Методическое пособие по решению задач на совместную работу и производительность труда

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга

Методическое пособие по решению

задач на совместную работу

и производительность труда

подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна

г. Санкт-Петербург
2015

К задачам на совместную работу относятся задачи, в которых идет речь о выполнении за какое-то время некоторого задания: изготовить детали, выкопать яму, напечатать рукопись, наполнить бассейн и тому подобное.

Во всех этих задачах участвуют три величины :

А - работа,

t - время

p- величина, которая называется производительностью труда.

Объем работы А может быть указан в конкретных единицах - 100 страниц, 500 деталей, Иногда нет никаких данных, позволяющих найти объем работы , например, сложили печь, построили дом, , наполнили бассейн. В этом случае работа принимается за единицу.

Производительность труда - это количество работы, сделанной за единицу времени (то есть аналог скорости- напечатать 10 страниц за час, изготовить 150 деталей в день)

Задачи на работу решаются с помощью формулы: А=р·t.

Из этой формулы следует, что для того чтобы найти производительность труда надо разделить работу на время, а чтобы найти время надо разделить работу на производительность.

Например, машинистка печатает за час 10 станиц. За сколько часов она напечатает рукопись из 120 страниц.

р=10 стр/час, А=120 стр., t = 120:10=12час.

В качестве переменной х удобно брать именно производительность.

При решении задач на совместную работу надо учитывать, что если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два трубы) ,то их производительности складываются. Например, А если известно, что первая машинистка печатает за час 20 страниц, а вторая 15, то при совместной работе они вместе напечатают 20+215=35 страниц.

Но при совместной работе нельзя складывать время работы. Например, если одна машинистка работая в одиночку, может напечатать рукопись за пять дней, а вторая за четыре дня, то работая вместе они напечатают ее быстрее чем каждая в отдельности и время совместной работы не будет равно 5+4.

Задания с решением.

1. Первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй рабочий, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 896 деталей, на 4 часа раньше, чем второй рабочий выполняет заказ, состоящий из 960 таких же деталей. Сколько деталей делает в час первый рабочий?

Решение.

Обозначим х- количество деталей, которое делает в час первый рабочий ( Именно эту величину и требуется найти в задаче).

Тогда производительность второго рабочего равна х-2

Составим таблицу

А-работа

t-время

р - производительность труда

Первый рабочий

896

х

Второй рабочий

960

х-2

Первый рабочий выполнил свой заказ на 4 часа раньше, чем второй свой заказ. Следовательно, время первого рабочего меньше времени второго на 4.

Составим уравнение

При условии, что х и х-2 числа положительные, получаем

Приводим подобные члены и делим обе части уравнения на (-4)

Получаем

Корни уравнения:

Так как производительность труда х положительна , то отрицательный корень не подходит.

Значит, первый рабочий делает в час 32 детали

Ответ 32

2. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба

Решение:

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано чему равен объем бассейна, значит, работу - наполнение бассейна - можем принять за единицу.

Обозначим х - время, за которое бассейн наполнит вторая труба( Именно эту величину и требуется найти в задаче).

Переведем время 3 часа 36 минут в часы.

3 часа 36 минут = часа=часа=часа

Составим таблицу

А-работа

t-время

р - производительность труда

Первая труба

1

6

Вторая труба

1

Первая и вторая труба вместе

1

При совместной работе производительности складываются,

Значит откуда

Ответ: 9

3.Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Решение

Обозначим х производительность первой трубы ( Именно эту величину и требуется найти в задаче).

Тогда производительность второй трубы равна х+1

Заполним таблицу

А-работа

t-время

р - производительность труда

Первая труба

110

х

Вторая труба

99

Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Следовательно, время первой трубы на 2 больше времени второй трубы

Составим уравнение:

При условии, что х и х + 1 числа положительные, получаем

Приводим подобные члены и умножаем обе части уравнения на (-1)

Получаем

D=81+880=961 =312 Корни уравнения:

Так как производительность труда х положительна , то отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10.

4. Одна мельница может смолоть 38 ц пшеницы за 6 ч, а другая - 96 ц за 15 ч, третья - 35 ц за 7 ч. Как распределить 133 т пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени?

Решение.

По условию задачи первая мельница за 1 час может смолоть ц пшеницы, вторая - ц , третья - ц.

Пусть каждая мельница работает в течение часов. Тогда за часов первая мельница смолотит ц, вторая - ц, третья - ц.

По условию задачи они должны смолоть 1330 ц пшеницы.

Составим уравнение

.

Значит, на первую мельницу следует отправить ц, на вторую -

ц, на третью - ц.

Ответ: 475, 480, 375 .

Задания для самостоятельного решения

1. Заказ на 154 детали первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 3 детали больше?

2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй - за три дня?

3. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

4. Одна мельница может смолоть 38ц пшеницы за 6ч, другая - 96ц за 15ч, третья - 35ц за 7ч. Как распределить 133т пшеницы между мельницами, чтобы они мололи зерно в течение одного и того же времени?

5. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша - за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

6. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

7. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды

8. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня - на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

9. Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4ч; первая, третья и четвертая - за 3ч. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6ч. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

10. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

11. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой - за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

12. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй - за 30 минут, а третий - за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

13. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь - за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

14. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша - за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

15. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

16. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба

17. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

18. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня - на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

19. Первая труба наполняет бак объемом 570 литров , а вторая труба наполняет бак объемом 530 литров .Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 литра воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время.?

20. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?

21. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на 1 деталь больше?

22. На изготовление 475 деталей первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

23. На изготовление 99 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

24. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй - за три дня?

25. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

26. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

27. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

28. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

29. В бассейн проведено шесть труб. Через первые три трубы вода втекает в бассейн, а через три другие вытекает. Если открыты все шесть труб, то бассейн заполняется за 30минут .Если открыты все трубы кроме пятой, то бассейн заполняется за 15 минут. Если открыты все трубы кроме четвертой, то бассейн заполняется за 12минут. Если открыты все трубы кроме третьей, то полностью заполненный бассейн опорожняется за 40 минут. За какое время заполнится бассейн, если будут открыты первая, вторая и шестая трубы?

6