Урок по теме Многогранники

28. Логико-дидактический анализ темы «Многогранники». Ключевые задачи темы и методика обучения их решению. Примеры.

Выводы из логико-дидактического анализа:

1. Тема многогранники является одной из центральных в курсе геометрии, так как представляет одну из главных содержательных линий «Теория многогранников».

2. В теме «Многогранники» синтезируются знания по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве», а также знания из планиметрии связанные с темой «Многоугольники».

3. В этой теме имеются предпосылки для аналогии с темой «Многоугольники» и между видами многогранников.

4. Логическая структура утверждений и способы получения видовых отличий для учащихся не новы. Все понятия представлены в вербальной, натуральной (модели), графической формах. Возникает необходимость широкого использования моделей для включения учащихся в самостоятельную деятельность при открытии новых фактов.

Формулировки теорем простые, их доказательство не громоздко. Следовательно, теоремы - формулы, теоремы - свойства можно доказывать с учениками в форме представления задач, то есть не задавать с самого начала как теорему.

5. Возможно формирование приема конкретизации и обобщения:

Многогранник → призма, пирамида;

площадь боковой поверхности прямой призмы → площадь боковой поверхности наклонной призмы;

6. Имеются предпосылки для формирования приема классифицирования:

Виды призм

Призма: Прямая( правильная неправильная) Наклонная

Виды пирамид

Пирамида: правильная И неправильная

Можно проводить классификацию по числу вершин ( 3-угольные, 4-угольные и т.д.).

7. В целом учебный материал темы по своей логической структуре, утверждения, способам доказательства теорем не отличается новизной для учащихся. Поэтому на различных этапах обучения необходимо включать учащихся в поисковую деятельность.

8. Данная тема позволяет использовать историю математики.

Например, характеристика Эйлера для выпуклых многогранников:

В+Г+Р=2

9. Анализ задачного материала показывает, что в теме довольно много задач- фактов, задач-теорем, задач- методов, которые часто используются при решении других задач. В классах с углубленным изучением математики их следует выделять, тогда как в обычных классах можно выделять только самые основные. Решению задач на неправильную пирамиду целесообразно посвятить урок- лекцию с целью выявления свойств этих пирамид.

10. В учебнике мало задач на усеченную пирамиду (всего три), поэтому целесообразно дополнить эту группу задач.

Анализ теоретического и задачного материала темы позволяет выделить следующие учебные задачи темы:

1) Определить понятия многогранника, призмы, пирамиды, правильного многогранника, как частные виды многогранников, используя аналогию с понятием многоугольника в планиметрии.

2) Выявить совместно с учащимися существование этих объектов, формулы для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы, правильной пирамиды, правильной усеченной пирамиды.

3) Формировать умения распознавать по моделям и описанию призму, пирамиду, усеченную пирамиду; указывать их основные элементы, узнавать эти формы в окружающих предметах.

4) Систематизировать знания учащихся по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».

5) Формировать умения решать задачи по теме.

В результате изучения темы «Многогранники» ученик:

Знает:

 определения понятий: многогранник, выпуклый многогранник, призма, пирамида, усеченная пирамида, правильный многогранник и их элементов и видов, площадь поверхности.

 формулировки теорем: теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы; теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды; теоремы о площади боковой поверхности усеченной пирамиды; задач-теорем № 218, № 236, № 246(а), № 247, № 249.

 доказательство теорем: теоремы о площади боковой поверхности прямой призмы; теоремы о площади боковой поверхности правильной пирамиды; теоремы о площади боковой поверхности усеченной пирамиды; задач-теорем № 218, № 236.

 классификацию неправильной пирамиды по проекции вершины.

Умеет:

 изображать многогранники и их элементы

 по развертке восстанавливать правильный многогранник

 узнавать многогранники в окружающем мире

 применять теоремы о площади боковой поверхности при решении задач

 обосновывать существование многогранников

 распознавать на моделях и по описанию многогранник, призму, пирамиду, усеченную пирамиду, правильные многогранники.

Понимает:

 значимость данной темы в дальнейшем построении курса стереометрии

 что тема «Многогранники» является обобщением темы «Многоугольники»

 что тема «Многогранники» систематизирует знания по темам «Параллельность в пространстве» и «Перпендикулярность в пространстве».

Логико-дидактический анализ задачного материала

Задачный материал по теме «Призма» по учебнику: Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. ср. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.В. Кадонцев и др. - М.: Просвещение, 2001 мы предлагаем классифицировать по следующим признакам:

• на вычисление;

• на доказательство.

