Конспект лекции по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла»

Конспект лекции по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла»

Цели лекции:

1) ввести и обосновать методы вычисления неопределенного интеграла;

2) разобрать доказательство теорем, на которых основываются методы;

3) разобрать примеры на каждый метод.

Тип лекции: изучение нового материала.

План лекции:

1) ввести и обосновать метод введения нового аргумента;

2) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод введения нового аргумента;

3) разобрать примеры, связанные с методом введения нового аргумента;

4) ввести и обосновать метод подстановки;

5) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод подстановки;

6) разобрать примеры, связанные с методом подстановки;

7) ввести и обосновать метод интегрирования по частям;

8) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод интегрирования по частям;

9) рассмотреть типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям и примеры для каждого типа.

Ход лекции

1. Метод введения нового аргумента.

1) По определению неопределённого интеграла , x<a;b> - независимая переменная. Эта формула инвариантна относительно х, т.е. в формуле х может быть как независимой переменной, так и непрерывно дифференцируемой функцией.

2) Выделение со студентами этапов в тексте доказательства теоремы.

При разборе доказательства теоремы выделялся план доказательства. Для выделения этапов студентам задавался вопрос «Что делается дальше?». План записывался на доске, и студенты выделяли этапы у себя в лекциях.

Теорема. Если , то где u=φ(x) - непрерывно дифференцируемая функция.

Доказательство.

Имеем

, (1)

где х - независимая переменная. С другой стороны, дан , где u=φ(x)- непрерывно дифференцируемая функция, значит, du=φ'(x)dx. Тогда

f(u)du=f(φ(x))φ'(x)dx. (2)

Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(φ(x)).

[F(φ(x))]'=F'(u)φ'(x)=f(u)φ'(x)=f(φ(x))φ'(x), т.е. функция F(φ(x)) является первообразной для f(φ(x))φ'(x). Следовательно, , или по (2) .

Дано:

1) ;

2) u=φ(x) - непрерывно дифференцируемая функция.

Доказать: .

План доказательства:

1) находим ;

2) находим f(u)du=f(φ(x))φ'(x)dx;

3) рассмотрим F(u)=F(φ(x));

4) находим [F(φ(x))]'=f(φ(x))φ'(x)=;

5) из 2) и 4)

3) Примеры:

1)

u du

2)

u u du

3) , , /

2. Метод подстановки

4) Теорема 2. Пусть y=f(x) непрерывна на ∆_x, x=φ(t) - монотонная, непрерывно дифференцируемая на ∆_t. Пусть определена сложная функция f(φ(t)) на ∆_t (множеством значений функции φ(t) является промежуток ∆_x). Тогда

. (3)

Доказательство.

Продифференцируем обе части равенства (3):

.

Значит, обе части формулы (3) имеют один и тот же дифференциал и, следовательно, выражают собой одно и то же семейство первообразных для функции f(x).

Дано:

1) y=f(x) непрерывна на ∆_x;

2) x=φ(t) - монотонная, непрерывно дифференцируемая на ∆_t;

3) определена сложная функция f(φ(t)) на ∆_t.

Доказать:

5) Итак, для вычисления интеграла с помощью подстановки x=φ(t) надо выразить х через t, dx - через t и dt, т.е. dx=φ'(t)dt. Чтобы после вычисления интеграла вернуться к переменной х, надо в полученной функции заменить t значением, которое находится из соотношения t=φ^-1(x) (существование обратной функции следует из монотонности φ(t)).

6) Примеры:

1) Линейная подстановка:

а) , ;

б) .

2) .

3. Метод интегрирования по частям

7) - 8) Теорема 3. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на промежутке ∆. Пусть на ∆ функция имеет первообразную. Тогда функция на ∆ имеет первообразную и справедлива формула

. (4)

Доказательство.

По правилу дифференцирования произведения имеем:

.

Следовательно, . (5)

По условию существует интеграл . По свойству интеграла . Поэтому существует интеграл правой части (5), следовательно, существует интеграл и левой части:

.

Относя в последнем равенстве С ко второму интегралу получим (4).

Замечание. Т.к. v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то (4) можно записать в виде

. (6)

Дано:

1) u=u(x) и дифференцируема на промежутке ∆;

2) v=v(x) дифференцируема на промежутке ∆;

3) на ∆ функция имеет первообразную.

Доказать:

1) функция на ∆ имеет первообразную;

2) .

План доказательства:

1) ;

2) ;

3) интегрируем равенство и получаем

.

9) I. Подынтегральная функция имеет вид P(x)e^ax, P(x)cosax, P(x)sinax, где P(x) - многочлен. В таких интегралах за u(x) надо принять многочлен P(x) и формулу интегрирования по частям применять столько раз, какова степень многочлена.

e^ax

u(x) cosax

sinax

Цель интегрирования: понизить степень многочлена до 0.

II. Подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

В этом случае за u(x) надо взять эту функцию.

lnx

arcsinx

arccosx = u(x)

arctgx

arcctgx

Цель интегрирования: находя при u(x) равной одной из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx перейти к многочлену от переменной .

III. Подынтегральная функция имеет вид: e^axsinbx, e^axcosbx, cos(lnx), sin(lnx).

Формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причём оба раза за u(x) выбирается одна и та же функция (либо показательная, либо тригонометрическая). После этого получается линейное уравнение относительно исходного интеграла.

sinbx , cos(lnx), sin(lnx)

cosbx

u(x)

Цель интегрирования: после применения формулы интегрирования по частям два раза получить линейное уравнение относительно исходного интеграла и найти из этого уравнения значение исходного интеграла.