Дидактический материал по математике для работы с учащимися с ОВЗ 7, 8, 9 классов

7класс

КАРТОЧКА № 1. Раскрытие скобок ВАРИАНТ 1

ПРАВИЛА

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если перед скобкой стоит знак «плюс» или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохраняя знаки всех слагаемых, стоящих

внутри скобок.

(a - b + c) = a - b + c

+(x + y - z) = x + y - z

+(-a + c - 1) = -a + c - 1

Раскрыть скобки:

1) (x + y - z) - 1;

2) (x + y) - x;

3) (x + y) + (x - y);

4) (x + y) - (x - y);

5) (x - y + z) - (x + y - z).

Если перед скобкой стоит знак «минус», то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок, на противоположные.

- (a - x + c) = - a + x - c

- (1 - x + a) = - 1 + x - a

КАРТОЧКА № 2. Умножение многочленов ВАРИАНТ 1

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Чтобы умножить многочлен на многочлен, умножь каждое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго многочлена.

(a + b - c)(x - y) =

= ax - ay + bx - by - cx + cy

Преобразовать произведение в многочлен:

1) (a + b)(c + d);

2) (a + 2)(b - c);

3) (a - 1)(a + b - 2);

4) (a - b)(a + b);

5) (a + b)(a + b).

КАРТОЧКА № 3. Разложение многочлена на множители вынесением за скобки общего множителя ВАРИАНТ 1

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки; в скобках нужно записать частные от деления каждого члена на этот множитель.

ax + ay - a = a(x + y - 1)

Преобразовать произведение в многочлен:

1) 2x - 2y;

2) 3x² - 2x;

3) 3xy + 4xz;

4) 6xy - 3xz + 9x²;

5) (x - 1)a + 2(x - 1)c.

КАРТОЧКА № 4. Cвойства степени с натуральным показателем ВАРИАНТ 1

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

1) a^m ∙ aⁿ = a ^{m + n};

2) a^m : aⁿ = a ^{m - n}; если а ≠ 0 и m>n;

3) (ab)^m = a^m∙ b^m;

4) если b ≠ 0;

5) (a^m)ⁿ = a^mn.

2²∙2³ = 2⁵ = 2∙2∙2∙2∙2 = 32;

3⁷: 3⁵ = 3² =3∙ 3 = 9, так как 3≠ 0 и 7>5;

6^m = (2∙ 3)^m = 2^m∙ 3^m;

(3^m)² = 3^2m.

Выбрать нужные формулы и с их помощью упростите выражения:

1) 5³¹: 5²⁹;

2) (х²)³;

3) (2х)⁴;

4) (8х)⁵: (4х)⁵;

5) х³ х².

КАРТОЧКА № 5. Формула квадрата суммы ВАРИАНТ 1

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I + II)² = I² + 2∙ I∙ II + II²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(3x + 4)² = ?

I = 3x, II = 4;

I² = (3x)², 2∙I∙ II = 2∙ 3x∙ 4,

II² = 4²;

(3x + 4)² = (3x)² + 2∙3x∙4 + 4² = = 9x² + 24x + 16.

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (a + b) ²;

2) x² + 2xy + y²;

3) m²+ 3mn + n²;

4) (2n + 3)²;

5) a² + 4a + 4.

I² + 2∙ I∙ II + II² = (I + II)²

a² + 2ab + b² = (a + b)²

25x² + 10xy + y² = ?

I² = 25x² = (5x)², I = 5x, II² = y², II = y, 2∙ I∙ II = 10xy = 2∙5x∙ y,

25x² + 10xy + y² = (5x + y)²

КАРТОЧКА № 6. Формула квадрата разности ВАРИАНТ 1

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I - II)² = I² - 2∙ I∙ II + II²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(3x - 4)² = ?

I = 3x, II = 4;

I² = (3x)², 2∙I∙ II = 2∙ 3x∙ 4,

II² = 4²;

(3x - 4)² = (3x)² - 2∙3x∙4 + 4² = = 9x² - 24x + 16.

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (a - b) ²;

2) x² - 2xy + y²;

3) m² - 3mn + n²;

4) (2n - 3)²;

5) a² - 4a + 4.

I² - 2∙ I∙ II + II² = (I - II)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

25x² - 10xy + y² = ?

I² = 25x² = (5x)², I = 5x, II² = y², II = y, 2∙ I∙ II = 10xy = 2∙5x∙ y,

25x² - 10xy + y² = (5x - y)²

КАРТОЧКА № 7. Формула разности квадратов ВАРИАНТ 1

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I - II)(I + II) = I² - II²

(a - b)(a + b) = a² - b²

(2x - 3y)(2x + 3y) = ?

I = 2x, II = 3y;

I² = (2x)²= 4x², II² = (3y)²= 9y²;

(2x - 3y)(2x + 3y) =(2x)² -(3y)² = = 4x² - 9y².

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (x - y) (x + y);

2) a² - c²;

3) (10 - a)(10 + a);

4) p² + q²;

5) 25m² - 16n².

I² - II² = (I - II)(I + II)

a² - b² = (a - b)(a + b)

a² - 25 = ?

I² = a², I = a, II² = 25 = 5², II = 5,

a² - 25 = (a - 5)(a + 5)

КАРТОЧКА № 8. Решение линейных уравнений ВАРИАНТ 1

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Чтобы решить линейное уравнение, надо:

1) раскрыть скобки, если они имеются;

2) перенеси слагаемые с неизвестным в левую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные;

3) перенеси слагаемые без неизвестного в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные;

4) приведи в обеих частях подобные слагаемые;

5) раздели обе части уравнения на коэффициент при х (если он не равен нулю).

Решить уравнение:

2х - 17 = 63 + 4х.

Решение:

1) 2х - 17 - 4х =63;

2) 2х - 4х = 63 + 17;

3) - 2х = 80;

4)х = 80 : ( - 2) = - 40.

Ответ: - 40.

Решите уравнения:

1) 4х + 5 = 2х - 7;

2) 5х - 7 = 13;

3) 3(х + 2) = 2(х + 2);

4) 2х - 4 = 8 + 2х;

5) 4х + 6 = 2(2х + 3).

КАРТОЧКА № 1. Раскрытие скобок ВАРИАНТ 2

ПРАВИЛА

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если перед скобкой стоит знак «плюс» или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохраняя знаки всех слагаемых, стоящих

внутри скобок.

(a - b + c) = a - b + c

+(x + y - z) = x + y - z

+(-a + c - 1) = -a + c - 1

Раскрыть скобки:

1) (a + b - c) + 2;

2) a + ( b - c);

3) a - (a - b + c);

4) (x - y) - (x + y);

5) (a - b + 1) - (a + b - 1).

Если перед скобкой стоит знак «минус», то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок, на противоположные.

- (a - x + c) = - a + x - c

- (1 - x + a) = - 1 + x - a

КАРТОЧКА № 2. Умножение многочленов ВАРИАНТ 2

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Чтобы умножить многочлен на многочлен, умножь каждое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго многочлена.

(a + b - c)(x - y) =

= ax - ay + bx - by - cx + cy

Преобразовать произведение в многочлен:

1) (x + y)(z + t);

2) (x + 2)(y - z;

3) (x - 1)(x + y - 3);

4) (x - y)(x + y);

5) (x + y)(x + y).

КАРТОЧКА № 3. Разложение многочлена на множители вынесением за скобки общего множителя ВАРИАНТ 2

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки; в скобках нужно записать частные от деления каждого члена на этот множитель.

ax + ay - a = a(x + y - 1)

Преобразовать произведение в многочлен:

1) 3a - 3b;

2) 7a² - 3ax;

3) 2ac + 5bc;

4) 6ad + 2cd - 4d²;

5) (a + 2)x + 3(a + 2)y.