Задачи на вычисление можно разбить на следующие группы:

• вычисление углов (№№ 222, 225);

• вычисление длины (№№ 219, 220, 223);

• вычисление площадей боковых и полных поверхностей разных видов многогранников (их большинство).

Задачи на вычисление площадей представлены в большом количестве, очень мало задач на вычисление углов и длин, т.к. задачи на вычисление площадей включают в себя задачи на нахождение этих элементов.

В ходе решения задачного материала по теме «Призма» были выделены следующие задачи-факты:

№ 218: Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани - прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани - равные прямоугольники.

На основе этой задачи решаются задачи, в которых даны правильная и прямая призма, поэтому на нее нужно уделить особое внимание, выделить сам факт. Ученикам нужно зафиксировать его, постараться запомнит. Учителю нужно обратить внимание учеников на то, что этот факт - свойства соответствующих видов призм (прямой и правильной) и поможет при решении более сложных задач.

Такой тип задач (задачи-факты) уже известен ученикам. Многие «полезные» факты отражаются не только в теоретическом материале параграфа темы, но и содержаться в задачах, являющиеся такими же важными.

К задачам-фактам относятся так же задачи:

• № 236. S_{бок. поверх накл призмы}=lP^, где Р^=h₁+h₂+…+h_n, h - высота боковой грани, l - длина бокового ребра. В этой задаче дается определение перпендикулярного сечения. На основе этой задачи решаются задачи №№ 237, 238.

• № 289. Это задача-факт, так как она сообщает формулу нахождения площади полной поверхности куба, зная его диагональ:

• № 293. Здесь устанавливается следующий факт: Если в правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали B₁D и D₁B взаимно перпендикулярны, то угол между диагоналями A₁C и B₁D призмы равен 60^°. Это утверждение так же можно использовать при решении других задач.

• № 294. В этой задаче представлена формула вычисления площади боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, пересеченной плоскостью, содержащей две ее диагонали, если известна площадь полученного сечения - и сторону основания призмы - a.

Анализ задач показал, что в теме «Призма» можно выделить последовательность групп задач:

1. Наклонная призма. К числу ключевых в этой группе можно отнести следующие задачи:

Задача 1. № 227.

Основание призмы - правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC AA₁; б) CC₁B₁B - прямоугольник.

A₁ C₁

B₁

P

A C

K

ДАНО:

ABCA₁B₁C₁ - призма;

Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC AA₁;

б) CC₁B₁B - прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

В плоскости ABC проведем медиану AK, AKBC.

Проведем отрезки A₁B, A₁C, A₁K.

1 способ

а)

AB = AC (по условию);

A₁AC = A₁AB; A₁AC = A₁AB;

AA₁ - общая;

A₁B = A₁C A₁BC - равнобедренный (по определению);

A₁K - медиана A₁K BC (по свойству медианы равнобедренного треугольника);

BC A₁K;

BC A₁K; BC A₁A (по свойству перпендикулярности прямой и плоскости);

BC A₁KA;

2 способ

A₁AC = A₁AB (по условию); проекция точки A₁ - точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.

A₁P AP;

A₁A - наклонная; BC A₁A (по теореме о трех перпендикулярах);

PABC;

PA -проекция наклонной A₁A;

б)

CC₁B₁B - параллелограмм;

BC A₁A; BC B₁B, BC C₁C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A₁A || B₁B || C₁C;

BC|| B₁C₁ B₁C₁B₁B, B₁C₁ C₁C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник, CC₁B₁B - прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Вывод: Эта задача является ключевой поскольку, во-первых, здесь используется свойство проекции вершины пирамиды, если одно из ее ребер образует равные углы со смежными сторонами основания - проекции вершины такой пирамиды принадлежит биссектрисе угла (или ее продолжению), образованного данными сторонами основания. Во-вторых, она так же имеет несколько способов решения. В-третьих, на основе этой задачи, решаются задачи, представленные в учебнике, например, № 228.

Задача 2. № 236.

Докажите, что плоскость боковой поверхности наклонной призмы, равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

ДАНО:

наклонная призма;

боковое ребро равно - l;

периметр перпендикулярного сечения - P₁.

ДОКАЗАТЬ, что плоскость боковой поверхности наклонной призмы, равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Каждая боковая грань есть параллелограмм. Сечение перпендикулярно боковым граням, то есть оно перпендикулярно боковым ребрам.

h₁ - высота параллелограмма одной из боковых граней.

