Элективный курс Наглядная геометрия на плоскости и в пространстве для 6 класса

Урок № 1

Пространство и размерность.

Эксперименты с листом Мебиуса.

Из того, что мы знаем, нам многое

неизвестно.

Шутка математика.

Как мы установили в 5 классе, геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Это то пространство, которое окружает нас.

Задание 1. Предположим, вам нужно описать большой дом. Попробуйте сделать это в наиболее корректной форме, просто и понятно.

Таким образом, вам понадобилось всего три величины - длина, ширина и высота. Эти три измерения мы используем ежедневно, говоря об окружающих предметах: высота дерева, ширина тротуара, длина дороги. Все предметы в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя далеко не у всех можно указать длину, ширину высоту. Но вы знакомы с телом, которое полностью описывается этими тремя измерениями и является символом нашего пространства. Это прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Таким образом, пространство в котором мы живем, является трехмерным. В нем живем мы с вами и все окружающие нас предметы, включая геометрические фигуры и тела.

А теперь представим себе, что высота исчезла. Весь мир стал плоским, как лист бумаги, остались только два измерения: длина и ширина, осталась только плоскость. В математике говорят, что плоскость является двумерным пространством.

Задание 2. Какие геометрические фигуры могут "жить" на плоскости?

Продолжим наш эксперимент, уберем ширину. Останется одномерное пространство, мир, который полностью лежит на прямой.

Задание 3. Какие геометрические фигуры могут "жить" на прямой?

Задание 4. Все ли фигуры, которые "живут" в пространстве, могут жить на плоскости? Все ли фигуры, "живущие" на плоскости, могут "жить" на прямой? Все ли фигуры, "живущие" на прямой (плоскости), смогут "жить" на плоскости (в пространстве)?

Но в удивительном мире геометрии существует фигура, которая вообще не имеет измерений. Это точка. А вот "жить" она может где угодно.

Много загадок и неожиданностей таит в себе геометрия. Все вы привыкли работать в тетрадях и знаете, что тетрадный листок - это часть плоскости, если, конечно, вы его не измяли, причем у него есть две стороны, которые вы с успехом используете. И даже помятый листок имеет две стороны. Изучив находящиеся вокруг нас поверхности: классной доски, крышки стола, ткани, из которой сделана ваша одежда, мы убеждаемся, что все эти поверхности имеют две стороны, условно можно сказать - лицевую и изнаночную, и поь другому не может быть ! Однако это не так…

Возьмем две полоски бумаги, шириной 3 см и склеим из них два кольца: первое - простое, а второе - перекрученное. Представим, что мы поместили муравья на наружную поверхность простого кольца. Если ему не давать возможности переползать через край кольца, то он никогда не попадет с наружной стороны на внутреннюю. А теперь разместим его на перекрученном кольце и предоставим возможность двигаться вдоль бумажной дорожки. Пусть муравьем будет грифель вашего карандаша. Вы получили неожиданный результат. Не переползая через край полоски, муравей побывал на "обоих" сторонах кольца.

Этот опыт провел в середине прошлого века немецкий астроном и геометр Август Мебиус. Оказалось, что у перекрученного кольца, которое впоследствии стали называть листом Мебиуса, имеется только одна сторона.

Давайте проведем с листом Мебиуса несколько интересных опытов.

Задание 5. Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль. Что получилось? Проделайте то же самое с листом Мебиуса и сравните результат.

Задание 6. Склейте лист Мебиуса, шириной 5 см. Что получится, если разрезать его вдоль, отступив от края сначала на 1см, затем на 2см, на 3см, на 4см?

Задание 7. Сделайте два кольца: одно простое и одно перекрученное. Склейте их, продев одно в другое, а затем оба разрежьте вдоль. Каков результат разрезания?

Урок 2.

Параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости.

Параллельные и перпендикулярные прямые играют очень большую роль в жизни человека: особенности их взаимного расположения используют в технике, строительстве, искусстве. Теория параллельных прямых занимает одно из центральных мест в геометрии. Именно свойства параллельных прямых определяют свойства плоскости.

Рассматривая основные геометрические фигуры, среди всех углов мы особенно выделяли угол равный 90º. Изобразим прямой угол и продолжим его стороны за вершину. Мы получили две перпендикулярные прямые. Они обладают многими интересными свойствами. Познакомимся с тремя из них:

1. Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой и пересекающую ее. Мы выполним этот рисунок с помощью угольника.

2. Если взять точку на прямой, то через эту точку можно провести бесчисленное множество прямых, перпендикулярных данной прямой, причем все эти прямые будут лежать в одной плоскости. (Иллюстрировать это очень легко с помощью листа бумаги на котором через одну точку проведено множество прямых и карандаша, которым нужно проткнуть этот лист бумаги в точке пересечения прямых под прямым углом к плоскости листа.)

3. Две прямые, перпендикулярные на плоскости третьей прямой параллельны. Если бы они пересекались, например в точке С, то мы получили бы треугольник АВС, у которого два угла были бы прямыми, что невозможно.

А

С

В

Задания:

1. С помощью циркуля и линейки через точку вне прямой провести прямую, параллельную этой прямой.( рис.1)

А А1 А

В В1 p

Рис.1 А1 Рис.2

2. Построить прямую, параллельную данной прямой на заданном расстоянии (35мм) от нее.

