Министерство образования Республики Марий Эл

ГОУ ДПО (ПК) С «Марийский институт образования»

МОУ «Вятская средняя (полная) общеобразовательная школа Советского района»

ПЛАН-КОНСПЕКТ

открытого урока математики

в 10 классе

по теме: «Решение тригонометрических

уравнений»

Учитель математики высшей категории,

«Отличник народного просвещения»

Камаева З.В.

с. Вятское

2012 г.

Тема урока: Решение тригонометрических уравнение.

Цель урока:

1. Образовательные- обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.

2. Развивающие - способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

3. Воспитательные- содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: частично-поисковый (эвристический). Тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная.

Оборудование и источники информации: экран; кодоскоп, кодопозитивы, системно-обобщающая схема, динамичные блоки тригонометрических уравнений, кубик-«экзаменатор», шкала оценок, цветные мелки, указка. У учащихся на партах листы учета знаний, системно-обобщающая схема, по четыре чистых подписанных листочка и копирка.

План урока

1. Оргмомент - 2 мин.

2. Тест через копирку (с самопроверкой) - 7 мин.

3. Два сообщения по 3 мин.

4. Систематизация теоретического материала: четыре подразделения

по 2, 4, 7 и 3 мин. соответственно.

5. Дифференцированная самостоятельная работа через копирку (с самопроверкой) - 10 мин.

6. Проверка самостоятельной работы - 2 мин.

7. Итог урока - 2 мин.

1.Организационный момент

Французский писатель Анатоль Франс (1844 - 1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело.Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения тригонометрических уравнений.

Перед вами стоит задача - показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

Задание на дом:

1. § 3, п. 8 - 11, повторить теорию;

2. принести домашние зачетные работы. (Задания были вывешены на стенде «В помощь учащимся» на первом уроке изучения темы.)

2. Тест через копирку (с самопроверкой)

Тема: « Решение простейших тригонометрических уравнений».

Цель: контроль (самоконтроль) знаний и приведение в систему знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям.

Работа проводится в двух вариантах. Вопросы читаются в размеренном темпе, дважды повторяя каждый вопрос, указывая на тот листок с номером, под которым находиться правильный ответ

ВАРИАНТ 1

1. Какого будет решение уравнения cos x= a при | а | > 1?

2. При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение?

3. Какой формулой выражается это выражение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a?

5. В каком промежутке находится arcos a?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения cos x = 1?

8. Каким будет решение уравнения cos x = -1?

9. Каким будет решение уравнения cos x=0?

10. Чему равняется arcos (-а)?

11. В каком промежутке находится arctg a?

12. Какой формулой выражается решение уравнения tg x = a?

13. Чему равняется arctg (-a)?

ВАРИАНТ 2

1. Какого будет решение уравнения sin x = a при | а | > 1?

2. При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение?

3. Какой формулой выражается это выражение?

4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sinх = a?

5. В каком промежутке находится acrsin a?

6. В каком промежутке находится значение а?

7. Каким будет решение уравнения sin x = 1?

8. Каким будет решение уравнения sin x = -1?

9. Каким будет решение уравнения sin x=0?

10. Чему равняется arcsin (-а)?

11. В каком промежутке находится arcctg a?

12. Какой формулой выражается решение уравнения ctg x = a?

13. Чему равняется arcctg (-a)?

Тест окончен (собираются листочки с работой и открывается правильные ответы). Учащиеся отмечают на оставшихся листах неправильные шаги и количество правильных шагов Р, заносят в лист учета знаний.

3. Сообщения

1. Доклад об истории развития тригонометрии (выступает подготовленный ученик).

2. О прикладной направленности изучаемой темы расскажет учащийся, который подготовил одну физическую задачу.

Цель: содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям.

4.Систематизация теоретического материала

4.1 Учебная серия «Классификация тригонометрических уравнений».

Цель: привести в систему знания по типам и методам решения тригонометрических уравнений.

На доске написаны уравнения данной серии и повешена системно- обобщающая таблица. У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов Р заносят в лист учета знаний соседа.

1. 3sin² x - sin x cos x - 2cоs²х = 0.

2. cos² x - 9 cos x +8 = 0.

3. sin 6x - cos 3x = 0.

4. 2cos²x + 3sin x = 0.

5. 2sin x cos x = cos 2x - 2 sin² x = 0.

6. 2cos² x - 11 cos x + 5= 0.

7. tg x + 3 ctg x = 4.

8. cos 2x = cos (π - x) = 0.

9. √3 cos x + sin x = 1.

10. 3cos x + sin x =5.

11. cos x + √3 sin x = 2.

12. 4cos x + sin x = 5.

13. sin x + cos x = 1.

Тригонометрические уравнения

Решение уравнений

по неизвестным алгоритмам

Решение уравнений путем

разбиение на подзадачи

Одноименные

уравнения и сводящиеся к ним

Уравнения, решающиеся разложением на множители

№ 1

2 №

Уравнения, решающиеся оценкой значений левой и прямой части

№ 3

Уравнения вида a cos x + b sin x = c, где а, b? c ≠ 0,

Решение методом введения вспомогательного

аргумента

4.2 Динамичные блоки уравнений ( на магнитной доске) на сравнение, обобщение и выделение главного, раскрытие идей решения некоторых уравнений, предупреждение возможной ошибки, выделение общего алгоритма решения тригонометрических уравнений, проводимых к квадратным ( отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учета знаний).

