Кері тригонометриялық функциялардың меншіксіз интеграл арқылы анықталуы, негізгі қасиеттері

Кері тригонометриялық функциялардың меншіксіз интеграл арқылы анықталуы, негізгі қасиеттері.

Тригонометриялық функцияларды әдетте геометриялық тұрғыдан анықтап, жалпы түрде алдымен кері(қайтымды) функцияның бар болуы туралы барлық қажетті ұғымдарды енгізіп, содан барып кері тригонометриялық функцияларды анықтау кең тараған әдіс болып келеді.

Біздің айтайық дегеніміз анықталған интеграл, оның ішінде жинақты меншіксіз интегралдың қасиеттері негізінде кері тригонометриялық функцияларды енгізіп, олардың мектеп курсындағы оқылатын барлық қасиеттері тек қана интегралдың бар болуынан шығатынын кері тригонометриялық функцияны енгізудің тәсілдерінің бірі ретінде мәселені кеңінен талқылау болып табылады. Ол үшін алдымен меншіксіз интеграл ұғымын, жинақты, жинақсыз болуын білсе жеткілікті, оқушы қауымға ешқандай қиындық келтірмейді, себебі жоғары шегі айнымалы анықталған интегралдың шегі деп анықтаса болғаны, шегі бар болса - меншіксіз интеграл жинақты, болмаса - жинақсыз, сол себепті төмендегі интегралдардың

жинақты болатынын анықтама арқылы көз жеткізетін айтсақ болғаны, сәйкес олардың мәндері санымен санына тең екендігі шығады.

функцияларын анықтама арқылы шектерінің бірі айнымалы

интегралдарымен анықтауға болады. [1]

Екі анықтама да графиктен айқын көрініп тұр (қисықсызықты трапеция аудандары, мұндағы - Аньеза ұршығы деп аталады, осі қисықтың горизонталь асимтотасы):

1-сызба

Осы анықтамалардан және теңдігінен функцияларының арасындағы бұрыннан белгілі қатынасты алуға болады:

Сол себепті, функциясын арнайы зерттемесе де болатынын көреміз, функциясының барлық қасиеттерін интегралдың қасиеттерінен шығарып алсақ болғаны.

1. функциясының анықталу облысы.

Бұл функцияның анықталу облысы бүкіл сан осі болып табылады, ол интегралдың бар болуынан шығады.

2. Үздіксіздігі.

Бұл қасиеті арнайы дәлелдеуді қажет етпейді, себебі айнымалы қисық сызықты трапеция ауданының үздіксіздігі белгілі. Келесі нұсқаны да дәлел ретінде алуға болады: берілген функцияның туындысы бар және ол қа тең, сондықтан функция үздіксіздігі функцияның дифференциялданатынынан шығады.

3. Жұп не тақ болуы.

Егер жұп функцияның графигі координаталар басы арқылы өтсе, онда оның алғашқы функциясы тақ екендігі белгілі. Біздің жағдайда екі шартта да орындалып тұр, сондықтан тақ функция.

4. Монотондылығы.

; туынды оң болса, функциясы R облысында өспелі (үдемелі).

5. Функция нөлдері.

=0 болса, л монотонды болғандықтан, оның басқа нөлдері жоқ.

6. Функция таңбалары.

0да, ал

0қатынастарының ақиқат екенін көреміз.

7. Дөңестілігі.

болғандықтан, 0 болса функция графигі дөңес, ал 0 болса ойыс болып табылатынын, яғнибас нүкте=0-иілу нүктесі болып табылатынын көреміз.

8. Шексіздіктегі бағыттары.

интегралының қасиетінен қатынасы орын алып, ал функцияның тақтығынан болып, екі горизонталь асимтоталарының бар болатынын байқаймыз.

Сонымен қатар мәндер жиыны тұтас интервалын құратынын көреміз.

9. Функция графигі.

y=arctgx

-

O

-1

1

2-сызба

а) Енді және тің кейбір қасиеттерін талдап көрелік. Ол үшін ; тиянақты нүктелердегі мәндерінен теңдігінен сол нүктелердегі мәндері шығады. қатынасы оңай дәлелденеді ( туындының симметриялық анықтамасынан), расында да

пен айнымалы шамалары тің өте аз мәндерінде эквивалентті шексіз аз, яғни деп жазуға болады.

b) екенін көрсетейік. Сол жақтағы өрнектідеп белгілесек, болады. Яғни, болғанда, бұл функция тұрақты. Оны табу үшін екенін ескеріп, болғанда теңдігі орын алатынын көреміз. функциясының тақ болғандығынан жағдайында қатынасытің тақ екендігінен шығады.

c) кері тригонометриялық функцияларда өте маңызды орын алатын

теңдігін дәлелдейік.

Мұндағы параметр, ол =0, егер болса,

=1 егер1, болса, ал егер болса, =-1.

Айнымалы -тің бір мәнін белгілеп алайық. -тің бұл мәніндегі теңдеудің сол жағын деп, ал оң жағын Бұл екі функцияның да туындысын алсақ, олар тең екенін көреміз, яғни функциялардың тек константаға ғана айырмашылығы бар, яғни:

Бірінші жағдай үшін есептейік, яғни жағдайы. Ол үшін болатынын көрсек жеткілікті. Яғни С=0, ендеше үшін болғаны.

