Программа кружка «Математика в экономике»

Министерство образования Пензенской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Пензенской области

« Каменский колледж промышленных технологий и предпринимательства»

программа кружка

«Математика в экономике»

2012 г.

Рассмотрено на заседании

цикловой комиссии математических

и общих естественнонаучных дисциплин

Протокол №___ от __________ г.

Председатель:___________ Каштанова Ю.В.

Согласовано:

Методист

________________ Севостьянова Н. М.

Составитель: Тетеркина-Чамина Лариса Михайловна, преподаватель математики ГБОУ СПО ККПТП

Программа кружка «Математика в экономике»: методическая разработка для среднего проф. образования / Л.М.Тетеркина-Чамина. - 1-е изд. - Каменка: Издательский центр ГБОУ СПО ККПТП, 2012. - 36с.

Данный курс кружковых занятий предлагает компактное изложение теоретических вопросов, решение типовых задач, самостоятельную работу. Весь курс разбит на две части: «процентные вычисления», «методы математического анализа».

Теоретический материал кружка позволяет студентам изучить экономико-математические методы, научиться применять их к решению экономических задач, а главное, предусматривает развитие математических способностей, ориентацию на профессию.

Разработка предназначена для преподавателей и студентов учреждений среднего профессионального образования.

©Издательский центр ГБОУ СПО ККПТП, 2012

Содержание программы:

1. Пояснительная записка.

…………………………………………………..4

2. Цели и задачи курса.

…………………………………………………..6

3. Учебно-тематический план

…………………………………………………..7

4. Содержание программы

…………………………………………………..8

Часть 1.Процентные вычисления.

………..…………………………………………8

Часть 2. Методы математического анализа

…………………………………………………22

5. Литература

…………………………………………………36

I. Пояснительная записка.

Многие выпускники колледжа поступают в различные технические вузы с целью повышения своей квалификации, где довольно значительная их часть идет на экономические факультеты. Кроме того, жизненные ситуации часто ставят перед людьми задачи, требующие элементарных знаний финансовой экономики, умения производить процентные вычисления. Современная экономическая наука характеризуется широким спектром математики, как общекультурной ценностью человечества, являющейся инструментом познания окружающего мира и самого себя.

Ориентация на социально-экономические профессии требует экономического мышления, в немалой степени, основанного на специальных математических методах. Доход, прибыль, налог, рентабельность - это все цифры, и без хорошей математики здесь не обойтись: чем правильнее расчет, тем прибыльнее результат. Поэтому математика выступает в качестве предмета, с помощью которого предприниматель может выбрать оптимальный вариант действий из всех возможных.

Данный курс кружка позволяет студентам изучить экономико-математические методы, научиться применять их к решению экономических задач, а главное, предусматривает развитие математических способностей, ориентацию на профессию.

Знакомство с экономико-математическими методами дают возможность выявлять закономерности при изучении сложных экономических процессов и явлений, прогнозировать их развитие и активно влиять на них с целью достижения оптимальных результатов хозяйственной деятельности предприятия.

На задачи, в которых говорится о ценообразовании, уделяется недостаточное внимание, а между тем с ценами на товары и услуги люди встречаются каждый день и именно математика в ответе за то, чтобы эти встречи не обращались для людей финансовыми потерями.

Популярные задачи финансовой экономики представляют интерес не только для будущих финансистов, но и для всех людей. С такими задачами приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада или кредита, покупке товаров в рассрочку, при выплате пени, налогов, страховании и т.д. Такие задачи выразительно демонстрируют практическую ценность математики и позволяют активизировать учебную деятельность.

Кружковые занятия позволят сформировать социально-личностные компетенции (логическое мышление, формулирование и доказательство гипотез, речь и т.д.). На занятиях можно использовать опрос, который развивает точную, лаконичную речь, способность собираться с мыслями и принимать решения. Студенты смогут в сотрудничестве с учителем выполнять различные задания в соответствии со своими познавательными приоритетами и возможностями, на занятиях организуется обсуждение разнообразных творческих заданий (например, сравнение различных видов сберегательных вкладов, анализ эффективности работы предприятия и т.д.).

Данный курс предлагает компактное изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. Весь курс разбит на две части: часть1-«процентные вычисления», часть 2-«методы математического анализа». Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем и задачи для самостоятельного (или домашнего решения). Основные формы организации кружковых занятий: рассказ, беседа, семинар. После прохождения каждой темы рекомендуются тестирования.

Данный курс содержит дидактический материал как для учителя, так и для студентов. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности от простых упражнений на применение изученных формул до конкурсных и олимпиадных . Содержание материала курса показывает связь математики с другими областями знаний, все занятия направлены на развитие у студентов интереса к предмету.

Блочное построение курса дает возможность студентам, пропустившим по каким-либо причинам часть курса, спокойно подключиться к работе над другими разделами.

Цели курса.

1.Сформировать понимание необходимости математических знаний для решения большого круга реальных жизненных задач.

2.Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления , характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе , для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи курса.

1.Сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности.

2.Решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов.

3.Сформировать умение решать задачи на оптимизацию.

4.Привить учащимся основы экономической грамотности.

5.Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

В результате изучения курса студенты должны:

- понимать содержательный смысл терминов «процент», «издержки», «спрос», «предложение», «выручка», «рыночная цена»,

- знать широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;

- уметь анализировать функции спроса и предложения, определять рыночную цену;

- производить прикидку и оценку результатов вычислений;

- находить наибольшую прибыль с учетом издержек на производство товара;

- решать задачи на оптимизацию;

- вычислять дополнительный доход.

II. Учебно - тематический план.

Часть 1. Процентные вычисления.

Тема

Всего часов

Лекционные занятия

Практические занятия

1. Нахождение процентов от числа и обратная задача

2

1

1

2. Повышение и понижение цены на а%

2

1

1

3. Определение характера изменения цены и процент этого изменения

2

1

1

4. Формулы сложных процентов

2

1

1

5. Прогрессии и степенная функция в задачах на проценты

3

1

2

6. Неравенство Бернулли

1

1

7. Издержки и выручка

2

1

1

8. Контролирующая самостоятельная работа

2

Итого:

16

Часть 2. Методы математического анализа.

1. Использование функций в экономических задачах. Кривые спроса и предложения. Функция прибыли.

4

2

2

2. Цена и спрос. Применение производной.

3

2

1

3. Задачи на оптимизацию.

5

2

3

4. Применение определенного интеграла для решения экономических задач

4

2

2

5. Контролирующая самостоятельная работа.

2

Итого:

18

III. Содержание программы.

Часть 1.Процентные вычисления.

Тема 1.Нахождение процентов от числа и наоборот.

Сообщается история появления процентов, устраняются пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты:

а) нахождение процента от числа;

б) нахождение числа по его проценту;

в) нахождение процента одного числа от другого.

Актуализируются знания об арифметических и алгебраических приемах решения задач.

Задачи:

1. Найти 1% от: а) 3400 р.; б) 6 тыс.жителей; в) 12 р.

2. Найти целое , если 1% от него составляет:

а) 0.2 л; б) 10 р.; в) 56 чел.

3. Что больше:

а)15% от 17 или 17% от 15; б)1.2% от 17 или 12% от 170;

в) 115% от 657 или 117% от 715.

4. Сколько будет,если:

а) 100 р. Увеличить на 300%; б) 500 р. Уменьшить на 5%.

5. Какие из утверждений означают одно и то же:

-величины относятся как 1:2;

-величины относятся как 1:4,

а) вторая величина на 300% больше первой; б) первая величина на 300% меньше второй;

в) вторая величина на 100% больше первой; г) первая величина на 75% меньше второй;

д) одна величина составляет от другой 50%; е) первая величина составляет от второй 25%.

6. По расчетам предпринимателя предприятие принесет 15% прибыли. Какую прибыль можно получить, затратив 200000 р?

7. Определите, какую массу картофеля (сырья) нужно взять для получения 120 кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20% массы сырья.

8. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю.

9. Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе А начисляется в размере 0,1% от неуплаченной суммы за каждый день просрочки. На сколько дней была задержана квартирная плата, если на сумму 200 р.была начислена пеня:

а) 10 р. б) 4,4 р. в) 6 р. г) 1,8 р.

10. Клиент имел счет в банке, по которому начислялось 6% годовых. После того как банк предложил новые виды вкладов, он снял с этого счета все деньги и 2000 р. положил на вклад, по которому начислялось 8% годовых., а остальные- на вклад с 9% годовых. В результате чего его доход оказался на 130 р. больше, чем по прежнему вкладу. Сколько всего денег он внес на новые вклады?

11. Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия пролежала дома до лета. За это время цены на товары выросли в среднем на 50%. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность отложенных денег?

12. Летом огурцы становятся дешевле, чем зимой на 35% , а помидоры- на 60%. Поэтому овощи для салата из огурцов и помидоров летом обходятся на 50% дешевле, чем зимой. Сколько процентов от стоимости овощей для этого салата составляет зимой стоимость входящих в него помидоров?

13. Ежемесячный доход семьи складывается из зарплаты отца и зарплаты матери. Зарплату отца увеличили на 40% , а зарплату матери- на 15%, в результате чего семейный доход увеличился на 20%. Сколько процентов от семейного дохода составляла до повышения зарплата матери?

14. В магазине костюм состоящий из пиджака и брюк стоит на 20% дороже, чем такой же костюм на рынке, причем брюки стоят на 35% дороже , чем на рынке, а пиджак- на 10%. Сколько процентов стоимости этого костюма на рынке составляет стоимость брюк?