S = l* h₁ - площадь одной боковой грани. Таких граней - n и каждая грань - параллелограмм - имеет свою высоту, следовательно,

S_бок = S₁+S₂+…+S_n=lh₁+lh₂+…+lh_n=l (h₁+h₂+…+h_n) = h₁P^,

где P^= h₁+h₂+…+h_n.

h₁

l

h₁

Что и требовалось доказать.

Вывод: Эта задача выбрана в качестве ключевой, поскольку, во-первых, она является задачей-фактом, и на ее основе решаются задачи №№ 237, 238. Ребята получают в свою копилку формул - формулу вычисления S_бок наклонной призмы, через ребро и периметр перпендикулярного сечения. Во-вторых, это важная формула при изучении темы «Объемы», где она используется при решении задач.

2. Прямая призма

К числу ключевых в этой группе можно отнести следующую задачу:

Основанием прямой призмы, с высотой m/2 является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна m, а острый угол равен 60°.

1. Найдите угол между плоскостью A₁CB и плоскостью основания.

2.Найдите отношение расстояния между скрещивающимися прямыми A₁A и CB к расстоянию между точкой A₁ и прямой CB.

3. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

ДАНО:

ABCA₁B₁C₁ - прямая призма;

AA₁ = m/2;

ABC: C = 90°; A = 60°;

AB = m.

НАЙТИ

1. угол между плоскостью A₁CB и плоскостью основания;

2. отношение расстояния между скрещивающимися прямыми A₁A и CB к расстоянию между точкой A₁ и прямой CB;

3. площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

1. Найдем угол между плоскостью A₁CB и плоскостью основания.

   1. ABC:

C = 90°; A = 60°;

B = 30° (по свойству острых углов прямоугольного треугольника)

AB = m;

AC = 1/2AB = 1/2m (по свойству катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°);

2. AA₁ABC; AA₁AC

AC ABC;

AA₁AC;

AC BC; AC₁BC (по теореме о трех перпендикулярах);

AC - проекция

наклонной AC₁;

3. AC₁BC; AC₁C - линейный угол двугранного угла AC₁BA (по определению);

AC BC;

4) AAC₁:

A₁AC = 90°;

AC₁ = AC AAC₁ - равнобедренный;

AC A₁ = AA₁C = ½ 90°;

AC A₁ = 45°;

4') Величину угла AC A₁ можно найти, используя свойство прямой призмы о том, что боковые грани прямой призмы - прямоугольники.

ОТВЕТ: AC A₁ = 45°.

2. Найдем отношения расстояния между скрещивающимися прямыми

A₁A и CB к расстоянию между точкой A₁ и прямой CB.

1. (AA_1, CB) =?

1. Строим плоскость, проходящую через прямую CB и параллельную прямой AA₁.

AA₁|| CC₁;

CC₁ CBB₁; CBB₁ - искомая плоскость.

CB CBB₁;

2. Построим (найдем) плоскость, проходящую через точку C и перпендикулярную плоскости CBB₁.

AC BC; AC СBB₁ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости);

AC СC₁;

AC СBB₁; ABC СBB₁ (по признаку перпендикулярности двух плоскостей);

AC ABC;

3. Строим перпендикуляр из тачки C к линии пересечения плоскостей ABC и СBB₁.

AC - искомый перпендикуляр.

4. AC BC;

AC AA₁ (так как, AA₁ABC, AC ABC);

(AA_1, CB) = AC = m/2/

2. (A_1, CB) =?

1) AA₁ABC; A₁C СВ (по теореме о трех перпендикулярах);

AC BC;

(A_1, CB) = A₁C.

2) AAC₁:

A₁AC = 90°;

3. (AA_1, CB)/ (A_1, CB) = AC/ A₁C =.

ОТВЕТ: (AA_1, CB)/ (A_1, CB) = .

3. Найдем площадь боковой поверхности.

ABC:

C = 90°;

ОТВЕТ:

Вывод: На наш взгляд, эту задачу можно отнести к ключевым, поскольку здесь используется свойство прямой призмы при нахождении угла между плоскостями, расстояния между точкой и прямой, скрещивающимися прямыми. Учащимся, для отработки этого правила можно предложить самостоятельно найти (BB_1, AC), (CC_1, AB), (B_1,AC), (C_1,AB); угол между плоскостями B₁AC и ABC. Все эти элементы хорошо просматриваются в данной задаче.

При ее решении можно еще раз выделить приемы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми, точкой и прямой, угла меду плоскостями.

В этой задаче так же требуется найти - это новая в теме формула, поэтому ученики должны уметь применять ее при решении.

Блок ключевых задач на нахождение проекции вершин неправильной пирамиды

1.

S

A O C

Условия:

1. SB = SC

2.

