Методическое пособие для студенов Решение логарифмических уравнений

Авторская педагогическая разработка

Методическое пособие

для студентов по дисциплине «Математика»

Тема: «Решение логарифмических уравнений»

Иркутск, 2015

Пояснительная записка.

Методическое пособие «Логарифмические уравнения» выполнено для использования его студентами техникума при самостоятельных занятиях по данной теме в разделе «Показательная, логарифмическая и степенная функции» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения логарифмических уравнений.

В главе I данного пособия приведены определения логарифма и свойства логарифмов, которые необходимо знать при решении логарифмических уравнений.

В главе II дано определение логарифмического уравнения и приведены примеры логарифмических уравнений.

В главе III рассмотрены 5 основных методов решения логарифмических уравнений и приведены примеры, демонстрирующие применение этих методов.

I. Вопросы для повторения:

• что называется логарифмом?

• как записывается основное логарифмическое тождество?

• log _ab - какие ограничения накладываются на а?

• чему равен log _a a ?

• чему равен log _a (x_1*x₂)?

• чему равен log _a (x₁/x₂)?

• чему равен log _a a^m ?

• если а>1 и х₁ > х₂, то какой знак нужно поставить между

log _a x₁ и log _a x₂ ?

Если вы смогли ответить на все эти вопросы, то можете сразу переходить к главе II. Если же на какие-либо вопросы вы не смогли дать ответ, стоит почитать всю эту главу.

1. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b, (а>0, a ≠ 1, b>0)

log _ab = х

Например, log ₂ 8 = 3, так как 2³ = 8

log ₃ 1/27 = -3, так как 3 ^-3 = 1/27

2. Основное логарифмическое тождество имеет вид:

а ^lоgb = b

3. log _a a = 1

4. log _a (x_1*x₂) = log _a x₁ + log _a x₂

5. log _a (x₁/x₂) = log _a x₁ - log _a x₂

6. log _aa^m = m log _aa

7. Если а>1 и х₁ > х₂, то log _ax₁ > log _ax₂

II. Определение. Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Например: 2 log ₂ x - 7 = 0, log _x 4 = 2, 2 lg x - 1 = 0.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида: log _ax = b, где a >0 и a ≠ 1.

Его решением является x = a^b, x > 0.

Если логарифмическое уравнение имеет вид: log _af(x) = b, то есть под знаком логарифма находится некоторая функция f(x), то его решение сводится к решению уравнения f(x) = a^b (по определению логарифма). При этом уравнение имеет множество допустимых значений x, задаваемых неравенством f(x) > 0.

После того, как логарифмическое уравнение решено, то есть найдены корни уравнения, необходимо произвести проверку всех полученных корней.

Иногда сначала находят множество допустимых значений x.

III. Основные способы решения логарифмических уравнений:

1. применение определения логарифма;

2. применение свойств логарифмов;

3. предварительная замена числа его логарифмом;

4. введение вспомогательной переменной;

5. почленное логарифмирование.

1. Применение определения логарифма.

Данный метод применяется в том случае, когда в одной части логарифмического уравнения имеется логарифм, а в другой - число.

log _x-1 (x² - 7x + 41) = 2

По определению логарифма log _ax = b ═► a^b= х

Получим: (x -1)² = x² - 7x + 41

x² - 2x + 1 = x² - 7x + 41

x² - 2x + 1 - x² + 7x - 41 = 0

5х = 40 ═► х = 8

Проверка: подставив в уравнение значение x = 8, получим:

log _8-1 (64 -56 + 41) = 2 ═► log ₇ 49 = 2

7² = 49 - верно.

Ответ: х = 8

2. Применение свойств логарифмов.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнении имеется сумма или разность логарифмов по одному и тому же основанию.

4 lg 2 + 2 lg (x - 3) = lg 3 + lg (7x + 1) + lg (x - 6)

Пользуясь свойствами логарифмов, преобразуем:

lg 2⁴ + lg (x - 3)² = lg (3(7x + 1)(x - 6))

lg (2⁴ (x -3)²) = lg ((21x + 3)(x - 6))

Так как логарифмы по одному и тому же основанию равны, то равны и выражения, стоящие под знаками этих логарифмов:

2⁴ (x - 3)² = (21x + 3) (x - 6)

16 (x² - 6х + 9) = 21x² + 3x - 126x - 18

16x² - 96х + 144 = 21x²- 123x - 18

16x² - 96х + 144 - 21x² + 123x +18 = 0

- 5x² + 27x + 162 =0

5x² - 27x - 162 =0

Решив полученное квадратное уравнение, получим:

x₁ = -3.6 и x₂ = 9

Проверка показывает, что значение x = -3.6 не удовлетворяет данному уравнению.

Ответ: x = 9.

3. Предварительная замена числа его логарифмом.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнение наряду с логарифмами входит число.

lg (2^x+ x - 5) = x(1 - lg 5)

Заменив 1 его эквивалентом lg 10, получим:

lg (2^x + x - 5) = x( lg 10 - lg 5)

Пользуясь свойствами логарифмов, преобразуем:

lg (2^x + x - 5) = x lg

lg (2^x + x - 5) = x lg 2

lg (2^x + x - 5) = lg 2^x

2^x + x - 5 = 2^x

2^x + x - 5 - 2^x = 0

x - 5 = 0

x = 5

Проверка показывает, что полученный корень удовлетворяет уравнению.

Ответ: x = 5.

4. Введение новой переменной.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнение входят логарифмы во второй и в первой степени. Введение новой переменной позволяет свести логарифмическое уравнение к квадратному.

lg ²x + lg x - 2 = 0

Обозначим lg x = y, получим уравнение:

y² + y - 2 =0

y₁ = -2 и y₂ = 1

Возвращаясь к старой переменной, получим:

lg x = y₁ ═► lg x = -2 ═► x = 10^-2 ═► x = 0.01

lg x = y₂ ═► lg x = 1 ═► x = 10

Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: x₁ = 0.01, x₂ = 10.

5. Почленное логарифмирование.

Данный метод применяется в том случае, когда в уравнении логарифм находится в показателе степени.

x ^lgx=

Воспользуемся свойством логарифма степени, получим:

lg x lg x = lg

lg x lg x = lg 100 - lg x

lg ² x = 2 - lg x

lg ² x + lg x - 2 = 0

Получили квадратное уравнение, подобное тому, что мы решали в п.3.

Обозначим lg x = y, получим уравнение:

y² + y - 2 =0

y₁ = -2 и y₂ = 1

Возвращаясь к старой переменной, получим:

lg x = y₁ ═► lg x = -2 ═► x = 10^-2 ═► x = 0.01

lg x = y₂ ═► lg x = 1 ═► x = 10

Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: x₁ = 0.01, x₂ = 10.

6. Примеры:

1. log ₅ x = log ₅ (6 - x²)

2. log _{x +1} (2x² +1) = 2

3. log _{x - 6} (x² - 5) = log _{x - 6} (2x + 19)

4. lg² x = 3 - 2 lg x

5. log² ₃ x - log ₃ x = 2

Ответы:

1) 2; 2) 2; 3) корней нет; 4) 1; 10; 5) ; 9.

Литература:

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. - СПб,: Издательство "Лань", 2011. - 464 с.

2. Алгебра и начала анализа 10-11классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]-16-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 2010.-464с.

Дополнительные источники:

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.