15. Для приготовления блюда требуется на 50 г воды добавить 100 г 6% уксуса. У хозяйки имеется только 12% уксус. Сколько граммов 12% уксуса ей нужно добавить на 50 г воды, чтобы получить раствор нужной концентрации?

16. Внешний долг страны А составлял 9 млрд.$, из них 15% составлял долг стране Б. Решением Парижского клуба кредиторов в силу неплатежеспособности страны, долг реструктуировали. Если бы страна Б получила 60% долга в текущем году и 80% полученной суммы пошло в бюджет на этот год, то бюджет Б увеличился бы на 32,4%. Найти бюджет страны Б на текущий год.

17. Студент взял из банка сначала 25% своих денег, а потом 4/9 оставшихся и еще 640 р. После этого у него осталось на сберкнижке 15% первоначальной суммы. Определить сумму исходного вклада.

Тема 2.Повышение и понижение цены на а%.

Решение задач на последовательное изменение цены. Использование схем при решении задач.

Перед решением задач важно проанализировать часто встречающиеся объявления об изменении цен и выразить их в виде схем, которыми учащиеся будут руководствоваться при решении более сложных задач про «цены».

Наиболее типичные ситуации.

1. Если первоначальная цена товара составляла S₀ денежных единиц, то после ее повышения на а% она составит S₀+S₀∙а∙0.01= S₀∙ (1+0.01а) (ден.ед.)

Аналогично, если первоначальная цена понизилась на а% , она составит S₀∙ (1-0.01а) (ден.ед.)

Многим студентам легче понять и запомнить необходимые формулы, если представить их в виде наглядных схем. Повышение цены изображается стрелкой, идущей от S₀ вверх, а понижение- стрелкой , направленной вниз от S₀.

a% (1+0,01a)

S₀

b%(1-0,01b)

В результате повышения первоначальной цены на а% и последующего понижения на b% окончательная цена равна S₀(1+0,01a)(1-0,01a) (ден.ед.).

S₀(1+0,01a)

a% b%

S₀ S₀(1+0,01a)(1-0,01b) .

Аналогично, если первоначальная цена сначала понизилась на а%, а потом повысилась на b%, то окончательная цена равна S₀(1-0,01a)(1+0,01b) .

Под руководством учителя студенты самостоятельно изображают схему, соответствующую указанным преобразованиям исходной суммы.

Задачи:

1. Сколько было, если:

а) после увеличения на 10% стало 100 р.; б) после уменьшения на 10% стало 500 р.

2. Зарплату рабочему повысили на 10%.а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?.

3. Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12% от первоначально назначенной цены и получил при этом 10% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

4. Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом из них цены на 10% ниже, но и количество проданных изделий в день на 10% больше. В каком из этих магазинов выручка за день больше?

5. 5.На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40% , а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить шарф?

6. На сезонной распродаже в марте месяце зимние сапоги можно купить за 1875 р., скидка на них составила 25% от первоначальной стоимости. Через месяц сапоги подешевели еще на 20%. Сколько денег сэкономит человек от первоначальной стоимости сапог, если купит их в апреле?

7. В автосалоне ВАЗ 21099 в 2002 г. стоил 180000 р. В 2003 году спрос на этот автомобиль упал и на него снизили цену на 30%, а в 2004 г. эта марка опять пользуется спросом и новую цену подняли на 50%. Сколько стоил автомобиль в 2004 г. На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?.

8. Цена товара поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал по цене равен первому товару. Какова первоначальная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 1,25 тыс.руб.?

9. На предприятии выработка продукции возросла за год на 4%, а на следующий год повысилась еще на 8%. Найти средний годовой прирост за эти 2 года.

10. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом сбербанка, взяв сумму 40000 р. с обязательством возвратить кредит ( с учетом 20% годовых) через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения в образовательных учреждениях с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

11. Банк «Диалог- Оптима» осуществляет денежные переводы. Минимальная сумма перевода 50 р., максимальная - 300 р. С суммы перевода банк берет 1,5% за оказание услуг. На сколько в процентном отношении возьмут больше с человека, сделавшего перевод на максимальную сумму, чем с того , кто сделал перевод на 50 р.?

12. Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые 3 года капитал увеличивался в четыре раза?

Тема 3.Определение характера изменения цены

Определение процента новой цены от старой и наоборот.

Урок начинается кратким вступительным словом учителя: «Задачи, которые будут рассмотрены сегодня, взяты из жизни. Наша цель - научиться анализировать реальные ситуации с помощью того математического аппарата, которым вы владеете. Очень важно, чтобы вы не только получали ответ, но и могли его истолковать, соотнести с реальностью».

Формула процентного сравнения:

А > В на (100)%, B<A на (100)%

Задачи.

1. На сколько процентов изменилась величин, если она:

а) увеличилась в 2.4 раза; б) увеличилась в 3.5 раза;

в) уменьшилась в 6 раз; г) уменьшилась в 10 раз.

2. 2.Вычислите, на сколько процентов

а) 500 больше 400; в) 400 меньше 500;

в) 3000 меньше 6000; г) 6000 больше 3000.

3. За несвоевременное выполнение обязательств по кредиту заемщик должен заплатить штраф за первый месяц просрочки 7% от суммы кредита, за каждый следующий месяц просрочки 1000 р. Какой процент составит пеня от суммы кредита 32000 р?. Какой штраф заплатит заемщик при нарушении сроков оплаты за 3 месяца?

4. 4.Тарифы на проезд в наземном транспорте возросли с 2 до 10 р.,в городском метрополитене-с 2,5 до 15 р. Какие тарифы возросли больше?

5. 5.Арендатор отдела в магазине забыл вовремя оплатить аренду за место. Определите размер пени за каждый просроченный день, если за 20 дней просрочки сумма платежа увеличилась с 10 до 14 тыс.р.

6. В банк положена некоторая сумма. Через год со счета сняли 0,25 от первоначальной суммы, а еще через год вклад составил 0,935 от первоначальной суммы. Найдите банковский процент.

7. После двух последовательных повышений зарплата составила 132% от первоначальной. На сколько процентов повысили зарплату в первый раз, если второе повышение было вдвое больше

8. ( в процентном отношении) первого?

9. Цена на товар была сначала повышена, а затем через месяц снижена, в результате цена увеличилась на 8% по сравнению с первоначальной. На сколько процентов повысили цену в начале, если последующее снижение было вдвое меньше (в процентном отношении)?

10. Расценки на грузоперевозки по ж.д увеличивались дважды: на 20% в первый раз, и на 10% во второй. Определите, на сколько процентов вырастут расходы почтовой фирмы на ж.д. транспорт, если объем перевозимый ею, по ж.д., почты вырос на 30%?

11. В магазине цены сначала повышены на 10% , а потом снижены на 10%. Как изменились цены?

12. Какой процент ежегодного дохода давал банк, если, положив на счет 13000 р., вкладчик через 2 года получил 15730 р.?

13. Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 р. до 80 р. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?

14. Как реально выглядела бы ситуация, если бы цену снизили на 180%?

15. А если бы снизили цену сразу на 40%, то в итоге цена была бы больше 80 р. или меньше?

16. 13. В осенне-зимний период цена на свежие фрукты возросла трижды: на 10%, на 20% и на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?

17. 14. Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34%, причем 20% рабочих цеха увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха?

Дома: Проанализировать изменение бюджета семьи с учетом инфляции в стране за прошедший год.

Тема 4. Формулы сложных процентов

Студентам предлагается задача:

«Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются вкладом «накопление» с годовой процентной ставкой 16%. Проверьте, выполнит ли банк свое обязательство».

После анализа задачи на доске записать формулу сложных процентов и ее частный случай.

A_n = A₀(10,01x₁)(10,01x₂)…(10,01x_n) , A_n = A₀(10,01x)ⁿ.

Объяснить смысл входящих в формулу символов.

А₀ - начальное значение некоторой величины; А_n - значение, которое получилось в результате нескольких изменений начальной величины; n - количество изменений начальной величины; x- процент изменения.

Объяснить, что частный случай применяется тогда, когда некоторая величина А₀ изменяется несколько раз на один и тот же процент. Общая формула используется тогда, когда процент изменения не остается одним и тем же.

Знак «+» применяется в задачах о начислении процентов по вкладу в банке, а также при подсчете увеличения цены товара.

Знак «-» применяется при подсчете снижения цены.

Задачи:

1. За каждый из девяти первых месяцев года цены вырастали на 25%, а за каждые из трех следующих месяцев на х%. Найти х , если за год цены выросли в восемь раз.

2. Каким должен быть вклад , чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за год до 33000 р.?

3. Первоначальная цена на некоторый товар была повышена на 44%, затем 2 раза понижалась на одинаковое число процентов. В результате окончательная цена товара оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов производилось двукратное снижение цены?

4. Один из договоров о годичном страховании имущества от несчастных случаев предусматривает оплату 2,14% страховой суммы при скидке 30% для постоянных клиентов. Определите величину страхового платежа для повторного страхования дачного домика на сумму 12000 р.

5. Один из видов срочных вкладов предусматривает начисление 18% прибыли через год хранения денег в банке. Если спустя этот срок счет не закрывается , то договор автоматически продлевается на тех же условиях (пролoнгируется). Какая сумма будет на счете вкладчика через 3 года при первоначальном вкладе 10000 р.?

6. Заемщик получил в банке 1 января кредит в сумме 4860 р. на срок в 3 года с условием его ежемесячного погашения равными долями в последний день месяца, начиная с 31 января, и одновременной уплатой 3% за месяц пользования кредитом. При несвоевременном внесении платежа заемщик уплачивает штраф в размере 0,2% от просроченного платежа за каждый день просрочки. Своевременно уплатив положенное в январе и феврале, в марте заемщик задержался и пришел в банк 11 апреля. Какую сумму он должен уплатить?

