема актуальна.

2.Цель данной работы - показать широту применения такого простого и известного математического аппарата, как процентные вычисления.

Задачи:

• Познакомиться с историей возникновения процентов

• Научиться решать задачи на проценты разными способами

• Познакомиться с формулой сложных процентов

• Научиться применять полученные знания на примерах, с практическим содержанием

• Исследовать бюджет семьи, качество знаний учащихся

• Поработать с ресурсами Internet

• Поработать в Microsoft Word, Microsoft PowerPoint и Microsoft Excel

Методы и приемы:

• Поиск информации в источниках, справочниках

• Работа с ресурсами Internet

• Обработка и анализ информации

• Анкетирование учащихся по отдельным вопросам касающихся процентного соотношения

• Умение работать в Mikrosoft PowerPoint и Mikrosoft Word, Microsoft Excel

• Составление диаграмм, таблиц

Гипотеза: Процент-не абстрактное понятие, а постоянный спутник нашей жизни.

II. Основная часть

1.Из истории происхождения процентов

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Проценты были известны индийцам еще в 5 веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Например: Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг? Решение: Для начала найдем 20% от 50 , получим пропорцию 50с - 100% Хс - 20% Х=20·50/100=10 с 50 + 10 = 60 сестерциев Ответ: 60 сестерциев От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII века. Существует и другая версия возникновения этого знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже вышла книга Матьё де ла Порта «Руководство по коммерческой арифметике». В одной из глав речь шла о процентах, которые обозначались теми же уже знакомыми нам буквами «cto». Однако подслеповатый наборщик принял букву t в этой надписи за дробную черту. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), так возник современный символ для обозначения процента - %

Так, благодаря одной глупой или не такой уж и глупой ошибке, возможно, знак % и вошёл в обиход. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты стали использовать в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это сотая доля целого (принимаемого за единицу)

2. Решение задач на проценты

2.1. Задачи на проценты по категориям

1 категория - простые: ( нахождение процента от числа; нахождение числа по его процентам;. нахождение процентного отношения двух чисел )

2 категория- сложные; ( задачи на сплавы и смеси; экономические задачи; процентное содержание ( концентрация ))

2.2. 1 категория: нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от числа, надо число умножить на процент. (Чтобы найти а % от в, надо в• 0,01а).

Задача1. Налог на доходы физических лиц (НДФЛ) в РФ составляет 13% от начисленной заработной платы. Сколько рублей получает работник после уплаты НДФЛ, если начисленная заработная плата составляет 20000 рублей? (демоверсия 2015)

Решение: 20000 составляет 100%

1) 20000:100 =200 рублей составляет 1%.

2) 200 •13=2600 рублей уплата НДФЛ

3) 20000 - 2600 = 17400 рублей получает работник

Ответ: 17400 рублей получает работник

нахождение числа по его процентам;

Задача 2. За контрольную работу по математике отметку»5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение: Неизвестное число - 100%.

1) 12:30=0,4 учеников составляет 1%.

2) 0,4• 100=40 учеников в классе.

Ответ: 40 учеников в классе.

Задача 3. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге? Решение: Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге . Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик ( 138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Само количество страниц, естественно, будет больше 138. Так как 23% = 0,23, 138 : 0,23 = 600 страниц.

нахождение процентного отношения двух чисел:

Задача 4: Из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем? Решение: 1800 га составляют 100% 1) 1800:100=18 га составляет 1%. 2) 558:18=31; 558 га составляют 31%. Ответ: ; 558 га картофеля составляют 31%.

2.3. 2 категория задач - сложные

2.3.1.{1} Задачи на концентрацию и процентное содержание (Приложение №1)

Задачи на концентрацию и процентное содержание - это задачи о составлении сплавов, растворов или смесей нескольких веществ.

Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся сплавы или смеси однородны; не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости.

б) при смешивании двух растворов, имеющих объёмы υ₁ и υ₂, получается смесь, объём которой υ₀= υ₁+ υ₂.

Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчёту абсолютного и относительного содержания компонент всех смесей, фигурирующих в условии задачи.

Абсолютное содержание вещества в смеси - это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения ( граммах, литрах и т.д.)

Концентрация вещества, выраженная в процентах ( долях), называется отношение массы этого вещества (абсолютное содержание) к массе всей смеси (раствора, сплава).

Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).

