Методический материал Приемы быстрого устного счета

Материал из опыта работы по формированию у учащихся вычислительных навыков с помощью приёмов быстрого счёта.

Живаева Любовь Николаевна учитель математики Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения основной общеобразовательной школы с. Кижеватво Бессоновского района.

Одной из основных задач преподавания математики в школе является формирование у учащихся осознанных приёмов счёта и прочных вычислительных навыков. Зачастую при решении текстовых задач и вычислении значений числовых выражений учащиеся много времени теряют на выполнение арифметических действий, а при уменьшении времени, в спешке, допускают много ошибок. Я считаю, что эта тема актуальна, так как основа хорошего понимания математики - это, в первую очередь, умение считать, а уже потом рассуждать, находить рациональные способы решения тех или иных задач. К тому же устный счет - настоящая гимнастика для ума, приучающая, в самых сложных жизненных ситуациях, находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.

Работая над методической проблемой: «Формирование у учащихся прочных вычислительных навыков с помощью приёмов быстрого счёта», у меня сложилась определённая система, которая помогает учащимся быстро производить вычислительные действия при наименьших затратах времени устно или производя незначительные письменные вычисления. Приёмы, которые, я использую на уроках, простые, доступные и эффективные. При систематическом использовании, их усваивают большинство учащихся. К тому же у детей повышается интерес к предмету.

В 5 - 6 классах я знакомлю учащихся и отрабатываю следующие приёмы быстрого счёта: Умножение на 4, на 8. Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Примеры: 117х4=234х2=468; 335х4=670х2=1340.

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Примеры: 217х8=434х4=868х2=1736; 254х8=508х4=1016х2=2032.

Умножение на двузначное число. Когда множимое однозначное число, мысленно переставляют множители и выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого, затем единицы и оба результата складывают.

Примеры: 6х28=28х6=120+48=168; 8х76=76х8=560+48=608.

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например: 29х12=29х10+29х2=290+58=348; 41х16=41х10+41х6 =410+246=656. (Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.)

Умножение на 5, на 25, 125. Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10 т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Примеры: 74х5=740:2=370; 243х5=2430:2=1215. При умножении на 5 четного числа сначала делят его пополам и к полученному числу приписывают ноль. Примеры: 86х5=43х10=430; 468х5=234х10=2340. Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100 и делят на 4. Если число кратно 4 - делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Примеры: 73х25=7300:4=1825 (если число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют при остатке: к частному 1 - 25, 2 - 50, 3 - 75); 72х25=72:4х100=1800. При умножении на 125 - умножают на 1000 и делят на 8. Если число кратно 8-ми - делят на 8 и умножают на 1000. Примеры: 63х125=63000:8=7875; 32∙125=32:8∙1000=4000.

Умножение на 15, на 75. При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения. Примеры: 23х15=23х10+115=230+115=345; 437х15=4370+2185=6555. Если же число четное, то поступают еще проще - к числу прибавляют его половину и результат умножают на 10. Примеры: 18х15=(18+9)х10=27х10=270; 372х15=(372+186)х10=5580. Чтобы число кратное 4-м умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300 (т.к. 75х4=300).

Примеры: 32х75=32:4х300=8х300=2400; 48х75=48:4х300=3600.

Умножение на 11 двузначных чисел.

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превыша­ет 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры: 72x11=7(7+2)2=792; 35x11=3(3+5)5=385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которо­го 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оста­вить без изменения.

Примеры: 94х11=9(9+4)4=9(13)4 =(9+1)34=1034; 78х11=7(7+8)8=858.

Умножение на 22, 33, .... 99. Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 х11, 55 = 5х11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Примеры: 24х22 =24х2х11=48х11=528; 23х33=23х3х11=69х11=759;

18х44=18х4х11=72х11=792. Приём умножения при одновременном увели­чении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении дру­гого. Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а дру­гой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится. Примеры: 44х5 =(44 :2)х(5х2)=22 х10=220; 28 х15 =(28:2)х(15х2) =14х30=420; 28х33= (28х3) х (33:3)=84х11 = 924; 24х25 = (24:4)х(25х4) = 6х100 = 600.

Умножение на 111,1111 и т.д. Усвоив приём умножения на11 можно легко умно­жать на 111,1111 и т.д . Если сумма цифр меньше 10, надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага (количество шагов на один меньше, чем количество единиц в множителе 111,1111 и т.д.), сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами.

Примеры:

24 х 111= 2 (2 + 4) (2 + 4) 4 = 2664;

36 х 111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) 6 = 3996;

24 х 1111 = 2 (2 + 4) (2 + 4) (2 + 4) 4 = 26 664;

36 х 1111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) (3 + 6) 6 = 39 996.

72 х 111 111 = 7 999 992.

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Примеры:

48 х 111 = 4 (4 + 8) (4 + 8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 + 1) (2 + 1) 28 = 5328;

75 х 111 = 7 (7 + 5) (7 + 5) 5 = 7 (12) (12) 5 = 8325.

В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8, далее 2 + 1 = 3;

а последние цифры 2 и 5 оставляем без измене­ния.