Екінші жағдай үшін 1,жоғарыдағыдай есептеу мүмкін емес, себебідеп алайық. Онда екеуінің де оң жағы тен функция, сондықтан басқадай әдіске көшеміз.

десек,алдағыдай екенін көрсетуге болады. ді есептеу үшін 1 болатындай -ті алу керек. Бірақ біз деп алғандықтан, алуымыз керек. Бірақ та болғанда бізге мәні белгісіз, сол себепті басқа жолмен шешеміз. .

теңдігінен .

Әрбір функцияның шектерін жеке - жеке есептейміз:

Екі шектің де мәндері бар, сондықтан

Осы жолмен үшінші жағдайда тұрақты С - ның мәні екендігі дәлелденеді. Арктангенс тақ болғандықтандәлелденген теңдіктен болады.

Енді ешқандай қиындықсыз функцияларын терге кері (қайтымды функция) ретінде енгізіп, кері функцияның бар болуы туралы жалпы теоремадан толық шығарып алуға болатынын көреміз.

Атап өткендей, функцияларының зерттеу жолдары сияқты жүргізіледі, олар анықтама бойынша төмендегі теңдіктер арқылы енгізіледі де

, олардың негізгі қасиеттері интегралдың қасиеттерінен шығады.

функцияларында сол тұрғыдан енгізіп, негізгі қасиеттерінің дәлелдеулерін келтіріп, соңында кері тригонометриялық функциялармен байланысты бірнеше есептердің шешімдерін береміз. Жалпы айта кету керек, ондай есептер әдетте оқушыларға жеткілікті дәрежеде қиындықтар туғызады. Себебі, негізгі оқулықтар мен оқу құралдарында кері тригонометриялық функциялармен байланысты есептерге жеткілікті түрде көңіл бөлмейді, тура тригонометриялық функцияларға кері ретінде енгізіп, бірнеше қарапайым мысалдар мен араларындағы қатынастарды келтірумен шектеледі.

Айта кетейік, біз келтірген әдіс кері тригонометриялық функцияларды енгізудің бір нұсқасы, бұрыннан белгілі тәсілдердің бірі болып, функциялардың табиғатын тереңірек түсінуге жол салатыны анық.

болғанда (анықтамалардың геометриялық мағынасы 1суретте көрсетілген).

_X

Келтірілген анықтамалармен теңдігінен негізгі қатынастардың бірі шығатынын көреміз. Бұдан тек қана функциясын зерттесек жеткілікті болатынын көреміз.

1. интегралының бар болуынан функциясының анықталу облысы болып [-1;1] сегменті табылатынын көреміз.

2. Үзіліссіздігі. Анықталу облысының ішкі нүктелерінде қисық сызықты трапецияның ауданының үзіліссіз болатындығынан , ал ұштарында интегралдың бар болуынан шығады.

3. Тақ, жұптығы. Егер жұп функцияның графигі координаталар бас нүктесінен өтетін болса, оның алғашқы функциясы тақ екендігі жалпы теориядан белгілі. Біздің жағдайда екі шарт та орындалып тұр, сондықтан тақ функция.

4. Монотондылығы. немесе (0,1) аралықта геометриялық мағынасы аудан болғандықтан, аргумент - өскенде ол да өскендіктен өспелі функция, ал өсетіндігі тақ екендігінен, тұтас [-1;1] анықталу облысында монотондылығы тің үзіліссіздігінен шығады.

5. Функцияның нөлі. болса интегралдың қасиетінен, ал қатаң монотондылығынан тің басқа нөлдерінің болмайтынын көреміз.

6. Функцияның таңбалары. болса тек оң, ал тек теріс мәндерге ие болатындығы 4-5 қасиеттерден шығады.

7. Дөңес, ойыстығы. болғандықтан => [0;1] аралықта ойыс, ал => [-1;0] сегментінде дөңес, олай болса - функциясының графигінің иілу нүктесі болып табылатынын көреміз.

[-1;1] кесіндісінде функцияның үзіліссіздігі мен монотондылығынан тің мәндерінің жиыны кесіндісі болып табылады.

Ал функциясын төмендегідей анықтауға болады. Синустың негізгі тармағы деп кері функцияны атаймызда, пайда болған қисықты түзуіне қарағанда симметриялы бейнелейміз де, бүкіл сан осіне периодты жалғастырамыз. Осыған ұқсас функциясыда енгізіледі, тек ғана негізгі тармақты Оу осіне қарағанда симметриялы бейнелеп периодты жалғастырсақ (созсақ) жеткілікті.

Тригонометрия курсындағы негізгі қатынас бірлік шеңбердің координаталары екенін ескерсек теңдеуінен бірден шығатынын көреміз.

Енді функцияларымен байланысты мысалға тоқталайық.

1 мысал.

Шешуі.

дәлелдеген қатынастан I тамаша шек шығатыны көрініп тұр.