Иначе концентрацию или процентное содержание называют относительным содержанием:

абсолютное содержание

относительное содержание = ^{___________________________________}

общая масса

Чтобы проиллюстрировать эти понятия, предположим, что в сосуд, содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося раствора 500 г. В растворе абсолютное содержание соли 50 г, а относительное ( 50 г) : ( 500 г)=0,1= 10%.

Аналогично, в растворе абсолютное содержание воды 450 г, а относительное содержание (450 г) : (500 г) = = 0,9= 90%

2.3.2. Типичные ситуации

Смешали две смеси (соединили два сплава)

При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:

• Подсчитать абсолютные содержания;

• Сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонент смеси;

• Подсчитать относительные содержания компонент смеси.

Задача 5. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55% -го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.

Решение: Представим условие задачи в виде рисунка

500г 400 г

Соль 10%

вода

соль ? %

Вода

900г

Абсолютное содержание соли в первом растворе: 500 г (общая масса) • 0,1 (относительное содержание соли) = 50 г

Абсолютное содержание соли во втором растворе: 400 г (общая масса) • 0,55 (относительное содержание соли) = 220 г

Общая масса смеси: 500 г масса первого раствора) + 400 г (масса второго раствора) = 900 г

Абсолютное содержание соли: 50 г (абсолютное содержание соли в первом растворе) + 220 г (абсолютное содержание соли во втором растворе) = 270 г

Относительное содержание соли:

0,3 = 30%

Итак, концентрация соли в смеси двух исходных растворов - 30%

Отлили часть раствора / отрезали кусок сплава.

При этой операции остаётся неизменна концентрация веществ ( если из чашки отлить немного чая в другую чашку, то чай не станет слаще). Поэтому после отливания части раствора относительные содержания можно считать известными и необходимо подсчитывать абсолютные содержания.

Задача 6. От куска сплава золота с серебром массой 500 г и 10% -м содержанием золота отрезали 20 г . Определите количество золота и серебра в отрезанном куске.

Решение:

500 г 20 г

золото 10%

серебро

золото ? г

серебро ? г

отрезали 20 г

• Исходный сплав

Абсолютное содержание золота: 500 г (общая масса) • 0,1 (относительное содержание золота) = 50 г

Абсолютное содержание серебра: 500 г (общая масса) - 50 г (абсолютное содержание серебра) = 450 г

Относительное содержание серебра:

450 г (абсолютное содержание серебра) ₌ 0,9 = 90%

500 г (общая масса)

• Отрезанный кусок

Относительное содержание золота: 10% (осталось неизменным)

Абсолютное содержание золота: 20 г (общая масса)•0,1 (относительное содержание золота) = 2 г

Относительное содержание серебра: 90% (осталось неизменным)

Абсолютное содержание серебра: 20 г (общая масса)•0,9 (относительное содержание серебра) = 18 г

Итак, в отрезанном куске содержится 2 г золота и 18 г серебра

500 г 20 г

золото10%=

50 г

серебро 450 г = 90%

золото 10%=

2 г

серебро 90%=18 г

отрезали 20 г

Ответ: 2 г золота и 18 г серебра.

Задача 7. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором - 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Решение:

Пусть х - масса первого сплава, у - масса второго сплава. Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0,35 х, а во втором - 0,6у. Масса нового сплава равна х+у, а количество золота в нем составляет 0,4 (х+у). Уравнение примет вид: 0,35х+0,6у = 0,4 (х+у). Получим: х=4у т.е. х:у = 4:1

Ответ: в отношении 4:1.

Задача 8: (физический факультет, МГУ) Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды?

Решение:

руда 24 т металл х т

чистый металл

примесей 40%

чистый металл

примесей 4%

процесс плавки

• Руда:

Абсолютное содержание примесей: 0,4• 24 = 9,6 т

Абсолютное содержание чистого металла: 24 - 9.6 = 14.4 т

• Металл

Абсолютное содержание примесей: 0,04 х т

Абсолютное содержание чистого металла: х - 0,04х = 0,96х т

руда 24 т металл х т

чистый металл 14,4т

примеси

9,6 т

чистый металл 0,96х т

Примеси

0,04х т

процесс плавки

В процессе плавки удаляется большая часть примесей.

