Панорамный урок по алгебре в 8 классе на тему «Решение алгебраических уравнений степени выше второй»

Панорамный урок по алгебре в 8 классе

Учитель: Истляуп А.А., учитель математики школы-гимназии №17 г.Актобе

Тема урока: Решение алгебраических уравнений степени выше второй. Схема Горнера. Теорема Безу.

Цель урока:

Образовательная: ознакомить учащихся с приемами и методами решения уравнений высших степеней, схемой Горнера, теоремой Безу.

Развивающая: уметь решать уравнения высших степеней, уметь делить многочлен на двучлен, используя схему Горнера, теорему Безу.

Воспитательная: воспитать у учащихся интерес к предмету.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Введение знаний.

4. Воспроизведение знаний.

5. Итог урока.

Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Этот способ основан на следующем применении теоремы Безу.

- многочлен n-ой степени - старший коэффициент, - свободный член.

Если , то получим уравнение n-ой степени, короче .

Если известен хотя бы один корень алгебраического уравнения, то нахождение остальных корней этого уравнения сводится к решению уравнения, имеющего на единицу меньшую степень, чем исходное уравнение.

При решении алгебраических уравнений можно использовать метод понижения степени уравнения, основанный на теореме Безу и делении многочлена на одночлен , где - корень уравнения .

Определение. Значение , при котором многочлен обращается в нуль называется корнем этого многочлена.

Если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целее корни, то каждый из этих корней является делителем свободного члена.

Решить уравнение

1 способ:

Группируем

или

2 способ: выпишем делители свободного члена

А) найдем хотя бы один корень данного уравнения, нетрудно догадаться, что корнем этого уравнения является .

По следствию теорем Безу, если - корень многочлена , то этот многочлен делится на двучлен , т.е. на , т.е. снизили степень данного уравнения на единицу.

Б) Для этого по схеме Горнера разделили этот многочлен на двучлен .

1

0

-7

-6

-1

1

-1

-6

0

тогда получим уравнение , корни которого , , .

Ответ: -2; -1; 3

Решить уравнение

А) находим делитель свободного члена: .

Б) найдем хотя бы один корень данного уравнения. Очевидно, что при значение многочлена равно 0. . Следовательно, является корнем уравнения третьей степени.

В) применяя теорему Безу, снизим степень уравнения на единицу, деля данный многочлен на двучлен , где , т.е. имеем .

Г) деление произведем по схеме Горнера:

1

-2

-5

6

1

1

-1

-6

0

Получим уравнение:

Д) приравнивая каждый многочлен к нулю: (произведение равно нулю, если один из множителей равен 0)

или

Ответ: -2; 1; 3

Решить уравнение

А) находим делитель свободного члена: .

Б) найдем хотя бы один корень данного уравнения. Для этого находим значение многочлена в этих точках.

.

Следовательно, данное уравнение имеет один корень , а числа не являются корнями.

В) если известен хотя бы один корень алгебраического уравнения, то нахождение остальных корней сводится к решению уравнения, имеющего на единицу меньшую степень, чем исходное уравнение, т.е.снизим степень уравнения на единицу, т.е..

Г) найдем коэффициенты уравнения , произведя деление данного многочлена на двучлен по схеме Горнера:

1

2

-2

-6

5

1

1

3

1

5

0

Получим уравнение:

Д) снизим степень уравнения на единицу.

1) найдем делители свободного члена ;

2) числа не являются корнями исходного уравнения;

3) произведем деление многочлена на двучлен по схеме Горнера:

1

3

1

-5

1

1

4

5

0

4) получим уравнение

или уравнение корней не имеет

Ответ: 1

Итог: Вопросы:

1) При решении уравнений третьей степени какой способ решения уравнений вам проще применять?

Ответ: второй, а именно теорему Безу и схему Горнера

2) Как будете решать уравнение степени выше третьей?

Ответ: находим среди делителей свободного члена хотя бы один корень, а затем по теореме Безу будем понижать степень уравнения, раскладывая многочлен на множители до тех пор пока не получим уравнение, которое мы можем решать.