7. Торговая база продала магазину ткань по оптовой цене на 25% больше себестоимости. Магазин продал ткань по цене на 15% больше оптовой. Но в конце месяца снизил цену на 20%. На сколько по отношению к себестоимости переплачивает покупатель при покупке в конце месяца ткань по цене 920 р.?

8. Торговая база продала дневники по оптовой цене на 30% больше себестоимости. Магазин продавал по цене на 5% больше оптовой. На распродаже снизил цену на 40%. На сколько по отношению к себестоимости недоплачивает покупатель при покупке в конце месяца дневника по цене 16,38 р.?

9. Вкладчик положил в банк 10000 р. под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов он добавляет одну и ту сумму на свой счет. Если через 3 года он добавит на счет на 140 р. больше, чем обычно, то его вклад составит 30000 р. Какую сумму обычно добавляет вкладчик на свой счет после начисления процентов?

10. Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов он добавляет на свой счет 5000 р. В результате , через 3 года его вклад составил 29860 р. Какова была сумма первоначального вклада?

11. В январе 2005 года в банк положена некоторая сумма. В конце года проценты по ней составили 100 р. Добавив 1900 р. на счет в январе 2006 года , в конце 2006 г. вкладчик получил 4200 р., закрывая счет. Сколько он бы получил, если бы закрывал счет не в конце 2006 года, а в конце 2007 года? (Процентная ставка не меняется и меньше 50%).

12. Василий Петрович собирается взять ссуду в коммерческом банке. Определите максимальную величину суммы, которую В.П. может взять у банка под 20% годовых, если он хочет полностью расплатиться с банком в течении двух лет, выплачивая в конце каждого года не более, чем 90000 р.?

13. М.И. открыла счет в банке на сумму 20 тыс. р. Через год, после начисления процентов, она пополнила счет на 30 тыс.р. А еще через год, сумма ее счета составила 60950 р. Определите, сколько процентов годовых выплачивает банк по виду вклада, открытого М.И.

14. Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11%. Вкладчик внес в банк 7000 рублей. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10000 руб. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той же ставке (11%) реализовать этот план ?(Ответ округлите до целых).

Тема 5. Прогрессии и степенная функция в задачах на проценты

1. При краткосрочных вкладах до востребования увеличение вклада S производится ежедневно на p процентов от первоначальной суммы независимо от срока хранения. Найти величину вклада спустя n дней хранения в банке.

Решение:

Вклад ежедневно возрастает на величину d= .Поэтому мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом S₁=S+d и разностью d , а нас интересует n-й член прогрессии S_n . По известной формуле получаем

S_n= S₁+d(n-1)= S_n= S( 1+) (формула простых процентов).

2. Увеличение так называемого срочного вклада S производится на p процентов через t месяцев хранения. Найти величину вклада S_n спустя nt (n N) месяцев хранения в банке после неоднократного пролонгирования договора.

Решение: Согласно условию

S_k+1= S_k+p = S_k(1+)

Это означает, что мы имеем геометрическую прогрессию с первым членом S₁ и знаменателем g=1+0,01p, а нас интересует n-й член прогрессии. Воспользуемся формулой

S_n= S₁₌ , т.е. S_n= S(1+p/100)ⁿ(формула сложных процентов).

3. При одном из видов кредитования ( как правило, краткосрочном) заем в 6000 р. погашается в течение года по 500 р. ежемесячно, вносимых в последний день месяца одновременно с уплатой 5% в месяц, начисляемых по формуле сложных процентов на совершаемый платеж. Найти размер всей платы за кредит.

Решение. В первый месяц заемщик уплачивает 500р. Следующими пятью сотнями он пользовался уже 2 месяца, и за это придется заплатить больше: 500². Получается геометрическая прогрессия с первым членом 525 и знаменателем q=1,05, а нас интересует сумма ее 12 членов. S₁₂=500

Пусть p_i ( i=1,2) годовая ставка процента, пусть проценты начисляются m_iраз в год черезравные промежутки по ставке p_i/m_i процентов. Ставки p₁ и p₂ называются эквивалентными, если соответствующие им годовые прибыли по вкладу совпадают.

4. Определить годовую процентную ставку с ежеквартальным начислением процентов, которая эквивалентна годовой ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

Решение: Обозначим искомую величину через x. При ежеквартальных выплатах проценты на вклад начисляются 4 раза в год по ставке x /4%. Вычислим величину вклада S через год по формуле сложных процентов:

S(1+)⁴.

По условию эта величина должна быть равна величине вклада, выплачиваемого через год по ставке 24% с 12- разовым ( т.е. ежемесячным по ставке %) начислением процентов, т.е. S(1+)¹².

Где S -первоначальный вклад. Таким образом, задача сводится к решению уравнения

(1+)⁴=(1+)¹² 1+=(1,02)³, x=24,5. Искомая ставка составляет 24,5%.

5. Требуется оценить ожидаемую через год реальную стоимость вклада в 20000 р. с ежемесячным начислением сложных процентов при ставке 6% в месяц и прогнозируемом темпе инфляции 5% в месяц.

Решение. С одной стороны, вклад за год увеличится в (1+0,06)¹² =2,01раза. С другой стороны, инфляция уменьшит реальную стоимость вклада в (1+0,05)¹² =1,80 раза. Значит, реально, в смысле покупательной способности денег на день внесения вклада, он увеличится всего лишь в 2,01/1,80 =1,12 раза, т.е. его следует расценивать как 22333 р. Это означает, что (при правильном прогнозировании инфляции!) на сумму, которая накопится у вкладчика в течение года, можно будет купить столько же, сколько в момент внесения вклада на 22333 р.

6. Заемщик получил в банке 1 января кредит в сумме 4860 р. на срок в 3 года с условием ежемесячного погашения равными долями в последний день месяца, начиная с 31 января, и одновременной уплатой 3% за месяц пользования кредитом. Какую сумму заплатит за пользование кредитом заемщик, если все 3 года будут своевременно выполняться первоначальные условия договора?

Решение. Каждый месяц долг по кредиту уменьшается на 135 р., а значит, плата за кредит уменьшается на 0,03(руб.). Это арифметическая прогрессия с первым членом а₁=145,8 и разностью d= - 4,05. S₃₆= (2(р.).

7. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

8. Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом цена на 25% ниже , чем во втором, но количество проданных изделий на 25% больше. На сколько процентов выручка во втором магазине больше, чем в первом?

9. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 р. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная сумма увеличилась до 1210 р. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

10. В условиях инфляции более привлекательны краткосрочные вклады. Если вместо годичного вклада с прибылью 20% вести полугодовой вклад с начислением 10%, то на сколько процентов увеличится взнос в 10000 р. при условии, что второй договор пролонгируется до года?

Дом. задание. Анализ различных видов вкладов в одном из сберегательных банков.

Тема 6. Неравенство Бернулли

В этом пункте рассматриваются задачи, выходящие за рамки программы по математике в колледже, но вполне подходящие для занятий в кружке.

1. Вместо вклада с прибылью p% в год вносят вклад сроком в 1/n часть года с начислением (p/n)% к вкладу. Доказать, что если такой договор пролонгируется до года, то он выгоднее первоначального.

Решение. При годичном договоре первоначальный вклад S возрастет до S(1+p/100) . Величину вклада по договору найдем по формуле сложных процентов: S(1+p/(100*n))ⁿ.

Требуется доказать неравенство:

S(1+p/100)< S(1+p/(100n))ⁿ.

Оно вытекает из неравенства Бернулли: 1+nh<(1+h)ⁿ при h = p/(100n).

2. Доказать, что с увеличением n годичная прибыль по вкладу, рассмотренному в предыдущей задаче, увеличивается.

Решение. Достаточно доказать, что возрастает последовательность,n-й член которой задается формулой.

t_n= (1+a/n) , a = p/100.

Воспользуемся известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом : (a₁a₂…a_n)

(равенство достигается только при а₁= а₂ =……..= а_n).

Положив в этом неравенстве а₁ = 1, а₂ =……..= а_n= (n-1+a)/(n-1), получим

<1+.

Возведя обе части неравенства в степень n , приходим к неравенству: t _n-1<t _{n. .}

В предыдущей задаче мы выяснили , что так называемый коэффициент наращивания вклада t _n=(1+a/n)ⁿ, где a=p/100, с увеличением частоты n начисления процентов на пролонгируемый в течении года вклад увеличивается. Однако один из важнейших фактов финансовой математики заключается в том , что коэффициент наращивания при любом n не превосходит величины e^a . Требуется доказать это.

Решение. Воспользуемся одним из замечательных пределов:

lim_x(1+)^x=e. Тогда lim_nt_n=lim(1+)ⁿ=(lim(1+ )^n/a)^a= e^a.

Покажем теперь , что любой член сходящейся возрастающей последовательности меньше своего предела с.

Допустим противное: имеется такой член a_m , что a_m>c . Но так как a_k>a_m при k>m , то в окрестности точки c с радиусом & , где &=a_m-c , может попасть лишь конечное число членов нашей последовательности ( с номерами, меньшими m ), что противоречит определению предела.

Итак, возрастающая последовательность t _n сходится к числу e^a . Значит , действительно

(1+a/n)<e^a.

Дом. задание. Задачи 1,2 (разобрать еще раз).

1. Некоторый банк платит по вкладам 100% годовых независимо от срока хранения - за 1 год 100%, за года - 50%, за года - 25% и т.д. Можно ли неограниченно увеличивать доход, увеличивая частоту перевложений суммы, если при каждой операции начисляются проценты?

Решение. После n перевложений суммы на года сумма увеличится в (1+)ⁿ раз.