Количество чистого металла остаётся неизменным, имеем :

0.96 х = 14,4

х = 14,4 : 0,96

х= 15

Ответ: 15 т

2.3.3. Различные методы решения задач

Алгебраический метод

Задача 9. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение:

Пусть х г - масса 50%-й кислоты,

y г - масса 70%-й кислоты

0,5 х г - масса чистой кислоты в первом растворе,

0,7 y г - масса чистой кислоты во втором растворе,

(х + y ) г - масса смеси,

0,65 (х + y ) г - масса чистой кислоты в смеси.

Получим уравнение:

0,5 х +0,7 y =0,65 (х + y ) - разделим на y≠ 0

0,5• + 0,7 = 0,65• + 0,65

0,15 : = 0,05

=

=

Ответ: 1: 3.

Задача 10. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую часть меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди.

Решение:

36 • 0,45 = 16,2 (кг) - меди в первом сплаве.

Пусть добавили х кг меди.

Меди во втором сплаве ( 16,2 + х) или (36 + х) • 0,6

т.е. 16,2 + х = (36 + х) • 0,6

16,2 + х = 21,6 + 0,6 х

х - 0,6 х = 21,6 - 16,2

0,4 х = 5,4

х = 5,4 : 0,4

х = 13,5

Ответ: 13,5 кг.

Решение задач путём составления системы уравнений.

Задача 11. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%.

Решение: решим эту задачу вторым способом т.е. составим систему уравнений.

Пусть нужно взять х т стали первого сорта и у т стали второго сорта.

х+ у = 140, 0,05 (140 -у) +0,4у = 42;

0,05х +0,4у = 0,3 ·140; 7 - 0,05у +0,4у =42;

х= 140 - у, 0,35у = 35;

0,05 (140 -у) +0,4у = 42; у=100.

х= 40,

у=100.

Ответ: 40т, 100т.

Задача 12. Один раствор содержит 20% (по объёму) соляной кислоты, а второй - 70% этой кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50% -го раствора соляной кислоты?

Решение:

20% кислоты

70% кислоты

х л у л

50% кислоты

100л

Используя схему, получим систему

х+у =100,

0,2 х + 0,7 у = 0,5 · 100.

х+у =100,

2х +7у = 500.

х= 100- у,

200 - 2у + 7у = 500;

х = 100 -у.

5у= 300.

х=40,

у=60. Ответ: 40л и 60 л.

Задачи на концентрацию ( с помощью составления таблицы).

При решении некоторых задач удобно внести данные задачи в таблицу и вести расчёт с того вещества, масса которого не меняется.

Задача 13. Морская вода содержит 5% соли (по массе ). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация составила 1,5 % ?

Решение:

соль

морская вода

было

5% - 1,5 кг

100% - 30 кг

стало

1,5 % - 1,5 кг

100% - ?

1. 0,05 · 30 = 1,5 (кг) - масса соли

2. 1,5 : 1,5 · 100 = 100 кг - масса нового раствора,

3. 100 - 30 = 70 (кг) воды надо взять.

Ответ : 70 кг.

Задача 14.{1}Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй - 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько кг олова содержится в полученном новом сплаве?

Решение:

Сплавы (кг)

I

II

III

масса сплава

150

250

400

масса олова

150 ·0,4 = 60

?

?

масса меди

?

250 · 0,26 = 65

?

масса цинка

150 х / 100 = 1,5 х

2,5 х

0,3 · 400 = 120

1,5х + 2,5 х = 120

4 х = 120

х = 30

1) 2,5 · 30 = 75 (кг)

2) 250 - (65 + 75) = 250 - 140 = 110 (кг)

Олова в третьем сплаве 60 + 110 = 170 (кг.)

Ответ: 170 кг

2.3.4.Задачи на сложные проценты и банковские операции

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. х (1+ 0,01 а)ⁿ - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов, где х - начальный вклад, сумма, а - процент(ы) годовых, n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01 а )ⁿ - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов. Популярность кредитования в нашей стране растет из года в год. Выгодным может оказаться ипотечный кредит, так как цены на квартиру за последние годы стремительно растут. Поэтому копить деньги на квартиру годами и снимать жилье не выгодно. Если позволяют доходы семьи. Лучше оформить ипотечный кредит.