КАРТОЧКА № 4. Cвойства степени с натуральным показателем ВАРИАНТ 2

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

1) a^m ∙ aⁿ = a ^{m + n};

2) a^m : aⁿ = a ^{m - n}; если а ≠ 0 и m>n;

3) (ab)^m = a^m∙ b^m;

4) если b ≠ 0;

5) (a^m)ⁿ = a^mn.

2²∙2³ = 2⁵ = 2∙2∙2∙2∙2 = 32;

3⁷: 3⁵ = 3² =3∙ 3 = 9, так как 3≠ 0 и 7>5;

6^m = (2∙ 3)^m = 2^m∙ 3^m;

(3^m)² = 3^2m.

Выбрать нужные формулы и с их помощью упростите выражения:

1) 7¹¹: 7⁹;

2) (а³)²;

3) (3а)⁵;

4) (6а)⁴: (3а)⁴;

5) у⁴ у.

КАРТОЧКА № 5. Формула квадрата суммы ВАРИАНТ 2

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I + II)² = I² + 2∙ I∙ II + II²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(3x + 4)² = ?

I = 3x, II = 4;

I² = (3x)², 2∙I∙ II = 2∙ 3x∙ 4,

II² = 4²;

(3x + 4)² = (3x)² + 2∙3x∙4 + 4² = = 9x² + 24x + 16.

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (x + y) ²;

2) a² + 2ab + b²;

3) p²+ 4pq + q²;

4) (2 + 3k)²;

5) a² + 6a + 9.

I² + 2∙ I∙ II + II² = (I + II)²

a² + 2ab + b² = (a + b)²

25x² + 10xy + y² = ?

I² = 25x² = (5x)², I = 5x, II² = y², II = y, 2∙ I∙ II = 10xy = 2∙5x∙ y,

25x² + 10xy + y² = (5x + y)²

КАРТОЧКА № 6. Формула квадрата суммы ВАРИАНТ 2

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I - II)² = I² - 2∙ I∙ II + II²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(3x - 4)² = ?

I = 3x, II = 4;

I² = (3x)², 2∙I∙ II = 2∙ 3x∙ 4,

II² = 4²;

(3x - 4)² = (3x)² - 2∙3x∙4 + 4² = = 9x² - 24x + 16.

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (x - y) ²;

2) a² - 2ab + b²;

3) p² - 4pq + q²;

4) (2 - 3k)²;

5) a² - 6a + 9.

I² - 2∙ I∙ II + II² = (I - II)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

25x² - 10xy + y² = ?

I² = 25x² = (5x)², I = 5x, II² = y², II = y, 2∙ I∙ II = 10xy = 2∙5x∙ y,

25x² - 10xy + y² = (5x - y)²

КАРТОЧКА № 7. Формула разности квадратов ВАРИАНТ 2

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I - II)(I + II) = I² - II²

(a - b)(a + b) = a² - b²

(2x - 3y)(2x + 3y) = ?

I = 2x, II = 3y;

I² = (2x)²= 4x², II² = (3y)²= 9y²;

(2x - 3y)(2x + 3y) =(2x)² -(3y)² = = 4x² - 9y².

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (a - b) (a + b);

2) 4a² - 1;

3) (3t - 2)(3t + 2);

4) x² + 4;

5) 9k² - 49.

I² - II² = (I - II)(I + II)

a² - b² = (a - b)(a + b)

a² - 25 = ?

I² = a², I = a, II² = 25 = 5², II = 5,

a² - 25 = (a - 5)(a + 5)

КАРТОЧКА № 8. Решение линейных уравнений ВАРИАНТ 2

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Чтобы решить линейное уравнение, надо:

1) раскрыть скобки, если они имеются;

2) перенеси слагаемые с неизвестным в левую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные;

3) перенеси слагаемые без неизвестного в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные;

4) приведи в обеих частях подобные слагаемые;

5) раздели обе части уравнения на коэффициент при х (если он не равен нулю).

Решить уравнение:

2х - 17 = 63 + 4х.

Решение:

1) 2х - 17 - 4х =63;

2) 2х - 4х = 63 + 17;

3) - 2х = 80;

4)х = 80 : ( - 2) = - 40.

Ответ: - 40.

Решите уравнения:

1) 3х + 4 = 7х - 8;

2) 2х - 3 = 10;

3) 2(х + 1) = 3(х + 1);

4) 3х - 5 = 3 + 3х;

5) 3х + 6 = 3( х + 2).

КАРТОЧКА № 1. Раскрытие скобок ВАРИАНТ 3

ПРАВИЛА

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если перед скобкой стоит знак «плюс» или не стоит никакой знак, то можно убрать скобки, сохраняя знаки всех слагаемых, стоящих

внутри скобок.

(a - b + c) = a - b + c

+(x + y - z) = x + y - z

+(-a + c - 1) = -a + c - 1

Раскрыть скобки:

1) (m + p - q) - p;

2) m + ( p - q);

3) m - (m - p + q);

4) (p + q) - (p - q);

5) (m - p + 5) - (m + p - 3).

Если перед скобкой стоит знак «минус», то можно убрать скобки, меняя знаки всех слагаемых, стоящих внутри скобок, на противоположные.

- (a - x + c) = - a + x - c

- (1 - x + a) = - 1 + x - a

КАРТОЧКА № 2. Умножение многочленов ВАРИАНТ 3

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Чтобы умножить многочлен на многочлен, умножь каждое слагаемое первого многочлена на каждое слагаемое второго многочлена.

(a + b - c)(x - y) =

= ax - ay + bx - by - cx + cy

Преобразовать произведение в многочлен:

1) (m + n)(p + q);

2) (m + 2)(n - p);

3) (m - 1)(m + n - 2);

4) (m - p)(m + p);

5) (m + 2)(m + 2).

КАРТОЧКА № 3. Разложение многочлена на множители вынесением за скобки общего множителя ВАРИАНТ 3

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Если у всех членов многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки; в скобках нужно записать частные от деления каждого члена на этот множитель.

ax + ay - a = a(x + y - 1)

Преобразовать произведение в многочлен:

1) 4p - 4q;

2) q² - 7p;

3) pq + 2mp;

4) 6ay - 3az + 9a²;

5) (m + 1)a + 4(m + 1)b.

КАРТОЧКА № 4. Cвойства степени с натуральным показателем ВАРИАНТ 3

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

1) a^m ∙ aⁿ = a ^{m + n};

2) a^m : aⁿ = a ^{m - n}; если а ≠ 0 и m>n;

3) (ab)^m = a^m∙ b^m;

4) если b ≠ 0;

5) (a^m)ⁿ = a^mn.

2²∙2³ = 2⁵ = 2∙2∙2∙2∙2 = 32;

3⁷: 3⁵ = 3² =3∙ 3 = 9, так как 3≠ 0 и 7>5;

6^m = (2∙ 3)^m = 2^m∙ 3^m;

(3^m)² = 3^2m.

Выбрать нужные формулы и с их помощью упростите выражения:

1) 6¹⁸: 6¹⁷;

2) (b⁴)³;

3) (2m)³;

4) (10n)⁶: (5n)⁶;

5) a a⁴.

КАРТОЧКА № 5. Формула квадрата суммы ВАРИАНТ 3

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I + II)² = I² + 2∙ I∙ II + II²

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(3x + 4)² = ?

I = 3x, II = 4;

I² = (3x)², 2∙I∙ II = 2∙ 3x∙ 4,

II² = 4²;

(3x + 4)² = (3x)² + 2∙3x∙4 + 4² = = 9x² + 24x + 16.

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (c + d) ²;

2) x² + 2x + 1;

3) a²+ 8a + 16;

4) (2p + q)²;

5) 4a² + 4a + 1.

I² + 2∙ I∙ II + II² = (I + II)²

a² + 2ab + b² = (a + b)²

25x² + 10xy + y² = ?