1. Вопрос. О чем идет речь?

? Особенное !

1. sin x =1

2

2. tg ( 2x - 45⁰) =√3

3

3. cos х = a² + 1

2

4. ctg 3x = - √3

Ответ: 1, 2, 4 - простейшие тригонометрические уравнения, решающиеся по известным формулам;

3-простейшие тригонометрические уравнения с параметром. Решение имеет только при а = 0

2. Вопрос. О чем говорит этот блок уравнений?

? Лишнее, но !

1. 2sin² 2x + 5sin 2x - 3 = 0

2. 6sin² х+ 4sin x cos x = 1

3. 3tg x + 5ctg x = 8

4. 2sin²х + 5cos х +1 = 0

Ответ:1, 3, 4 - одноименные тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним решаются методом подстановки; 2 - уравнение однородное, но заменив 1 в правой части на sin²x + cos²x и разделив обе части уравнения на cos²x (или на sin²x), получим одноименное тригонометрическое уравнение.

3. Вопрос. Что бы это означало?

? Нельзя !

1. sin x + cos x = 0

2. sin ²x - 5sin x cos x + 4cos² x = 0

3. 3sin x cos x - cos² x = 0

? Можно !

Ответ:1 - однородное уравнение Ι степени решается методом деления на cos x ( sin x ); 2 -однородное уравнение второй степени решается методом деления на cos²x ( sin²x или sin x cos x )- нельзя делить на cos²x это приведет к потере корней. Можно делить на sin²x или разложить на множители.

4. Вопрос: Найдите лишнее уравнение и раскройте идею решения.

а)

1. sin 4x - sin 2x = 0

2. arcsin (x + 1) = 30⁰

3. 5cos 3x + 4cos x = 0

Ответ:1,3 - уравнения решаются методом разложения на множетили . 2 - уравнение лишнее. Это уравнение содержит обратную тригонометрическую функцию.

Так как 30⁰ €[-90⁰; 90⁰] и получаем уравнение.

Х+1 = sin 30⁰, т.е. х+1=1 , х= - 1

2 2

б)

1. 2cos 3x + 4sin х = 7

2. √3 cos x + sin x = 2

3. cos x + √3 sin x = 1

Ответ. 2,3 - уравнения, решаются методом введения вспомогательного аргумента. 1-е - уравнение лишнее. Это уравнение решается оценкой значений левой и правой части. Так как наибольшее значение левой части равно 6 и 6 ≠ 7, это уравнение корней не имеет.

Вопрос. А если первая часть равна 6?

Ответ. Решение сводится к решению системы уравнений

5. Вопрос. Назовите главный ключевой блок уравнений.

Ответ. Блок простейших тригонометрических уравнений - главный, так как решение всех остальных уравнений сводится к решению простейших.

6. Вопрос. Снимают блоки уравнений, решающиеся разложением на множители и методом введения вспомогательного угла, и прошу их назвать.

7. Вопрос. Снимая уравнение, спрашиваю тип и метод решения.

1. 2 sin²2x + 5 sin 2x - 3 = 0

2. 6 sin²x + 4 sin x cos x = 1

3. 3 tg x + 5ctgx = 8

4. sin x + cos x = 0

5. sin²x - 5 sin x cosx + 4cos² x =0

6. 3 sin x cos x - cos²x = 0

8. Вопрос. Нельзя ли оставшиеся уравнения объединить в один блок?

Ответ. Можно, получается блок тригонометрических уравнений, приводимых к квадратным.

Показывая уравнение, спрашиваю алгоритм решения. Прошу выделить общий алгоритм решения для остальных уравнений.

Ответ:

1. Сведения к одноименному уравнению.

2. Замена переменной.

3. Решение квадратного уравнения.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений.

4.3. Тестовые задания на нахождение идей решения уравнений

( работа с кодоскопом, слайды 3, 4). (Отвечающие учащиеся правильные шаги Р заносят в лист учета знаний.)

Цель: расширение математического кругозора

Ответы:

1.1

2.3

3.4

1.2

2.1

3.3

1.3

2.4

3.2

1.4

2.2

3.1

5. Дифференцированная самостоятельная работа с самопроверкой.

Группа А:

1. 2cos²х + 3 sin х = 0

2. sin 2x ++ sin x = 0

Группа В :

1. cos2х Х cosх = cos3 х.

2. √3 cos x + sin x = 2

Группа Б:

1. cos2х + 2sin² х = sin 2x

2. sin 7x + cos4х = sin x.

Дополнительно:

cos3х + I cosхI = sin 2x

6. Проверка самостоятельной работы.

Учащиеся сами проверяют свои работы по готовым решениям на доске (кодоскопе).

7. Итог урока

Дается оценка работы класса и домашнее задание.

§ 20 № 362, 363, 364 (а, б).

Самостоятельная домашняя работа по карточкам (карточки по тригонометрии 10-11 классы)