При существующих процентах на автокредитование примерная сумма ежемесячных платежей составляет от 2% до 3% от первоначальной стоимости автомобиля. С учетом ежегодных трат на страхование автомобиля, новый автомобиль будет обходиться примерно на 30-35% дороже реальной стоимости. Поэтому покупать автомобиль в кредит выгодно в том случае, если у вас есть точная информация, что через некоторое время цены на эти модели автомобиля вырастут на 35%. В этом случае покупая автомобиль в кредит можно даже сэкономить.

Пример 1. Открытое акционерное общество «Сбербанк России» предоставляет «Потребительский кредит» в сумме 60000 рублей под 19% годовых на цели личного потребления на срок 12 месяцев. Расчёт погашения кредита ведётся по формуле х(1- 0,01 а)ⁿ - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов Первый месяц вы выплатите банку сумму в размере 11400 рублей, остаток ваш после первого погашения будет 60000 - 60000·19%=48600 рублей. Следующий месяц выплата банку составит 9234 рубля, остаток - 48600 - 48600·19% = 39366 рублей и так далее.

Пример 2. Представим, что вы положили 30 000 руб в банк под 12 % годовых. Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 30000 + 30000·12% = 33 600 рублей. Прибыль за год - 3600 рублей. Вы решили оставить 336000 рублей на второй год в банке под те же 12%. Через 2 года в банке накопится 33600 + 33600·12% = 3763 рублей. Прибыль за первый год (3600 рублей) прибавилась к основной сумме (30 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Примеры задач с экономическим содержанием, представленные в КИМах 2015 года

Задача 15.(4) Максим хочет взять в кредит 1,5 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год разными суммами (кроме, может быть, последней) после вычисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Решение. При начислении процентов оставшаяся сумма долга уменьшается на коэффициент 1 + 0,01·10 = 1.1. В конце первого года долг составит 1500000· 1.1 = 1650000 рублей. После выплаты 350 тысяч рублей остается долг 1300000 рублей и т.д. Составим таблицу выплат

Год

Долг банку ( руб.)

Остаток после транша (руб.)

0

1500000

-

1

1650000

1300000

2

1430000

1080000

3

1188000

838000

4

921800

571800

5

628980

278980

6

306878

0

Ответ: Максим погасит кредит за 6 лет.

Задача16. {4}31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение: Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют a%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0.01a. После первой выплаты сумма долга составит S₂ = S₁ b - Х =( Sb - Х) b - Х = Sb² - (1 + b) Х.

По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому Sb² - (1 + b) Х =0, откуда Х = Sb²/(1 + b). При S = 4290000 и а = 14,5, получаем: b = 1, 145 и

Х = 4290000· 1,311025 : 2, 145 = 2622050 рублей.

3 . Применение процентов в жизни 3.1. Изучение банковских вкладов

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. Возьмём долгосрочные вложения, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента. Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

где

• S - общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;

• Р - первоначальная величина вклада;

• n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);

• I - годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки - ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

3.2.Изучение знаний учащихся по решению задач на проценты

Класс

Число участниковв

Выполнили на «5»

На «4»

На «3»

На «2»

Успеваемость

Качество по теме

6в класс

26

6

10

7

3

88,5%

61%

10 б

23

3

7

7

6

73,9%

43,5%

11

37

6

15

12

6

83.8%

70%

Успеваемость и качество знаний в 10 б классе низкое , так как учащиеся, которые четыре раза пересдавали экзамен, так и не научились решать задачи на проценты. В 11 классе давались задания базового уровня.

III.Заключение

В современном мире прожить без знаний процентов невозможно. Чтобы быть хорошими специалистами надо уметь разбираться в большом потоке информации, необходимо знать проценты. Вкладчик сбережений учиться жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

Поставленная цель работы достигнута, показана целесообразность применения процентов при решении повседневных задач. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся повседневной жизни.

Изучение столь важной и интересной темы даёт положительную мотивацию для самообразования и хорошей подготовки к экзаменам.

IV Литература

1. Виленкин Н.Я. Математика 5, Математика 6. Учебник для общеобразовательных учреждений, издательство МНЕМОЗИНА, Москва, 2010 г

2.«Математика» - учебно- методическая газета, №6 за 2006 год, стр.15- 22; № 23 за 2004 год, стр. 28 - 32; № 25 - 26 за 2004 год, стр. 34-36; № 17 за 2004 год, стр. 29-32; № 47 за 2003 год, стр. 11-14; № 12 за 2004 год, стр. 14-16; № 36 за 2004 год, стр 14 - 18.