I² = 25x² = (5x)², I = 5x, II² = y², II = y, 2∙ I∙ II = 10xy = 2∙5x∙ y,

25x² + 10xy + y² = (5x + y)²

КАРТОЧКА № 6. Формула квадрата суммы ВАРИАНТ 3

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I - II)² = I² - 2∙ I∙ II + II²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(3x - 4)² = ?

I = 3x, II = 4;

I² = (3x)², 2∙I∙ II = 2∙ 3x∙ 4,

II² = 4²;

(3x - 4)² = (3x)² - 2∙3x∙4 + 4² = = 9x² - 24x + 16.

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (c - d) ²;

2) x² - 2x + 1;

3) a² - 8a + 16;

4) (2p - q)²;

5) 4a² - 4a + 1.

I² - 2∙ I∙ II + II² = (I - II)²

a² - 2ab + b² = (a - b)²

25x² - 10xy + y² = ?

I² = 25x² = (5x)², I = 5x, II² = y², II = y, 2∙ I∙ II = 10xy = 2∙5x∙ y,

25x² - 10xy + y² = (5x - y)²

КАРТОЧКА № 7. Формула разности квадратов ВАРИАНТ 3

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

(I - II)(I + II) = I² - II²

(a - b)(a + b) = a² - b²

(2x - 3y)(2x + 3y) = ?

I = 2x, II = 3y;

I² = (2x)²= 4x², II² = (3y)²= 9y²;

(2x - 3y)(2x + 3y) =(2x)² -(3y)² = = 4x² - 9y².

Преобразовать выражение по данной формуле, если это возможно:

1) (c - d) (c + d);

2) 100 - x²;

3) (3 - q)3 + q);

4) 1 + x²;

5) m² - 4.

I² - II² = (I - II)(I + II)

a² - b² = (a - b)(a + b)

a² - 25 = ?

I² = a², I = a, II² = 25 = 5², II = 5,

a² - 25 = (a - 5)(a + 5)

КАРТОЧКА № 8. Решение линейных уравнений ВАРИАНТ 3

ПРАВИЛО

ОБРАЗЕЦ

ЗАДАНИЕ

Чтобы решить линейное уравнение, надо:

1) раскрыть скобки, если они имеются;

2) перенеси слагаемые с неизвестным в левую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные;

3) перенеси слагаемые без неизвестного в правую часть уравнения, меняя их знаки на противоположные;

4) приведи в обеих частях подобные слагаемые;

5) раздели обе части уравнения на коэффициент при х (если он не равен нулю).

Решить уравнение:

2х - 17 = 63 + 4х.

Решение:

1) 2х - 17 - 4х =63;

2) 2х - 4х = 63 + 17;

3) - 2х = 80;

4)х = 80 : ( - 2) = - 40.

Ответ: - 40.

Решите уравнения:

1) 5х + 1 = 3х + 7;

2) 6х - 1 = 11;

3) х - 1 = 7(х - 1);

4) х - 2 = 1 + 4х;

5) 5х + 5 = 5(х - 1).

8класс

Карточка 1 Основное свойство дроби

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 1)

Сократить дробь:,

где

1. Сократить дробь:

2. Сократить дробь:

3. Привести дробь к знаменателю х² - у².

Сократить дроби:

1) 2) 3)

Указание: в заданиях 2) и 3) используй формулы сокращённого умножения: (а-b)(a+b) = a² - b² ,

a² - 2ab + b² = (a - b)² или a² + 2ab + b² = (a +b)².

Привести дроби к общему знаменателю:

4) и 5) и

Привести дробь к новому знаменателю:

Карточка 1 Основное свойство дроби

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 2)

Сократить дробь:,

где

1)Сократить дробь:

2)Сократить дробь:

3)Привести дробь к знаменателю х² - у².

Сократить дроби:

1) 2) 3)

Указание: в заданиях 2) и 3) используй формулы сокращённого умножения: (а-b)(a+b) = a² - b² ,

a² - 2ab + b² = (a - b)² или a² + 2ab + b² = (a +b)².

Привести дроби к общему знаменателю:

4) и 5) и

Привести дробь к новому знаменателю:

Карточка 1 Основное свойство дроби

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 3)

Сократить дробь:,

где

1)Сократить дробь:

2)Сократить дробь:

3)Привести дробь к знаменателю х² - у².

Сократить дроби:

1) 2) 3)

Указание: в заданиях 2) и 3) используй формулы сокращённого умножения: (а-b)(a+b) = a² - b² ,

a² - 2ab + b² = (a - b)² или a² + 2ab + b² = (a +b)².

Привести дроби к общему знаменателю:

4) и 5) и

Привести дробь к новому знаменателю:

Карточка 2 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 1)

,

где b ≠ 0

,

где b ≠ 0

1)

2)

Указание: 2) в последнем шаге надо разложить знаменатель на множители по формуле c² - d² = (c - d)(c + d) и сократить дробь на c - d.

Найти суммы и разности:

1) 2) 3) 4) 5) ;

Указание: в заданиях 3), 4) и 5) используй в последнем шаге формулы сокращённого умножения: (а-b)(a+b) = a² - b² , a² - 2ab + b² = (a - b)² или a² + 2ab + b² = (a +b)².

Карточка 2 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 2)

,

где b ≠ 0

,

где b ≠ 0

1)

2)

Указание: 2) в последнем шаге надо разложить знаменатель на множители по формуле c² - d² = (c - d)(c + d) и сократить дробь на c - d.

Найти суммы и разности:

1) 2) 3) 4) 5) .

Указание: в заданиях 3), 4) и 5) используй в последнем шаге формулы сокращённого умножения: (а-b)(a+b) = a² - b² , a² - 2ab + b² = (a - b)² или a² + 2ab + b² = (a +b)².

Карточка 2 Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 3)

,

где b ≠ 0

,

где b ≠ 0

1)

2)

Указание: 2) в последнем шаге надо разложить знаменатель на множители по формуле c² - d² = (c - d)(c + d) и сократить дробь на c - d.

Найти суммы и разности:

1) 2) 3) 4) 5) .

Указание: в заданиях 3), 4) и 5) используй в последнем шаге формулы сокращённого умножения: (а-b)(a+b) = a² - b² , a² - 2ab + b² = (a - b)² или a² + 2ab + b² = (a +b)².

Карточка 3 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 1)

,

где b,d ≠ 0

1) найдите общий зна -менатель, состоящий из произведения всех различных выражений;

2) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на их дополнительный множитель;

3)выполнить действия.

Общий знаменатель: (а - b)²(а + b). Дополнительный множитель для первой дроби - это (a + b) , для второй дроби - это (а - b)

Указание: при составлении общего знаменателя из всех степеней берут степень с наибольшим показателем; в нашем случае это (а - b)²

Найти суммы и разности:

1) 2) 3) 4) 5) .

Указание: в задании 2) знаменатели -противоположные выражения, в задании 5) надо вначале разложить на множители каждый знаменатель, используя ФСУ,а затем составить общий знаменатель.

ФСУ: a² - b² =(а-b)(a+b) , (a - b)² = a² - 2ab + b², (a +b)² = a² + 2ab + b²

Карточка 3 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 2)

,

где b,d ≠ 0

1) найдите общий зна -менатель, состоящий из произведения всех различных выражений;

2) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на их дополнительный множитель;

3)выполнить действия.

Общий знаменатель: (а - b)²(а + b). Дополнительный множитель для первой дроби - это (a + b) , для второй дроби - это (а - b)

Указание: при составлении общего знаменателя из всех степеней берут степень с наибольшим показателем; в нашем случае это (а - b)²

Найти суммы и разности:

1) 2) 3) 4) 5) .

Указание: в задании 2) знаменатели -противоположные выражения, в задании 5) надо вначале разложить на множители каждый знаменатель, используя ФСУ,а затем составить общий знаменатель.

