- Преподавателю
- Математика
- Урок Методы решения показательных уравнений
Урок Методы решения показательных уравнений
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Косова Е.В. |
Дата | 08.03.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Открытый урок по алгебре в 11 классе.
Методы решения показательных уравнений.
Учитель информатики, математики школы-гимназии № 6 им. Абая Кунанбаева города Степногорска Республики Казахстан Косова Елена Викторовна.
Тема: Итоговый урок по теме «Методы решения показательных уравнений».
Цель: Выяснить качество усвоения теоретического материала по теме «Методы решения показательных уравнений». Закрепить эти умения в ходе повторения материала.
Требования к знаниям и умениям:
Учащиеся должны знать:
- определение показательного уравнения;
-
Методы решения показательных уравнений;
-
Свойства показательной функции;
-
График показательной функции.
Учащиеся должны уметь:
-
Приводить обе части уравнения к одному основанию;
-
Раскладывать уравнения на множители;
-
Вводить новую переменную при решении уравнений;
-
Логарифмировать обе части уравнения.
Программно-дидактическое обеспечение: ПК, электронный тест, раздаточный дидактический материал.
Ход урока:
1. Постановка целей урока.(2 минуты)
-
Проверка домашнего задания. Выполнение электронного теста.(12 минут)
-
Повторение материала (15 мин)
-
Самостоятельная по теме «Методы решения показательных уравнений».(12 минут)
-
Задание на дом.(2 минуты)
-
Итоги урока. (2 минуты)
-
Постановка целей урока.
-
Какая функция называется показательной?
-
Какими свойствами она обладает?
-
Как выглядит её график?
-
Какое уравнение называется показательным?
-
Какие методы решения показательных уравнений вы знаете?
-
2 Проверка домашнего задания.
-
Решите уравнение:
Решение:
Данное уравнение содержит степени с двумя различными основаниями. В таких случаях необходимо собрать в разных частях уравнения степени с общими основаниями и вынести степени за скобки.
x + 1 =0 => x= -1
Ответ: х = - 1
-
Решите уравнение:
При решении показательных уравнений используется преобразование, состоящее в 1) вынесении общего множителя за скобки. Этот способ применяют тогда, когда в результате вынесения за скобки степени с переменным показателем, в скобках остаётся алгебраическая сумма, которая является числом или выражением.
Посмотрите решение этого примера, оно демонстрирует суть этого метода.
Решение:
1. - уравнение не имеет решений, так как
2.
Ответ:
3 Повторение материала:
Уравнение называется показательным, если оно содержит неизвестную величину в показателе степени.
Общих приёмов решения показательных уравнений нет. Тем не менее, можно указать некоторые методы, наиболее часто применяющиеся при решении показательных уравнений:
-
Приведение обеих частей уравнения к одному основанию;
-
Разложение на множители;
-
Введение новой переменной;
-
Логарифмирование обеих частей уравнения.
2) Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.
Этот метод основан на следующей теореме:
Теорема. Если a>0 a ≠ 1, то уравнения af(x)=ag(x) и f(x)=g(x) равносильны.
Сейчас при проверки домашней работы, при решении первого уравнения, мы использовали именно этот метод.
-
Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию.
Уравнение вида c помощью замены ax= y сводится к квадратному уравнению c помощью замены ax= y сводится к квадратному уравнению поскольку a-x можно представить как . Новая переменная как правило вводится после преобразования членов уравнения.
Пример:
Рассмотрим однородное уравнение вида:
Данное уравнение состоит из трёх членов, которые представляют собой степени с одинаковыми показателями и разными основаниями. Для решения подобных уравнений используют метод почленного деления, суть которого в делении уравнения на одну из степеней.
Разберём ряд примеров из решения однородных уравнений.
Решение:
|:22x= 4x ≠ 0
Замена , y > 0
y1=4, y2=9
1) 2)
x = -1 x = 1
Ответ: .
4. Метод логарифмирования обеих частей уравнения.
Если уравнение невозможно привести к равенству степеней с одинаковыми основаниями, то приводим обе его части к виду, удобному для логарифмирования, логарифмируем и решаем полученное уравнение
Пример: Решите уравнение:
Решение:
Так как , уравнение можно переписать в виде:
Ответ:
5. Дополнительные методы решения показательных уравнений
При решении показательных уравнений часто пользуются искусственными приёмами:
Рассмотрим уравнение, содержащее степени, произведение которых равно единице.
Пример:
Решите уравнение:
Решение:
Числа и являются взаимно обратными числами (или сопряжёнными)
В самом деле:
Поэтому:
Введём новую переменную: t =, t >0.
В результате получим уравнение:
,
1) 2)
х = 1
x = -1
При решении уравнений, аналогичных разобранному в выше приведённом примере, терпят неудачу те учащиеся, которые не замечают сопряжённости стоящих в основании чисел.
Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством монотонности функции.
Суть этого свойства в следующем:
Пусть функция f(x) монотонно возрастает, а g(x) монотонно убывает или константа. Тогда, если уравнение f(x)= g(x) имеет решение х=х0, то это решение единственное.
В этом случае можно подобрать корень.
3. Самостоятельная работа
Все учащиеся класса делятся на 3 группы: - учащиеся, успевающие на 3,
- учащиеся, занимающиеся на 4, - учащиеся, занимающиеся на 5.
А они, в свою очередь делятся на 3 варианта
I вариант II вариант III вариант
1 задание: Решите уравнение.
2 задание: Решите уравнение:
3 задание: Решите уравнение:
Домашнее задание.
Решите уравнение :