Практическая работа по теме: Показательные и логарифмические уравнения и системы уравнений

Практическое занятие по теме : Решение уравнений и систем уравнений, содержащих натуральные и десятичные логарифмы и показательные выражения

Цель. Научиться решать уравнения и системы уравнений, содержащих натуральные , десятичные логарифмы и показательные выражения

Ход занятия.

1. Прочитать по учебнику темы «Логарифмы десятичные. Натуральный логарифм»Решение уравнений и систем уравнений

2. Выполнить самостоятельно практическую работу

Дополнительные сведения

1. Решение уравнений

1) Если показательное уравнение сводится к виду

a^x = a^b (1)

где a> 0 и a ≠1, то оно имеет единственный корень х = b.

2)Иногда, чтобы привести показательное уравнение к виду (1), необходимо в левой части уравнения вынести за скобки общий множитель а ^х, например:

и т. д. Или разделить обе части уравнения на выражение, не равное нулю, к примеру:

и т. д..

3) некоторые показательные уравнения заменой а ^х = t сводятся к квадратным. Надо помнить, что t > 0, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Чаще всего при решении логарифмического уравнения его приводят к виду

log_a (f(x)) = log _a (g(x)), тогда f(x) = g(x).

Решив полученное уравнение, следует сделать проверку корней, чтобы исходное уравнение не потеряло смысл.

Рассмотрим решение примера № 377

Найти область определения функции (домашнее задание)

1. Y= log ₇ (5 - 2x); b) y = log ₂ (x² - 2x); c) у=ln(4 - x);

d) у = ln( 9 - x²)

Ответы: a) b) ;

c)

Решение:

а)

На отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, т.е. x < 2,5

b) x² - 2x > 0 x (x - 2) > 0 x=0 u x=2 Применим метод интервалов:

b) ;

c) 4 - x>0 -x > - 4 (*-1) При умножении (делении) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, т.е. x < 4 , или

d) 9 - x² > 0x = - 3; x= +3

№ 337 (1) Решить уравнение.

log₂ (x - 5) + log₂ (x +2) = 3

Решение Используем свойство логарифмов. Представим число (3) как логарифм по основанию 2:

log₂( x-5)(x + 2 ) = log₂ 8 à (x-5)(x+2) = 8 àx² - 3x - 10 = 8 à.

àx² - 3x - 18 = 0; x₁ =- 3; x₂ = 6.

Выполнив проверку, убеждаемся, что при x = - 3 log₂ (x - 5) и

log₂ (x+2) не имеют смысла

Ответ. х = 6.

2 способ. log₂( x-5)(x + 2 ) =3(x-5)(x+2)= 2³;(по определению логарифма) (x-5)(x+2) = 8 x² - 3x - 10 = 8 x² - 3x - 18 = 0; x₁ = - 3; x₂ = 6.

Ответ. х = 6. x₁ = - 3: х > 5 u x > -2 х > 5

№ 337 (3) решить самостоятельно

Проверить решение по ранее записанного решения на обратной стороне доски или на слайде.

Решить уравнение: lg (x - ) + lg (x + ) = 0

Решение. lg( x² - 3) = lg 1 à (x² - 3) = 1 àx² = 4 àx₁ =2; x₂ = -2

Проверка при x = -2 lg (x - ) u lg (x + ) - не существуют или не имеют смысла

Ответ х = 2.

Практическая работа

1 вариант

Решить следующие уравнения

1) 4 ^х+3 + 4 ^х =260; 2)

3) 4) 36 ^х - 2*18 ^х = 8* 9^х;

5) log₃ (x² + 6) = log₃ 5x; 6) log₁₂ (x² - x)=1;

7) log²_0,3 (x+1) - 4 log _0,3 (x+1) + 3 =0; 8) 9^x*3^x = 81

Дополнительно.

Решить системы уравнений

1.

2 вариант

Решить следующие уравнения 1) 9 ^х - 7*3 ^х = - 12; 2) 3) 4) 81 ^х - 2*9 ^х = 8* 3^х;

5) log₅ (x² - 10) = log ₅ 9x; 6) log ₇ (x² + 6x)=1;

7) log _0,6 (x + 3) + log _0,6 (x - 3) = log _0,6 ( 2x - 1) ; 8 ) 25^x*5^x = 625

Дополнительно. Решить системы уравнений

1.