ФСУ: a² - b² =(а-b)(a+b) , (a - b)² = a² - 2ab + b², (a +b)² = a² + 2ab + b²

Карточка 3 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 3)

,

где b,d ≠ 0

1) найдите общий зна -менатель, состоящий из произведения всех различных выражений;

2) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на их дополнительный множитель;

3)выполнить действия.

Общий знаменатель: (а - b)²(а + b). Дополнительный множитель для первой дроби - это (a + b) , для второй дроби - это (а - b)

Указание: при составлении общего знаменателя из всех степеней берут степень с наибольшим показателем; в нашем случае это (а - b)²

Найти суммы и разности:

1) 2) 3) 4) 5) .

Указание: в задании 2) знаменатели -противоположные выражения, в задании 5) надо вначале разложить на множители каждый знаменатель, используя ФСУ,а затем составить общий знаменатель.

ФСУ: a² - b² =(а-b)(a+b) , (a - b)² = a² - 2ab + b², (a +b)² = a² + 2ab + b²

Карточка 4 Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 1)

,

где b,d ≠ 0

,

где b ≠ 0 или

1)Выполни умножение:

2)

3) Указание: В задании 1)и 2) вначале разложите числители и знаменатели на множители, а затем сократите дроби

Найти произведение дробей:

1) 2)

3)

4)

Вычислить:

Указание: В задании 3) и 4) вначале разложите числители и знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки, а затем сократите дроби

Карточка 4 Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 2)

,

где b,d ≠ 0

,

где b ≠ 0 или

1)Выполни умножение:

2)

3) Указание: В задании 1) и 2) вначале разложите числители и знаменатели на множители, а затем сократите дроби

Найти произведение дробей:

1) 2)

3)

4)

Вычислить:

Указание: В задании 3) и 4) вначале разложите числители и знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки, а затем сократите дроби

Карточка 4 Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 3)

,

где b,d ≠ 0

,

где b ≠ 0 или

1)Выполни умножение:

2)

3) Указание: В задании 1)и 2) вначале разложите числители и знаменатели на множители, а затем сократите дроби

Найти произведение дробей:

1) 2)

3)

4)

Вычислить:

Указание: В задании 3) и 4) вначале разложите числители и знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки, а затем сократите дроби

Карточка 5 Деление дробей

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 1)

,

где b,с,d ≠ 0

Выполнить деление:

1)

2)

Указание: В задании 1) вначале разложите числители и знаменатели на множители, используя вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения(ФСУ), а затем сократите дробь

ФСУ: х² - у² = (х - у)(х + у)

Найти частное дробей:

1) 2)

3)

4)

5)

Указание: В задании 3),4),5) вначале разложите числители и знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки и используя ФСУ, а затем сократите дроби

Карточка 5 Деление дробей

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 2)

,

где b,с,d ≠ 0

Выполнить деление:

1)

2)

Указание: В задании 1) вначале разложите числители и знаменатели на множители, используя вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения(ФСУ), а затем сократите дробь

ФСУ: х² - у² = (х - у)(х + у)

Найти частное дробей:

1) 2)

3)

4)

5)

Указание: В задании 3),4),5) вначале разложите числители и знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки и используя ФСУ, а затем сократите дроби

Карточка 5 Деление дробей

Правило

Образцы

Задания ( Вариант 3)

,

где b,с,d ≠ 0

Выполнить деление:

1)

2)

Указание: В задании 1) вначале разложите числители и знаменатели на множители, используя вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращённого умножения(ФСУ), а затем сократите дробь

ФСУ: a² - b² = (a - b)(a + b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²) = (a - b)(a + b) a² + b²)

Найти частное дробей:

1) 2)

3)

4)

5)

Указание: В задании 3),4),5) вначале разложите числители и знаменатели на множители, вынеся общий множитель за скобки и используя ФСУ, а затем сократите дроби

Карточка 6 Свойства квадратных корней

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 1)

если .

если , b > 0.

, если .

Вычислить:

1)

2);

3)

4)

Вычислите:

1);

2);

3);

4) ;

5).

Карточка 6 Свойства квадратных корней

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 2)

если .

если , b > 0.

, если .

Вычислить:

1)

2);

3)

4)

Вычислите:

1);

2);

3);

4) ;

5).

Карточка 6 Свойства квадратных корней

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 3)

если .

если , b > 0.

, если .

Вычислить:

1)

2);

3)

4)

Вычислите:

1);

2);

3);

4) ;

5).

Карточка 7 Вынесение множителя из - под знака корня

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 1)

если .

1);

2) ;

3) , т.к. у² ≥ 0;

4)

Пояснения: т.к. по условию z⁷ ≥ 0, то z ≥ 0. Но тогда

.

Вынести множитель из - под корня:

1); 2);

3)где х > 0,

у< 0.

4) ; 5).

Карточка 7 Вынесение множителя из - под знака корня

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 2)

если .

1);

2) ;

3) , т.к. у² ≥ 0;

4)

Пояснения: т.к. по условию z⁷ ≥ 0, то z ≥ 0. Но тогда

.

Вынести множитель из - под корня:

1); 2);

3)где d > 0, с< 0.

4) ; 5).

Карточка 7 Вынесение множителя из - под знака корня

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 3)

если .

1);

2) ;

3) , т.к. у² ≥ 0;

4)

Пояснения: т.к. по условию z⁷ ≥ 0, то z ≥ 0. Но тогда

.

Вынести множитель из - под корня:

1); 2);

3)где q > 0,

p< 0.

4) ; 5).

Карточка 8 Внесение множителя под знак корня

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 1)

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно:

1)возвести его в квадрат;

2) если этот множитель отрицателен, изменить его знак при внесении под корень, а «минус» оставить перед корнем.

Заменить выражение квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

а ≥ 0;

а ≤ 0;

Впервом случае получился квадратный корень, а во втором - выражение, противоположное квадратному корню

Заменить выражение квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

1); 2);

3)где х > 0;

4) ; 5).

Карточка 8 Внесение множителя под знак корня

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 2)

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно:

1)возвести его в квадрат;

2) если этот множитель отрицателен, изменить его знак при внесении под корень, а «минус» оставить перед корнем.

Заменить выражение квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

а ≥ 0;

а ≤ 0;

Впервом случае получился квадратный корень, а во втором - выражение, противоположное квадратному корню

Заменить выражение квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

1); 2);

3)где у < 0;

4) ; 5).

Карточка 8 Внесение множителя под знак корня

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 3)

Чтобы внести множитель под знак корня, нужно:

1)возвести его в квадрат;

2) если этот множитель отрицателен, изменить его знак при внесении под корень, а «минус» оставить перед корнем.

Заменить выражение квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

а ≥ 0;

а ≤ 0;

Впервом случае получился квадратный корень, а во втором - выражение, противоположное квадратному корню

Заменить выражение квадратным корнем или выражением, ему противоположным:

1); 2);

3);

4) ; 5).

Карточка 9 Решение неполных квадратных уравнений

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 1)

Уравнение вида ах² = 0

решается так:

ах² = 0

х² = 0(а ≠ 0)

х = 0.

Уравнение вида ах²+ bх = 0

решается так:

ах²+ bх = 0

х(ах + b) = 0

x = 0 или ax + b = 0

x = 0 или x = .

Уравнение вида ах²+ c = 0

решается так:

ах²+ c = 0, ax² = -c,

, где а ≠ 0;

1)если , то корней нет;

2)если ,то х = 0;

3) если , то х = .

Решить уравнения:

1) 2х² + 8 = 0 - уравнение вида ах²+с=0;

2х² = - 8,

х² = -4. Ответ: корней нет

2) 3х² - 2х = 0 - уравнение вида ах²+ bx =0.

3х² - 2х = 0,

x(3x - 2) = 0,

x = 0 или 3x - 2 = 0,

x = 0 или . Ответ: 0;

3)7х² - 8 = 0 - уравнение вида ах² + с = 0.

