Элективный курс Преобразование радикалов

Элективный курс по математике 11 класс.

«ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДИКАЛОВ»

Выполнила учитель

математики Шпилева М.М.

МКОУ Гниловская ООШ

Г. Острогожск -2013 год

Пояснительная записка.

Выполнение заданий на преобразование выражений, содержащих корень п-й степени,

всегда вызывает трудность. Это связано как с большим числом применения свойств, так и

с вычислениями требующими повышенной концентрации внимания.

Понятие арифметического корня n-й степени- одно из основных понятий курса школьной математики. Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны, часто не просты в решении, что позволит повысить уровень знаний у учащихся и проверить свои способности к математике. Данный курс рассчитан на предпрофильную подготовку учащихся в старших классах.

Цель курса: расширить знания учащихся об арифметическом корне n -й степени

умение преобразовывать выражения содержащие радикалы и модули, сложные радикалы,

а также решать нестандартные иррациональные уравнения и неравенства в рамках

предпрофильной подготовки.

Задачи курса:

1)познакомить учащихся с различными стандартными и нестандартными способами

преобразования выражений, содержащих радикалы и модули, ввести формулу для вычисления сложных радикалов.

2)познакомить учащихся с различными типами иррациональных уравнений и неравенств.

3)развивать логическое мышление и способности учащихся к математической

деятельности.

4)возможность дифференцированного обучения учащихся, как путем использования

заданий различного уровня сложности, так и на основе различной степени

самостоятельности осваивания материала.

Данный курс расширяет базовый курс по математике, является предметно ориентированным и дает учащимся возможность познакомится с различными способами

преобразования выражений, содержащих радикалы и модули, знакомить с различными

видами и способами решений иррациональных уравнений и неравенств, позволяет

проверить способности учащихся к математике.

На изучение курса отводится 12 часов. По окончанию предусмотрена контрольная работа

по 3 уровням сложности.

Учебно-тематический план.

№

тема

Кол-во

часов

1

Понятие корня п-й степени из действительного числа

1

2

Преобразование выражений содержащих радикалы и модули.

1

3-4

Иррациональные уравнения вида .

2

5

Уравнения вида .

1

6

Решение нестандартных иррациональных уравнений.

1

7

Иррациональные неравенства вида .

1

8

Иррациональные неравенства вида и более сложные иррациональные неравенства.

2

9

Иррациональные уравнения с параметром.

1

10

Контрольная работа.

2

Занятие 1.

Понятие корня n-й степени из действительного числа.

Теоретическая часть.

Определение 1.

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а (n=2,3,4,5,…..) называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число а.

Если а

Определение 2.

Корнем нечетной степени n из неотрицательного числа (n=3,5,…) называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.

Если а<0, n=3,5,7,…., то: 1)

Свойства корня n-й степени.

Все свойства формулируются только для неотрицательных значений переменных,

содержащихся под знаком корней.

Теорема 1..

Теорема 2. >0 и n-натуральное число, больше 1.

Теорема 3. аN, nбольше 1.

Теорема 4.

Теорема 5.

Практическая часть.

1. Вычислите:

Решение.

Чтобы извлечь квадратные корни, преобразуем подкоренные выражения:

вычтем и прибавим по единице. Будим иметь:

1.2.Найдите чему равна разность:

Решение:

Пусть А=Заметим, что ,получим

А=

Ответ:-6.

1.3.Освободитесь от иррациональности в знаменателе:

Решение.

Чтобы освободится от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю.

Снова произведя аналогичные действия, находим

Теоретическая часть.

Формулы сложных радикалов:

1*.

2*.

3*.

1.4.Упростите выражение и найдите его значение при х=2

Решение: В знаменателе применим формулу сложных радикалов (3*), и подставим

х=2, получим

аналогично, следовательно

Ответ:

1.5. Упростите выражение:

Решение: используя свойство внесения множителя под знак корня, упростим данное выражение.

Ответ: cos

1.6.Вычислите:

Решение: Преобразуем выражение, используя свойства степени

Ответ: 4.

1.7.Найдите значение выражения:

решение: преобразуем данное выражение, перейдя к основанию 3:

Раскроем модули, учитывая, что 0<log2< 1и 0<log2<1.

Задания для самостоятельной работы.

1.1.Вычислите: а) Ответ:

б) Ответ:

1.2.При каком n выполняется равенство:

Ответ:n=3;

1.3.Упростите: а) Ответ: 2

б) Ответ:

в) Ответ: 1.