Lim_n(1+)ⁿ=e.

2.Деньги, вложенные в банк, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вклад удвоится?

Тестирование (проценты).

1.1% от 1 км:

1) 1 м; 2) 1 дм; 3) 10 м; 4) 100 м.

2. Найти целое, если 1% от него составляет 12 рублей:

1) 120 р.; 2) 1200 р.; 3) 12000 р.; 4) 1,2 р.

3. 0,3% от 3 кг:

1) 90 г; 2) 9 г; 3) 900 г; 4) 0,9 г.

4. 72% от 150:

1) 108; 2) 10,8; 3) 1,08; 4) 1080

5. 300 р. больше 225 р. на:

1)25%; 2) .%; 3) 20%; 4) 75%.

6. На сколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 4 раза?

1) 50%; 2) 25%; 3) 75%; 4) 20%.

7. Сколько процентов составляют 250 р. от 200р.?

1) 150%; 2) 125%; 3) 175%; 4) 120%.

8. Каждую сторону квадрата увеличили на 30%. На сколько процентов увеличилась площадь?

1) 20%; 2) 6,9%; 3)30%; 4)69%.

9. На сколько процентов увеличится объем куба, если каждое его ребро увеличить на 10%?

1) 21%; 2) 33,1%; 3) 30%; 4) 31%.

10. Товар стоимостью 1500 р. уценили до 1200 р. Определите процент уценки.

1) 10%; 2) 25%; 3) 20%; 4) 30%.

11. Зарплату рабочего повысили на 20%, а через год еще на 25%. На сколько процентов повысили зарплату по сравнению с первоначальной?

1) 45%; 2) 50%; 3) 25%; 4) 60%.

12. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25% месячного оклада и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. р. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?

1) 3 тыс р.; 2) 4,5 тыс.р.; 3) 5 тыс.р.; 4) 60 тыс.р.

13. Арендатор отдела в магазине забыл вовремя оплатить аренду за место. Определите размер пени за каждый просроченный день, если за 20 дней просрочки сумма платежа увеличилась с 10 до 14 тыс.р.

1) 1%; 2) 2%; 3) 3%; 4) 4%.

14. Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые 2 года капитал увеличивался в 1,44 раза?

1) 44%; 2) 22%; 3) 20%; 4) 10%.

Тема 7. Издержки и выручка

Не слишком сложная, но довольно громоздкая система соотношений между экономическими характеристиками бизнеса - объемами выпуска, ценами, издержками, прибылью и т.п.- обусловливает возможность придумать много разнообразных задач. Очевидно, что решение задач способствует запоминанию студентами соответствующего набора терминов и формул и, что особенно важно,- осмыслению этих формул.

1. Благодаря изменению технологии средние постоянные издержки на производство велосипедов удалось уменьшить на 20%, после чего цена единицы продукции была снижена на 10%. Годовые переменные и совокупные издержки не менялись. Чему стала равна годовая выручка производителей велосипедов, если прирост после усовершенствования технологии составил 37500 млн. р.?

Решение. Введем обозначения и выпишем соотношения между теми показателями, которые упоминаются в условии.

До изменения технологии

После изменения технологии

Переменные издержки

V₁

V₂

Постоянные издержки

C₁

C₂

Совокупные издержки

S₁

S₂

Средние переменные издержки

v₁

v₂

Средние постоянные издержки

c₁

c₂

Средние совокупные издержки

s₁

s₂

Цена велосипеда

P₁

P₂

Объем выпуска велосипедов

Q₁

Q₂

Выручка предприятия

R₁

R₂

Нам понадобятся следующие фундаментальные соотношения:

Определение совокупных издержек S=C+V ,

Определение средних постоянных, средних переменных и средних совокупных издержек c=C/Q, v=V/Q , s=S/Q.

Формула расчета выручки R =.

Теперь начнем рассуждать.

Поскольку по условию задачи совокупные и переменные издержки не менялись, сохранили свое значение и постоянные издержки. Иначе говоря, в силу того что S₁=S₂ ,V₁=V_{2 ,} следует , что С₁=С₂. Учитывая формулы, можно записать =_.

По условию средние постоянные издержки после изменения технологии производства понизились на 20%, т.е. с₂=с₁(1-0,2)=0,8с₁.

Тогда выражение примет вид: 0,8c₁Q₂=c₁Q₁, откуда Q₂=Q₁/0,8=1,25Q₁.

Выразим прирост выручки через цены и объемы производства: R₂-R₁=Q₂P₂-Q₁P₁=37500

Новая цена единицы продукции, сниженная согласно условию на 10% по отношению к старой, составит Р₂=Р₁(1-0,1)=0,9Р₁.

Тогда 1,25Q₁ 0,9P₁-Q₁P₁=0,125Q₁P₁=37500

Отсюда найдем первоначальную выручку: I₁=Q₁P₁=37500:0,125=300000.

Значит, выручка производителей велосипедов после изменения технологии составит

R₂ =R₁+37500=337500 (млн.р.).

2. В прошлом году доля постоянных издержек предприятия в совокупных издержках составила 25%. В текущем году средние переменные издержки увеличились на 20%, а средние совокупные издержки выросли на 10%. Как и на сколько процентов изменились за год средние постоянные издержки?

Решение. По условию соотношение постоянных и переменных издержек в прошлом году было равно 1:3. Таким же было и соотношение средних постоянных и средних переменных издержек. Значит, если принять средние постоянные издержки прошлого года за Х₁, то средние переменные прошлого года составят 3Х₁. Тогда средние совокупные издержки прошлого года s₁ запишутся так s₁=X₁+3X₂=4X₁.

Увеличение средних переменных издержек за год на 20% означает, что в текущем году они составят 3Х₁*1,2=3,6Х₁.

Рост средних совокупных издержек на 10% за год означает, что средние совокупные издержки текущего года s₂ составят s₂=1,1s₁=1,1*4X₁=4,4X₁.

Стало быть, средние постоянные издержки текущего года Х₂ можно записать как Х₂=s₂-3,6X₁=4,4X₁-3,6X₁=0,8X₁.

Таким образом, выясняется, что средние постоянные издержки текущего года составляют 80% от прошлогоднего своего значения, т.е. снизились за год на 20%.

Предлагаемое задание дает повод задуматься о последствиях «регулирования», иначе говоря, принудительном изменении цен в условиях рынка. Два варианта условия задачи позволяют рассмотреть ситуацию как в случае монополизации рынка определенного товара, так и в случае административного воздействия на рыночные цены.

Задача. Кривая спроса на стиральные машины марки «Калинка» описывается формулой Р_d=12-lg(aQ_d-500), а кривая предложения - формулой P_s=8+lg(aQ_s-500), где P_s- цена предложения,

Q_s- величина предложения, P_d- цена спроса, Q_d- величина спроса, а- параметр.

В течении 2005 г. рынок стиральных машин находился в равновесии.

1 вариант.

С начала 2006 года продавцы , вступив в сговор, подняли цену на 1 тыс. р. за штуку и держали эту цену весь год.

2 вариант.

С начала 2006 г.местные власти в приказном порядке снизили цену на стиральные машины на 1 тыс.р. за штуку, и эта цена держалась весь год.

Вопрос: на сколько процентов изменилась выручка продавцов в 2006 г. по сравнению с 2005 г.(для каждого варианта).

1 вариант. В 2005 г. установилась равновесная цена Р, цены спроса и предложения совпали. Р_d=P_s=P.

Совпали на уровне равновесного количества продукта Q и величины спроса и предложения Q_d=Q_s=Q. Получим 12-lg(aQ-500)=8+lg(aQ-500), отсюда lg(aQ-500)=2.

Нетрудно определить Р=10 тыс.р.за шт. и aQ-500=100, a=600/Q.

Цена на стиральные машины , установленная в 2006 г. составляет 10+1=11 тыс.р.

Определим величину спроса при новой цене, выразив эту величину через Q_{d .}Выпишем равенство 11=12-lg(aQ_d-500)., lg((Q_d600)/Q-500)=1, отсюда Q_d=0,85Q.

Заметим ,что на рынке, выведенном из состояния равновесия, возникает избыток товара, который продавцы не смогут реализовать.

Сопоставим выручку продавцов за 2005 г. и 2006 год.

Выручка 2005 г. R₁ составила R₁=PQ=10Q.

Выручка 2006 г. R₂ определится как R₂=11Q_d=110,85Q=9,35Q.

Выписав соотношение R₂/R₁=(9,35Q)/(10Q)=0,935 , приходим к выводу, что выручка продавцов стиральных машин «Калинка» в 2006 г. по сравнению с 2005 г. сократилась на 1-0,935=0,065=6,5%.

2 вариант. Очевидно, что цена на стиральные машины «Калинка», установленная местными властями в 2006 г., составляет 10-1=9 (тыс.р.), по условию 9=8+lg(aQ_s-500).

Применительно к Q_s повторяются все остальные расчеты, проведенные выше с величиной Q_d . Оказывается, и во втором варианте объем продаж холодильников в 2006 г. составит 0,85Q.

Обратим внимание на то , что на рынке, выведенном из состояния равновесия, возникает недостаток товара.

Сопоставим выручку за 2005 г. и 2006 г.

Выручка 2005 г. составила R₁=PQ=10Q.

Выручка 2006 г. определится как R₂=9Q_s=90,85Q=7,65Q.

Тогда R₂/R₁=(7,65Q)/(10Q)=0,765.

Значит, выручка стиральных машин «Калинка» в 2006 г. по сравнению с 2005 г. сократилась на 1-0,765=0,235=23,5%.

Самостоятельная работа.