7х² - 8 = 0,

7х² = 8,

х² = ,

. Ответ:

4)6х² = 0 - уравнение вида ах² = 0.

6х² = 0,

х² = 0,

х = 0. Ответ: 0

1) 3х² + 3 = 0;

2) -х² + 5х = 0;

3) 7х² - 28 = 0;

4) -х² = 0;

5) 4(х - 1)² - 16 = 0

Карточка 9 Решение неполных квадратных уравнений

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 2)

Уравнение вида ах² = 0

решается так:

ах² = 0

х² = 0(а ≠ 0)

х = 0.

Уравнение вида ах²+ bх = 0

решается так:

ах²+ bх = 0

х(ах + b) = 0

x = 0 или ax + b = 0

x = 0 или x = .

Уравнение вида ах²+ c = 0

решается так:

ах²+ c = 0, ax² = -c,

, где а ≠ 0;

1)если , то корней нет;

2)если ,то х = 0;

3) если , то х = .

Решить уравнения:

1) 2х² + 8 = 0 - уравнение вида ах²+с=0;

2х² = - 8,

х² = -4. Ответ: корней нет

2) 3х² - 2х = 0 - уравнение вида ах²+ bx =0.

3х² - 2х = 0,

x(3x - 2) = 0,

x = 0 или 3x - 2 = 0,

x = 0 или . Ответ: 0;

3)7х² - 8 = 0 - уравнение вида ах² + с = 0.

7х² - 8 = 0,

7х² = 8,

х² = ,

. Ответ:

4)6х² = 0 - уравнение вида ах² = 0.

6х² = 0,

х² = 0,

х = 0. Ответ: 0

1) 5х² - 5 = 0;

2) 3х² + 6х = 0;

3) 5х² + 20 = 0;

4) 4х² = 0;

5) 5(х - 2)² - 45 = 0

Карточка 9 Решение неполных квадратных уравнений

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 3)

Уравнение вида ах² = 0

решается так:

ах² = 0

х² = 0(а ≠ 0)

х = 0.

Уравнение вида ах²+ bх = 0

решается так:

ах²+ bх = 0

х(ах + b) = 0

x = 0 или ax + b = 0

x = 0 или x = .

Уравнение вида ах²+ c = 0

решается так:

ах²+ c = 0, ax² = -c,

, где а ≠ 0;

1)если , то корней нет;

2)если ,то х = 0;

3) если , то х = .

Решить уравнения:

1) 2х² + 8 = 0 - уравнение вида ах²+с=0;

2х² = - 8,

х² = -4. Ответ: корней нет

2) 3х² - 2х = 0 - уравнение вида ах²+ bx =0.

3х² - 2х = 0,

x(3x - 2) = 0,

x = 0 или 3x - 2 = 0,

x = 0 или . Ответ: 0;

3)7х² - 8 = 0 - уравнение вида ах² + с = 0.

7х² - 8 = 0,

7х² = 8,

х² = ,

. Ответ:

4)6х² = 0 - уравнение вида ах² = 0.

6х² = 0,

х² = 0,

х = 0. Ответ: 0

1) 3х² + 12 = 0;

2) 2х² - 6х = 0;

3) 5х² - 20 = 0;

4) -7х² = 0;

5) 3(х + 1)² - 27 = 0

Карточка 10 Решение квадратных уравнений по формуле

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 1)

Чтобы решить квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 по формуле нужно:

вычислить его дискриминант

D = b² - 4ac.

1) Если D< 0, то корней нет; 2) если D = 0, вычислить единственный корень по формуле ; 3) если D > 0 , вычислить два корня по формуле .

Решить уравнения:

1) 8х² +4х + 3 = 0 ; a = 8, b = 4, c = 3

Находим дискриминант D = b² - 4ac,

D = 4² - 4·8·3 = 16 - 96 = - 80 <0 - нет корней. Ответ: нет корней.

2) х² - 6х + 9 = 0 ; a = 1, b = - 6, c = 9

D = b² - 4ac = (-6)² - 4·1·9 =36 - 36 = 0

Находим единственный корень по формуле = .

Ответ: 3.

3) 5х² - 3х - 2 = 0 ; a = 5, b = - 3, c = - 2.

D = b² - 4ac = (-3)² - 4·5·(- 2) =9 + 40 =49,

=

Ответ: -0,4; 1

1) 3х² + 5х - 8 = 0;

2) х² + 5х + 10 = 0;

3) 7х² - 14х + 7 = 0;

4) - х²+ 3х + 4 = 0;

5) 4(х - 1)² - 16х = 0

Карточка 10 Решение квадратных уравнений по формуле

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 2)

Чтобы решить квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 по формуле нужно:

вычислить его дискриминант

D = b² - 4ac.

1) Если D< 0, то корней нет; 2) если D = 0, вычислить единственный корень по формуле ; 3) если D > 0 , вычислить два корня по формуле .

Решить уравнения:

1) 8х² +4х + 3 = 0 ; a = 8, b = 4, c = 3

Находим дискриминант D = b² - 4ac,

D = 4² - 4·8·3 = 16 - 96 = - 80 <0 - нет корней. Ответ: нет корней.

2) х² - 6х + 9 = 0 ; a = 1, b = - 6, c = 9

D = b² - 4ac = (-6)² - 4·1·9 =36 - 36 = 0

Находим единственный корень по формуле = .

Ответ: 3.

3) 5х² - 3х - 2 = 0 ; a = 5, b = - 3, c = - 2.

D = b² - 4ac = (-3)² - 4·5·(- 2) =9 + 40 =49,

=

Ответ: -0,4; 1

1) 5х² + х - 6 = 0;

2) 3х² + 6х + 3 = 0;

3) 4х² - 11х - 7 = 0;

4) х²+ 4х + 5 = 0;

5) 5(х - 2)² - 45х = 0

Карточка 10 Решение квадратных уравнений по формуле

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 3)

Чтобы решить квадратное уравнение ах² + bx + c = 0 по формуле нужно:

вычислить его дискриминант

D = b² - 4ac.

1) Если D< 0, то корней нет; 2) если D = 0, вычислить единственный корень по формуле ; 3) если D > 0 , вычислить два корня по формуле .

Решить уравнения:

1) 8х² +4х + 3 = 0 ; a = 8, b = 4, c = 3

Находим дискриминант D = b² - 4ac,

D = 4² - 4·8·3 = 16 - 96 = - 80 <0 - нет корней. Ответ: нет корней.

2) х² - 6х + 9 = 0 ; a = 1, b = - 6, c = 9

D = b² - 4ac = (-6)² - 4·1·9 =36 - 36 = 0

Находим единственный корень по формуле = .

Ответ: 3.

3) 5х² - 3х - 2 = 0 ; a = 5, b = - 3, c = - 2.

D = b² - 4ac = (-3)² - 4·5·(- 2) =9 + 40 =49,

=

Ответ: -0,4; 1

1) 2х² + 7х - 9 = 0;

2) 2 х² - 4х + 2 = 0;

3) х² - 10х + 30 = 0;

4) х²+ 5х + 6 = 0;

5) 3(х + 1)² - 27х = 0

Карточка 11 Решение числовых неравенств

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 1)

При решении числовых неравенств можно:

1) переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные;

2) делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства;

3) ) делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства

Решить неравенство:

-2(х - 3) > 3(x + 5).

Решение:

Раскроем скобки, умножив числа перед скобками на каждое слагаемое в скобках: -2х + 6 > 3x + 15.

Перенесём слагаемые с неизвестным влево, а без неизвестных вправо, изменяя их знаки: -2х - 3х > 15 - 6.

Приведём подобные слагаемые:

-5х > 9, разделим обе части неравенства на отрицательное число - 5, меняя знак неравенства: х< -1,8.

