Методические указания к практическому занятию: «Решение тригонометрических уравнений»

Министерство образования и науки Самарской области

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Самарский машиностроительный колледж»

_______________________________________________________________________

Цикловая комиссия Математических и естественнонаучных дисциплин

Методические указания

к практическим работам

по дисциплине Математика

наименование дисциплины

Дата введения

«___» ___________ 20 __ г.

Самара 2014

Практическая работа 11

Решение тригонометрических уравнений

1. Цель работы

1. 1. Обобщить изученный материал по теме.

   2. Выработать умение решать тригонометрические уравнения.

2. Разделы и темы рабочей программы, которые необходимо знать при выполнении и сдаче практической работы

Разделы 5. Тригонометрические функции числового аргумента.

3. Краткие теоретические сведения

рис.1

Определение 1 Синусом угла называется ордината точки угла на тригонометрическом круге, соответствующей числу угла . Обозначают ;

Косинусом угла называется абсцисса точки на тригонометрическом круге, соответствующей числу . Обозначают .

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к ее абсциссе. Обозначают .

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ее ординате. Обозначают .

Определение 2 Арксинусом числа m называется такое угол х, для которого sin x = m, Обозначают arcsin m.

Арккосинусом числа m называется такое угол х, для которого cos x = m, Обозначают arcсоs m.

Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого .

Тригонометрические функции связаны между собой основными тождествами:

1. .

2. 

3. 

4. .

5. .

6. .

Определение 3 Уравнение называется тригонометрическим, если неизвестная величина входит в него как аргумент тригонометрической функции. Решить тригонометрическое уравнение - это значит найти все его корни.

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения sin x = m, cos x = m, , , где m - данное число.

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

Уравнение

Общее решение (корни)

Формула №

cos x = m

(1)

sin x = m

(2)

tg x = m

(3)

ctg x = m

(4)

В формулах (1) - (4) n - любое действительное число.

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида:

Для его решения обе части уравнения делим на . При по членном делении получим уравнение вида:

(*)

Преобразовывая уравнение (*) получаем простейшее уравнение:

, где .

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называется уравнение вида:

Для его решения обе части уравнения делим на . При по членном делении получим уравнение:

(**)

Уравнение (**) сводится к квадратному с помощью подстановки .

При решении тригонометрических уравнений используют основные формулы тригонометрии.

4. Задания

   1. Изучить методические указания к выполнению практической работы.

   2. Выполнить индивидуальное задание.

   3. Оформить отчет по практической работе.

5. Структура отчета

   1. Номер и наименование практической работы.

   2. Цель работы.

   3. Задание.

   4. Выполнение работы.

6. Пример выполнения задания

Задача 1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение: .

Решение: Согласно формуле (1) находим:

Задача 2. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:

Решение: Функция синус нечетна. Поэтому . По формуле (2)

Так как , имеем:

Задача 3. Решите уравнение: 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Решение:

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z

Ответ: - arctg 1,5 + πk, k Z.

Задача 4. Решите уравнение: 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

Решение: 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0 | : cos²х ≠ 0

2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2 t² - 3 t - 5 =0

t₁ = -1; t₂ = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.

Ответ: -π/2 + πk , arctg 2,5+ πn, n, k Z.

Задача 5. Решить уравнение sin x + cos x = 1

Решение: sin x + cos x = 1

Ответ:

Задача 6. Решите уравнение:

Решение: Группируя первый и последний члены и применяя формулу суммы косинусов, получим

Следовательно, Решая уравнение , находим

Задача 7. Решите уравнение: sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Решение: Введем замену sin х = z,, решая квадратное уравнение

z² + 5 z - 6 = 0, находим z₁ = 1; z₂ = -6 (не удовлетворяет условию)

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, k Z.

Ответ: π/2 +2 π k, k Z.

Приложение 1

Варианты индивидуальных заданий

I вариант

II вариант

1. Решите простейшие тригонометрическое уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) .

2. Решить уравнение, сделав подстановку:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

3. Решить уравнение методом разложения на множители:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

4. Решите уравнение, упростив левую часть:

1) ;

2) ;

4) ;

5) ;

5. Решите уравнение, используя однородность:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

7 Рекомендуемая литература

7.1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений / Н.В. Богомолов. - б-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2003. - 495с.

7.2 Дадаян А.А. Математика: Учебник. - 2-е издание. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М.200б.- 552с. - (Профессиональное образование).

7.3 Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / Игорь Дмитриевич Пехлецкий . - 2-е ИЗД., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 304с.

7.4 Соловейчик И. Л. Лисичкин В. Т. Сборник задач по математике для техникумов: М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003.-464 с.: ил.

7.5 Конспект лекций.

7.6 Настоящие методические указания.