1. Издержки на производство товара удалось уменьшить на 10%, цена на товар осталась прежней. Годовые переменные и совокупные издержки не менялись. Чему стала равна годовая выручка производителей товара, если ее прирост после усовершенствования составил 52400 р.?

Дом. задание. Задачи 1,2,3 ( разобрать еще раз).

Тема 8. Контролирующая самостоятельная работа

1 вариант.

1. Цена входного билета на стадион была 18 р. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50%, а выручка выросла на 25%. Сколько стал стоить билет после снижения?

2. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?

3. Если положить на вклад «Накопительский» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на одно и то же число процентов от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на этот вклад 30000 р. и три года подряд не пополнял свой вклад и не снимал с него деньги. За три года вложенная им сумма денег увеличилась на 9930 р. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на вклад «Накопительный»?

4. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35% больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20%, а ботинки - на 70%. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

5. Предприятие предполагает продать продукции на 5% больше, чем в прошлом году. На сколько процентов ему надо понизить цену, чтобы получить на 0,8% больше денег, чем в прошлом году?

6. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счету вкладчика через год, через пять лет?

7. На деньги, размещенные в банках, за год начисляется определенный процент, свой для каждого банка. Если 1/5 некоторой суммы положить в первый банк, то через год сумма вклада превысит исходную сумму на 106%. Если же 1/ 4 суммы положить в первый банк, а остальные деньги - во второй банк, то через год сумма вкладов будет такой же, как и при размещении 1/2 исходной суммы во втором банке, а остальных денег - в третьем банке . И, наконец, при размещении всей суммы во втором банке через год вклад станет на 5% больше, чем сумма вкладов в первом, втором и третьем банках, если разместить в них деньги в равных долях. Найдите процент, начисляемый на вклады во втором банке.

8. Молокозавод планирует увеличить выпуск продукции на 10%. На сколько процентов увеличится чистая прибыль завода, если отпускная цена его продукции возросла на 15%, а ее себестоимость для завода, которая до этого составляла 34 отпускной цены, увеличилась на 20%?

2 вариант.

1. Билет в кинотеатр стоил в среднем 100 р. После повышения цены число зрителей уменьшилось на 20%, а выручка выросла на 20%. Сколько стал стоить билет после повышения?

2. Саша за весну похудел на 20%, за лето поправился на30%, за осень похудел на 20%, за зиму поправился на 10%. Как изменился его вес?

3. Во время сезонных распродаж цена товара ежедневно снижалась на 10% по сравнению с ценой в предыдущий день. В первый день распродажи цена куртки была 3000 р. Определите, сколько раз снижалась цена куртки, если она была продана по цене на 813 р. меньше первоначальной?

4. Сумма денег , положенная на вклад ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик положил 40000 р. Через три года сумма стала 53240 р. Найти банковский процент по этому виду вклада.

5. Предприятие предполагает продать продукции больше, чем в прошлом году. При этом, чтобы получить на 0,8% больше денег надо понизить цену на 4%. На сколько процентов больше продукции, чем в прошлом году планирует изготовить предприятие?

6. За хранение денег сбербанк начисляет 9% годовых. Вкладчик положил 20000 р. Сколько денег будет на вкладе через 5 лет, через 10 лет?

7. Стоимость молока увеличилась на 30%, а мороженого на 10%, в результате чего стоимость состоящего из них молочного коктейля возросла на 25%. Сколько процентов от стоимости коктейля составляла стоимость мороженого до повышения?

8. В результате расширения сотовой связи и одновременного удешевления тарифов на 50% , ежемесячный объем продаж ее услуг вырос в 3 раза. Через сколько месяцев дополнительная прибыль, полученная компанией компенсирует затраты на расширение, если они составили половину прежнего годового дохода компании?

Часть 2. Методы математического анализа

Аппарат дифференциального исчисления позволяет решать широкий класс экономических задач. Необходимость использования производной при анализе экономических проблем возникает, в частности, при определении оптимального значения того или иного показателя, от которого зависит финансовое состояние компании. Так, для эффективной организации деятельности фирмы финансовому менеджеру необходимо знать величины оптимальных затрат, оптимального объема выпуска продукции, оптимальную численность работников т.п.

Задачи такого типа порождают особый класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования аппарата производной.

Тема 1. Использование ограниченности и монотонности функций в экономических задачах. Кривые спроса и предложения

Главная цель любой фирмы, действующей на рынке,- максимизация своей прибыли. Прибыль П определяется как разность между общей выручкой R(доходом ) , полученной от реализации Q единиц продукции, и общими издержками С, связанными с затратами на ее производство и реализацию. Поскольку выручка и издержки зависят от объема выпускаемой продукции, т.е. являются функциями от количества товара Q, то и прибыль, в свою очередь, является функцией от Q. В результате имеем следующее выражение для функции прибыли: П(Q)=R(Q)-C(Q).

Так как совокупная выручка конкурентной фирмы - это денежная сумма, полученная от продажи Q единиц товара по цене Р₁ за единицу товара, то можно записать, что R(Q)=P₁Q. Следовательно, П(Q )=Р₁Q-С(Q).

Перед фирмой возникает задача определения такого количества товара Q , от реализации которого она получит максимальную прибыль. Эта задача является стандартной задачей математического анализа на нахождение значения аргумента, при котором функция принимает наибольшее значение на некотором промежутке.

1. М.И. выращивает помидоры на собственном приусадебном участке. Весь собранный урожай она реализует на конкурентном городском рынке. Известно, что рыночная цена на помидоры установилась 40 р. за 1кг. При этом существуют определенные затраты, связанные с покупкой удобрений, материала для парников и др. В итоге зависимость общих издержек выращивания помидоров (С) от количества (в кг) выращенных помидоров (Q ) задается следующей функцией: C(Q)=1/2Q²+4.

Подскажите М.И. , сколько килограммов помидоров ей нужно собрать со своего участка за сезон, чтобы получить максимальную прибыль? Чему равна величина этой прибыли?

Решение.

1 этап (формализация).

Запишем выражение для функции прибыли: П(Q)= R(Q)-C(Q) =Р₁Q-C(Q) =40Q-(1/2Q²+4)=-1/2Q²+40Q-4.

Так как Q>0 , то задача сводится к исследованию квадратичной функции П(Q )= - 1/2Q²+40Q-4 на наибольшее значение на промежутке [0; )

2 этап (математизация)

Поскольку графиком квадратичной функции П(Q )=-1/2Q²+40Q-4 является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (40;796), то наибольшее значение П(Q) на [0; ) равно 796 и достигается при Q=40.

3 этап (интерпретация).

М.И. получит максимальную прибыль, если соберет со своего участка 40 кг помидоров. При этом величина прибыли составит 796 р.

2. Мы рассматривали задачу максимизации прибыли в предположении, что рынок товара, производством которого занимается фирма, является конкурентным. В этом случае прибыль является функцией от количества выпускаемой продукции, т.е. П=П(Q ). При этом для простоты мы абстрагировались от других условий, определяющих особенности поведения фирмы.

Усложним задачу и рассмотрим фирму, функционирование которой определяется двумя условиями:

1) фирма реализует продукцию на конкурентном рынке товара;

2) фирма нанимает работников на конкурентном рынке труда.

Главным следствием первого условия является отсутствие возможности у фирмы влиять на рыночную цену продукции. Из второго условия следует, что фирма не может влиять на зарплату работников (цену труда) и вынуждена принимать тот уровень зарплаты, который сложился на рынке.

Количество выпускаемой фирмой продукции будет определяться количеством работников L, т.е. Q=Q(L) .

Допустим, что все затраты фирмы определяются только расходами на оплату труда работников. Будем считать, что все остальные ресурсы не влияют на затраты фирмы. Еженедельный выпуск продукции фирмы Q(шт.) зависит от количества нанятых рабочих L(чел.) следующим образом: Q(L)=-3L²+606L. Недельная ставка заработной платы каждого нанятого рабочего равна $120. Производимый товар фирма реализует на конкурентном рынке по цене $20 за единицу товара. Если фирма нанимает работников на конкурентном рынке труда, то сколько рабочих вы посоветуете нанять владельцу фирмы, чтобы получить максимальную прибыль? Какое количество продукции в неделю произведут эти работники?

Решение.

1 этап. Поскольку в данной задаче все издержки фирмы определяются только затратами на оплату труда работников, то общие издержки фирмы будут определяться как произведение ставки зарплаты каждого работника на количество работников, т.е. С( L)=120L.

Прибыль П(L)= Р₁Q(L)-C(L)=20(-3L²+606L)-120L= -60L²+12000L.

2 этап. Наибольшее значение функции П(L) достигается при L=100, П(100)=600000.

3 этап. Для того чтобы получить максимальную прибыль, владельцу фирмы необходимо нанять 100 работников, которые произведут 600000 единиц продукции в неделю.

3. В противоположность конкурентному рынку рассмотрим теперь, как определять оптимальный объем выпуска продукции для фирмы, являющейся монополистом при производстве некоторого товара.

Основные признаки монопольного рынка:

наличие единственного продавца на рынке;

уникальность продаваемой продукции (отсутствие близких заменителей);

высокие экономические барьеры для вступления на рынок.

Главным следствием данных условий является то, что фирма - монополист обладает возможностью устанавливать цену на свою продукцию. Зависимость между количеством товара, которое может реализоваться, и ценой единицы товара задается функцией спроса на товар, производимый монополистом: Р=Р(Q). Тогда функция общей выручки монополиста будет иметь следующий вид: R(Q)=P(Q)Q .В итоге получим, что П(Q)= Р(Q )Q-C(Q).

Самостоятельная работа.

