Конспект открытого урока по теме Правильные многогранники

Конспект урока по теме "Правильные многогранники"

Цель урока: Познакомить учащихся с новым типом выпуклых многогранников - правильными многогранниками.

Задачи урока:

1. Обучающие:

• Ввести понятие правильного многогранника.

• Рассмотреть свойства правильных многогранников.

2. Развивающие:

• Формирование пространственных представлений учащихся.

• Формирование умения обобщать, систематизировать, видеть закономерности.

• Развитие монологической речи учащихся.

3. Воспитательные:

• Воспитание эстетического чувства.

• Воспитание умения слушать.

• Формирование интереса к предмету.

Оборудование: Мультимедийный проектор, демонстрационные модели правильных многогранников, раздаточный материал (карточки с таблицей).

Ход урока

1. Орг. момент

2. Повторение пройденного в форме математического диктанта:

Преподаватель: Занятие мы начнем с математического диктанта, в результате которого с одной стороны вы получите оценки за повторение изученного материала, а с другой у вас будет возможность самостоятельно сформулировать тему сегодняшнего урока.

Задачная формулировка: правильные ответы на поставленные вопросы отметьте в указанной таблице и полученные ответы замените буквами.

Критерии оценивания:

«5» - 9-10 правильных ответов;

«4» - 7-8 правильных ответов;

«3» - 5-6 правильных ответов;

«2» - 0-4 правильных ответов.

Вопросы математического диктанта:

1) Сколько вершин имеет шестиугольная призма?

2) Какое наименьшее число рёбер может иметь призма?

3) Сколько диагоналей можно провести в четырёхугольной призме?

4) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1м, 2м, 3м. Найдите площадь его полной поверхности.

5) Три грани параллелепипеда имеют площади 2м², 3м², 4м². Найдите площадь его полной поверхности.

6) Боковое ребро прямой призмы равно 7 см, а одна из его диагоналей равна 14 см. Найдите угол между этой диагональю и плоскостью основания.

7) Высота пирамиды равна 3см. Чему равно расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания?

8) Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 м, а боковое ребро- 5м. Найдите апофему.

9) Каждое ребро треугольной пирамиды равно 3. Вычислите площадь полной поверхности.

10) Определите, какие из многогранников, изображенных на рисунке, являются выпуклыми?

4

9

8

7

6

5

3

2

1

Таблица №1

Бланк лля выполнения задания.

и

р

л

ы

п

в

а

е

н

ь

1

6

10

8

9

12

11

7

24

22

13

2

8

9

12

6

15

4

10

16

7

2

3

2

8

6

3

1

5

4

10

9

7

4

10

8

23

36

6

22

16

18

20

30

5

18

52

16

24

28

36

10

9

15

32

6

60

45

30

90

100

40

15

180

150

120

7

5

8

2

9

7

10

1

6

4

3

8

9

3

8

5

1

12

10

6

4

14

9

3√3

9

4√3

9√3

12

8

7

6

3

15

10

146

2589

24

2468

1

59

2379

1458

136

5

Ответы к таблице 1.

и

р

л

ы

п

в

а

е

н

ь

1

6

10

8

9

12

11

7

24

22

13

2

8

9

12

6

15

4

10

16

7

2

3

2

8

6

3

1

5

4

10

9

7

4

10

8

23

36

6

22

16

18

20

30

5

18

52

16

24

28

36

10

9

15

32

6

60

45

30

90

100

40

15

180

150

120

7

5

8

2

9

7

10

1

6

4

3

8

9

3

8

5

1

12

10

6

4

14

9

3√3

9

4√3

9√3

12

8

7

6

3

15

10

146

2589

24

2468

1

59

2379

1458

136

5

Обсуждая полученные результаты, учащиеся получают слово- ПРАВИЛЬНЫЕ.

После чего следует вопрос: «Как называется раздел геометрии, который мы сейчас изучаем?»

Предполагаемый ответ: МНОГОГРАННИКИ

3) Изучение нового материала.

I Этап

После обсуждения полученных в таблице результатов учащиеся формулируют тему урока: «Правильные многогранники».

Преподаватель: Тема нашего урока "Правильные многогранники" и эпиграфом урока являются слова английского писателя Льюиса Кэрролла, автора всем вам известной книги "Алиса в стране чудес":

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». Л. Кэрролл

Откройте тетради, запишите сегодняшнее число и тему урока "Правильные многогранники".

При изучении темы "Правильные многогранники" не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие многогранники называются правильными? Сколько их существует? Что такое Эйлерова характеристика? И многие- многие другие… И, наконец: где в жизни можно встретить правильные многогранники…

Всего существует пять правильных многогранников.

Тетраэдр - правильный многогранник, составленный из 4 равносторонних треугольников.