3. Григорьева, Математика. Пособие для подготовки к вступительным экзаменам, стр. 152

4. Соломатин О.Д. Журнал «Математика в школе» . 1997 год. «Старинный способ решения задач на смеси и сплавы» , стр. 12-14.

5. Фрадков И.С.. Пособие для подготовки в вузы, стр.8.

6. karmanform.ucoz.ru/test в1.rar

karmanform.ucoz.ru/test в2.rar

shkolo.ru›nahozhdenie-protsentnogo-otnosheniya…

shevkin.ru›?action=Page&ID=676

math.sch1582.edusite.ru›6_kl/matematika/

7. Ященко И.В. Математика ЕГЭ 2015 г. Типовые тестовые задания

Приложение №1

1. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси

Задача 1. При смешивании 5% - ного раствора кислоты с 40% - ным раствором кислоты получили

140 г 30% - ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение: Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине - содержание кислот в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками, получим пары чисел 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

5 10

30 :

40 25

Вывод: 5% - ного раствора надо взять 10 частей, 40% - ного раствора - 25 частей для получения 140 г 30% - ного раствора.

1) 140 : 35 = 4 г ( 1 часть)

2) 4 · 10 = 40г ( 5% - ного)

3) 4 · 25 = 100 г ( 40% - ного)

Ответ: 5% - ного раствора 40 г, 40% - ного раствора - 100 г.

Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Магницкого.

Например задача: как смешать чай?

Имеет некто чай трех сортов - цейлонский по 5 гриыен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти три сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Вот решение из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого: «А когда случится мешати три товара из них же зделати четвертый по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в правиле полагается. Яко же зде видимо есть:

5 6 5 2

6 6

12 1 8 1

Здесь предлагается взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Указанный Л.Ф. Магницким способ состоит в следующем. Надо метод, изложенный при решении задач на смешение двух веществ, применить два раза: первый раз, взяв вещества с наименьшей и наибольшей стоимостью, а во второй раз с наименьшей и средней стоимостью. При этом будут найдены доли, в которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости ( приведенном примере 1 и 1). Сложив затем доли дешевого вещества, найденные в первый и во второй раз (6+2=8), получим долю дешевого вещества в общей смеси.

Задача 2. Имеется серебро 12 - й, 11-й и 5-й пробы. сколько какого серебра надо взять для получения 1 кг серебра 9 - й пробы?

Решение: Необходимо этот метод применить два раза: первый раз, взяв серебро с наименьшей и наибольшей пробой, а во второй раз - с наименьшей и средней пробой. Получим схему:

5 3 3+2 = 5

9 4

12 4 4

5 2 ---

9 13

11 4

При этом найдены доли, в которых нужно сплавлять серебро наибольшей и средней пробы ( 4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные в первый и во второй раз ( 3+2 =5) получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве.

Итак, надо взять 5 / 13 кг серебра 5 - й пробы, 4 / 13кг серебра 12-й пробы и 4/ 13 кг серебра 11-й пробы. ( задачи на смешивание трёх веществ могут иметь не единственное решение. Серебро 9-й пробы можно получить, сплавляя серебро 5-й и 12-й пробы в отношении 3 : 4 ( 1 сплав) или серебро 5-й и 11-й пробы в отношении 2 : 4 ( 2 сплав). Соединяя 1 и 2 сплавы в любой пропорции, мы будем получать различные сплавы серебра 9-й пробы)

( В России существовала золотниковая система обозначения пробы на основе русского фунта, содержащего 96 золотников, по которой проба выражалась весовым количеством благородного металла в 96 единицах сплава, например, слова «серебро одиннадцатой пробы» означает что в 96 частях сплава содержится 11 частей серебра. В наше время проба обозначает число частей благородного металла в 1000 частях (по массе) сплава)

Задача 3: Имеется 240 г 70% - ного раствора уксусной кислоты. Нужно получить 6% - ный раствор кислоты. Сколько граммов воды ( 0% - ый раствор) нужно прибавить к имеющемуся раствору?

Решение

0 64

6 :

70 6

Итак: 240: 6 = 40г - составляет одну часть, а воды следует взять 64 части т.е. 64 · 40 = 2560г.

Ответ: 2560г.

Задача 4.В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?

Решение:

50 5

65 :

70 15

Для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5 : 15 = 1 : 3.

Ответ: 1 : 3.

Обоснование старинного способа решения задач на смеси.