1) Кулинария «Аленка» специализируется на приготовлении особого вида пирогов и славится изысканным хорошим обслуживанием, что позволило ей полностью монополизировать рынок. Ее общие издержки (С) за один день работы зависят от количества (Q) выпекаемых пирогов следующим образом: С(Q)= Q²+100. Зависимость дневной выручки кулинарии (R) от количества выпекаемых пирогов задается функцией: R(Q)=400Q-Q².

a) Сколько пирогов в день нужно выпекать поварам, чтобы кулинария «Аленка» получала за день максимально возможную прибыль?

b) Чему равна величина этой прибыли?

Решение. П(Q)=R(Q)-C(Q)=400Q-Q²-(Q²+100)= -2Q²+400Q-100.

П(Q) достигает своего наибольшего значения при Q =100, при этом П(Q)=П(100)=19900.

Кондитерам кулинарии необходимо выпекать 100 пирогов в день, чтобы получить максимальную прибыль, она равна 19900 рублей в день.

2) Фирма «Сольпром» является монополистом по производству соли в небольшом городке. Она сталкивается с кривой спроса на свою продукцию, заданную следующим уравнением: Q+20P=300, где Р - цена одной пачки соли в рублях, Q- количество выпускаемых пачек в день. Функция общих издержек данной фирмы имеет вид: C(Q)=0,02Q²+Q+120. Определите, какую цену на одну пачку соли следует установить, чтобы прибыль, получаемая ежедневно, была максимальной?

Решение. П(Q)=R(Q)-C(Q)=P(Q)Q-C(Q), где P=P(Q) -функция спроса на продукцию монополиста. Зависимость Р=Р(Q) находим из условия Q+20P=300, P(Q)=(300-Q)/20=15-0,05Q, R(Q)=(15-0,05Q)Q= -0,05Q²+15Q.

П(Q)= -0,05Q²+15Q-(0,02Q²+Q+120)= -0,07Q²+14Q-120.

Наибольшего значения функция П(Q) достигает при Q =100, Р(100)=10

3) Здесь уместно повторить свойства и графики элементарных функций, обратив особое внимание на ограниченность.

а) Найти множество значений функции:

y = x²+2, y = 2x-x², y = x²- 2x+3, y =+3, y =, y = 4-,

y =, y =, y = , y =, y = 5 + .

в) Указать наибольшее или наименьшее значение функции:

, , y = - , y = 7-, y = ,

Спрос D- сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Естественно, что сростом цены объем продаж данного товара будет уменьшаться. Графически спрос на отдельный товар изображается в виде кривой с отрицательным наклоном ( кривая спроса).

Предложение S товара - сложившаяся на время зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Очевидно, что предложение зависит от цены товара: при повышении цены у производителя появляется дополнительный стимул выпускать данный товар, что приводит к росту предложения. В свою очередь верно и обратное: цена Р единицы товара зависит от предложения ,т.е. Р=f(S). Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном.

Вид кривых спроса и предложения представлен на рис. Точка пересечения кривых соответствует равновесной цене Р₀, при которой спрос на товар равен предложению. При цене P> Р₀ предложение превышает спрос, что в свою очередь приведет к снижению цены, инаоборот, при Р <Р₀ предложение окажется ниже спроса, что незамедлительно повлечет повышение цены вследствие создавшегося дефицита продукции. Таким образом, в рыночных условиях цена на товар будет колебаться около точки Р₀.

В простейшем случае можно предположить, что зависимости Р= f(S) и Р= f(D) носят линейный характер. Тогда Р= -аD+ b и Р= сS+d, где а, в, c, d - некоторые положительные числовые коэффициенты.

Значение равновесной цены P₀ определяется из условия S=D.

Находим значение равновесной цены Р₀=.

В качестве другого примера применения элементарных функций в экономике рассмотрим функцию прибыли. Прибыль П определим как разницу между доходами от реализации товара R и затратами на производство этого товара С,т.е. П= R -С. Будем считать, что произведенный товар реализуется без остатка. Доход составит R =РQ, где Q - количество товара, Р- цена. Предположим , что Р зависит от Q линейным образом: Р=а₀-а₁Q , где а₀>0, а₁>0.

Тогда доходы R=P(Q)Q=a₀Q-a₁Q².

Затраты: С=с₀+с₁Q, где с₀- постоянная составляющая затрат, не зависящая от количества произведенной продукции ( плата за аренду помещения, коммунальные услуги, затраты на содержание аппарата управления и т.д.), с₁- единичные переменные затраты на производство единицы продукции (сырье, энергоресурсы, сдельная оплата труда и т.д.)

Кривые доходов и затрат пересекаются в точках Q₁ и Q₂ ,для которых R =С, т.е. прибыль П=R-С=0.

Величина П больше нуля в интервале ( Q₁,Q₂ ). Значит прибыль будет получена , если Q₁<Q<Q₂ . При Q<Q₁ производство будет убыточным, так как прибыль, полученная от реализации относительно небольшого количества товара, не сможет перекрыть постоянную составляющую затрат. Производство окажется убыточным и при Q>Q ₂, так как, вследствие перепроизводства товара цены на него упадут.

Прибыль будет наибольшая, если расстояние между соответствующими точками линии дохода и линии затрат наибольшее, т.е. задача сводится к нахождению наибольшего расстояния между графиками функций.

Решить задачи

1) Зависимость цены Р от количества произведенного товара Q определяется соотношением Р=900-100Q . Затраты на производство единиц товара составляют С=100Q +1200. При каких объемах производства реализация всего произведенного товара без остатка будет давать прибыль?

Решение. Найдем точки Q1и Q₂ , в которых затраты на производство товара равны получаемым доходам. В этих точках должно выполняться условие С= R.

Доходы R = PQ=900Q-100Q^2., 100Q+1200=900Q-100Q² , Q₁=6, Q₂=2.

Производство товара будет давать прибыль при условии 2<Q<6.

2) Кривые спроса и предложения имеют вид Р= -0,1D²+5 и Р= -0,1S²+0,2 соответственно. Определите величину равновесной цены единицы товара.

Дом. задание. Теория (предложение, спрос, рыночная цена, прибыль), задачи 1,2.

Тема 2. Эластичность спроса и предложения. Применение производной

Экономический смысл производной рассмотрим на примере производственной функции.

Производственной называют функцию, устанавливающую зависимость объема выпускаемой продукции от величины затрат. Производственная характеризует эффективность определенного фактора.

Спрос зависит от цены единицы товара Р. При изменении цены товара будет меняться и спрос. Для одних товаров даже несущественное изменение цены может значительно изменить объем продаж (эластичный спрос ), для других же товаров изменение цены не существенно влияет на объем продаж ( неэластичный спрос). Эластичность спроса Е_D показывает на сколько изменится спрос ( объем продаж) при изменении цены на 1%.

Е_D=-( Процентное изменение спроса): (процентное изменение цены)

Е_D=, lim==D^{`</sup> E<sub>D</sub>= - D<sup>`}_P

Если кривая спроса задана выражением Р=g(D) то для вычисления можно воспользоваться соотношениями: D^{`</sup><sub>P</sub>=1/P<sup>`}_D. Аналогично, эластичность предложения S^{`</sup><sub>P=</sub>1/P <sup>`}_S.

Задачи.

1. Кривая спроса задана выражением Р=20-0,001D-0,01, где - объем продаж; Р- цена товара в условных единицах. Объем продаж составляет 10000. определите, каким должно быть изменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.

Решение: Определим цену Р₀, соответствующую объему продаж =10000:

Р₀==9 (у.е.). Для оценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений Р=Р₀+Р^{`</sup>D. По условию составляет 1% от 10000 100=100. Р<sup>`}(D)= -0,001-0,01/(2), P^`(10000)= -0,001-0,01/200= -0,00105.

P==8,895( у.е.).

2. Вычислите эластичность спроса и предложения в точке, соответствующей равновесной цене товара, если кривые спроса и предложения заданы следующими функциями:

P=1000-0,5D², P=190+0,4S².

Решение: Найдем равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос равен предложению: С учетом этого условия имеем систему уравнений Р=1000-0,5D²,

P=190+0,4D². Получим Р=550.

Эластичность спроса E_D= -D^{`</sup><sub>P</sub>, D<sup>`}_P=1/P^{`</sup><sub>D</sub>=1/(1000-0,5D<sup>2</sup>)<sup>`}=1/(-D), E_D=0,61.

Эластичность предложения: S^{`</sup><sub>P</sub>=1/P<sup>`}_S=1/(0_,8S), E_S=0,76.

Поскольку E_D< 1, E_S<1, то предложение и спрос неэластичны при данной цене: возрастание цены на 1% приводит к снижению спроса на 0,61% и к увеличению предложения на 0,76%.

3. Кривая спроса задана выражением Р=1000-0,5D² ..Определите, при каких ценах товара спрос будет эластичным, а при каких - нет.

Решение. Эластичность спроса для данной кривой Е_D=P/D² 0,5D²=1000-P, D²=2000-2P E_D=

Спрос будет эластичным при Е 1. Для определения интервала цен, соответствующих эластичному спросу, решим неравенство >1P>=667.

Спрос будет эластичным при цене Р >667.

4. Количество выпускаемой продукции составляет 1000 единиц. Определите, как изменится доход при увеличении объема выпуска продукции на единицу, если зависимость цены Р (в усл.ед.) от объема выпуска продукции Q определяется выражением. P=f(Q)=100-0,04Q.

Решение. Цена товара Р==60. Эластичность спроса Е_D= -Q^`= -=

=1,5. Так как E_D>1 , то можно ожидать, что рост объема выпуска продукции приведет к увеличению доходов. Предельный доход R^`_Q=P(1-1/E_D)=60(1-1/1,5)=20.