Пусть проведена некоторая прямая p и дана точка А вне ее. Для построения перпендикуляра к прямой достаточно с помощью циркуля провести через точку А две окружности (одинаковых или различных радиусов) с центрами на прямой. Вторая точка пересечения этих окружностей и даст нам вторую точку на перпендикуляре (рис. 2)

Мы уже знаем самое важное свойство перпендикуляра: если мы хотим из некоторой точки попасть на прямую кратчайшим путем, то следует двигаться по перпендикуляру, опущенному из этой точки на данную прямую.

В1 С1

А1 D1 а 2 1

4 3

B C

b 6 5

7 8

A D

Рис.3 Рис.4

3. Выписать все возможные пары перпендикулярных ребер прямоугольного параллелепипеда. Выписать три четверки параллельных между собой ребер (рис.3)

4. Известно, что угол 1 равен 52º. Найти все остальные углы (рис.4).

5. Параллельными прямыми являются прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. А какие плоскости можно назвать параллельными? Выпишите пары параллельных плоскостей (рис.3)

6. Попробуйте на рис.3 отыскать и выписать пары перпендикулярных плоскостей. А как проверить перпендикулярны или нет стены класса полу?

7. А как бы вы проверили, параллельны ли пол и потолок класса?

8. В строительстве, чтобы проверить вертикальность стен используют отвес - нить с подвешенным на нее тяжелым грузом. Как бы вы воспользовались этим приспособлением?

Урок 3-4.

Прямая и наклонная призмы: изображение, моделирование.

Чтобы получить многоугольник, нужно часть плоскости ограничить прямыми линиями. А если нам потребуется правильный многоугольник: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, то отрезки прямых, соединяющих вершины , мы возьмем равными.

А как нам ограничить часть пространства? Хорошо нам известный прямоугольный параллелепипед - это часть пространства, ограниченная плоскостями. А поскольку у него много граней, мы вправе назвать его многогранником.

Итак, многогранник - это тело, ограниченное плоскостями.

Введем новое понятие. Призма - это многогранник, основания которого равные многоугольники. Призма будет называться прямой, если ее ребра перпендикулярны основаниям и правильной, если она прямая, а ее основания - правильные многоугольники.

а) б) в) г)

Задание 1. Какие из изображенных многогранников являются призмами, прямыми призмами, правильными призмами?

Задание 2. Является ли прямоугольный параллелепипед призмой, прямой призмой, правильной призмой?

Задание 3. Какое название вы бы предложили для призм, изображенных на рисунках а) и г)?

Боковые грани прямых призм представляют собой прямоугольники, а вот боковые грани наклонных призм представляют собой еще неизвестные нам фигуры. Нетрудно убедиться в том, что противоположные стороны этих фигур равны и параллельны. Такие фигуры называются параллелограммами.

Давайте определим теперь по всем "геометрическим" правилам прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед - это призма, у которой основания параллелограммы. Параллелепипед называется прямоугольным, если он - прямая призма и его основания - прямоугольники.

Задание 4. Изобразить прямоугольный параллелепипед. Можно ли его назвать правильной призмой? А какой из хорошо с детства вам известных многогранников можно назвать правильной призмой? (куб). А какой прямоугольный параллелепипед можно было бы назвать правильной призмой?

Чтобы хорошо представить себе все о чем мы говорили, изготовим модель правильной шестиугольной призмы со стороной основания 30 мм и высотой 60 мм.

Для этого прежде всего надо научиться изображать правильный шестиугольник. Начертите с помощью циркуля окружность произвольного радиуса. Не меняя раствора циркуля, поставьте его ножку в любую точку полученной окружности и сделайте засечки в обе стороны. Затем, переставляя ножку циркуля в полученные точки, продолжайте делать засечки на окружности до тех пор пока она не разобьется ими на шест равных частей. Соедините полученные точки. Если вы все сделали аккуратно, то получите правильный шестиугольник.

Теперь приступим к развертке. 30мм

30мм 30м

Окрасьте основания одним цветом,

а боковые грани другим. 30мм 30мм

Склейте с помощью скотча места

соединений и модель готова. 30мм 30мм 30мм 30мм 30мм 30мм

60мм

Задание 5. Вспомнив, как с помощью

циркуля строится равносторонний

треугольник, построить развертку и

сделать модель правильной треуголь-

ной призмы высотой 85мм и стороной

основания 60мм.

60мм 60мм

60мм 60мм 60мм Построение разверток и мо-

делей наклонных призм

намного сложнее, поэтому

пока мы ограничимся

85мм 85мм 85мм 85мм моделями прямых призм.

На досуге попробуйте изготовить модель прямой

четырехугольной призмы, основаниями которой

являются ромб или параллелограмм.

Урок 5

Практическая работа №1

1. Изобразить параллелепипед, обозначить его вершины буквами и выписать пары параллельных прямых и пары равных граней.

2. Используя полученное изображение прямоугольного параллелепипеда, выпишите пары параллельных граней. Будут ли эти грани равны?

3. Изобразить кратчайшее расстояние от точки до окружности (точка внутри и вне окружности).

4. Изобразить две параллельные прямые. Пересечь их другой парой параллельных прямых. Какая фигура появится на плоскости?

5. Постройте две перпендикулярные прямые а и b. Проведите с||а и d||b. Какая фигура получилась в результате пересечения этих прямых?