Ответ:

1) х + 1 < 7;

2) 3 - x < 6 ;

3) 2x - 7 > x;

4) 6 - x < 8 + x;

5) 2(x - 4) > 5 - 7x

Карточка 11 Решение числовых неравенств

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 2)

При решении числовых неравенств можно:

1) переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные;

2) делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства;

3) ) делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства

Решить неравенство:

-2(х - 3) > 3(x + 5).

Решение:

Раскроем скобки, умножив числа перед скобками на каждое слагаемое в скобках: -2х + 6 > 3x + 15.

Перенесём слагаемые с неизвестным влево, а без неизвестных вправо, изменяя их знаки: -2х - 3х > 15 - 6.

Приведём подобные слагаемые:

-5х > 9, разделим обе части неравенства на отрицательное число - 5, меняя знак неравенства: х< -1,8.

Ответ:

1) х + 2 > 6;

2) 2 - x < 7 ;

3) 3x - 2 > 2x;

4) 2 - x < 7 + x;

5) -(x + 3) > 4 - 6x

Карточка 11 Решение числовых неравенств

Правила

Образцы

Задания ( Вариант 3)

При решении числовых неравенств можно:

1) переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, изменив знаки этих слагаемых на противоположные;

2) делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства;

3) ) делить обе части неравенства на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства

Решить неравенство:

-2(х - 3) > 3(x + 5).

Решение:

Раскроем скобки, умножив числа перед скобками на каждое слагаемое в скобках: -2х + 6 > 3x + 15.

Перенесём слагаемые с неизвестным влево, а без неизвестных вправо, изменяя их знаки: -2х - 3х > 15 - 6.

Приведём подобные слагаемые:

-5х > 9, разделим обе части неравенства на отрицательное число - 5, меняя знак неравенства: х< -1,8.

Ответ:

1) х - 4 > 8;

2) 5 + x < 9 ;

3) -x + 3 > x;

4) 4 + x < 4 + 2x;

5) -3(x + 1) < 4 - 7x

9 класс

Карточка № 1. Разложение квадратного трёхчлена на множители / ВАРИАНТ 1 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

1. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть корни х₁ и х₂, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂).

2. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 нет корней, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c нельзя разложить на множители.

3. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть один корень х₁, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители:

ax² + bx + c = a(x - x₁)².

Следующие квадратные трёхчлены разложить на множители, если это возможно:

1) 2х² - 5х + 2, 2) 9х² + 6х + 1, 3) х² - 2х + 3.

Решение: 1) Рассмотрим уравнение 2х² - 5х + 2 = 0, D = b² - 4ac = (-5)² - 4∙2∙2 =

= 25 - 16 = 9 > 0, x₂ = 2. Значит,

2х² - 5х + 2 =

2) 9х² + 6х + 1 = 0, D = 6² - 4 ∙ 9 = 0, .

9х² + 6х + 1 = .

3) х² - 2х + 3 = 0,D = (-2)² - 4∙3 = 4 - 12 = - 8 < 0 - нет корней. Значит, трёхчлен х² - 2х + 3 нельзя разложить на множители.

Разложить на множители, если это возможно:

1) 3х² + 5х - 8,

2) х² + 5х + 10,

3)7х² - 14х + 7,

4) - х² + 3х + 4,

5) 4(х - 1)² - 16х.

Карточка № 2. Построение графика квадратичной функции / ВАРИАНТ 1 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Построить параболу у = ах² + bx + c можно так:

1) найти абсциссу вершины параболы по формуле ;

2) найти ординату вершины параболы по формуле или по формуле у₀ = ах₀² + bx₀ + c ;

3) в координатной плоскости построить точку (х₀;у₀) - вершину параболы;

4) найти координаты ещё нескольких точек, принадлежащих параболе слева или справа от вершины и отметить их в координатной плоскости и симметричные точки относительно оси параболы ( прямая х = х₀).

Построить график функции

у = -0,5х² + х - 4.

1)

2) у₀ = -0,5∙ 1² + 1 - 4 = -3,5;

3)

х₀

0

-1

-2

у₀

-4

-5,5

-8

4) ось параболы х = 1; симметричные точки (2;4), (3;-5,5), (4;-8).

5) отмечаем в координатной плоскости вершину параболы и эти точки, затем соединяя их плавной линией.

Построить графики:

1) у = х² + 5х - 6,

2) у = х² + 5х,

3) у = -х² + 7,

4) у = х² + 2х + 1,

5) у = х² + х + 1.

Карточка № 3. Решение систем уравнений / ВАРИАНТ 1 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если одно из уравнений в системе стоит в первой степени, то можно решить эту систему способом подстановки, выразив из этого уравнения какое - либо неизвестное и подставив во второе уравнение полученное выражение и продолжая далее решение.

Решить систему:

Решение: Уравнение х + у = 7 первой степени (линейное). Поэтому х = 7 - у.

Подставляем это выражение в первое уравнение вместо х: (7 - у)² + у² = 25,

49 - 14у + у² + у² = 25, 2у² - 14у + 24 = 0,

у² - 7у + 12 = 0; у₁ = 3, у₂ = 4. Подставляем у₁ и у₂ в уравнение х = 7 - у: х₁ = 7 - 3 = 4, х₂ = 7 - 4 = 3.

Ответ: (4;3), (3;4).

Решить системы:

1)

2)

3)

4)

5)

Карточка № 4. Арифметическая прогрессия / ВАРИАНТ 1 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом:

a _{п +1} = а_п + d.

Формула п-го члена арифметической прогрессии: а_п = а₁ + d(n - 1).

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

5

-2

3

2)

7

21

2

3)

-

-

11

9

Решение: 1) а_п = а₁ + d(n - 1), а₅ = -2 + 3∙4 =10; a _{п +1} = а_п + d, а₆ = а₅ + d = 10 + 3 = 13.

2) а_п = а₁ + d(n - 1), 21 = 7 + 2(n - 1),

21 =7 + 2n - 2, 2n = 21 - 7 + 5 = 16, n = 8, a₉ = 21 + 2 = 23.

3) a _{п +1} = а_п + d, 9 = 11 + d, d = 9 - 11, d = -2.

Ответы:

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

5

-2

10

13

3

2)

8

7

21

23

2

3)

-

-

11

9

-2

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

-

-

-2

1

2)

-

-

6

4

3)

4

5

1

4)

7

-1

-2

5)

7

-1

-2

Карточка № 5. Сумма членов арифметической прогрессии / ВАРИАНТ 1/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

4

7

21

-

2)

5

-2

-

3

Решение: 1)

2)

Ответы:

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

4

7

21

-

56

2)

5

-2

-

3

20

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

5

-2

6

-

1

2)

7

21

2

3)

8

11

9

4)

5

-2

3

5)

7

21

2

Карточка № 6. Геометрическая прогрессия / ВАРИАНТ 1/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число:

b_{n+ 1} = b_n∙ q.

Формула п-го члена геометрической прогрессии:b_n = b₁∙q^n-1.

Заполнить таблицу

n

b₁

b_n

b_n+1

q

1)

5

-2

3

2)

7

56

2

3)

-

-

-18

9

Решение: 1) b_n = b₁∙q^n-1, b₅ = -2∙3⁴ = =-2∙81 = -162; b_{n+ 1} = b_n∙ q, b₆ = b₅∙q = = -162∙ 3 = -486.

2) b_n = b₁∙q^n-1, 56 = 7 ∙ 2^{n -1} , 2^{n -1}=56 : 7= = 8 =2³, n - 1 = 3, n = 4; b₅ = 56 ∙ 2 = =112.

3) b_{n+ 1} = b_n∙ q, 9 = -18 q, q =- 0,5.

Ответы:

n

b₁

b_n

b_n+1

q

1)

5

-2

-162

-486

3

2)

4

7

56

112

2

3)

-

-

-18

9

-0,5

Заполнить таблицу

n

b₁

b_п

b_n+1

d

1)

-

-

-2

1

2)

-

-

6

4

3)

4

5

1

4)

7

-1

-2

5)

7

-1

- 2

Карточка № 7. Сумма членов геометрической прогрессии / ВАРИАНТ 1/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если q ≠ 1, то сумму п первых членов геометрической прогрессии можно найти по формулам:

.