Т.е. рост объема выпуска продукции на единицу приведет к увеличению дохода на 20 у.е.

Задачи

1. Кривая спроса задана выражением P=1000-0,6. Определите, при каких значениях Р спрос будет эластичным, а при каких - нет.

2. Кривая предложения задана выражением Р=100+0,7 Определите, при каких значениях Р предложение будет эластичным, а при каких -нет.

3. Определите, как изменится доход при увеличении объема выпуска продукции на единицу, если зависимость цены Р от объема выпуска продукции Q определяется выражением Р= f(Q)=1000-0,01Q². Рассмотреть случаи, когда объем выпускаемой продукции составляет: а) 100 ед.; в) 300 ед.

Дом. задание. Теория (эластичность спроса и предложения, таблица производных), задачи 1,2,3.

Тестирование (производная).

1. Найдите производную функции y= 4x²+ sinx.

1) x⁴+cosx; 2) x⁴- cosx 3) 12x²+ cosx 4) 12x²- cosx

2. Найдите производную функции y=

1) x+ sinx 2) x- sinx 3) 4)

3. Найдите производную функции y= 3^x+ lnx.

1) 2) 3) 4)

4. Найдите производную функции y=log₃x+e^x

1) e^x+ 2) e^x+ 3) e^x+ 4) e^x+3x^e

5. Найдите производную функции y=ln(1+x²).

1) lnx+ 2) 3) lnx+ 4)

6. Найдите производную функции

1) 2) 3) 4)

7. Найдите производную функции h(x)=

1) 2)

3) (x-2) 4)

8. Укажите точку графика функции f(x)=2+6x-x², в которой угловой коэффициент касательной равен нулю.

1) (-3,-25) 2) (3, 7) 3) (3,11) 4) (2,10)

9. Найдите абсциссу точки графика функции , в которой касательная наклонена к оси ОХ под углом 60⁰.

1) 2 2) 3) -2 4) -

10.Найдите абсциссу точки касания касательной к графику f(x)= , если угловой коэффициент касательной равен 4,5.

1) 1,5 2) 2,5 3) 4,5 4) 2.

11. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=0,3t²-3t+7 , где S(t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 12?

1) 15 2) 25 3) 75 4) 20.

12. Абсцисса точки касания графика функции f(x)= - x²- 5x равна x₀ = - 2. Как располагается точка пересечения касательной с осью ОХ?

1) правее (0,0) 2) в точке (0,0) 3) левее (0,0) 4) в точке (1,0)

13. Абсцисса точки касания графика функции равна x₀= . Найдите угол наклона касательной к оси OX.

1) 30⁰ 2) 60⁰ 3) 45⁰ 4) 120⁰

Тема 3. Задачи на оптимизацию

Отметим, что решение прикладной задачи на экстремум ведется по известной схеме, состоящей из трех этапов:

1) формализация (запись оптимизируемой величины в виде функции некоторого аргумента);

2) математизация (исследование функции на экстремум средствами математического анализа);

3) интерпретация (формулировка полученного результата в терминах исходной задачи).

Рассмотрим несколько задач на определение оптимального объема выпуска продукции на конкурентном рынке, выделяя в ходе их решения отмеченные этапы решения прикладных задач.

1. АО «Сластена» работает на конкурентном рынке хлебобулочной продукции и занимается выпечкой ватрушек. Функция издержек имеет вид: , где Q -количество ватрушек ( в тыс. шт.). Известно также, что производственные мощности фирмы позволяют выпекать ей не более 1,5 тыс. шт. ватрушек ежедневно. Определите, сколько ватрушек в день следует выпекать, чтобы получить максимальную прибыль, если рыночная цене на ватрушки составляет 6 р. за шт.

Решение.

1 этап (формализация).

Запишем выражение для функции прибыли: П(Q)=R(Q)-C(Q)=P₁Q-C(Q)=6Q-(1/3Q³+5/2Q²)=-1/3Q³-5/2Q²+6Q.

Так как по смыслу задачи Q>0 , то задача сводится к исследованию функции прибыли П(Q ) на наибольшее значение на отрезке [0;1,5]

2 этап (математизация).

П ( Q)= -Q²-5Q+6, -Q²-5Q+6=0, Q₁=1, Q₂=-6.

Так как П(0)=0, П(1)=19 /6, П(1,5)=9/ 4, то наибольшее значение функции на отрезке [0;1,5 ] равно 19 /6 и достигается при Q =1.

3 этап( интерпретация).

Фирме следует ежедневно выпекать 1 тыс. шт. ватрушек.

2. И.И. выращивает на собственном приусадебном участке огурцы, весь собранный урожай продает на рынке. Рыночная цена на огурцы установилась на уровне 20 р. за кг. Зависимость общих издержек (С) от количества (Q в кг) выращенных огурцов: С(Q)=Q² +4.

Сколько огурцов надо собрать И.И., чтобы получить максимальную прибыль?

Решение.

1 этап. Прибыль П(Q)=R(Q)-C(Q)=P₁*Q-C(Q)= -1/2Q²+20Q-4.

Так как Q0, то задача сводится к исследованию функции П(Q)= -1/2Q²+20Q-4 на наибольшее значение на промежутке [0,).

2 этап. П^`(Q)= -Q+20, -Q+20=0 Q=20 - критическая точка.

Так как П^{`</sup>(Q)>0 при любом Q[0,20), П<sup>`}(Q)<0 при всех Q(20,) и в точке Q=20 функция П(Q) непрерывна, то функция П(Q) возрастает на отрезке [0,20] и убывает на промежутке [20,).

На основании достаточного условия существования экстремума функции в точке заключаем, что в точке =20 функция П(Q) имеет максимум, совпадающий в силу единственности точки экстремума с наибольшим значением функции на промежутке

[0;). При этом П(20)=196.

3 этап. И.И. получит максимальную прибыль, если соберет со своего участка 20 кг огурцов, прибыль составит 196 р.

3. Необходимо изготовить стеклянный аквариум без верхней крышки объемом 108 м³, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда. При этом высота аквариума должна быть в два раза меньше его длины. Определите общую длину каркаса аквариума, при которой на изготовление аквариума будет затрачено наименьшее количество квадратных метров стекла.

4. Для откорма птицы на птицефабрике используется комбикорм двух видов: А и В. Один цикл производства птицефабрики требует 50 тонн комбикорма, при этом, для обеспечения необходимого набора микроэлементов в рационе птицы, комбикорма типа А должно быть использовано не менее 42 тонн, а комбикорма типа В - не менее 5 тонн. Определите минимально возможную стоимость комбикорма (в руб.), требуемого для одного цикла производства, если закупка х тонн комбикорма типа А обходится птицеферме в 2х(1-0,01х) тыс.р., а закупка х тонн комбикорма типа В -4х(1-0,01х²) тыс.р.

5. Ювелирному мастеру поступил на обработку алмаз, имеющий дефект. Мастер имеет возможность устранить дефект, разделив алмаз на три части, суммарный вес которых, после их огранки, составит 50 карат. При этом вес меньшего из полученных бриллиантов будет не меньше 5 карат, а вес большего из них, не более 30 карат (возможность равенства по весу не исключается). Известно, что стоимость бриллиантов пропорциональна квадрату его веса. Какой вес должен придать мастер каждому из бриллиантов, чтобы их суммарная стоимость была максимальной?

6. Определите, какие размеры должен иметь бассейн, чтобы на облицовку его стен и дна, пошло наименьшее количество материала, если задано, что объем бассейна должен быть 108 м³, глубина его должна лежать в диапазоне от 2 м до 3 м , а дно должно быть квадратным.

7. Завод А расположен от города В на расстоянии в 10 км. Через город В по намеченной прямой проходит железная дорога, кратчайшее расстояние от завода А до которой составляет 50 км. Под каким углом к этой железной дороге нужно провести шоссе с завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если стоимость 1 тонно-километра при перевозке по шоссе в 3 раза дороже чем по железной дороге?

Задачи для самостоятельной работы.

1. Найти наименьшую площадь полной поверхности консервной банки цилиндрической формы объемом 432 см².

2. Определите суммарную длину всех ребер прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 600 см², если одна из его граней является квадратом.

3. Бассейн объемом 2250 м³ имеет изменяющуюся по прямой линии глубину от 1,5 м до 3,5 м. Какое наименьшее количество м² облицовочной плитки нужно закупить для облицовки внутренних боковых стенок бассейна, если 20% закупленной плитки едет в бой и не используется?

Тема 4. Применение определенного интеграла для решения экономических задач

Наряду с дифференциальным исчислением большие возможности для исследования процессов, происходящих в экономике, предоставляет также интегральное исчисление. В ходе изучения определенного интеграла можно познакомить учащихся с методами решения экономических задач.

Предварительно напомнить учащимся геометрический и физический смысл определенного интеграла, определение криволинейной трапеции. Записать формулу для вычисления площади криволинейной трапеции S= , формулу для вычисления пути, пройденного телом за промежуток времени при скорости, изменяющейся с течением времени по закону v= v(t)

S= , формулу Ньютона- Лейбница

Перечислить свойства определенного интеграла:

1.

Задания для самостоятельного решения.

1. 3. 5. 7. 9.

2. , 4. 6. 8. 10.

На втором занятии целесообразно выполнить задания на вычисление площадей плоских фигур.

Задание: вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями .

1. y= x², x=0, y= - x+6. 2. y=2^x, x=1, x=3, y=x-1. 3. y=

4. y=8-x², y=x³. 5. y=, y=18-x², x=0. 6. y=sinx, y=0, x=

7. y=lnx, y=0, x=1 x=e². 8. y=x², y=x³. 9. y=

10. y= 11. y=x²-1, x=0, y=0, x=2. 12. y=x², y=2x.