3.

Заключение: О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне BC.

2.

S

A O C

K N

Условия:

1. SK = SN

2.

3.

4.

a) - острые .Заключение: О принадлежит биссектрисе угла АBC.

б) - тупые.

S

OB C

A

Заключение: О принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла АBC.

3.

S

A O C

Условие

Заключение: О принадлежит линии пересечения плоскостей АBC и ACS.

4.

S

A O C

Условия:

1. AS = SB = SC

2.

3.

Заключение: О центр описанной окружности около основания.

5.

S

M

A O C

K

Условие

Боковые грани равнонаклонены к плоскости основания.

Заключение: О центр вписанной окружности в основание.

6.

S

A(O) B

C

Условие

1.

Заключение: проекция вершины S совпадает с точкой.

Проект урока РЕШЕНИЯ

КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ «пРИЗМА» И «ПИРАМИДА»

УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА:

1. Формировать умения нахождения проекции вершины (одной из вершин верхнего основания) пирамиды (призмы) на плоскость основания.

2. "Открыть" совместно с учениками формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы на основе формулы площади боковой поверхности прямой призмы методом обобщения.

ДИАГНОСТИРУЕМЫЕ ЦЕЛИ:

По окончании урока ученик

знает:

• Равносильные свойства пирамиды (призмы), у которой вершина (одна из вершин верхнего основания) проектируется ортогонально на плоскость (нижнего) основания:

• в точку, лежащую на серединном перпендикуляре к одному из рёбер основания;

• в центр описанной окружности основания;

• в точку, лежащую на биссектрисе одного из углов многоугольника - основания;

• в центр вписанной (или вневписанной) окружности основания;

• в точку, лежащую на прямой, содержащей сторону основания;

• в вершину основания или в точку пересечения прямых, содержащих две несмежные стороны основания;

• Формулу нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы, если известно боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.

умеет:

• Находить выделенные выше случаи ортогональной проекции вершин пирамиды (призмы) на плоскость основания при решении задач.

• Находить площадь наклонной призмы, зная боковое ребро призмы и периметр перпендикулярного сечения.

понимает:

• Способ получения формулы нахождения площади боковой поверхности наклонной призмы через боковое ребро и периметр перпендикулярного сечения.

• Важность знания свойств проекции вершины пирамиды (призмы) на плоскость основания.

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ:

• По логике изучения учебного материала - дедуктивный;

• По источнику знаний - словесный, практический;

• По степени взаимодействия учителя и учащихся - метод эвристической беседы.

СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ:

• Проектор, ноутбук, экран;

• Раздаточный материал.

ХОД УРОКА

Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация

Перед уроком - семинаром на нахождение проекции вершины пирамиды учениками была решена задача №227. На этом уроке она будет решена другим способом.

- Вернемся к задаче №227.

Основание призмы - правильный треугольник ABC. Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB. Докажите, что: а) BC AA₁; б) CC₁B₁B - прямоугольник.

- Какова идея ее решения?

(Провели медиану AK .Т.к. треугольник АВС- правильный, то BC AК. Провели отрезки A₁К, A₁С, A₁В. Треугольник А₁ВС - равнобедренный, А₁К - медиана, значит, высота. BC AА₁К - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости,BC AА₁ по свойству перпендикулярности прямой и плоскости).

A₁ C₁

B₁

A C

K

- Что представляет собой фигура А₁АВС? (Пирамиду).

- Что известно в данной пирамиде? (В основании лежит правильный треугольник, а боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB).

- Итак, в данной пирамиде боковое ребро образует равные углы со сторонами основания. Сделайте вывод о проекции вершины данной пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды будет принадлежать прямой, содержащей биссектрису угла ВАС).

- Выполните рисунок (на рис. ребро AA₁ образует равные тупые углы со сторонами основания AC и AB). Пусть точка Р - проекция вершины пирамиды А₁.

- Почему А₁Р будет лежат вне пирамиды А₁АВС. (Т.к. углы, образованные ребром AA₁ со сторонами основания AC и AB, тупые).

A₁ C₁

B₁

P

AC

K

- Как расположены прямые АК и ВС? (BC AК по свойству биссектрисы правильного треугольника).

- Каково взаимное расположение прямых А₁Р и ВС? (BC A₁Р по свойству перпендикулярности прямой и плоскости).

- Сделайте вывод как расположены прямые А₁А и ВС. (BC A₁А по обобщенной теореме о трех перпендикулярах).

- Оформите решение данной задачи в своих тетрадях.

