Приложение к теме: «Применение производной для решения практических задач»

Приложение к теме:

«Применение производной для решения практических задач»

I.ПОВТОРЕНИЕ

1. значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной.

2. механический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент «x» являются физическими величинами, то производная это - скорость изменения переменной «y» относительно переменной «x» в точке x. Например, если S = S(t) - расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная это - скорость в момент времени t. Если q = q(t) - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q'(t) - скорость изменения количества электричества в момент времени t, т.е. сила тока в момент времени.

3. Устный счет. Вычислите производную.

1. y=2x³ +6;

7. y= x⁵ - 4x⁶

2. y =3x -2;

8. y=3ctg x-1

3. y =7+sinx

9. y= 8-9x +7cosx

4. y =x⁹

10. y= 4

5. y =2tgx-8x

11. y=3sinx-7cosx

6. y=

12. y=x⁵ -

II. НОВЫЙ МАТЕРИАЛ.

Экономический смысл производной.

Z = V^Ꞌ (t)Мы вспомнили геометрический и механический смысл производной, но этим значение производной не ограничивается: в приложениях производной отмечается, что она имеет и экономический смысл. Например, производительность труда в данный момент есть производная объема произведённой продукции по времени:

Z- Производительность труда, V - объём произведённой продукции.

Кроме того, производная позволяет находить скорость и темпы изменения различных экономических показателей:

Первая производная показывает скорость изменения, а вторая производная= скорость изменения скорости = ускорение =темпы изменения.

у ^Ꞌ

Показывает, что происходит с изучаемой величиной: увеличивается или уменьшается

у ꞋꞋ

Показывает, в каком темпе это происходит

III. ЗАДАЧИ.

1. Объём продукции на некотором производстве может быть описан формулой v= - t³+ t² +100t +50, 1 t 8, t - время. Вычислите производительность труда, скорость её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

2. самостоятельное изучение материала и конспектирование.

Затраты на производство «х» единиц товара d(х)=25х+200, цена товара p(х)=100 - .

1. Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной? Чему равна максимальная прибыль?

2. Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной, если с каждой единицы товара взимается налог, равный 10?

Решение: Прибыль вычисляется по формуле:

Q(х)=х*р(х) - d(х) = 100х - -25х - 200 = - + 75х - 200. Получаем математическую задачу: найти максимальное значение функции Q(х). Q Ꞌ(х) = - + 75 = 0, х=1875

QꞋ (х) _______+ _______________-- _______

Q(х) 0 ↑ 1875 ↓

max

Чтобы прибыль была максимальной, надо произвести 1875 единиц товара.

Величина прибыли: 1875* (100 - ) - 25*1875 - 200 = 70112,5

С учетом налога: Q(х) = х*р(х) - d(х) - 10х =

х* р(х) - 35х - 200 = 100х - - 35х - 200 =65х - - 200, QꞋ (х) = - +65=0, х=1625.

Q ꞌ(х)___ ________ + ________________ -- ____________

0 ↑ 1625 ↓

max

Чтобы прибыль была максимальной при оплате налога, надо произвести 1625 единиц товара.

Ответ: 1) 1875; 70112,5; 2) 1625.

Самостоятельно решите задачу.

№3 Опишите темпы изменения издержек, если их зависимость от объема произведенной продукции описывается формулой:

К(х) =

IV.Д/З: учить конспект, решить задачу №4; №4 Пельменный цех производит «х» кг. пельменей в день. По договору он должен поставить в магазин ежедневно не менее 20 кг пельменей. Производственные мощности цеха таковы, что выпуск не может превышать 90 кг в день. Определите при каком объеме «у» производства удельные затраты (средние затраты на единицу продукции) будут наибольшими (наименьшими), если функции затрат имеет вид

К(х) = - х³ + 98 х² + 200х.

IV. Самостоятельная работа.

в

а

р

и

а

н

т

На «3»

Вычислите производную.

На «4»

Исследуйте функцию с помощью производной

На «5»

Решите практическую задачу

1

у =8х - х³

у= х³ - 27х

Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой:

К(х) = -0,02х³ + 600х - 1000.

Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются?

2

у= х⁴ -2х

у = 2х³ -6х

Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид:

К(х) = х³ - 4х² + 9х.

Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (К_ср = )

4