1.4.Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) Ответ: -

б) Ответ: (

в) Ответ:

1.5. Проверить справедливость равенства:

а)

б)

1.6. а)упростите выражение и найдите его значение при х=3

Ответ: 2.

б)упростите выражение и найдите его значение при а=5

Ответ: 3.

1.7.Найдите значение выражения: а) Ответ:-2.

б) Ответ: 24.

в) Ответ:

1.8.Упростите выражение:

Ответ:sin

Занятие 2.

Преобразование выражений содержащих радикалы и модули .

Теоретическая часть.

Для любых натуральных п и к, больших 1, и любых неотрицательных а и в верны

равенства: 1.

2.

3.

4.

5.

2.0.Упростите:

Решение: выделим полные квадраты и в числителе и в знаменателе

рассмотрим два случая:

1) если т.е.4<х<8 таким образом

2) если т.е. таким образом

Ответ:

2.1.Упростите

Решение:

Используя определение модуля и рассматривая различные промежутки изменения а, получаем:

1) имеем

2) имеем

3) имеем

4) имеем

Ответ:

2.2.Упростите выражение:

Решение:

Ответ:

2.3.Упростите выражение:

Решение:

Рассмотрим два случая:

1) если а>-1, то.

2) если а< -1,то

Ответ: а-1, если а>-1;

1-а, если а<-1.

2.4.упростите выражение:

Решение:

О.Д.З. а=0,

а²>в²;

Рассмотрим два случая:

1) если а<0, то 2) если а>0, то

Ответ: -25, если а>0

25, если а<0.

2.5. Упростите выражение:

Решение:

О.Д.З.: а

Рассмотрим два случая:

1)

а

2)

Ответ:

2.6.упростите выражение:

Решение:

О.Д.З.: а

Рассмотри два случая:1) 2)

Имеем: имеем:

Ответ:

Задания для самостоятельной работы.

2.1.Упростите выражения:

Ответ:

.2.Упростите выражение:

Ответ:

3. Упростите выражение:

Ответ:

2.4.Упростите выражение:

Ответ:

2.5.Упростите выражение:

Ответ:

2.6.Упростите выражение:

Ответ:

2.7Упростите:

Ответ:

2.8.Упростите:

Ответ:

2.9.Найдите значение выражения

Ответ:-24.

Занятие 3-4.

Иррациональные уравнения.

Уравнение вида

Теоретическая часть.

Иррациональными называются уравнение, в котором переменная входит под знак корня (радикала).

Рассмотрим уравнение В О.Д.З. левая часть уравнения всегда неотрицательна - поэтому решение может существовать только тогда, когда g(x).

В этом случае обе части уравнения неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное в ОДЗ уравнение :

3.1.Решите уравнение:.

Решение. Уравнение равносильно системе

решим второе уравнение системы: cos x=0 или tg x =1,

x= x=

решение системы найдем, пользуясь тригонометрическим кругом. Получим

х= и х=

Ответ:

3.2.Решите уравнение:

Решение: воспользуемся условием равносильности , поэтому данное уравнение равносильно системе

Решая второе уравнение системы имеем х=2.

Ответ: 2.

ЗАМЕЧАНИЕ: при решении уравнений вида используют следующие схемы

* или ** 3.3.Решите уравнение:.

Решение:При решении данного уравнения

воспользуемся схемой * ,так как правая часть уравнения проще, чем его левая часть.

Имеем:

Решим уравнения х²-2х-4=0 и х²=8,

D=5, х=

х

отберем корни :

Ответ: 1+

3.4.Решите уравнение:

Решение: переносим вычитаемое в правую часть, после чего обе

части возводим в квадрат:

ОДЗ: 4х+3

очевидно, что х=0 является корнем данного уравнения. При остальных х обе части делим на х и получаем уравнение

Рассмотри два случая :

1) при,противоречит х

2) при х< 4,х=0 имеем 4х-16=16х+24, х= ,противоречит х

Ответ: о.

3.5.Решите уравнение:

Решение: 1) одз: х >0, х Поэтому приведем данное уравнение к виду

2) обозначим Тогда

3) с учетом замены log получаем х=1 ,что противоречит ОДЗ.

logполучаем х=

Ответ:

3.6.Сколько корней имеет уравнение:

Решение:

Применяя формулу двойного аргумента, первый множитель можно заменить выражением cosx. Получаем уравнение cos x

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю и при этом второй множитель имеет смысл. Следовательно, должна выполняться совокупность

двух условий:

Ответ:4 корня.

3.7. Решите уравнение:

Решение: сделаем замену у=Получим уравнение

данное уравнение равносильно системе

у=

возвращаемся к замене: у= имеем

ответ:-1.

