Тема урока «Системы линейных уравнений в решении алгебраических задач»

Открытый урок в 7 классе

по теме:

« Системы линейных уравнений

в решении алгебраических

задач».

2012 / 2013 уч. год

МОУ-СОШ пос. Лопуховка

Учитель:Рыжова Л.А.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «Уравнение и его корни», «Линейное уравнение с одной переменной», «Решение задач с помощью систем уравнений», владеть навыками решения уравнения.

Цели урока:

образовательная: отработка навыков решения систем линейных уравнений;

воспитательная : воспитание чувства ответственности, формирование творческих способностей, математической культуры, навыков самоконтроля;

развивающая : развитие внимания, логического мышления, познавательного интереса к предмету.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной работы, дифференциро- ванная самостоятельная работа на 4 варианта, копирка, плёнка, граф-проектор ; индивидуальные доски для маркеров; карточки с заданиями, учебники.

Тип урока: сдвоенный урок применения и совершенствования знаний.

Ход урока.

I. Повторение алгоритма решения задач с помощью систем уравнений.

На экран через граф-проектор проецируется информация:

« Петя Веников составил алгоритм решения задач с помощью систем уравнений, но допусти ряд ошибок .Найдите их ,если видите.»

Алгоритм Пети Венникова:

1)Обозначают некоторые неизвестные буквы

числами.

2)Решают получившуюся систему.

3)Истолковывают результат в соответствии

с условиями системы.

( Учащиеся находят ошибки и исправляют их:

в 1): неизвестные числа буквами; в 2): пропущен шаг, в котором, используя условие задачи, составляют систему уравнений; в 3): в соответствии с условиями задачи.)

II. Проверка домашней задачи.

Текст: «В клетке находятся фазаны и кролики. У всех животных 35 голов и 94 ноги. Сколько в клетке кроликов и сколько фазанов?»

Перед учащимися ставилась проблема решить эту задачу 2 способами: арифме-тическим и с помощью системы. Пока один ученик записывает на доске решение задачи с помощью системы, с остальными проверяется арифметическое решение задачи.

Арифметическое решение:

1. ( 94- 35∙2 ) : 2 = 12 - кроликов;

2. 35- 12 = 23 - фазанов.

Ответ: 12 кроликов и 23 фазана.

С помощью системы:

Пусть x- количество фазанов, а y- кроликов. Известно ,что всего голов- 35. Значит, x + y =35. Тогда 2x- ноги всех фазанов, а 4y- ноги всех кроликов. По условию задачи 2x + 4y = 94. Составим и решим систему уравнений:

; ; ; ; ;

; 23-фазана и 12 кроликов.

Ответ: 12кроликов и 23 фазана.

Ш . Устная работа. (Задания заранее написаны на доске.)

При решении задачи были допущены ошибки. Найдите их и составь- те систему уравнений по условию задачи правильно.

Задача № 1.

Туристы отправились в путешествие. Сначала они решили плыть по реке и сели на пароход, который проплыл 240 км. На это он потратил 2 часа, плывя против течения , и 3 часа - по течению. Туристы решили определить, какова скорость парохода по течению и против, если из- вестно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения.

Через граф-проектор на доску проецируется решение задачи с ошибками:

Пусть x км/ч - скорость парохода против течения, а y км/ч - скорость по течению. По условию задачи пароход проплыл 240 км за 2 часа против течения и за 3 часа - по течению. Отсюда : 2х + 3y = 240.

Известно, что за 2 часа по течению он проходит на 35 км меньше, чем за 3 часа против течения. Отсюда : 2y - 3х = 35.

Составим и решим систему уравнений:

; ; ; ; ;

Учащиеся должны найти ошибки:

1) Ошибка в составлении системы: x км/ч - скорость парохода против течения; у км/ч - по течению. Второе уравнение системы должно иметь вид: 3х - 2у = 35.

2) Ошибка при решении системы: при делении 375 на 13 получается дробное число, но в системе его округлять нельзя. Так же как нельзя округлять и значение парамет- ра у.

Правильно составленная система :

( Класс получает задание решить её дома к следующему занятию.)

Решение:

; ; ; ; ; ; 45 км / ч - скорость парохода против течения, 50 км / ч - по течению.

Ответ : 45 км / ч ; 50 км / ч

Задача № 2.

(Устный разбор с последующим решением.)

Можно ли разменять сторублёвую купюру пятирублёвыми и десятируб- лёвыми монетами так, чтобы всех монет было десять ?

Учащиеся объясняют ход решения : обозначим за х - пятирублёвые монеты, а за у- десятирублёвые. Получим : х + у = 10 .

Составим второе уравнение : так как с помощью таких монет надо разменять сто рублей, то должно выполняться равенство : 5х + 10у = 100.

Составим и решим систему уравнений :

; ; ; ; ; ; . Вывод : так как х и у являются количеством монет, то х

не должно равняться нулю, так как 0N . Значит указанным способом невозможно разложить 100 - рублёвую купюру.

Ответ : нет .

IV . Задачный марафон.

Задача № 1.

Решите систему уравнений и ответьте на вопрос: может ли она удов- летворять условию задачи? Не забудьте, что такому условию чаще всего удовлетворяют натуральные или конечные десятичные числа.

Предлагаемая система:

Решение: ;

При решении системы получили дробные числа, которые не могут удовлетворять условию «хорошей» задачи.

Ответ: нет.

Задача № 2 .

Найдите точку пересечения графиков функций у= 2х - 6 и у= х - 3.

( Класс решает задачу самостоятельно, 4 уч-ся на индивидуальных досках для мар- керов, 2 уч-ся на плёнке с последующей проверкой на граф - проекторе.)