Пусть требуется смешать раствор а%-й и в%-й кислот, чтобы получить с%-й раствор.

Пусть х г - масса а% -ного раствора, у г - масса в% -ного раствора.

ха / 100 г - масса чистой кислоты в 1 растворе

ув / 100 г - масса чистой кислоты во 2 растворе.

с ( х+у) / 100г - масса чистой кислоты в смеси

ах ву с (х+у)

----- + ---- = ----------

100 100 100

ах + ву = с х+су

ву - су = сх - ах

(в - с) у = ( с - а) х

х : у = ( в-с) : ( с - а)

Такой же вывод даёт схема:

а в-с

с :

в с - а

2. Задачи с аналитической моделью ах + ву = с (х+у)

Задача 5. При смешивании 5% - ного раствора кислоты с 40% - ным раствором кислоты получили

140 г 30% - ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение: отметим по оси у - концентрацию растворов в %, по оси х - массу в г.

n (%)

0 m (г)

х 140

S₁ = 10 · х S₂= (140 - х) · 25

Приравниваем площади равновеликих прямоугольников.

10 · х = (140 - х) · 25

10х = 3500 - 25х

10х = 3500

х = 100

Первого раствора 100г, второго раствора 40г.

3. Задачи на прямую пропорциональную зависимость.

Рассмотрим формулу n= m_А : m

Если n - const, а m_А и m - переменные величины, то m_А и m находятся в пропорциональной зависимости.

Графически пропорциональную зависимость можно изобразить с помощью любого угла, стороны которого пересекаются параллельными прямыми

m₁ m₂

m_А1 m_А2

m₂ m _А2 m₂ -m₁ m₂

_{------- = --------- или ---------------- = --------}

m₁ m _А1 m _А2 -m _А1 m_А1

Задача 6: к 20 кг 12% - ного раствора соли добавили 3 кг соли. Сколько надо долить воды, чтобы концентрация соли в растворе не изменилась?

Решение: Масса соли в растворе

m _А1 = 0,12 · 20 = 2,4 (кг) m _А2 = 2,4 +3 = 5,4 (кг)

Пусть требуется долить х л воды.

Тогда

20 20 +х

2,45,4

20+ х 5,4

-------- = -------

20 2,4

2,4х + 48 = 108

2,4 х = 108 - 48

2,4 х = 60

х = 60 : 2.4

х = 25

Ответ: долить 25 кг воды

4. Сплавы, используемые в нашей повседневной жизни

Самый легкий сплав металлов - алюминий с небольшой добавкой лития. А сплав кобальта и железа обладает наибольшей намагниченностью и из него изготавливают мембраны для телефонов и детали магнитофонов. Танталовые сплавы ( залежи тантала имеются в нашем районе) не растворяются даже в «царской водке». Сплавы тербия и кобальта имеют уникальные свойства: изменяют размеры и форму в зависимости от степени их намагничивания. Для хранения радиоактивных веществ изготавливают емкости из самых жаропрочных вольфрамовых сплавов. Самые твердые сплавы получают из осмия и иридия. Самый легкоплавкий сплав - сплав Вуда (висмут - 40 г, свинец - 10 г, олово - 10 г, кадмий - 7г). Он плавится при температуре 68°С. Если фигурку из сплава Вуда поместить в горячую воду, фигурка исчезнет, если температура воды будет больше 68°С.

Струны музыкальных инструментов из сплава Cu и Be ( бериллиевая бронза). Красивые столовые приборы изготавливают из сплава никеля, меди, железа, который называется мельхиор. Для изготовления деталей автомашин используется сталь с добавкой металла ванадий. Монеты изготавливают из сплава нейзильбер.

Добавление хрома значительно повышает устойчивость сплава к коррозии, а если к стали добавить кремний, то она приобретает устойчивость к воздействию кислот. Если взять меди Cu- 57-60%, цинка Zn - 40-43%, то полученный сплав - латунь. Электроизмерительные приборы изготавливают из сплава константин ( медь - 60%, никель -39-41%, марганец - 0,4-0,6%). Электрические нагреватели делают из сплава никелин ( Cu- 65-67%, Ni- 33-35%, Mn- 0,4-0,5%).¹

_____________________________________________________________________________ 1- Журнал «Последний звонок», №8, 2004 г, Г.А. Капецкая, Турнир эрудитов, стр. 9