Работы собрать на проверку

Домашнее задание. Повторить определение логарифма и свойства показательных выражений и свойства логарифмов

Решение 1 варианта

1. 4 ^х+3 + 4 ^х =260 4 ^х (4³ + 1) = 260 4 ^х *65 = 260 (: 65) 4 ^х = 4 х=1

2. х² - 5 = 4х х² - 4х - 5 = 0х₁= 5,х₂ = -1

Ответ. х₁= 5, х₂ = -1

3. 2^x = t > 0

t₁= 4 u t₂ = - 122^x = 4x =2 Ответ. х=2

4. 36 ^х - 2*18 ^х = 8* 9^х (4*9) ^х - 2*(2*9) ^х = 8* 9^х 9^х *(4^х - 2*2^x - 8) =0 тогда 4^х - 2*2^x - 8 = 0 2^x = t > 0t²- 2 t- 8=0t=4 u

t= - 2 тогда 2^x= 4x = 2 Ответ. х= 2

5)log₃ (x² + 6) = log₃ 5x; ОДЗ: х > 0 x² + 6=5x x² - 5x+ 6=0x₁=2 u x₂=3 Ответ. Х₁=2; x₂= 3

6) log₁₂ (x² - x)=1 x² - x= 12x² - x - 12=0x₁ = 4 u x₂= - 3

ОДЗ: x² - x > 0; x(x-1) > 0x=0 u x=1

Ответ. Х₁ = 4;

x₂ = - 3

7) log²_0,3 (x+1) - 4 log _0,3 (x+1) + 3 =0; log _0,3 (x+1)=t - любое число, тогда

t² - 4t + 3=0t₁ = 1 u t₂ = 3

log _0,3 (x+1)=1x+1=0,3x₁= - 0,7; log _0,3 (x+1)=3x+1=0,3³

x₂= - 1+0,027= - 0,973

Ответ. Х₁ = - 0,7 ; x₂ = - 0,973

8) 9^x*3^x = 813^3x = 813^3x =3⁴3x=4x=4/3.

Дополнительные задания(определяют можно ли работу оценить на 4 или на 5)

₁₎

Решение 1 системы:

ОДЗ: x>0 u y >0

У₁=1; у ₂ = 3 тогда х₁ =3 и х₂=1, т.е. х₁ =3, У₁=1; х₂=1, у ₂ = 3

Ответ. (3,1) ОДЗ; (1;3) ОДЗ

Решение 2 системы:

_ОДЗ:

Ответ. х=8; у=2 ОДЗ (8>2*2)

Решение 2 варианта

1) 9 ^х - 7*3 ^х = - 12; 3 ^х = tt² - 7t + 12=0t₁ = 3,t ₂= 43^x= 3;3^x= 4

x₁ = 1; x ₂= log ₃ 4 Ответ. Х₁ = 1;. x ₂= log ₃ 4.

₂₎

Ответ: x₁=5; x₂= - 1

₃₎

4^x=t

4) 27 ^х - 2*9 ^х = 8* 3^х; 3^x(9^x - 2*3^x - 8)=0 3^x = t > 0t²- 2 t- 8=0t=4 u t= - 2 тогда 3^x = 4x = log ₃4 Ответ. x = log ₃4.

5) log₅ (x² - 10) = log ₅ 9x; x² - 9x - 10=0 x₁=10 u x₂=-1 x > 0

Ответ. x = 10

6) log ₇ (x² + 6x)=1; (x² + 6x)=7x² + 6x - 7=0x₁ = - 7 u x₂ = 1

Ответ. x₁= - 7; x ₂= 1.

7) log _0,6 (x + 3) + log _0,6 (x - 3) = log _0,6 ( 2x - 1)

log _0,6 (x + 3)* (x - 3) = log _0,6 ( 2x - 1) х² - 9 = 2х - 1 х² - 9 - 2х + 1=0

х ² - 2х - 8 =0х₁ = 4 и х₂ = - 2

ОДЗ: х+3 > 0, x - 3 > 0, 2x -1 > 0x > - 3, x > 3,x > 1/2 x > 3 х₁ = 4 и х₂ = - 2Ответ. Х₁ = 4.

8 ) 25^x*5^x = 625 5^3x = 6255^3x =5⁴3x=4x=4/3. Ответ. Х= 4/3.

Дополнительные задания(определяют можно ли работу оценить на 4 или на 5)

₁₎

Решение 1 системы

Решение 2 системы

_{Ответ: х=3, у=7}