Задания для самостоятельного решения.

3.1Решите уравнения:

б)

в)

г)

д)

е)

ё)

ж)

и)

к)

л)

3.2.Найдите наименьший корень уравнения:

3.3.Найдите число целых решений уравнения:

3.4.Найдите сумму квадратов корней уравнения

3.5.Решите уравнение:

Занятие 5.

Уравнения вида

Теоретическая часть.

Пусть задано уравнение В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат равносильное уравнение f(x)=g(x). Поэтому

или

при таком способе решения достаточно проверить не отрицательность одной из функций,

можно выбрать более простую.

Использование равносильных преобразований при решении уравнений вида :

Практическая часть.

5.1.Решите уравнение:

решение: при решении данного уравнения нельзя забывать об области определения

уравнения. Имеем:

решая первое уравнение системы, по теореме Виета находим корни уравнения х=1 и х=5, условию системы удовлетворяет х=5.

Ответ:5.

5.2. Решите уравнение:

решение: воспользуемся условием равносильности имеем

Ответ:-1;2.

5.3.Решите уравнение

решение: так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то ОДЗ уравнения

определяется условием: решая эту систему неравенств, получим:

откуда х=

Очевидно, что решение уравнения должно находится в ОДЗ. Так как ОДЗ состоит из единственной точки х=то остается проверить , является ли это значение корнем

уравнения. Подставляя значение х= в уравнение 25=25 ,убеждаемся, что это-

корень уравнения.

Ответ:

5.4.Решите уравнение:

Решение: данное уравнение равносильно системе

Введем замену: sin x=y, и Решим уравнение системы :

находим у=-1 и у=½. Первый корень не является решением системы. Тогда

Ответ:

5.5.Решите уравнение:

Решение: преобразуем правую часть уравнения, получаем:

Это уравнение имеет решение лишь при условии

Тогда значит,

Данное уравнение равносильно системе т .е. х=-2 есть решение уравнения.

Ответ:-2.

Задания для самостоятельного решения.

5.1.Решите уравнение:

5.2. Решите уравнение:

5.3.Решите уравнение:

5.4.Решите уравнение:

5.5Решите уравнение:

5.6.Решите уравнение:

5.7.Решите уравнение:

5.8.Решите уравнение:

5.9.Решите уравнение:

5.10.Решите уравнение:

Занятие 6.

Решение нестандартных иррациональных уравнений .

Теоретическая часть.

Специфика решения уравнений рассматриваемого класса состоит в расширении методов

и формул преобразований, введение замен целью которых, как правило, является сведение

данного уравнения к алгебраическому.

При решении нестандартных уравнений используется монотонность функций.

При решений уравнений вида f(f(x))=x, полезно рассмотреть теорему:

Если у=f(x)-монотонно возрастающая функция, то уравнение f(x)=x , эквивалентно

yравнению f(f(x))=x.

Практическая часть.

6.1.Решите уравнение:

Решение: Сделаем замену Поскольку ,то второе

слагаемое в левой части уравнения т.е Получаем имеем

решим квадратное уравнение

с учетом замены находим корни уравнения х=2 и х=-2.

Ответ:2;-2.

6.2.Решите уравнение:

Решение: перепишем данное уравнение в виде: Рассмотрим функцию

F(x)=1+ - эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение f(f(x))=x. В соответствии с теоремой заменим его на эквивалентное уравнение f(x) =x или 1+

1- решая данное уравнение находим

Ответ:

6.3.Решите уравнение:

решение: Перепишем данное уравнение в виде

так как то решения уравнения должны принадлежать промежутку

Введем замену х= sin t. Тогда учитывая условие ,можно считать, что

tУравнение примет вид

Так как то cos 2t уравнение равносильно уравнению

следовательно sin2t=-1 sin2t=

t= t= только эти корни удовлетворяют условию

Тогда

Ответ:

6.4.Решите уравнение:

Решение: пусть тогда уравнение примет вид:

Это уравнение переписывается без модулей по-разному в каждом их следующих трех случаев:

1. при у имеем 2-у+3-у=1, у=2 не является решением.

2. при у имеем у-2+3-у=1, 1=1 при всех у

3. при у имеем у-2+у-3=1 у=3 не является решением.

Неравенства эквивалентны системам:

Ответ: х

6.5.Решите равнение:

Решение: Положим, х+ тогда

Из последнего уравнения следует и, в частности,

Отсюда

Значит, исходное уравнение будет иметь вид:

отсюда

второе уравнение корней не имеет.