Примерное оформление

ДАНО:

ABCA₁B₁C₁ - призма;

Боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами основания AC и AB.

ДОКАЗАТЬ:

а) BC AA₁;

б) CC₁B₁B - прямоугольник.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

A₁AC = A₁AB (по условию); проекция точки A₁ - точка P принадлежит дополнительному лучу к биссектрисе угла CAB.

A₁P AP;

A₁A - наклонная; BC A₁A (по теореме о трех перпендикулярах);

PABC;

PA -проекция наклонной A₁A;

б)

CC₁B₁B - параллелограмм;

BC A₁A; BC B₁B, BC C₁C (по лемме перпендикулярности одной из двух параллельных прямых к третьей прямой);

A₁A || B₁B || C₁C;

BC|| B₁C₁ B₁C₁B₁B, B₁C₁ C₁C;

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, есть прямоугольник, CC₁B₁B - прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Мотивация. Постановка учебной задачи

- Что помогло нам при решении данной задачи? (Свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания, у которой все боковые ребра равны)

- Мы рассмотрели два способа решения этой задачи. Первый способ основывался на многих математических фактах из темы «Перпендикулярность в пространстве» (признак и свойство перпендикулярности прямой и плоскости). При решении вторым способом основным элементом теоретического базиса является свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания. Таким образом, мы получили с вами более «красивый» способ решения этой задачи.

- Итак, еще раз, благодаря какому факту мы получили этот способ решения задачи? (благодаря свойству проекции вершины пирамиды на плоскость основания)

- На уроке-семинаре мы с вами открыли не только это свойство проекции вершины пирамиды на плоскость основания, но и ряд других. Давайте с вами сегодня на уроке рассмотрим, как данные свойства проекции вершины пирамиды помогают при решении многих других и более сложных задач. При этом само решении, как мы уже увидели, становиться более рациональным и «красивым»

Содержательная часть

Учитель классу предлагает следующие задачи (каждой паре дается список задач и время на их обдумывание):

1. Дан правильный тетраэдр. Постройте углы, образованные боковыми ребрами пирамиды, и плоскостью основания.

2. Дана четырехугольная пирамида, боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды?

3. Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник со сторонами 12, 5, 13. Все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Постройте изображение пирамиды.

На каждую парту выдается заготовка списка задач.

В течение 5 минут ребята обдумывают решение предложенных задач. В это время учитель может заполнить журнал, проследить за оформлением решения домашних задач на доске, а также за работой в классе. В случае возникновения вопросов у учащихся учитель может помочь.

Затем начинается работа со всем классом.

- О чем говориться в первой задаче, Петя? (Дан правильный тетраэдр. Нужно построить угол, образованный одним из этих боковых ребер пирамиды, и плоскостью основания).

- У кого есть идеи по решению задачи?

Если в классе не нашлось учеников, знающих решение, то учитель организует поиск решения совместно с учениками.

На доске появляется рисунок:

S

A О С

В

- Что называется углом между прямой и плоскостью? (Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость).

- Что необходимо построить, чтобы найти этот угол? (Проекцию данной прямой на плоскость основания).

- Назовите проекцию точки С на плоскость основания. (Точка С)

- Назовите проекцию точки S на плоскость основания. (Точка О является центром описанной окружности около основания).

- Назовите угол между ребрами SC, SB, SA и плоскостью основания АВС. (Углы SСО, SBO, SAO).

- Что помогло нам построить данные углы? (Свойство проекции вершины пирамиды, у которой боковые ребра равны, определение угла между прямой и плоскостью).

- Каким равносильным условием можно заменить условие равенства боковых ребер? (Равенство углов между данными ребрами и плоскостью основания или высотой пирамиды).

Дается несколько минут для фиксирования данной задачи учениками в тетради.

Переходим к обсуждению решения следующей задачи.

- Что дано в этой задаче, Маша? (Дана четырехугольная призма, у которой все боковые грани наклонены под равными углами к плоскости основания. Нужно выяснить, какой четырехугольник может лежать в основании пирамиды).

- В чем идея решения этой задачи? (Основная идея решения этой задачи состоит в том, чтобы найти проекцию вершины пирамиды и делаем вывод о том, что вершина пирамиды совпадает с центром вписанной окружности).

- В какой четырехугольник можно вписать окружность? (В четырехугольник, сумма противоположных сторон которого равны).

- Назовите известные виды четырехугольников, удовлетворяющие этому свойству. (Квадрат, ромб и другие произвольные четырехугольники, удовлетворяющее этому свойству).

- Прочитайте третью задачу. (Ученики читают).