Напомнм, что спрос D на некоторый товар - сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом ее закупки. Предложение S товара - сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже.

Равновесие на рынке достигается при такой цене Р₀, при которой количество товара, предложенное к продаже, совпадает с количеством товара, на который предъявлен спрос. Соответствующее данной цене количество товара Q называется равновесным количеством.

Излишком потребителя CS при покупке Q единиц некоторого товара называется превышение общей денежной суммы, которую потребитель готов заплатить за данное количество товара, над его реальными расходами на их приобретение.

Рассмотрим применение интегрального исчисления для решения экономических задач на следующем примере.

Производитель наладил выпуск нового товара. Если этот товар поступит на рынок в большом количестве, то достаточно быстро спрос и предложение на него придут в соответствие и на единицу товара установится равновесная цена Р₀у.е., по которой будет реализовываться Q₀ единиц товара. При этом доход составит P₀Q₀ у.е..

Однако производитель может использовать другой вариант поставки товара и организовать его поступление на рынок небольшими партиями объемом Qединиц каждая. Тогда первая партия товара будет реализована по цене Р₁ у.е., которая значительно выше равновесной цены Р₀ . Доход при этом составит Р₁Q у.е. Следующая партия в Q единиц будет реализована уже по цене Р₂ у.е. Доход в этом случае составит Р₂Q у.е. Постепенное снижение цены товара приведет к тому, что для n-й партии товара она составит Р_n = Р₀.

Такой подход к реализации товаров на рынке встречается достаточно часто, и он принесет производителю дополнительный доход

R_d =(P₁Q +P₂Q+…+P_nQ) - P₀Q₀, где Q₀= nQ.

Если объем партии товара Q достаточно мал по сравнению с общим объемом реализации продукции Q_0, можно говорить о непрерывном плавном снижении цены с поступлением все новых партий товара. Тогда дополнительный доход

R_d= Q_0.

Графически потребительский излишек может быть представлен площадью фигуры, ограниченной кривой спроса , осью ординат и прямой, которая проходит параллельно оси абсцисс через точку рыночного равновесия. Формула для расчета потребительского излишка имеет следующий вид:

CS= Q₀.

Излишек производителя представляет собой превышение той денежной суммы, за которую производитель был бы готов продать Q₀ единиц товара, над той суммой, которую он реально получает от продажи этого количества товара. Графически излишек производителя представляет собой площадь фигуры, ограниченной кривой предложения, осью ординат и прямой, проходящей параллельно оси абсцисс через точку рыночного равновесия.

PS = P₀Q₀ - .

Задача 1.

Спрос на некоторый товар задается функцией , где Q- количество товара ( в шт.), P - цена единицы товара (в руб.), а предложение - функцией P = Q+6. Вычислите:

а) величину выигрыша потребителя от покупки данного товара;

б) размер излишка производителя от продажи данного товара.

Решение.

а) Выигрыш потребителя - потребительский излишек. Определим равновесные значения цены и количества товара:

P=

P=Q +6.

Решением системы является пара Q₀= 4, P₀= 10.

Тогда CS = - 40 = 50ln5 - 50ln1 -40 = 50ln5 - 40 =40(руб.)

б) Поскольку функция предложения задается линейной функцией, то величину излишка производителя можно рассчитать разными способами.

Первый способ:

PS = 10 = 40- 8- 24 = 8(руб.).

Второй способ:

Изобразим графически функции предложения.

Величина излишка производителя PS равна площади треугольника АВС: S_ABC= (руб.).

Задача 2.

Производитель реализует новый товар, отсутствующий ранее на рынке. Зависимость цены единицы товара Р от объема реализации Q выражается соотношением P= 100- 0,5Q^1\3.

Изучение рынка показало, что равновесие спроса и предложения будет достигнуто при продаже Q= 1000000 ед. товара. С целью получения максимальной прибыли производитель реализует товар небольшими партиями, объем которых значительно меньше предполагаемого спроса, с постепенным понижением цены до равновесной. Определить:

а) доход, получаемый производителем при продаже 1000000 ед. товара мелкими партиями;

б) доход при продаже 1000000 ед. товара по равновесной цене;

в) размер дополнительного дохода производителя R_d.

Решение.

а) Определим равновесную цену товара: Р₀= Р(1000000)= 100=0,5=100- 0,5.

Рассчитаем доход, получаемый производителем при реализации товара мелкими партиями с постепенным снижением цены до равновесной: R₁= = (100Q - 0,5Q^4/3) =

=(100)-0= 100000000- 0,375=62500000(у.е.);

б)Доход при продаже товара по равновесной цене составит

R₀₌ P₀Q₀= 50(у.е.);

в) Размер дополнительного дохода R_dR_d=R₁- R₀= 62500000- 50000000= 12500000 (у.е.).

С помощью определенного интеграла можно оценить последствия введенного налога в размере t на каждую единицу товара (такой налог экономисты называют потоварным налогом) на благосостояние потребителей.

Следствием такой меры станет увеличение производителем цены товара на величину налога, что приведет к изменению функции предложения, которая примет вид P= P(Q) +t.

Графически это означает параллельный сдвиг графика функции предложения на величину налога при неизменной функции спроса на данный товар.

Задача 3. Известно, что функция спроса на некоторый товар имеет вид P= 36- Q², а предложение данного товара задается функцией P= 6+ 0,25Q². Определите потери потребителя в результате введения потоварного налога в размере 10 ден.ед.

Решение.

Необходимо знать излишки потребителя до введения налога и после его введения, а для этого необходимо рассчитать равновесные значения количества товара и его цены до и после введения налога.

Решаем систему уравнений P=36- Q², P=6+ 0,25Q².

Q₁=2, P₁= 12.

Найдем соответствующее значение величины излишка потребителя CS₁

CS₁=.

Введение потоварного налога в размере 10 ден.ед. приведет к тому, что функция предложения изменится и будет иметь вид P= 16+ 0,25Q².

Точку нового равновесия определяем из системы P= 36- Q² _;P=16+ 0,25Q².

Q₂=4, P₂=20.

Рассчитаем потребительский излишек после введения налога:

CS₂= .

Размер потерь в благосостоянии потребителя , вызванный введением налога на данный товар, определяется как разность между CS₁ и CS₂

( ден.ед.).

Полученный результат означает, что введение налога в размере 10 ден. ед. на каждую единицу товара приводит к потерям потребителя в размере 36 ден.ед..И такие потери несет потребитель в случае введения потоварного налога только на один вид товара.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Производитель реализует новый товар, отсутствующий ранее на рынке. Зависимость цены товара Р от объема реализации Q выражается соотношением P= P(Q). Цена, при которой спрос на товар равен предложению, составляет Р₀ ден.ед. за единицу товара. Определите, какой дополнительный доход может получить производитель, поставляя на рынок не весь произведенный товар сразу, а реализуя его небольшими партиями, объем которых значительно меньше предполагаемого спроса, с постепенным понижением цены до равновесной, если:

1. P= 100- 0,001Q, P₀= 80

2. P=80- 0,04 P₀= 64

3. P= P₀= 1 Ответы: а) 200000, в) , с) 2314

2.Изменение прибыли предприятия Q единиц характеризуется соотношением П= (500- 2Q). Как будет изменяться прибыль предприятия при постепенном росте объемов производства:

а) от Q =200 до Q =250 ед.

в) от Q=300 до Q =350 ед. Ответы: а) 2500, в) - 7500.

Пояснить, что в случае «а» изменение прибыли имеет положительное значение, а в случае «в» - отрицательное.

Тема 4. Контролирующая самостоятельная работа

1. Строителям поступил заказ: построить теплицу в форме правильной четырехугольной пирамиды, объем которой V=36 м³. Поверхность теплицы должна быть выполнена из стекла. Определите, каким должен быть угол боковой грани при вершине пирамиды, чтобы расход стекла на ее изготовление был минимальным.

2. Для облицовки стен и дна бассейна имеются 48 м² керамической плитки. Определите размеры бассейна с квадратным дном так, чтобы он имел наибольший возможный объем, а имеющейся плитки хватило для его облицовки.

3. Фермерское хозяйство занимается выращиванием культур двух видов: А и В. Доход хозяйства от выращивания х тонн культуры А составляет 4х(1+0,02х²) тыс. руб., а доход от выращивания х тонн культуры В - 6х(1+0,1х) тыс.руб. Определите максимально возможны доход фермерского хозяйства (в руб.) от выращивания этих двух культур, если ресурсы хозяйства позволяют вырастить не более 25 тонн продукции, а каждой из культур в отдельности может быть выращено не более 15 тонн.

Литература.

1. М.Л.Галицкий и др., «Сборник задач по алгебре», М., 2009г.

2. М.Л. Галицкий и др., «Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа»

3. Г.П. Башарин, «Начала финансовой математики»,С., 2007г.

4. Н.Я.Виленкин и др., «Алгебра», М., 1998г.

5. Н.Я.Виленкин,С.И.Шварцбурд «Математический анализ», М., 1995г.

6. И.В.Липсиц «Экономика без тайн», М, 2010г.

7. Е.В.Савицкая, С.Ф.Серегина «Уроки экономики в школе», (книга 2, пособие для учителя)

8. С.В.Сочнев, «Элементы высшей математики», (сборник заданий для практических занятий)

9. «Математика ЕГЭ-2010», (учебно-тренировочные тесты) под редакцией Ф.Ф.Лысенко

10. А.С.Симонов, «Проценты и банковские расчеты», Математика в школе.-№4-1998.

11. Е.Вигдорчик,Т.Нежданова, «Элементарная математика в экономике и бизнесе», М., 2008г.