Дайте наглядное опровержение следующего утверждения: если основания

прямоугольного параллелепипеда квадраты, то этот прямоугольный параллелепипед

является кубом.

Уроки 6-10.

Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, как разновидности граней призмы. (Понятия, изображение, свойства, признаки, взаимосвязь.)

Давайте подробнее познакомимся с гранями прямых, правильных и наклонных призм. Рассмотрим внимательно модель наклонной треугольной

призмы. Мы уже говорили, что ее боковые грани представляют

собой параллелограммы.

Параллелограмм - красивое звучное слово, напоминающее нам о

единицах веса, но на самом деле никакого отношения не имеющее к ним.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ - это четырехугольник, противоположные

стороны которого попарно параллельны.

Используя клеточки тетради, очень легко изобразить эту фигуру.

В С Вершины параллелограмма, так же как и вершины

прямоугольника обозначаются буквами.

Проделав некоторые измерения, мы легко

установим свойства, которыми обладает эта

А D замечательная фигура.

Задания:

1. Измерить противоположные стороны и углы параллелограмма и записать результаты измерений

2. Изобразить диагональ параллелограмма и точку их пересечения обозначить буквой О.

3. Измерить отрезки АО и ОС, ВО и ОД и записать результаты измерений.

4. Сформулировать свойства параллелограмма, основываясь на результатах измерений.

• В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

• Диагональ параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

С в о й с т в а п а р а л л е л о г р а м м а

Ну а теперь из набора плоских геометрических фигур по каким то определенным признакам давайте выберем параллелограмм:

а) б) в) г) д) е)

Во-первых - параллелограмм это четырехугольник. Этому признаку соответствуют фигуры а), г), и д). Во-вторых фигура д) не обладает свойством параллелограмма, которое гласит, что противоположные стороны параллелограмма равны. Таким образом остаются фигуры а) и д).

Задание.

1. Как вы привыкли называть фигуру а)?

2. Справедливо ли будет утверждать, что

• прямоугольник - это параллелограмм,

• если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм?

• если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм,

• если в четырехугольнике все углы равны, то это параллелограмм,

• если в четырехугольнике два противоположных угла

равны, то это параллелограмм. Подтвердите свой ответ графически.

• диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Можно ли это утверждение проверить сгибанием параллелограмма по диагонали?

Теперь займемся хорошо уже известным нам прямоугольником. Изучая модель прямоугольного параллелепипеда (прямой призмы), мы можем заметить, что все его грани, как боковые, так и основания, представляют собой прямоугольники. Прямоугольникобладает всеми свойствами параллелограмма и, следовательно является параллелограммом. Но у него есть свои собственные свойства. Если у параллелограмма равны противоположные углы, то у прямоугольника, как мы уже знаем, все углы равны (все углы прямые).

Задание.

1. Из бумаги вырезать прямоугольник

2. Путем сгибания сравнить его диагонали. Сделать вывод о величине

диагоналей

3. Найти точку пересечения диагоналей. Каким образом она разбивает

диагонали прямоугольника?

4. На какие фигуры делит прямоугольник одна диагональ? Две диагонали?

5. Перегните прямоугольник пополам так, чтобы совпали две большие

противоположные стороны, две меньшие противоположные стороны. Через какую

точку будут проходить обе линии сгибов? Сколько и каких треугольников можно

получить при этом?

Итак мы установили, что прямоугольник обладает своим собственным, отличным от свойств параллелограмма свойством: диагонали прямоугольника равны.

Задание.

1. Попробуйте сформулировать определение прямоугольника, используя термин

"параллелограмм".

2. Как вы думаете, если смежные стороны параллелограмма обозначить

буквами a и b, справедлива ли будет формула P = ( a + b )*2, выражающая его периметр?

3. Найти площадь параллелограмма, если B C ВК = 3см, АК = 2см, KD = 5см, ВК 3см  АD

Отрезок ВК называется высотой параллелограмма. - 3см

Как бы вы предложили находить площадь параллело A 2см К 5см D

грамма? Попробуйте вывести формулу для этого (домашнее задание для любителей математики)

3. Каким образом можно превратить сделанный из бумаги прямоугольник в параллелограмм? А как можно поступить в случае, если прямоугольник изготовлен из планочек, соединенных гвоздиками?

Одной из самых привлекательных фигур в геометрии является ромб.

Используя свойства клетчатой бумаги его легко можно изоб-

В разить в тетради

Ромб - это тоже параллелограмм, только в отличие от парал-

лелограмма все его стороны равны.

А С Задание.

1. Вырезать из бумаги ромб произвольных размеров.

2. Сгибанием убедиться в равенстве противоположных

D углов ромба.

3. убедиться в том, что диагонали точкой пересеченеия делятся пополам.

4. Под каким углом пересекаются диагонали ромба? Сформулируйте свойство ромба, отличающее его от прямоугольника.

5. Дайте определение ромба, используя термин "параллелограмм".

6. Как найти периметр ромба, если известна его сторона?

7. Чем ромб отличается от параллелограмма?

8. Как вы думаете, справедливо ли будет утверждать, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом), то этот параллелограмм является ромбом?

9. Верно ли будет аналогичное утверждение, высказанное

Относительно четырехугольника. Ответ подтвердите

иллюстрацией.

10. На какие фигуры разбивают ромб две диагонали, четыре диагонали?