- Что необходимо знать, чтобы правильно построить изображение пирамиды? (Проекция вершины данной пирамиды на плоскость основания).

- Понятно ли из условия задачи, куда проектируется вершина данной пирамиды? (Так как все боковые ребра данной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания, то вершина проектируется в центр описанной окружности).

- Какого вида треугольник может лежать в основании пирамиды? (В данном случае в основании лежит прямоугольный треугольник (по обратной теореме Пифагора)).

- Сделайте вывод о проекции вершины пирамиды на плоскость основания? (В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы).

- Постройте изображение пирамиды.

Ученики делают рисунок

S

A O K B

H C

Где O - проекция вершины пирамиды на плоскость основания.

Учащиеся делают рисунок в тетрадях и краткую запись.

***

На основе данной задачи существует возможность составления новых задач.

- Измените условия задачи так, чтобы идея решения осталась та же.

(Можно рассмотреть треугольник со сторонами 3, 4, 5, т.е. треугольники, стороны которых являются пифагоровыми тройками чисел, или просто прямоугольные треугольники).

- Какие задачи можно еще решить на основе этого рисунка?

(Найти углы, расстояния, площади поверхностей - полной и боковой).

- Какое условие необходимо добавить в задаче, чтобы вычислить площадь поверхности пирамиды?

(Необходимо знать длины высот граней пирамиды, высота SO построена)

- Как построить высоту в грани SСВ? (Скорее всего, данный вопрос вызовет затруднение у учеников).

- Чем является фигура SCBA? (Двугранным углом)

- Как построить линейный угол двугранного угла? (Нам известна проекция точки S, лежащей в одной грани двугранного угла, на плоскость другой грани. Таким образом, чтобы построить линейный угол двугранного угла SBCA. Необходимо из точки O, провести перпендикуляр ОK к CB, и соединить точки S и K).

- Чем является SК в грани SCB? (Высотой треугольника SBC)

- Как найти SК? (Из прямоугольного треугольника SOK, зная, что OK - средняя линия треугольника АВС).

Аналогично находится высота SH.

- Что достаточно знать, чтобы найти все высоты? (Высоту SO, тогда все остальные высоты находятся довольно просто).

Оформление решения ученикам предлагается в качестве домашнего задания.

- Какие двугранные углы можно найти из условия задачи? (SCBA, SACB)

- Дома найдите величины этих углов.

Работе с этой задачей можно посвятить целый урок: изменяя или добавляя требования задачи, ее условия. Тем самым на ее основе решается ряд новых задач. Такой урок можно провести в качестве систематизации и обобщения. Так же данная задача является классической в изучении темы «Объемы тел».

Рефлексивно- оценочная часть

- Итак, сейчас мы с вами решали задачи, направленные на закрепление свойств проекции вершины пирамиды на плоскость основания и еще раз убедились в их важности. Более того, на основе одной составили и решили несколько задач.

Открытие формулы для вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы, зная периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро. Этот способ основан на приеме обобщения. Предполагается, что возникла проблемная ситуация в том, что ребята знают формулу, по которой можно вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы, вспоминают эту формулу - , хотелось бы получить формулу для вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы.

1способ

Актуализация

На доске заранее выполнен рисунок - изображение прямой призмы.

A₁ B₁

N K

●M

A B

C

- Вспомним определение прямой призмы. Итак, какая призма называется прямой? (Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания).

-Чем являются грани прямой призмы? (у прямой призмы все боковые грани - прямоугольники).

- Задание: постройте сечение призмы, проходящее через точку M (см рис.) и перпендикулярное боковому ребру C₁C.

- Как располагаются плоскости AA₁C₁C и секущая плоскость? (эти плоскости пересекаются).

- Почему плоскости пересекаются? (они имеют одну общую точку).

- Как построить линию пересечения этих плоскостей?

( - AC CC₁;

- линия пересечения лежит в секущей плоскости и в плоскости AA₁C₁C , а так же она перпендикулярна ребру CC₁;

- Значит, линия пересечения параллельна AC, по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.)

- Построим точку N - точку пересечения данной линии и плоскости AA₁C₁C, отличную от точки M. Итак, каким плоскостям принадлежит прямая NM? (Данная прямая принадлежит секущей плоскости и плоскости AA₁C₁C).

- Сделайте вывод, какой прямой будет принадлежать точка N.

(, значит ).

- Строим эту линию пересечения. (Учитель на доске выполняет построение прямой MN, ученики в тетрадях).

Аналогичные рассуждения учитель проводит при построении линии пересечения - MK плоскости CC₁B₁B и плоскости сечения.