Если q = 1, то S_n = b₁n.

Найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 7, а четвёртый равен -56.

Решение:

Найдём q: b₄ = -56; b₁q³ = -56 ; 7q³ = -56;

q³ = -8; q = -2.

Заполнить таблицу

n

b₁

b_п

q

S_n

1)

4

1

-8

-

2)

64

1

4

85

3)

5

2

-

3

4)

4

0,1

0,1

5)

10

7

7

Карточка № 8. Сумма членов геометрической прогрессии / ВАРИАНТ 1/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если У неё ( при бесконечном увеличении числа членов) , называемому суммой прогрессии и вычисляется по формуле:

Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен -0,1, а сумма S равна 6.

Решение:

b₁= 6,6.

Заполнить таблицу

b₁

q

S

1)

5

0,2

2)

3

21

3)

0,5

11

4)

5

-0,2

5)

-3

21

Карточка № 1. Разложение квадратного трёхчлена на множители / ВАРИАНТ 2 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

1. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть корни х₁ и х₂, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂).

2. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 нет корней, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c нельзя разложить на множители.

3. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть один корень х₁, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители:

ax² + bx + c = a(x - x₁)².

Следующие квадратные трёхчлены разложить на множители, если это возможно:

1) 2х² - 5х + 2, 2) 9х² + 6х + 1, 3) х² - 2х + 3.

Решение: 1) Рассмотрим уравнение 2х² - 5х + 2 = 0, D = b² - 4ac = (-5)² - 4∙2∙2 =

= 25 - 16 = 9 > 0, x₂ = 2. Значит,

2х² - 5х + 2 =

2) 9х² + 6х + 1 = 0, D = 6² - 4 ∙ 9 = 0, .

9х² + 6х + 1 = .

3) х² - 2х + 3 = 0,D = (-2)² - 4∙3 = 4 - 12 = - 8 < 0 - нет корней. Значит, трёхчлен х² - 2х + 3 нельзя разложить на множители.

Разложить на множители, если это возможно:

1) 5х² + х - 6,

2) 3х² + 6х + 3,

3) х² + 4х + 5,

4) 4х² - 11х - 7,

5) 5(х - 2)² - 45х.

Карточка № 2. Построение графика квадратичной функции / ВАРИАНТ 2 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Построить параболу у = ах² + bx + c можно так:

1) найти абсциссу вершины параболы по формуле ;

2) найти ординату вершины параболы по формуле или по формуле у₀ = ах₀² + bx₀ + c ;

3) в координатной плоскости построить точку (х₀;у₀) - вершину параболы;

4) найти координаты ещё нескольких точек, принадлежащих параболе слева или справа от вершины и отметить их в координатной плоскости и симметричные точки относительно оси параболы ( прямая х = х₀).

Построить график функции

у = -0,5х² + х - 4.

1)

2) у₀ = -0,5∙ 1² + 1 - 4 = -3,5;

3)

х₀

0

-1

-2

у₀

-4

-5,5

-8

4) ось параболы х = 1; симметричные точки (2;4), (3;-5,5), (4;-8).

5) отмечаем в координатной плоскости вершину параболы и эти точки, затем соединяя их плавной линией.

Построить графики:

1) у = х² - х - 6,

2) у = 3х² + 6х,

3) у = -х² + 5,

4) у = 0,5х² + х + 0,5,

5) у = х² - х + 1.

Карточка № 3. Решение систем уравнений / ВАРИАНТ 2 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если одно из уравнений в системе стоит в первой степени, то можно решить эту систему способом подстановки, выразив из этого уравнения какое - либо неизвестное и подставив во второе уравнение полученное выражение и продолжая далее решение.

Решить систему:

Решение: Уравнение х + у = 7 первой степени (линейное). Поэтому х = 7 - у.

Подставляем это выражение в первое уравнение вместо х: (7 - у)² + у² = 25,

49 - 14у + у² + у² = 25, 2у² - 14у + 24 = 0,

у² - 7у + 12 = 0; у₁ = 3, у₂ = 4. Подставляем у₁ и у₂ в уравнение х = 7 - у: х₁ = 7 - 3 = 4, х₂ = 7 - 4 = 3.

Ответ: (4;3), (3;4).

Решить системы:

1)

2)

3)

4)

5) .

Карточка № 4. Арифметическая прогрессия / ВАРИАНТ 2 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом:

a _{п +1} = а_п + d.

Формула п-го члена арифметической прогрессии: а_п = а₁ + d(n - 1).

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

5

-2

3

2)

7

21

2

3)

-

-

11

9

Решение: 1) а_п = а₁ + d(n - 1), а₅ = -2 + 3∙4 =10; a _{п +1} = а_п + d, а₆ = а₅ + d = 10 + 3 = 13.

2) а_п = а₁ + d(n - 1), 21 = 7 + 2(n - 1),

21 =7 + 2n - 2, 2n = 21 - 7 + 5 = 16, n = 8, a₉ = 21 + 2 = 23.

3) a _{п +1} = а_п + d, 9 = 11 + d, d = 9 - 11, d = -2.

Ответы:

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

5

-2

10

13

3

2)

8

7

21

23

2

3)

-

-

11

9

-2

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

-

-

8

3

2)

-

-

5

2

3)

5

4

2

4)

6

17

-3

5)

4

9

10

Карточка № 5. Сумма членов арифметической прогрессии / ВАРИАНТ 2/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

4

7

21

-

2)

5

-2

-

3

Решение: 1)

2)

Ответы:

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

4

7

21

-

56

2)

5

-2

-

3

20

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

4

-4

0

2)

4

2

11

-

3)

5

-22

-10

4)

4

0

24

5)

3

-13

-

Карточка № 6. Геометрическая прогрессия / ВАРИАНТ 2/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число:

b_{n+ 1} = b_n∙ q.

Формула п-го члена геометрической прогрессии:b_n = b₁∙q^n-1.

Заполнить таблицу

n

b₁

b_n

b_n+1

q

1)

5

-2

3

2)

7

56

2

3)

-

-

-18

9

Решение: 1) b_n = b₁∙q^n-1, b₅ = -2∙3⁴ = =-2∙81 = -162; b_{n+ 1} = b_n∙ q, b₆ = b₅∙q = = -162∙ 3 = -486.

2) b_n = b₁∙q^n-1, 56 = 7 ∙ 2^{n -1} , 2^{n -1}=56 : 7 = 8 =2³, n - 1 = 3, n = 4; b₅ = 56 ∙ 2 = 112.

3) b_{n+ 1} = b_n∙ q, 9 = -18 q, q =- 0,5.

Ответы:

n

b₁

b_n

b_n+1

q

1)

5

-2

-162

-486

3

2)

4

7

56

112

2

3)

-

-

-18

9

-0,5

Заполнить таблицу

n

b₁

b_п

b_n+1

d

1)

-

-

8

3

2)

-

-

5

2

3)

5

4

2

4)

6

17

-3

5)

4

9

10

Карточка № 7. Сумма членов геометрической прогрессии / ВАРИАНТ 2/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если q ≠ 1, то сумму п первых членов геометрической прогрессии можно найти по формулам:

.

Если q = 1, то S_n = b₁n.

Найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 7, а четвёртый равен -56.

Решение:

Найдём q: b₄ = -56; b₁q³ = -56 ; 7q³ = -56;

q³ = -8; q = -2.

Заполнить таблицу

n

b₁

b_п

q

S_n

1)

5

16

1

-

2)

1

16

0,25

21

3)

4

-1

-

-2

4)

5

10

10

5)

4

-2

-2

Карточка № 8. Сумма членов геометрической прогрессии / ВАРИАНТ 2/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если У неё ( при бесконечном увеличении числа членов) , называемому суммой прогрессии и вычисляется по формуле:

Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен -0,1, а сумма S равна 6.

