Конспект занятия Лист Мебиуса

ЦДОД

«Лист Мебиуса»

Занятие клуба « Архимед»

Младшая группа

30 мая 2008 г.

Руководитель Гаврилова М.А.

Цель: - расширение кругозора, воспитание интереса к математике;

-показать математику с неожиданной стороны ;таинственный лист Мебиуса-пример односторонней поверхности;

Оборудование: полоски бумаги, ножницы, краски,, линейки, карандаши ,клей.

Презентация Power Point« Лист Мебиуса»

Учитель: В 7 классе вы начинаете изучать геометрию и итоговое занятие нашего клуба мы посвятим поверхностям, интуитивное понятие есть у каждого из вас: поверхность стола, пола, земного шара. Может есть что -то необычное в этом понятии? Сегодня проведем эксперименты. И задаю вам первый вопрос .

Что можно сделать с листом бумаги, в результате разрезания и склеивания?

Попробуем конструировать

Эксперимент 1.Возьмем полоску бумаги и склеим ,получилась цилиндрическая поверхность.

Если двигаться по одной его стороне, то, не пересекая «границы», нельзя очутиться на другой его стороне , т.е. внутри .

2.Попробуйте покрасить внутреннюю сторону красным цветом и внешнюю - желтым..Очень хорошо получается. Говорят, что цилиндр представляет собой двустороннюю поверхность.

Можно ли сконструировать такую фигуру чтобы двигаясь по одной его стороне и не пересекая «границы», очутиться на другой его стороне ?

3.Берем бумажную ленту АВСД. Склеим концы АВ и СД так, чтобы точка А совпала с точкой Д, а точка В- с точкой Д.Получилось знаменитое в математике кольцо .У него есть название -лист Мёбиуса.

А С

В Д

4. Я ставлю жирную точку на одной стороне этой ленты и буду водить карандашом по ней вправо и пришли в ту же точку, но на другой стороне этого листа.

Теперь попробуйте и вы.

Лента , из которой сделан лист Мёбиуса , имеет две стороны.

Сколько сторон у листа Мёбиуса?

5.Попробуйте покрасить одну сторону листа Мебиуса ,не переходя через край ленты.

Что получилось?

Лист покрашен только одним цветом!

У ЛИСТА МЕБИУСА ТОЛЬКО ОДНА СТОРОНА!

6.Возьмем ножницы и разрежем по пунктирной линии.

Как вы думаете, что получится у меня, если я разрежу цилиндрическую поверхность? Конечно, два узких кольца.

Теперь разрежем лист Мебиуса.

Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже и вдвое длиннее , и оно перекручено два раза.

7.Солдатик - перевёртыш

Я вырезала бумажного солдатика и отправила его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мебиуса. И вот он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся в нормальном положении ,ему нужно совершить еще одно путешествие. Проверьте!

Что за таинственный лист?

Лист Мёбиуса- один из объектов топологии. Оказывается ,он имеет только одну сторону. Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта , самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по-прежнему привлекает к себе внимание не только ученых, но и художников. Интересно, что с точки зрения топологии гайка, макаронина и кружка -одинаковые объекты.

Мёбиус Август Фердинанд

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса открыл в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус(1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало достаточно денег, что бы не думать о них, и оставляло время для размышлений. А.Ф.Мёбиус сделал много интересных открытий и является одним из основателей современной топологии

ЧТО ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ?

Ответить на вопрос о том, что такое топология, не просто. Для того, чтобы в полной мере оценить задачи, которые решает эта научная дисциплина, необходимо серьезное изучение многих весьма сложных вопросов.

Лист Мёбиуса - один из объектов топологии. Топология - « геометрия положения». Мы уже говорили об удивительных свойствах листа Мёбиуса: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если они сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятия и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, экономике, психологии.

Топология одна из наук, в которой не решены многие проблемы. Они ждут вас. Быть может, кто-то внесет свой вклад в ее развитие.

Эксперимент продолжим

8.Возьми ленту , раздели каждую сторону на три одинаковые полоски и склей лист Мёбиуса. Разрежь по пунктирной линии . Что получилось?

9.Раз раздели каждую сторону на четыре одинаковые полоски и склей лист Мёбиуса. Разрежь по пунктирной линии. Что получилось?

Вывод:

Один разрез- одно большое кольцо

Два разреза- сцеплены одно большое и одно маленькое кольца

Три разреза - сцеплены два больших кольца

Четыре разреза - на одном маленьком два больших кольца.

Лист Мёбиуса- это наиболее известная односторонняя поверхность. О нем упоминается в художественной литературе.

Приведем цитату из романа коста-риканского писателя Хоакина Гутьерреса « Умрем, Федерико?».

«Сегодня учительница показала нам ленту Мёбиуса. Вот это здорово! Возьмешь бумажную полоску - лучше от газеты, чтобы была длиннее, и увидишь, что полоска имеет две стороны; подтверждение этому - если муравей захочет поползать по одной стороне, он может сколько угодно делать это, но чтобы попасть на другую сторону, он должен обязательно перелезть через кромку. Поэтому и говорят, что полоса имеет две стороны. А вот лента Мёбиуса получается так. Надо перевернуть один конец (стороны) полосы, словно собираешься её закручивать, но делаешь один поворот и склеиваешь концы. Тогда бумага будет иметь только одну сторону, и любой, кто хочет, может проверить, если сомневается. Ведя пальцем, будто преследуешь муравья по всей ленте, вдруг убеждаешься в том, что обе стороны сошлись в одну и не надо пересекать кромку.

2. Лист Мёбиуса не раз использовали художники и скульпторы. Довольно много разнообразных рисунков с изображением листа Мёбиуса оставил известный график М. Эшер ( 1898-1971). Серию вариантов листа Мёбиуса создал скульптор Макс Билл (родился в 1908 г.) . В течении почти 20 лет он неоднократно обращался к листу Мёбиуса, стремясь выразить в скульптуре идею вечного движения и развертывающейся в пространстве формы. Скульптура «Узел без конца» находится в Париже в национальном музее современного искусства

Продолжайте эксперименты самостоятельно дома

1.Разрежьте ленту на пять полос

2.Перекрутите перед склеиванием ленту дважды и разрежьте посередине.

Удачи вам!