• Соединим точки N и K.

- Как расположен6ы прямые C₁C и NK? (Эти прямые перпендикулярны).

- Почему эти прямые перпендикулярны?

Записи на доске и в тетрадях учеников.

(MN CC₁; CC₁ MNK - по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

MK CC₁;

NK MNK MK CC₁ - по определению прямой перпендикулярной к плоскости).

CC₁ MNK ).

- Что мы сейчас с вами построили? (треугольник MNK - сечение призмы).

- Как мы строили это сечение? (Данное сечение перпендикулярно боковым ребрам).

- Итак, такое сечение призмы называется перпендикулярным. Давайте еще раз сформулируем, какое же сечение призмы называется перпендикулярным? (Перпендикулярным сечением призмы называется ее сечение плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам).

- Как расположены секущая плоскость и плоскость основания? (Эти плоскости параллельны по признаку параллельности двух плоскостей, так как AC || MN, CB || MK - по построению).

- Сравните треугольник ABC, который лежит в основании призмы и треугольник MNK, получившийся в сечении данной призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру? (Треугольник ABC равен треугольнику MNK, например, по третьему признаку).

- Таким образом, как по-другому можно вычислить площадь боковой поверхности прямой призмы? ().

- Что необходимо знать в призме, вычисляя площадь боковой поверхности по этой формуле? (периметр перпендикулярного сечения и длину бокового ребра).

- Попробуйте сформулировать словами, чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы? (площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро).

Мотивация

- Справедлива ли будет эта формула для наклонной призмы? (Ученики затрудняются сразу ответить на этот вопрос).

Планирование

- Что необходимо сделать, чтобы ответить на этот вопрос? (попробовать выполнить все те же построения, провести подобные рассуждения, после чего сделать вывод).

Содержательная часть

- Строим в тетрадях, а я на доске изображение наклонной призмы.

A₁ B₁

NC₁

K

A ● M B

C

- Что делаем первым шагом? (Выбираем некоторую точку M на боковом ребре СС₁ призмы и строим сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно выбранному ребру).

-Итак, треугольник MNK - сечение призмы плоскостью, проходящей через заданную точку M и перпендикулярно ребру СС₁.

- Как можно вычислить площадь боковой поверхности любой призмы? (площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней).

- Примените эту формулу к данной призме. ().

- Преобразуйте данное выражение. (После преобразования ученики приходят к формуле ).

- Сформулируйте, чему же равна площадь боковой поверхности наклонной призмы? (площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро).

- На какой вопрос мы хотели получить ответ? (Справедлива ли будет эта формула для наклонной призмы?).

- Какой вывод отсюда можно сделать? (Формула, для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы, через периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро, так же верна и для наклонной призмы).

- Справедлива ли эта формула для n-угольной призмы? (Да, так как в качестве перпендикулярного сечения будет выступать n-угольник)

- Мы с вами получили новую формулу нахождения боковой поверхности наклонной призмы и одновременно решили задачу №236. Эту формулу необходимо запомнить, так как она очень часто применяется при решении задач.

На дом ученикам задается задача №238.

Рефлексивно-оценочная часть

- Прямая призма по отношению к наклонной является частным случаем, а наклонная - относительно прямой призмы? (Общим случаем)

- Как мы получили эту формулу? (Сначала получили эту формулу для прямой призмы, а затем доказали справедливость ее для наклонной)

- Метод, с помощью которого получили формулу, является методом обобщения.

- Этот метод мы ранее использовали при открытии формулы площади треугольника через 2 стороны и угол между ними. Как мы это сделали? (Установили справедливость формулы для прямоугольного треугольника - частного случая, затем обобщили ее на треугольник общего вида).

***

Приведем еще один возможный способ «открытия» формулы площади боковой поверхности наклонной призмы, зная периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро.

2 способ

Мотивационно-ориентировочная часть

Актуализация

- Чему равна прямой призмы?

( = Р*L, L-боковое ребро)

Мотивация

- Нам известна формула для вычисления наклонной призмы?

(Нет.)

- Предложите, как можно найти наклонной призмы?

( наклонной призмы можно вычислить как сумму площадей ее боковых граней)

- Оцените этот способ для n-угольной призмы.

(Если дана такая призма, то необходимо знать длины n сторон основания и n высот боковых граней).

- Как вы строили высоты?

(Из вершин верхнего основания к прямым, содержащим стороны нижнего основания)

C

M A K

N B

- Какой вывод можно сделать из наших рассуждений?