Решение:

Чтобы найти точку пересечения графиков функций, необходимо составить и решить систему уравнений с двумя неизвестными:

Ответ: ( 0; 3 ).

Задача № 3 .

Основание равнобедренного треугольника на 5 см больше его боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если известно, что его периметр равен 50 см.

Решение:

Пусть х см - длина боковой стороны треугольника, а у см- основания. Известно, что основание больше боковой стороны на 5 см, т.е. у = х + 5.

Так как треугольник равнобедренный, то боковые стороны у него равны. Составим и решим систему:

;

15см - боковая сторона треугольника, 20 см - его основание.

Ответ: 15см, 15см и 20 см.

Творческая задача.

Сформулируйте задачу про движение, условию которой будет удовлетворят сле- дующая система: .

У одних уч-ся действующим лицом задачи была машина, у других - поезд, мото-цикл, скутер и т.д. Но все единодушно решили, что расстояние в 600 км было прой- денно в два этапа: 4х км и 6у км. Сначала ( н-р, машина ) ехала 4ч., потом 6ч. Из-вестно, что у - х = 5. Отсюда уч-ся сделали вывод, что скорость машины на втором участке была больше на 5 км, чем на первом. В итоге получилась следующая задача, которая удовлетворяет приведённой системе:

« Машина прошла расстояние в 600 км в два этапа. Сначала она ехала 4часа с неко- торой скоростью, а затем ещё 6 часов, увеличив скорость на 5 км/ч. Определите скорость машины на каждом этапе движения.»

Задание, подготовленное на карточках ( одна на парту).

Найдите в квадрате ответы к задаче:

-2

1

-3

7

Х

4

0

-1

3

Решение: обозначим одно число за Х; а второе - за У.

Составим и решим систему по условию задачи:

3

5

-5

2

У

6

-3

-1

-2

В первом квадрате это число 7, во втором - 5.

Ответ: 7 и 5.

( Выставление оценок за задачный марафон, выяснение и обобщение того, что уда-лось уч-ся, а над чем ещё надо поработать).

V. Домашнее задание. Коментарии и объяснения к нему. ( Выдаются каж-дому на индивидуальных листах только тексты задач).

Задача № 1 .

Сколько лет яблоне и вишне, если 6 лет назад возраст яблони был в 5 раз больше возраста вишни, а 2 года назад - в 2 раза?

Решение:

Пусть х- возраст яблони, а у- возраст вишни. Составим и решим систему:

; ;

18 лет яблоне и 10 лет вишне.

Ответ: 18 лет и 10 лет.

Задача № 2 .

При каком значении k прямая y=kx-3 пересекается с прямыми y=2x-5 и y=x+2 ?

Решение: чтобы найти k составим и решим систему из трёх урав-нений:

Т.о., k = и уравнение прямой имеет вид .

Ответ: k = .

Задача № 3 .

Решить правильный вариант классной задачи № 1.

Решение:

Значит, скорость парохода против течения- 45 км / ч, а по течению- 50 км / ч.

Ответ: 45 км / ч; 50 км / ч.

VI. Дифференцированная самостоятельная работа на 4 варианта.

( Выполняется под копирку с последующей проверкой через граф - проектор с по-мощью заранее написанных на плёнке правильных решений).

1 вариант.

В гостинице 25 номеров. Есть 4-х местные и 2-х местные номера. Сколько каких номеров, если известно, что всего в гостинице могут разместиться 70 человек?

Решение: пусть х номеров 4-х местных, а у - 2-х местных. Составим и решим систему:

Значит, в гостинице 10 номеров 4-х местных и 15 - 2-х местных.

Ответ: 10 и 15.

2 вариант.

Для класса купили 30 билетов в театр стоимостью по 10 рублей и по 15 рублей. За все билеты заплатили 390 рублей. Сколько билетов купили по 10 руб. и по 15 руб.?

Решение: пусть купили х билетов по 10 руб. и у билетов по 15 руб.

Составим и решим систему:

Т.о., купили 18 билетов по 10 рублей и 12 билетов по 15 рублей.

Ответ: 18 и 12.

3 вариант.

Даны два числа. Если к первому прибавить половину второго, то получится 65, а если из второго вычесть третью часть первого, то получится первое число. Най-дите эти числа.

Решение: обозначим за х - первое число, а за у - второе число.

Составим и решим систему:

48,75 - первое число, 32,5 - второе число.

Ответ: 48,75 и 32,5 .

4 вариант.

( для наиболее подготовленных уч-ся )

Если из первого числа вычесть четверть второго числа, получится 129, а если увеличить второе число в 5 раз и отнять от него половину первого числа, то по-лучится первое число. Найдите эти числа.

Решение: обозначим за х - первое число, за у - второе число.

Составим и решим систему:

Ответ:

VII. Подведение итогов урока.

Рефлексия занятия, выставление оценок.

Комментарий учителя.

В целом уч-ся достаточно хорошо усвоили алгоритм решения задач на состав-ление систем линейных уравнений. В решении систем отдают предпочтение мето- ду подстановки, хотя многие хорошо владеют и способом сложения.

Устная работа показала, что уч-ся ориентируются в условии задач, без труда вво-дят переменные и многие верно составляют уравнения к системе. Справились с творческой, геометрической задачами, с интересом разменивали 100-рублёвую ку- пюру.

В задачном марафоне оспаривался результат задачи № 1. Почему дробные числа не могут быть решениями задачи? В принципе, дети правы - это показали ответы к самостоятельной работе В-3; 4. Поэтому пришлось наложить дополнительное усло- вие «хорошей» задачи.