Решение:

b₁= 6,6.

Заполнить таблицу

b₁

q

S

1)

8

0,01

2)

4

16

3)

7

21

4)

4

-0,8

5)

5

-7

Карточка № 1. Разложение квадратного трёхчлена на множители / ВАРИАНТ 3 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

1. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть корни х₁ и х₂, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители: ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂).

2. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 нет корней, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c нельзя разложить на множители.

3. Если у квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 есть один корень х₁, то квадратный трёхчлен ax² + bx + c можно разложить на множители:

ax² + bx + c = a(x - x₁)².

Следующие квадратные трёхчлены разложить на множители, если это возможно:

1) 2х² - 5х + 2, 2) 9х² + 6х + 1, 3) х² - 2х + 3.

Решение: 1) Рассмотрим уравнение 2х² - 5х + 2 = 0, D = b² - 4ac = (-5)² - 4∙2∙2 =

= 25 - 16 = 9 > 0, x₂ = 2. Значит,

2х² - 5х + 2 =

2) 9х² + 6х + 1 = 0, D = 6² - 4 ∙ 9 = 0, .

9х² + 6х + 1 = .

3) х² - 2х + 3 = 0,D = (-2)² - 4∙3 = 4 - 12 = - 8 < 0 - нет корней. Значит, трёхчлен х² - 2х + 3 нельзя разложить на множители.

Разложить на множители, если это возможно:

1) 2х² + 7х - 9,

2) 2х² - 4х + 2,

3) х² - 10х + 30,

4) х² + 5х + 6,

5) 3(х + 1)² - 27х.

Карточка № 2. Построение графика квадратичной функции / ВАРИАНТ 3 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Построить параболу у = ах² + bx + c можно так:

1) найти абсциссу вершины параболы по формуле ;

2) найти ординату вершины параболы по формуле или по формуле у₀ = ах₀² + bx₀ + c ;

3) в координатной плоскости построить точку (х₀;у₀) - вершину параболы;

4) найти координаты ещё нескольких точек, принадлежащих параболе слева или справа от вершины и отметить их в координатной плоскости и симметричные точки относительно оси параболы ( прямая х = х₀).

Построить график функции

у = -0,5х² + х - 4.

1)

2) у₀ = -0,5∙ 1² + 1 - 4 = -3,5;

3)

х₀

0

-1

-2

у₀

-4

-5,5

-8

4) ось параболы х = 1; симметричные точки (2;4), (3;-5,5), (4;-8).

5) отмечаем в координатной плоскости вершину параболы и эти точки, затем соединяя их плавной линией.

Построить графики:

1) у = х² + 6х + 8,

2) у = 2х² - 4х + 2,

3) у = х² - 3х,

4) у = -х² + 4х - 4,

5) у = х² - 2х + 2.

Карточка № 3. Решение систем уравнений / ВАРИАНТ 3 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если одно из уравнений в системе стоит в первой степени, то можно решить эту систему способом подстановки, выразив из этого уравнения какое - либо неизвестное и подставив во второе уравнение полученное выражение и продолжая далее решение.

Решить систему:

Решение: Уравнение х + у = 7 первой степени (линейное). Поэтому х = 7 - у.

Подставляем это выражение в первое уравнение вместо х: (7 - у)² + у² = 25,

49 - 14у + у² + у² = 25, 2у² - 14у + 24 = 0,

у² - 7у + 12 = 0; у₁ = 3, у₂ = 4. Подставляем у₁ и у₂ в уравнение х = 7 - у: х₁ = 7 - 3 = 4, х₂ = 7 - 4 = 3.

Ответ: (4;3), (3;4).

Решить системы:

1)

2)

3)

4)

5)

Карточка № 4. Арифметическая прогрессия / ВАРИАНТ 3 /

ПРАВИЛО

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом:

a _{п +1} = а_п + d.

Формула п-го члена арифметической прогрессии: а_п = а₁ + d(n - 1).

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

5

-2

3

2)

7

21

2

3)

-

-

11

9

Решение: 1) а_п = а₁ + d(n - 1), а₅ = -2 + 3∙4 =10; a _{п +1} = а_п + d, а₆ = а₅ + d = 10 + 3 = 13.

2) а_п = а₁ + d(n - 1), 21 = 7 + 2(n - 1),

21 =7 + 2n - 2, 2n = 21 - 7 + 5 = 16, n = 8, a₉ = 21 + 2 = 23.

3) a _{п +1} = а_п + d, 9 = 11 + d, d = 9 - 11, d = -2.

Ответы:

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

5

-2

10

13

3

2)

8

7

21

23

2

3)

-

-

11

9

-2

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

а_п+1

d

1)

-

-

5

7

2)

-

-

3

3

3)

4

8

-1

4)

5

10

3

5)

8

6

2

Карточка № 5. Сумма членов арифметической прогрессии / ВАРИАНТ 3/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

4

7

21

-

2)

5

-2

-

3

Решение: 1)

2)

Ответы:

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

4

7

21

-

56

2)

5

-2

-

3

20

Заполнить таблицу

n

а₁

а_п

d

S_n

1)

5

3

-13

-

1

2)

0

16

40

3)

4

18

10

4)

4

4

-2

0

5)

2

11

26

Карточка № 5. Геометрическая прогрессия / ВАРИАНТ 3/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число:

b_{n+ 1} = b_n∙ q.

Формула п-го члена геометрической прогрессии:b_n = b₁∙q^n-1.

Заполнить таблицу

n

b₁

b_n

b_n+1

q

1)

5

-2

3

2)

7

56

2

3)

-

-

-18

9

Решение: 1) b_n = b₁∙q^n-1, b₅ = -2∙3⁴ = =-2∙81 = -162; b_{n+ 1} = b_n∙ q, b₆ = b₅∙q = = -162∙ 3 = -486.

2) b_n = b₁∙q^n-1, 56 = 7 ∙ 2^{n -1} , 2^{n -1}=56 : 7 = 8 =2³, n - 1 = 3, n = 4; b₅ = 56 ∙ 2 = 112.

3) b_{n+ 1} = b_n∙ q, 9 = -18 q, q =- 0,5.

Ответы:

n

b₁

b_n

b_n+1

q

1)

5

-2

-162

-486

3

2)

4

7

56

112

2

3)

-

-

-18

9

-0,5

Заполнить таблицу

n

b₁

b_п

b_n+1

d

1)

-

-

5

7

2)

-

-

3

3

3)

4

8

-1

4)

5

10

3

5)

8

6

2

Карточка № 7. Сумма членов геометрической прогрессии / ВАРИАНТ 3/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Если q ≠ 1, то сумму п первых членов геометрической прогрессии можно найти по формулам:

.

Если q = 1, то S_n = b₁n.

Найти сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 7, а четвёртый равен -56.

Решение:

Найдём q: b₄ = -56; b₁q³ = -56 ; 7q³ = -56;

q³ = -8; q = -2.

Заполнить таблицу

n

b₁

b_п

q

S_n

1)

6

2

486

2)

64

-1

4

51

3)

5

-2

-

-1

4)

4

-8

-2

5)

100

11

11

Карточка № 8. Сумма членов геометрической прогрессии / ВАРИАНТ 3/

ФОРМУЛЫ

ОБРАЗЦЫ

ЗАДАНИЯ

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если У неё ( при бесконечном увеличении числа членов) , называемому суммой прогрессии и вычисляется по формуле:

Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, знаменатель которой равен -0,1, а сумма S равна 6.

Решение:

b₁= 6,6.

Заполнить таблицу

b₁

q

S

1)

7

0,5

2)

8

11

3)

3

3

4)

6

-0,7

5)

-8

11