11. Как найти площадь каждого из четырех маленьких треугольников, на которые диагонали разбили ромб, если диагонали ромба равны 6см и 10см? Как найти площадь половины ромба? Как найти площадь всего ромба? Какой результат вы получите, просто перемножить длины диагоналей?

Вспомним уже казалось бы подробно изученный нами куб. Каждая его грань представляет собой квадрат. Квадрат же является очень интересной фигурой. Мы уже знаем,

В С что стороны квадрата равны

Задание.

1. Вырезать из бумаги квадрат со стороной 6см

О 2. Путем перегибания сравнить по величине его

диагонали.

А D 3. Сравнить обрезки , на которые делит

диагонали точка их пересечения.

4. Определитьвеличину углов, которые образуют диагонали при пересечении.

Итак мы выяснили, что квадрат обладает своим собственным свойством, объединяющим одно из свойств прямоугольника (равенство диагоналей) и одно из свойств ромба (перпендикулярность диагоналей.)

Задание.

1. Чем квадрат отличается от ромба, прямоугольника, параллелограмма?

2. Сформулировать определоение ромба, используя термины:

а) "прямоугольник", б) ромб, в) параллелограмм

3. Определить площадь квадрата, если его диагональ равна 4,5см

4. Верно ли будет утверждать, что если диагональ параллелограмма равны и пересекаются под прямым углом, то этот четырехугольник - квадрат? Что нужно изменить в этом утверждении, чтобы оно стало верным?

5. Изобразите ромб и параллелограмм, имеющие равные углы.

Сейчас нам осталось объединить все полученные сведения о прямоугольнике, ромбе и квадрате. В С В

1. АВ = СД, ВС = АD, 1. АВ = СД = ВС = АD,

2. АВ  СД, ВС  АD, 2. АВ  СД, ВС  АD,

3. АС = ВD О 3. АС = ВD

4. АО = ОС, ВО = ОD. А D 4. АО = ОС, ВО = ОD А О С

5. А = В = С = D 5. АВ  СD

6. А = D, С =  В

В С 1. АВ = СД = ВС = АD, D

2. АВ  СД, ВС  АD,

О 3. АС = ВD

4. АО = ОС = ВО = ОD

А D 5. АВ  СD

6. А = В = С = D

Кроме этих, установленных нами свойств, есть еще одно свойство, присущее ромбу и квадрату: диагонали ромба и квадрата являются биссектрисами их противоположных углов.

Самсостоятельная работа

Тетрадь "Наглядная геометрия. Стр 8, 9, 10. Задания 1-5

Задания повышенной сложности.

1. *Изобразить ромб и квадрат, площади которых будут равны.

2. Изобразить прямоугольник, периметр которого равен периметру ромба со стороной 5см и площадь которого равна площади квадрата со стороной 4 см.

(ответ: а=8см,в=2см)

3. Найти углы ромба, еслиАВО в 2 раза меньше, чем ОАВ.

4. Найти углы, под которыми пересекаются диагонали прямоугольника АВСD, если ОВС = 35.

5. Построить квадрат по заданной диагонали.

6. *Построить ромб, если заданы его диагональ и сторона.

Урок № 11

Прямой круговой цилиндр, как фигура вращения. Круг Окружность.

Названия многих геометрических тел идут из глубокой древ-

ности, причем произошли они отсоответствующих предметов. Так "пира- C

мида" (pura - огонь, костер), "цилиндр" (cylindrus - валик.). В

Что же такое цилиндр? Если разместить прямоугольyик АВСD

перпендикулярно плоскости, поставив его на сторону АD, и начать

вращать около ребра СD, как около оси, то множество его положений

в пространстве заполнят некоторый объем, который и носит название D

цилиндра. При этом ребра АD и ВС, вращаясь "заметут" круги, а точки А А

и В опишут окружности.

Полученные круги представляют собой основания конуса, а множество положений ребра АВ образует боковую поверхность конуса.

Задание1. Изобразить в тетради прозрачный цилиндр, обозначить центры оснований буквами О и, соединить эти точки. Как бы вы назвали полученный отрезок?

Задание2. Cформулировать определения окружности и круга,

A используя термины "множество точек, расстояние, центр

окружности)

O Мы умеем с помощью измерений определять размеры таких

R В пространственных фигур, как прямоугольный параллелепипед и куб

и вычислять их объемы и площади поверхностей. Не представляет

труда измерить боковые стороны прямоугольника, вращением которого образован цилиндр. При этом длина ребра АD (ВС) представляет собой радиус окружности (основания), а длина ребра АВ (DC) является так называемой высотой цилиндра.

Определение. Расстояние от центра окружности до любой точки на этой окружности называется радиусом данной окружности. Радиус обозначается буквами R или r. Расстояние между двумя наиболее удаленными точками окружности называется диаметром окружности. Диаметр обозначается буквами D или d. Справедлива формула D = 2R.

Очевидно, что в окружности можно провести бесконечно много

радиусов и диаметров.

Лабораторная работа.

А сейчас проведем несколько экспериментов. Возьмите несколько

различных цилиндрических стаканчиков или различных моделей цилиндра.

С помощью линейки измерьте как можно точнее сначала диаметр, а затем используя ниточку, длину окружности одного из стаканчиков (цилиндров). Разделите число, выражающее длину окружности на число, выражающее длину диаметра. Повторите измерения и вычисления для другого стаканчика или цилиндра. В обоих случаях вы получили число, приближенно равное 3,1. Такие измерения и вычисления можно было бы продолжать бесконечно долго, но результат останется неизменным для окружности любого диаметра. Таким образом вы получили одно из замечательных чисел в математике. Оно носит специальное обозначение и выражает отношение длины произвольной окружности к ее диаметру.