Гексаэдр, или куб, - правильный многогранник, составленный из 6 квадратов.

Октаэдр - правильный многогранник, составленный из 8 равносторонних треугольников

Додекаэдр - правильный многогранник, составленный из 12 правильных пятиугольников.

Икосаэдр - правильный многогранник, составленный из 20 правильных треугольников.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками увлекались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях учёные, нам расскажет Ф.И. (сообщение учащегося)

Сообщение "Правильные многогранники в философской картине мира Платона"

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх "стихий" - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих "стихий" имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим. Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

II Этап

Учащиеся делятся на группы и выполняют задания исследовательского характера:

1. С помощью демонстрационных макетов перечислить признаки правильных многогранников и попытаться самостоятельно сформулировать определение правильного многогранника.

2. Показать, почему не существует правильных многогранников, составленных из n- многоугольников при n больших, либо равных 6.

3. Исследовательская работа «Формула Эйлера».

4. Задача на формулу Эйлера.

Каждое выполненное задание оценивается по 5-ти бальной шкале.

1) Таблица 2 (для выполнения задания 1)

Предполагаемые ответы к таблице 2

Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Учащиеся записывают определение в тетрадь.

2) Вы знаете, что при вершине многогранного угла не менее трех плоских углов.

Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника? (меньше 360⁰).

Давайте, посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника и сколько правильных многогранников существует.

Исследуем этот вопрос. Результат оформим в виде таблицы:

Учащиеся делают вывод: Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

3) Исследовательская работа "Формула Эйлера"

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал)

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: "эдра" - грань; "тетра" - 4 ; "гекса" - 6; "окта" - 8; "икоса" - 20; "додека" - 12

Анализируя таблицу, возникает вопрос: "Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?" По-видимому, нет.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах "грани" и "вершины" (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

Вот теперь закономерность видна. Сформулируем её так: "Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2", т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.

Учащиеся вместе с преподавателем делают вывод: Итак, мы вместе сделали открытие, мы "открыли" формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

4) Задача. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

Прогнозируемый ответ:

вершин: 10;

граней: 12;

рёбер: 20.

Формула Эйлера: 12+10=20+2 (верно).

Вернемся к нашему эпиграфу: "Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

В глубины каких наук пробрались правильные многогранники? Где в жизни мы можем их повстречать? Об этом нам расскажет Ф.И. (сообщение учащегося)

Сообщение "Правильные многогранники в науке и искусстве"

III Этап

Учащиеся выполняют задания по группам на закрепление изученного материала.

1) Найти в таблице слова и объяснить значение любых 5 слов

М

К

А

Р

А

П

Г

Н

Ч

О

Н

У

Л

В

Б

Р

И

З

К

С

О

Б

Л

Е

Л

Е

К

М

А

П

Г

И

Ш

Р

О

П

О

С

А

Э

О

Н

А

А

К

И

Ц

А

Т

Д

Г

Р

П

Я

Т

П

Е

Д

Е

Р

Р

А

И

Р

А

М

И

Д

Т

Е

А

Н

Л

М

Э

В

Э

А

Р

Б

Н

Н

И

К

Д

Р

Д

О

Р

Р

Ь

Д

О

Д

Е

К

А

Э

Д

О

(За каждое правильное определение - 1 балл)

2) Конкурс «Кроссворд».

(1 балл за каждый правильный ответ)

Итоги и выставление оценок.

Учащиеся подсчитывают общее количество баллов команды и распределяют их между собой в виде оценок.

Подходит к концу урок, подведём итоги.

-Что нового вы узнали сегодня на уроке?

-Что понравилось на уроке?

-Какой материал был наиболее интересен?

-В каких еще областях деятельности можно встретиться с правильными многогранниками?

Домашнее задание:

1. №271-275 склеить модели правильных многогранников на выбор

2. Сообщение в подтверждение эпиграфа

Дополнительные сведения. Кроме пяти правильных многогранников существуют полуправильные многогранники, тела Архимеда. Об этом нам расскажет Ф.И. (сообщение учащегося)

Сообщение "Полуправильные многогранники и правильные звездчатые многогранники"

Архимедовы тела обладают свойством: любые две вершины можно совместить так, что все грани многогранника попарно совпадут друг с другом.

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников - Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 - 1630 гг.), а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 - 1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера - Пуансо. В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810 г.) Луи Пуансо перечислил и описал все правильные звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней которых отлично от 4, 6, 8, 12, 20.Отчет на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком Огюстом Луи Коши (1789 - 1857 гг.) в работе «Исследование о многогранниках». В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их ребер или граней, исследуется вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники. Делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр - одну звездчатую форму (это малый звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр).