Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов (Рекомендуемый учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г., Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М., 1994 и последующие годы издательства). Методическая разработка включает теоретический материал(определения, теоремы, аксиомы, рисунки, основные формулы) по темам: ·         Основные понятия и аксиомы стереометрии. ·         Параллельность прямых и плоскостей. ·         Аксиомы стереометрии и их следствия. ·         Параллельные прямые в пространстве. ·         Теорема о трех прямых в пространстве. ·         Параллельность прямой и плоскости. ·         Взаимное расположение прямых в пространстве. ·         Свойства параллельных плоскостей. ·         Перпендикулярность прямых и плоскостей. ·         Многогранники. ·         Правильные многогранники.
Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя

МКОУ "СОШ №7"



















Методическая разработка

по стереометрии

для учащихся 10 класса


(Рекомендуемый учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г., Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М., 1994 и последующие годы издательства)






Белоусова Е.Н., учитель математики








2014г, Нальчик

«Основные понятия и аксиомы стереометрии.

Параллельность прямых и плоскостей»

Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

Плоскость.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д.

Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β,

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Аксиома 2.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Аксиома 3.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Некоторые следствия из аксиом

Теорема 1.

Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Теорема 2.

Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.


Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Теорема о трех прямых в пространстве.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).



Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.


Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.


Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Теорема.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве


Пересекающиеся прямые:

лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.




Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Параллельные прямые:

лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)



Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Скрещивающиеся прямые:

не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Признак параллельности двух плоскостей

Теорема.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.

Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Свойства параллельных плоскостей



Если α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b.

ЕМетодическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классовсли две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.



Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.

ОМетодическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классовтрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямых и плоскостей


Определение

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Теорема (ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ).

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Теорема. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Теорема. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB - перпендикуляр к плоскости α.

AC - наклонная, CB - проекция.

С - основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Обратная теорема о трех перпендикулярах

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Перпендикулярные плоскости

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.

Плоскость α перпендикулярна плоскости β. Они пересекаются по прямой с. Плоскость γ перпендикулярна с и пересекает плоскости α и β по прямым a и b соответственно.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Признак перпендикулярности плоскостей

Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Свойства

Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и при том только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя плоскостями с общей ограничивающей их прямой. Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двухгранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двухгранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым.

Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двухгранного угла.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Многогранники


Обозначения:

V - объем;

Sполн - площадь полной поверхности;

Sбок - площадь боковой поверхности;

Sо - площадь основания;

Pо - периметр основания;

Pо - периметр перпендикулярного сечения;

l - длина ребра;

h - высота.

Формула Эйлера: N − L + F = 2 ; N - число вершин, L - число ребер, F - число граней выпуклого многогранника.


Призма - многогранник, две грани которого - равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а остальные - параллелограммы.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Параллелепипед - призма, основание которой - параллелограмм.

Параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Пирамида - многогранник, у которого одна грань n-угольник - основание пирамиды, а остальные боковые грани - треугольники с общей вершиной - вершиной пирамиды.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Если в пирамиде провести сечение параллельное основанию, то тело, ограниченное этим сечением, основанием, и заключенной между ними боковой поверхностью пирамиды, называется усеченной пирамидой.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

где S1 и S2 - площади оснований

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классовгде α - двугранный угол при ребре нижнего основания.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Правильные многогранники

Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней.

Все ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): правильный четырехгранник (правильный тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (правильный додекаэдр), правильный двадцатигранник (правильный икосаэдр).


Обозначения:

а - длина ребра;

V - объем;

Sбок - площадь боковой поверхности;

Sполн - площадь полной поверхности;

R - радиус описанной сферы;

r - радиус вписанной сферы;

h - высота.

Тетраэдр - четыре грани - равносторонние равные треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Куб - шесть граней - равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов



Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов


Октаэдр - восемь граней - равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Додекаэдр - двенадцать граней - правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов


Икосаэдр - двадцать граней - равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.

Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов


Методическая разработка по стереометрии для учащихся 10-11 классов




7

4,8 / 5 (12)
загрузить
© 2010-2018