Корни первого уравнения

При этом

Если Так как должно выполняться неравенство

то это значение х не является решением .

поскольку t=4+ решение.

Ответ:8-

6.6. Найдите сумму квадратов корней уравнения

Решение: данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Решим каждую систему отдельно и объединим решения.

Решим первую систему:

х=3.

Решим вторую систему:

Найдем сумму квадратов корней уравнения:

Ответ: 130.

Задания для самостоятельного решения.

6.1.Решите уравнение: а)

б)

6.2.Решите уравнение:

6.3.Найдите целые корни уравнения: cos

6.4.Решите уравнение:

6.5.Решите уравнение:

6.6.решите уравнение:

6.7.решите уравнение:

6.8.Решите уравнение:

Занятие 7.

Иррациональные неравенства .

Теоретическая часть.

Иррациональными называются неравенства, в которых переменные входят под знак корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение , прежде всего удобно найти ОДЗ.

а) неравенства вида:

Практическая часть.

7.1.Решите неравенство:

Решение: воспользуемся условием равносильности:

Ответ:

7.2.Решите неравенство:

Решение: Применим обобщенный метод интервалов для функции

на ее области определения, т.е. при

для этого найдем нули числителя: при условии,

что х возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим

, откуда

отметим эти значения на координатной прямой и распределим знаки для функции f.

Получим

Ответ:

Немного теоретического материала.

б)иррациональное неравенство вида:> g(x)

можно рассматривать при условии Однако при этом условии его правая часть g(x) может быть как неотрицательной, так и отрицательной, а поэтому неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

в) иррациональное неравенство вида

можно рассматривать при условии Значит, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Из выше рассмотренных рассуждений заключаем, что неравенство равносильно системе неравенств

7.3.решите неравенство:

решение: данное неравенство равносильно системе

решая квадратное уравнение

построим кривую знаков и стрелкой, направленной вправо от точки -5, отмечаем промежуток х>-5.Решения первого и второго неравенства системы совпадают на промежутке (3;∞).

Ответ: (3;∞).

7.4.Решите неравенство:

Решение.

Данное неравенство равносильно следующим условиям:

Ответ:

7.5.Решите неравенство:

Решение:

Найдем область определения неравенства, которая определяется условием

Так как при

Из последнего неравенства, учитывая, что получим sinx=-1. Подставим

Полученное значение в данное неравенство, имеем

является решением.

Ответ:

7.6.Решите неравенство:

Решение: При всех допустимых значениях переменной функция f(x)= принимает

неотрицательные значения. Поэтому левая часть данного неравенства неотрицательна при всех допустимых значениях переменных. Следовательно

полученное уравнение , в свою очередь, равносильно системе уравнений

Ответ(-1;3).

Задания для самостоятельного решения:

7.1.Решите неравенства:

а)

б)

в)

7.2.Решите неравенство:

7.3.Решите неравенство:

7.4. Решите неравенство:

7.5.Решите неравенство:

7.6.Решите неравенство:

7.7.Решите неравенство:

7.8. Решите неравенство:

Занятие 8.

Иррациональные неравенства вида и более

сложные иррациональные неравенства.

Теоретическая часть.

Неравенство вида

При решении более сложных неравенств, используют условие равносильности:

так как знак разности совпадает со знаком разности f(x)-g(x) в ОДЗ, то

Практическая часть.

8.1.Решите неравенство:

Решение: используем условие равносильности, имеем систему неравенств:

Ответ:

8.2 Найдите длину промежутка, являющегося решением неравенства

Решение: Умножим числитель на неотрицательное сопряженное выражение- сумму квадратных корней, имеем

х

в силу того, что оба трехчлена принимают только положительные значения (имеют отрицательные дискриминанты). Итак, длина искомого промежутка равна 1.

Ответ: 1.

8.3.Решите неравенство:

решение: приведем неравенство к стандартному виду, а затем воспользуемся условием равносильности :

Найдем ОДЗ:

1. Если х-4< 0, то числитель и знаменатель положительны в ОДЗ, неравенство верно, т.е.

2. Если х-4>0, то воспользуемся правилом , что в ОДЗ знак разности

совпадает со знаком Тогда

Учитывая условие получаем результат

Отмечая результаты 1 и 2 на числовой прямой , получаем окончательный результат.

Ответ:

8.4.Решите неравенство:

Решение: данное неравенство равносильно системе неравенств:

отметим полученные результаты на числовой прямой

Получим ответ:

Ответ:

8.5.Решите неравенство:

решение: перейдем к основанию 3 и получим неравенство

Разделим обе части неравенства на имеем

8 пусть тогда неравенство примет вмд

9у откуда Так как у>0, то т.е.