Получаем ответ:8325

85 х 111 = 8 (13) (13) 5 = (8 + 1) (3 + 1) 35 = 9425;

69 х 111 = 6 (15) (15) 9 = (6 + 1) (5 + 1) 59 = 7659.

Умножение на 9, 99, 999 т.д.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором

множителе, и из результата вычесть первый множитель:

286∙9=286∙(10 - 1)=2860 - 286=2574;

23∙99=23∙(100 - 1)=2300 - 23=2277;

18∙999=18∙(1000 - 1)=18000 - 18=17982.

Умножение на 9, 99, 999 и т.д. на число, имеющее с ним одинаковое количество цифр. Для того чтобы найти произведение на число записанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9:

8 x 9=(8-1)2=72; 46 x 99=(46-1)54=4554; 137 x 999= 136 863.

Умножение двузначного числа на 101, трехзначного числа на 1001 и т.д . Самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. Пример: 57 х 101 = 5757. Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п. Пример: 132 х 1001 =132132 .

Умножение двузначных чисел. При умножении двузначных чисел, содержащих одинаковое количество десятков, к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на количество десятков чисел и прибавить произведение единиц данных чисел: 18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288; 17х 13=(17+3) х10 +7 х3=221; 23х24 = (23+4)х20+3х4=27х20+12=540+12=552; 47 х42= 49 х40+14=1960+14=1974.

Умножение на 37.
(Нужно помнить, что 37 x 3 =111). При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111. 27 x3 7=(27:3) x (37x3)=9 x 111=999. Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37: 23 x 37=(24-1) x37=(24:3) x (37x3) - 37=8 х111-37= 888-37=851; 28 х37=(27+1) х37=9 х111+37=999+37=1036.

В 7,8 классах знакомлю учащихся и отрабатываю навыки быстрого возведения в квадрат и умножение с помощью формул сокращенного умножения.
Приемы быстрого возведение в квадрат

Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5. Нужно умножить число десятков на число, на единицу больше, и к произведению приписать 25:

15² = 1 x 2(25) = 225; 65² = 6 x 7(25)=4225.

Возведение в квадрат двузначног числа, начинающего на 5.

Чтобы возвести в квадрат число, начинающееся на 5, надо к 5² прибавить число единиц и к полученному числу приписать справа квадрат единиц:

56²=(25+6)(6²)=3136; 59²=(25+9)(9²)=3481.

Возведение в квадрат любого двузначного числа(общий случай).

Вычислим 96² (используем формулу квадрата суммы двух выражений (а + в)² = а²+2ав+в²)

Разложите двузначное число на составляющие, выделив количество единиц. В числе 96 количество единиц - 6. Поэтому можно записать: 96 = 90 + 6.

Возведите в квадрат первое из чисел: 90 x 90 = 8100.

Перемножьте числа между собой и удвойте результат: 90 x 6 x 2 = 540 x 2 = 1080.

Возведите в квадрат второе число: 6 x 6 = 36. Сложите результаты: 96²=8100 + 1080+ 36 = 9216.

47²=(40+7)^{2 =}1600 +560+ 49 =2209.

Умножение с помощью формул сокращенного умножения:

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

(a-b)(a+b)=a²-b²

a²-b²= (a-b)(a+b)

Примеры:

92x88 =(90-2) x (90+2)=8100-4=8096

53²=(50+3)²=2500+2x50x3+9=2809

39² - 36² = (39 - 36 )x( 39 + 36 ) = 3x75 =225.

Для закрепления навыков быстрого счёта совместно с учащимися создаём карточки - тренажеры. Карточки - тренажёры использую как для индивидуальной и коллективной работы на уроке, так и для самостоятельной работы ученика дома. Также с помощь карточек формирую устную речь учащихся, правильное использование математических терминов, предлагая им предварительно прочитывать выражение. Карточки составлены так, что по горизонтали располагаются однотипные примеры на одно и то же правило. По вертикали - примеры на разные правила. Сначала устный счёт выполняем построчно, с комментирование приёма счёта. Когда все основные правила и алгоритмы счёта изучены и отработаны, предлагаю выполнить задания столбиками. Учащиеся сначала прочитывают вслух пример, затем называют приём счёта и ответ. Когда навыки счёта отработаны до автоматизма учащиеся называют только ответы. Работа по карточкам способствую развитию внимания, так как в любое время процесс вычислений может продолжить любой на выбор учителя ученик. Со временем у учащихся формируются числовая зоркость, смекалка, вычислительная сноровка.

Карточка - тренажёр.

