Задания для проведения олимпиады по математике

Олимпиада по математике

5 класс

1. В 1983 году было 53 субботы. Какой день недели был 1 января этого года? 1983 год - невисокосный.

2. В шахматном турнире участвовало 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли?

3. Есть пять обрывков цепи, в каждом из которых 3 кольца. Как соединить их в одну цепь, расклепав и заклепав лишь 3 кольца.

4. Восстановите запись: 147* *7

**5 **

*1

0

5. Раздели сад на 4 равные части:

6 класс

1. Встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов, художник Рыжов. «Замечательно, что один из нас блондин, другой брюнет, а третий рыжеволосый, но ни у одного нет волос того цвета, на который указывает его фамилия»,- заметил Брюнет. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

2. Восстанови запись: 39*

3*

**8*

1191

1**98

3. Электропоезд длиной 18 метров проезжает мимо километрового столба за 9с. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной 36 метров?

4. Мой знакомый Саша однажды мне сказал: «Позавчера мне было 10 лет, а в будущем году мне исполнится 13.» Может ли такое быть?

5. В классе учится менее 50 человек. За контрольную работу 1/7 учеников получили пятерки, 1/3 - четверки, ½ - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

7 класс

1. Решите уравнение |х-0,5|= и найдите значение выражения |х₁-х₂|, где х₁ и х₂ - корни исходного уравнения.

2. Восстановите запись: МУХА ХА

ХА УХА

КХ

АР

УХА

УХА

0

3. Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами, делится на 3, 7, 11, 13, 37.

4. При каком значении а уравнение не будет иметь корней?

5. Бригада косцов в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день - 25% оставшейся части и последние 6 га. Найдите площадь луга.

8 класс

1. Решите уравнение: .

2. Найдите значение выражения |х₁+х₂|, где х₁ и х₂ - корни уравнения

|2x-3|=7.

3. Решите систему уравнений: |x-1|

4. Четыре ученицы: Аня, Валя, Галя и Даша заняли первые четыре места на соревнованиях по гимнастике, причем никакие две из них не делили между собой какие-нибудь два места. На вопрос «Какое место заняла каждая их них?» трое дали три разные ответа:

1. Аня заняла второе место, Даша - третье.

2. Аня заняла первое место, Даша - второе.

3. Галя заняла второе место, Даша - четвертое.

В каждом из этих ответов одно высказывание истинно, а другое - ложно. Какое место заняла каждая ученица?

5. С помощью циркуля и линейки разделите угол величиной 66 на 11

равных частей.

9 класс

1. Решите уравнение:

2. Постройте графики функций у=|x²-6x+8| и у=x²-6|x|+8.

3. Решите систему уравнений: |x-1|

4. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причем первая работала на один час больше второй. Однако вторая машинистка печатает в час на две страницы больше первой, а поэтому она напечатала на 5 страниц больше. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка?

5. В трапеции АВСD стороны ВС и AD параллельны, диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей треугольников ABO и OCD.

10 класс

1. Решите уравнение: х²+х³+…=, где |x|<1.

2. Решите уравнение: lg(2^x-x-56)=x(1-lg5).

3. Найдите коэффициент в уравнении 5х²+bx-28=0, если известно, что b -целое число и корни уравнения находятся в зависимости 5х₁+2х₂=1.

4. Упростите выражение и постройте график функции .

5. В равнобедренный треугольник с углом α при основании вписана окружность радиусом R. Определите радиус окружности, описанной около треугольника.

11 класс.

1. Решите неравенство: 2^2+sinx-10<32^1-sinx.

2. Решите уравнение: 3^2-х2^2х-72^х=23^х.

3. Найдите коэффициент в уравнении 5х²+bx-28=0, если известно, что b - целое число и корни уравнения находятся в зависимости 5х₁+2х₂=1.

4. Решите систему уравнений: log(x-y)=1,

log(x+y)=0.

Вычислите ху-2х.

5. Дан четырехугольник с вершинами А(1;2), В(9;8), С(6;12), D(2;9).

1. Изобразите этот четырехугольник в прямоугольной системе координат.

2. Составьте уравнение прямых АВ и DC и докажите, что эти прямые параллельны.

3. Вычислите BAD.

4. Найдите абсциссу точки Р на оси ОХ, для которой ВРА=90.