Теперь положим придем к неравенству получим т.к. а то остается решить неравенство

Ответ:

8.6. Решите неравенство:

Решение: Найдем ОДЗ, воспользуемся при этом условием равносильности:

Перейдем во всех логарифмах к основанию 3.

Тогда

Учитывая ОДЗ получим ответ

Ответ:

Задания для самостоятельной работы.

8.1. Решите неравенство:

8.2. Решите неравенство:

8.3.Решите неравенство:

8.4.Решите неравенство:

8.5.Решите неравенство:

Занятие 9.

Иррациональные уравнения с параметром.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно

разделить на два больших класса.

В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить уравнение при всех

возможных значениях параметров.

Ко второму классу отнесем задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а

лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Практическая часть.

9.1.Решите уравнение:

Решение: Данное уравнение равносильно системе

Отсюда х=а- корень исходного уравнения при любом а, а х=1- корень лишь при

Ответ: Если а<1, то х=а или х=1; если а=1, то х=1; если а>1, то х=а.

9.2.Указать все значения а, для которых уравнение имеет решения.

Решение: Обозначим sinx=t. Исходное уравнение принимает вид

С учетом условия это уравнение равносильно системе

уравнение системы удобно представить как квадратное относительно параметра а.

Имеем .Отсюда или Так как

то Поэтому последняя система равносильна такой:

Заметим, что эта система учитывает требование

Рассмотрим функцию Очевидно на отрезке [0;1] ее область значений - весь промежуток Отсюда

Ответ:

9.3.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение: Пусть тогда и уравнение примет вид

Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение

имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место при следующих условиях.

1.Если а=0, то уравнение имеет единственное решение t=2.

2.Если а ≠ 0 и то имеет единственное неотрицательное решение, если корни разных знаков, т.е.

при а=0,4 получаем

3.Если а≠0 и D=0

то одно неотрицательно решение имеем при а=-0,1.

Ответ:

9.4.Решите уравнение:

решение: поскольку │х│≤ 1, то введем замену Выполняя подстановку и учитывая, что sin получим уравнение

Отсюда sin, очевидно это уравнение имеет решение при

Найдем его корни на отрезке Имеем

Рассмотрим три случая:

1.Если , то непосредственным перебором устанавливаем, чтолишь

при k=1,2,3,4.

2.Если а=0, то k=0,1,2,3,4;

3.Если то где k=0,1,2,3.

Ответ: Если

если а=0, то х=

если

9.5.В зависимости от значений параметра а найдите число корней уравнения

Решение: так как уравнение содержит сложный радикал, то выделим квадрат двучлена под корнем. Имеем

Если а<0, то уравнение не имеет решений.

Если а≥0, то последнее уравнение равносильно такому:

Это уравнение, а значит, и исходное имеет решения лишь при

При указанных а получаем очевидно это уравнение имеет один корень.

Ответ: Если а<то решений нет;

Если а то уравнение имеет единственное решение.

Задания для самостоятельного решения.

9.1.Решите уравнение:

9.2.Решите уравнение:

а)

б)

в)

г)

д)

9.3. Решите уравнение:

9.4.Решите уравнение:

9.5.При каких значениях параметра а корни уравнения различны и их произведение отрицательно?

Занятие 10.

. Контрольная работа (2ч).

*Вариант 1.

1.Вычислите:

2.Упростите выражение:

3.Решите неравенство:3

4.Решите уравнение:

5.При каких значениях а уравнение имеет два корня?

**Вариант 2.

1.Докажите тождество

2.Упростите выражение

3.Решите неравенство:

4.Решите уравнение

5.Решите уравнение:

***Вариант 3

1.Вычислите значение выражения:

2.Упростите выражение

3.Решите неравенство:

4.Найдите все решения уравнения удовлетворяющие условию

5.При каких значениях а уравнение имеет

единственное решение?

Литература.

И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев Факультативный курс по математике 10-11.Москва «Просвещение» 1991г.

С.И. Колесникова Математика - решение сложных задач Е.Г.Э. Москва. «Айрис-пресс» 2005г.

В.К. Егоров, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. Москва «Высшая школа» 1994г.

П.И.Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. Москва «Гимназия»2003г.

А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11 классы. Москва «Мнемозина» 2003г.

Н.П. Кострикина Задачи повышенной трудности в курсе алгебры. Москва «Просвещение»

1991г.

Г.И. Григорьева. Задания для подготовки к олимпиадам. Волгоград «Учитель» 2005г.

33