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23x4

57x4

72х4

132х4

214х4

352х4

632х4

813х4

2

35х8

56х8

78х8

124х8

352х8

512х8

723х8

911х8

3

6х28

8х76

5х64

9х87

29х12

41х16

52х24

63х31

4

74х5

364х5

788х5

942х5

63х5

247х5

669х5

819х5

5

32х25

128х25

448х25

672х25

64х25

136х25

640х25

804х25

6

48х125

72х125

112х125

256х125

144х125

152х125

88х125

304х125

7

18х15

46х15

62х15

88х15

23х15

67х15

53х15

81х15

8

36х75

44х75

28х75

120х75

804х75

32х75

56х75

364х75

9

63х11

81х11

72х11

45х11

76х11

87х11

48х11

93х11

10

62х22

23х44

27х33

14х77

86х55

41х99

35х66

15х88

11

44х5

28х15

32х33

72х25

51х18

25х88

81х99

125х16

12

24х11

36х111

72х1111

54х11111

48х111

75х111

86х1111

64х1111

13

47х9

257х99

27х999

46х99

402х999

2703х9999

137х999

828х999

14

57х101

88х101

132х1001

90х101

4546х10001

509х1001

791х1001

7608х10001

15

18х16

23х24

82х84

54х57

63х65

47х42

38х32

91х95

16

27х37

42х37

135х37

273х37

83х37

28х37

332х37

501х37

17

25²

95²

35²

85²

45²

65²

55²

75²

18

57²

52²

59²

54²

53²

58²

51²

56²

19

36²

48²

67²

74²

88²

92²

56²

83²

20

107х93

88х112

95х105

109х91

54х46

67х53

72х68

76х84

21

57^{2 -} 37²

63^{2 -} 37²

62^{2 -} 12²

81^{2 -} 19²

65^{2 -} 35²

37^{2 -} 13²

58^{2 -} 38²

82^{2 -} 18²

На внеклассных занятиях учащихся, имеющих повышенную мотивацию к предмету математика, знакомлю с приёмом перекрестного умножения, приёмом умножения способом «дополнений», приёмом возведения в квадрат методом «Обратная пирамида».

Приём перекрестного умножения.
Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком». Пусть требуется перемножить 24 x 32. Мысленно располагаем число по следующей схеме - одно под другим.

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 4 x 2 = 8 - это последняя цифра результата.

2) 2 x 2 = 4; 4 x 3 = 12; 4 + 12=16; 6 -предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.

3) 2 x 3 = 6, да еще удержанная в уме единица, имеем 7 - это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 - 768.

После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.

Приём умножения, состоящий в употреблении так называемых «дополнений», удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100. Перемножить 92 x 96. «Дополнение» для 92 до 100 будет 8, для 96 - 4. Действие производят по следующей схеме:

множители: 92 и 96

«дополнения»: 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот; т. е. из 92 вычитают 4 или из 96 вычитают 8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 8 x 4 = 32. Получаем результат 8832.

Пример: 95 x 93

множители: 98 и 93

«дополнения»: 2 и 7.

Вычисляем первые 2 цифры ответа : 98 - 7 = 91 или 93 - 2 = 91. К числу 91 приписываем произведение «дополнений» - 14. Получаем результат 9114.

Используя данный прием можно умножать и другие двузначные числа. Пример 78 x 77:

Множители:78 и 77.

Дополнения: 22 и 23.

78-23=55,

22 x 23=23 x 2 x 11=506,

5500+506=6006.

Возведение в квадрат методом «Обратная пирамида».

Рассмотрим схему возведения в квадрат на примерах:

67 x 67 = 4489

В первой строке в ряд записываются квадраты цифр возводимого в квадрат числа по порядку. Для числа 67 это - 36 и 49. Следующая строка представляет собой удвоенное произведение цифр числа, в данном примере цифр 6 и 7. Эта двойка (2) фигурирует во всех последующих примерах и специально выделена. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.

Если какая-то цифра в квадрате своем дает однозначное число, или же удвоенное произведение каких-либо цифр является однозначным числом, то в ячейке, отведенной для записи данного результата в разряде десятков записывается "0", в разряде единиц - получившееся число, как в следующем примере:

381 x 381 = 145161

Если же, наоборот, при удвоении произведения цифр получилось трехзначное число, начинающееся на "1" (в том, что это будет именно единица, а не двойка или другая цифра, нетрудно убедиться, перебрав все варианты: из удвоенных произведений самое громоздкое - 9 x 9 x 2 = 81 x 2 = 162; из квадратов - 9 x 9=81), то эта единица переносится в соседнюю слева ячейку в разряд единиц (в примере на рисунке ячейки, в которые была "внесена" единица, выделены толстой линией).

3456789 * 3456789 = 11949390190521

Учащиеся с высокой мотивацией к предмету также осваивают нахождение кубов двузначных чисел:

48 x 48 x 48 = 110592

Умножение двузначных чисел с помощью несколько преобразованного метода «Обратная пирамида».

Пример: 29 x 45 = 1305. В первой строке в ряд записываются произведения чисел сначала десятков, затем - единиц. Для числе 29 и 45 это - 08 и 45. Следующие две строки - произведение единиц первого числа и десятков второго числа , в данном примере числа 36 и 10. Затем вся эта "пирамида наоборот" складывается в столбик и получается искомый результат.

Данные способы вычисления способствуют повышению интереса к вычислительным навыкам и предмету математика в целом.

Литература:

1. Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. - М.: Учпедгиз.- 1967. −150 с.

2. Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945.

3. Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.

4. Интернет - ресурсы:

- ru.wikipedia.org/wiki/.