(Этот способ не рационален для n-угольной наклонной призмы)

Постановка УЗ

- Какая задача встает сейчас перед нами?

(Открыть более рациональный способ вычисления n-угольной наклонной призмы).

Планирование

- Как можно найти произвольной призмы? (Сумма площадей боковых граней многогранника).

- Выясним, что проводить высоты в боковых гранях из вершин верхнего основания, к прямым, содержащим стороны нижнего основания. Как еще можно провести высоты в этих боковых гранях. ( Из вершины верхнего или нижнего основания к боковому ребру).

Это учителем демонстрируется на рис.( из любой точки верхнего основания, к прямой, содержащей нижнее основание).

- Сколько элементов необходимо знать в данном случае? (n+1 элемента, в случае n-угольной призмы): общее боковое ребро.

- Какое построение высот рационально используется(2 случай) с боковым ребром.

Содержательная часть

Рассмотрим треугольную призму.

А₁ В₁

K

M С₁

N

A B

C

Далее учителем проводится конструктивный диктант.

-Постройте высоту в грани С из любой точки. ребра .

(MN)

-Каково взаимное расположение и MN?

MN MN (по лемме)

-Постройте из точки N высоту в грани .

( NK)

-Каково взаимное расположение NK и ?

NK - (по лемме).

NK

-Соедините M и K. Каково взаимное расположение прямых MK и ?

MNK( по признаку.) MK (по определению прямой

MKMNK перпендикулярной к плоскости).

-Чем является MNK для данной призмы? (Сечением).

-Каким свойством оно обладает?

( Сечение перпендикулярно ребрам данной призмы).

-Итак, мы построили сечение призмы, которое перпендикулярно к ребрам призмы. Такое сечение называется перпендикулярным. Сформируйте, определение перпендикулярного сечения призмы?

(Сечение, перпендикулярное ребрам призмы, называется перпендикулярным сечением).

-Попытайтесь найти наклонной призмы?

(Пусть L-это длина бокового ребра, тогда =L*MN+L*NK+L*MK=L*(MN+NK+MK)=L*, где - периметр перпендикулярного сечения).

-Эта формула получена для треугольной призмы. Докажите ее справедливость для n-угольной призмы.

(=L*,где перпендикулярным сечением будет соответствующий n-угольник).

-Эту формулу необходимо запомнить, т.к. ей будем пользоваться в данной теме и в последующих.

-Сравните формулы для вычисления наклонной и прямой призм.

(Для наклонной призмы = *L, =* L ,т. к. призма прямая , то= )

-Какой вывод можно сделать об этих формулах ( произвольной призмы является частным случаем наклонной призмы).

Рефлексивно-оценочная часть

-Итак, что нового узнали на уроке. Мы узнали, что такое перпендикулярное сечение, формулу вычисления площади боковой поверхности наклонной призмы через периметр перпендикулярного сечения и боковое ребро.

Список используемой литературы

1. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для 11 кл. школ с углубл. изучением математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик; Рос. акад. наук; Рос. акад. образования, Издательство «Просвещение»: - 2 - е изд. - М.: Просвещение, 2005. - 319 с.: ил.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия: Учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. - М.: Просвещение,1999. -238с.

3. В помощь учителю математики (методические рекомендации по решению стереометрических задач на доказательство и вычисление). - Горький, 1984.

4. Выпуклые многогранники. - Горький: Изд-во ГПИ им. М.Горького, 1990, 43с.

5. Геометрия, 10 - 11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутусов, С.Б.Кадомцев и др. - 10 -е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 206 с.: ил.

6. Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е.Н., Пыжьянова А.Н. Пособие по элементарной математике: методы решения задач. Часть 2. 4 - е изд. - Н.Новгород: НГПУ, 2004, - 101 с.

7. Гусев, В.А. Практикум по элементарной математике. / Гусев В.А., Литвененко В.И., Мордкович А.Г. - М: Просвещение, 1992.

8. Гусев В.А., и др. Методика обучения геометрии. Учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений (В.А.Гусев, и др; Под ред. В.А. Гусева. - М.: Издательский центр «Академия». - 368с.

9. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1984, 97с.

10. Пидоу, Д. Геометрия и искусство. - М.: Мир, 1979, 334с.

11. Правильные многогранники. Методические рекомендации. - Н.Новгород: НГПИ им. М.Горького, 1991, 48с.

12. Прасолов, В.В. Задачи по стереометрии./ Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф./ - М.: Наука, 1989, 288с.

13. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика 5 - 11 кл./Сост.Г.М.Кузнецова, Н.Г.Миндюк.- М., 2002.