Урок № 12 - 14

Длина окружности и площадь круга.

Если обозначить длину окружности буквой С (сircle - круг), то результаты выполнения лабораторной работы прошлого урока можно записать виде формулы:

С = D, а так как D = 2R, то эта формула может быть также записана в виде С = 2R.

Эти формулы выражают длину окружности через ее диаметр и радиус соответственно. Поскольку измерение диаметра окружности в технике не представляет труда (для этого есть специальный инструмент - штангенциркуль), а при решении геометрический задач он обычно задается (либо задается радиус), то вопрос о нахождении длины окружности сводится к простым вычислениям, в которых допустимо даже, если этого не требует специальное задание, использовать или .

Задание:

1. Определить длину окружности, если а) радиус равен 4,2 см, б) диаметр равен 7,8 дм

2. Определить радиус окружности, если ее длина 31,4 см. (4).

3. Определить диаметр окружности, если ее длина 15,5 см.

A F B Попытаемся определить площадь круга. Для этого воспользуется

следующим наглядным изображением. Площадь круга меньше, чем

площадь квадрата АВСD, но больше, чем площадь квадрата EFKM.

E r О K ,

Но , а

D M C Таким образом , т.е.

Можно доказать, что площадь круга вычисляется по формуле .

Задание:

1. Определить площадь круга, если а) радиус равен 4,5мм, б) диаметр равен 15м

2. Определить диаметр круга, площадью .()

3. №№ 832 - 839.

Домашние задания: тетрадь "Наглядная геометрия"стр.10-11, №№ 6-12

Самостоятельная работа

В -"3" В - "4" В - "5"

1. Н а й т и д л и н у о к р у ж н о с т и, и п л о щ а д ь к р у г а е с л и

диаметр равен 6см радиус равен 3,5см диаметр равен 2,1см

2. Найти диаметр окружности Найти радиус окружности Найти радиус окружности,

если ее длина равна 6,2см если ее длина равна 12,4см если ее длина равна 6,28см

(,1) (,1) (,14)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Найти радиус окружности, если Найти диаметр окружности,

площадь круга равна 12кв.см. площадь круга равна если площадь круга равна

() 27,9кв.см (,1) 0,0314 кв.дм (,14

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4.№ 840 а № 840 б № 841

Урок № 15 - 16

Площадь поверхности цилиндра. Моделирование.

Полученных знаний о нахождении длины окружности и площади круга вполне достаточно, чтобы сделать модель цилиндра, предварительно рассчитав, сколько для этого потребуется бумаги. Говоря языком геометрии, мы вполне можем определить площадь поверхности прямого кругового цилиндра. Для этого достаточно задать

радиус основания и высоту цилиндра.

Пусть R= 4см, а высота h = 7см. О

Развертка цилиндра представляет собой прямоу- R

уольник, высота которого равна высоте цилиндра,

а длина должна равняться длине окружности,

т.е С = 7см 24,8см

Нам осталось изобразить два основания цилиндра,

представляющие собой круги. радиуса 7см,

касающиеся прямоугольника в произвольных точках.

Определим площадь поверхности нашего цилиндра как сумму площадей О

прямоугольника (боковой поверхности) и двух кругов (оснований):

Таким образом для изготовления развертки, а затем и модели цилиндра нам хватит листка плотной бумаги в форме квадрата со стороной 25см. Основания с боковой поверхностью лучше всего соединить тонкой лентой скотча, предварительной приклеив его до половины к основанию и сделав надрезы на не приклеенной стороне.

Давайте решим несколько практических задач.

Задание

1. Имеется лист жести прямоугольной формы, длиной 2м70см и шириной 80см. Лист свернули трубой и запаяли. Основание какого радиуса нужно вырезать и припаять к полученному цилиндру, чтобы получилась бочка для воды?

2. Как вы думаете, можно ли найти объем цилиндра по формуле V=h? Найдите объем вашей бочки и выразите его в литрах.

3. От каких величин и в какой степени зависит объем цилиндра.

4. Есть дно для бочки диаметром 70см. Сколько потребуется досок размером70мм х 900мм, чтобы изготовить бочку для зерна? (=3)

5. Чтобы вода в термосе не остывала, его делают в виде цилиндра

с двойными стенками. Найти объем воздуха между

стенками термоса если R=180мм, r=152мм и h= 45см

(=3,1)

Урок № 17

Практическая работа № 2.

Вариант "5"

1. Диаметр колеса тепловоза равен 180см. За 2,5мин колесо сделало 500 оборотов

Определите скорость с которой щел тепловоз и выразить ее в км/час.

2. Изобразить фигуры предложенной формы.

Выполнитиь необходимые измерения и

определить площади заштрихованных

частей.

3. Изобразить развертку прямой призмы, в основании

которой лежит равнобедренный треугольник со сторонами 4см, 3см,3см

высотрой3,5см

Вариант "4"

1. Найти площадь круга, если длина окружности равна 12,56см.(=3,14)

2. Найти площади заштриховагнных фигур.

R=32,6мм

D=4см 5см r=20мм

14,3см

3. Изобразить развертку прямой призмы в основании которой равносторонний треугольник (a=2,5см, h = см)

Вариант "4"

1. Найти площадь круга и длину окружности, если диаметр окружности равен 24мм. (=3,1)

2. Найти площадь заштрихованной фигуры R= 20мм

3. Изобразить развертку куба а=3см R

Дополнительное задание: найти объем прямоугольного параллеле

пипеда с цилиндрическим вырезом, если а=12,3мм, b=10мм,

с=18мм, r= 4,3мм.

Урок № 18

Шар и сфера, определение. Сечение шара плоскостью.

Земной шар, параллели, меридианы.

Одной из самых замечательных фигур вращения является шар. Он образуется при вращении полукруга около диаметра.

Представление о шаре дают такие с детства знакомые вам предметы, как арбуз, мячик, глобус. Давая определение окружности и круга, мы использовали понятия множество точек плоскости и расстояние. Теперь же у нас пространственная фигура - шар. Кроме того, его оболочка (поверхность) носит специальной название -сфера.

Задание. Дать определение шара и сферы.

Отрезок, соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через его центр, называется диаметром шара.

Множество интересных задач связано с сечением шара плоскостью.

О О

Сечение шара плоскостью представляет собой уже известную нам геометрическую фигуру - круг. Причем круг самого большого диаметра получится, если секущая плоскость проходит через центр шара.

Задание.

1. Можно ли разрезать арбуз таким образом, чтобы все корочки представляли собой кольца?

2. Как разрезать арбуз на две части (три, четыре, пять…), чтобы после еды осталось три (четыре, пять, шесть ) корочки.

Если земной шар мысленно рассекать горизонтальными

параллельными плоскостями, то на его поверхности образуются

линии, которые в географии называют параллели. Параллель

которая имеет наибольшую длину называется экватор. Он "делит"

Земной шар на северное и южное полушария. С параллелями

связана такая географическая координата, как широта.

Если же мы будем рассекать Земной шар вертикальными

плоскостями, проходящими через диаметр, мы получим линии,

которые носят название меридианы. С ними связана вторая географическая координата - долгота. Причем начало отсчета широт принято начинать от экватора, а нулевым меридианом условились считать Гринвинчский меридиан. Детально работать с координатами вы научитесь в ближайшее время на уроках географии.

Рассмотрим несколько задач, связывающих г шар и астрономические объекты.

Задание. №№ 858, 859, 870

Урок № 19

Конус, как фигура вращения, понятие, изображение.

Сечение конуса плоскостями, параллельными основанию. Усеченный конус.

Если вращать прямоугольный треугольник ОАВ около стороны ОВ, В

То получим еще одно пространственное геометрическое тело - конус.

Задание.

1. Изобразить конус, который получится, если вращать

треугольник со сторонами ОА=2см, ОВ=3,5см

2. Что является основанием конуса?

3. Как бы вы назвали отрезок ОВ?

4. Где в природе можног встреть конус? А О

Попробуем разрезать конус на части вертикальными

плоскостями, проходящими через отрезок ОВ (высоту конуса). А

Задание

1. Что представляет собой сечение такой плоскостью?

2. К какому виду треугольников относятся полученные сечения? Могут ли такие треугольники быть равносторонними? При каком условии?

3. Почему все полученные сечения (треугольники) равны?

4. Как найти площадь такого сечения?

5. Определить площадь сечения изображенного конуса.

6. Определить площадь основания изображенного конуса.

А теперь рассечем конус плоскостями, параллельными

основанию.

Задание.

1. Что будут представлять собой сечения конуса плоскостями,

параллельными основанию?

2. Где вы встречались с подобным изображением? А если его

перевернуть?

Если от конуса плоскостью, параллельной основанию отрезать его часть, то получим пространственное геометрическое тело, которое носит название усеченный конус/

Усеченный конус, так же как и цилиндр, имеет два основания.

Задание В О

1. Чем усеченный конус отличается от цилиндра?

2. Как бы вы назвали отирезок

3. Найти площадь сечения усеченного конуса плоскостью,

проходящей через параллельные диаметры оснований,

если высота усеченного конуса равна 4см, а диаметры

основанмий равны 5см и 3см. А

Урок № 20-21

Площадь поверхности конуса.

Моделирование, особенности расчетов.

Те, кто на Новый год помогал маме делать костюм клоуна, звездочета, или Буратино, наверняка знают сколько трудов стоит сделать колпачок, который точно бы соответствовал бы размеру головы. Эта задача и есть задача моделирования конуса. Для начала давайте построим развертку конуса по заданным размерам: А

Определение: Прямая линия, соединяющая вершину конуса с

любой точкой окружности основания называется образующей конуса.

Пусть радиус основания конуса r = 3см, а его образующая

АВ = 5см. Изобразим круг радиуса 3 см, который и будет основанием 5см

конуса. Проведем прямую ОА =АВ + r = 8см.

Из точки А радиусом, равным длине образующей 5см построим

окружность. Так как сам "колпачок" конуса должен точно В 3см

"одеться" на длину окружности основания, то нам очевидно О

потребуется не весь большой круг а только его часть (сектор).

Задача свелась к нахождению величины угла этого сектора.

Итак длина окружности основания с2*3*3 = 18 (см). Длина же

большой окружности будет вычисляться по

формуле С2*3*АВ. Так как вся окружность

n составляет 360, то длина дуги окружности

А 5см В 3см О сектора в 1 была бы равна.

Соответственно, чтобы найти длину дуги в n,

надо воспользоваться формулой , где n - искомый угол. Мы уже установили, что L = c =18см .

Значит, . Построением этого угла мы завершаем построение развертки конуса.

Чтобы найти площадь его поверхности, нужно знать площадь основания и площадь боковой поверхности .Формула для нахождения площади сектора выводится аналогично формуле для нахождения длины дуги сектора:

. Тогда вся площадь поверхности конуса будет составлять

Задача.

1. Выполнить расчеты для колпачка, который придется вам точно по голове, взяв длину образующей конуса 40см (Указание:измерив размер головы, найдите радиус основания конуса, а затем выполните расчеты по вышеизложенной схеме)

2. Найдите площадь боковой поверхности вашего колпачка.

Урок № 22

Практическая работа № 3.

В"3".

1. Изобразить произвольный конус.

2. Построить развертку изображенного конуса.

3. Найти площадь основания изображенного конуса

4. Из предложенных фигур выбрать фигуры, являющиеся телами вращения.

В "4"

1. Изобразить конус произвольной высоты, радиус основания которого равен 3,5см

2. Построить развертку изображенного конуса.

3. Найти площадь боковой поверхности изображенного конуса.

4. Из предложенных фигур выбрать фигуры, являющиеся телами вращения.

В "5"

1. Изобразить конус высотой 6см и радиусом основания 2,5см.

2. Построить развертку изображенного конуса.

3. Найти площадь боковой поверхности изображенного конуса.

4. Найти площадь сечения конуса вертикальной плоскостью, проходящей через центр основания.

5. Из предложенных фигур выбрать фигуры, которые не являются телами вращения

А В С D

E F G H

Урок № 23

Пирамида. Понятие, изображение, моделирование

Усеченная пирамида.

Слово "пирамида" обычно вызывает сказочные или исторические ассоциации, связанные с Древним Египтом. Пирамида Хеопса, сфинксы, мумии… Для нас же пирамида - это геометрическая фигура, являющаяся разновидностью многогранника.

S Основанием пирамиды служит какой-либо многоу-

гольник, боковые стороны представляют собой треу-

гольники, сходящиеся в одной вершине. Пирамида

называется n-угольной, если в ее основании лежит

A B n-угольной. S

Пирамида называется

E правильной, если в ее основа-

нии лежит правильный

многоугольник, а высота

D C проходит через его центр.

Сразу же возникает вопрос о нахождении центра основания. В С

Задание:

1. Подумайте как определить центр квадрата, правильного- О

треугольника, шестиугольника. А D

Умение находить центр основания пирамиды поможет вам научиться правильно ее изображать на чертежах. D

Задание:

1. Изобразить правильную четырехугольную пирамиду,

треугольную пирамиду. 10 10

Определение. Правильная треугольная пирамида, у 10

которой все ребра равны, называется тетраэдром. 10

2. Какая из предложенных разверток может быть А В

разверткой тетраэдра?

10 О 10

3. Изготовить развертку и тетраэдра с ребром

равным 10см. С

10см 10см 10см 10см

10см

10см 10см 10см 10см 10см

10см 10см 10см 10см

10см 10см

10см 10см

Если от пирамиды плоскостью параллельной основанию отсечь верхнюю часть, то оставшаяся часть пирамиды будет называться усеченной пирамидой. Усеченная пирамида имеет два основания. S

Задания:

1. На сколько увеличится число ребер усеченной пирамиды

по сравнению с исходной пирамидой?

2. Есть ли у усеченной пирамиды вершина? B1 C1

3. Как вы думаете, как изобразить высоту усеченной

пирамиды? О1

4. Всегда ли совпадает число сторон многоугольников А1 D1

в основаниях усеченной пирамиды?

В С

О

А D

Урок № 24

Практическая работа № 4.

Вариант "3".

1. Изготовить модель тетраэдра с ребром равным 6см.

2..Найти плозщадь поверхности тетраэдра, зная, что площадь одной грани равна 18кв.см.

3. Дать название изображенной фигуре (рис.1)

Вариант "4".

1. Изготовить модель правильной треугольной пирамиды со стороной основания 5 см и боковым ребром равным 8см.

2..Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если площадь боковой грани равна 30 кв.см а сторона основания равна 8см.

3. Дать название изображенной фигуре (рис.2)

Вариант "5".

1. Изготовить модель правильной четырехугольной пирамиды со

стороной основания 6см и боковым ребром равным 10см.

2. Предварительно внимательно изучив рисунок

найти площадь поверхности тетраэдра с ребром 5см и

высотой боковой грани равной 8см.

3. Дать название изображенной фигуре (рис.3)

Рис.1 Рис.2 Рис.3

Урок № 25-27

Элементы начертательной геометрии.

Сечения прямоугольного параллелепипеда и пирамиды плоскостями, проходящими через заданные точки.

Задание

1. Верно ли будет утверждать, что если две точки лежат в некоторой плоскости, то и прямая, проведенная через эти две точки будет лежать в этой же плоскости?

2. Всегда ли в одной плоскости лежат а) две произвольные прямые, б) две пересекающиеся прямые, в) две параллельные прямые?

Ответив на эти вопросы, можно смело приступать к построениям сечений.

А А А В

В 1

В

С С 1 С

А

3 А

2

4 1

В В

1 С

2. С

В

В А

А

А В

С С

С В В

А А

1 4

1 2

2

С С

3

Аналогично строятся сечения правильных призм и пирамид, в основании которых лежат шестиугольники. Только построения с некоторых случаях становятся значительно труднее. Рассмотрим некоторые простейшие случаи, предварительно научившись изображать эти геометрические тела, находить центры их оснований и высоты.

Задание.

Можно ли определить высоту призмы

не находя центров оснований?

Можно ли аналогичным образом

определить высоту пирамиды?

В А

С

В

С

1 1

4

А 2

3

А

В 1

В

А С

С

Урок № 28-29

Cимметрия: осевая и центральная.

В древности слово "!симметрия" употреблялось как "гармония", "красота". Действительно, по-гречески слово означает "соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей". Посмотрите, что объединяет эти рисунки.

   

Они симметричны. Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой, то отраженная в зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой. Поэтому такая симметрия получила название центральной или осевой. Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии.

Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то ее части совпадут.

Задание.

1. Назовите симметричные предметы, с которыми вы встречаетесь в жизни.

2. Сложите несколько раз бумажную салфетку и вырежьте из нее салфетку. Сколько осей симметрии имеет эта снежинка.

3. У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии. Мысленно перегибая бумагу, определите, сколько осей симметрии имеет каждая из фигур? Как расположены оси симметрии если их больше двух? Какая из фигур самая "симметричная", какая самая "несимметричная"?

4. Что общего у следующих фигур:

5. Определить какая из следующих фигур лишняя.

Кроме осевой, существует еще и центральная симметрия.Она характеризуется наличием центра симметрии - точки, обладаюшей определенным свойством. Говорят, что точка О является центром симметрии, если при повороте на 180º фигура переходит сама в себя.

Примеры центрально симметричных фигур:

Задание:

1. Изобразить фигуры, симметричные данным отнгосительно оси

Г

2. Построить фигуры, симметричные данным относительно точки О - центра симметрии.

О

О

Урок № 30-32

Основные задачи на построение.

Задача 1. Задача 2. Задача 3.

Построение серединного Построение биссектрисы Построение

перпендикуляра к отрезку. угла. параллельных прямых

А

m n

С

m n

А О В О 1 D

2 А

D C

АО = ОВ, CD  AB 1 = 2 B

Задача 4.

Построение перпендикуляра к отрезку, проходящего через точку

принадлежащую (не принадлежащую этому отрезку.)

C

C

O

A O B A B

D

D

CD  AB CD  AB

Задания:

1. Изобразить прямоугольник со сторонами 4см и 7см, обозначить его буквами, провести одну из его диагоналей. С помощью циркуля и угольника разделить диагональ пополам. Измерить полученные отрезки и записать результат.

2. С помощью циркуля и линейки разделить пополам АВС = 84. Измерить полученные углы и записать результаты.

3. Провести прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии 25мм от нее.

4. Длина стены комнаты 6м. Надо повесить картину точно посередине стены комнаты на высоте 1м80см. Выполнить чертеж в масштабе 1:100.

5. Посередине классной доски длиной 4м20см и шириной 1м60см на высоте 1м от нижнего ее края сидит жук. Куда свалится жук, когда устанут лапки? Изобразить картинку в масштабе 1:50.

Урок № 33

Практическая работа № 5.

1. Изобразить куб и выполнить его сечение вертикальной плоскостью, проходящей через диагональ основания. Найти площадь сечения, если диагональ равна 5,6м, а высота куба равна 4м.

2. Изобразить конус и выполнить его сечение вертикальной плоскостью, проходящей через диаметр основания.

3. Не выполняя построений найти площадь сечения цилиндра диаметра 3,8м и высотой 5,2м вертикальной плоскостью, проходящей через диаметр.

4. Изобразить произвольный треугольник. Построить фигуру, симметричную этому треугольнику относительно произвольной оси.

5. Изобразить флажок и построить фигуру, симметричную этому флажку относительно произвольной точки.

Урок № 34

Итоговая контрольная работа.

Вариант 1.

1. Построить непрямоугольный равнобедренный треугольник.

2. Провести биссектрису произвольного тупого угла.

3. Провести прямую, перпендикулярную заданной прямой через точку, лежащую вне прямой.

4. Дан произвольный отрезок АВ. Построить окружность таким образом,чтобы АВ был ее диаметром.

5. Построить ромб АВСD и выписать пары равных углов.

6. Изобразить прямоугольный параллелепипед.

Вариант 2.

1. Построить равносторонний треугольник.

2. Провести биссектрису произвольного острого угла.

3. Провести прямую, перпендикулярную заданной прямой через точку, лежащую на прямой.

4. Дан произвольный отрезок АВ. Построить окружность таким образом,чтобы АВ был ее диаметром.

5. Построить параллелорамм АВСD и выписать пары равных сторон.

6. Изобразить куб.

Примечание: задания 1-4 выполняются с помощью циркуля, задания 5-6 с исполоьзованием свойств клетчатой бумаги

Результаты выполнения

итоговой контрольной работы по геометрии

за 5 класс.

5а

Вариант А Вариант В Вариант С

12учащихся 10 учащихся 5 учащихся

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

5б

Вариант А Вариант В Вариант С

10учащихся 11 учащихся 6 учащихся

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

5в

Вариант А Вариант В Вариант С

11учащихся 9 учащихся 8 учащихся

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5