ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА №ЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

М.Д. Евдокимова

методические указания

по выполнению самостоятельной внеаудиторной работы

по дисциплине «Численные методы»

для студентов 3 курса

(специальность 230115 Программирование в компьютерных системах)

Семилуки , 2014

Одобрено методическим советом ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Автор-составитель: Евдокимова М.Д., преподаватель ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Учебное пособие содержит указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по «Численным методам», являющейся профессиональной программой по дисциплине «Численные методы» и предназначены для студентов 3-го курса, обучающихся по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.

© Евдокимова М.Д., 2014

©ГОБУ СПО ВО «СГТЭК»

Оглавление

стр.

Введение

8

Раздел 1. Действия над приближенными числами

8

Самостоятельная работа №1: Подготовка сообщения «Погрешности в практических задачах

8

Самостоятельная работа №2: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: вычисление погрешностей результатов арифметических действий

8

Самостоятельная работа №3: Подготовка сообщения «Важность погрешностей»

13

Раздел 2. Численные методы решения основных математических задач

13

Тема 2.1. Решение линейных и трансцендентных уравнений с помощью ЭВМ

13

Самостоятельная работа №4 Формирование и усвоение содержания теоретического материала, используя информационные образовательные ресурсы: разработка алгоритма метода

13

Самостоятельная работа №5: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (метод половинного деления, касательных)

13

Самостоятельная работа №6: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд

13

Самостоятельная работа №7: Формирование и усвоение содержания теоретического материала, используя информационные образовательные ресурсы: анализ методов решения уравнений

21

Самостоятельная работа №8: Подготовка сообщений «Гаусс- вклад в развитие математики»

21

Тема 2.2. Решение систем уравнений с помощью ЭВМ

21

Самостоятельная работа №9: Проведения типовых расчетно-компьютерных работ: вычисление определителей в Excel

21

Самостоятельная работа №10: Проведения типовых расчетно-компьютерных работ: вычисление обратной матрицы в Excel

23

Самостоятельная работа №11: Подготовка сообщений «Применение систем линейных уравнений в различных областях жизни»

24

Самостоятельная работа №12: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

24

Самостоятельная работа №13: Составление алгоритмов, блок-схем метода итераций решения систем уравнений с помощью ЭВМ

27

Самостоятельная работа №14: Выполнение расчетно-компьютерных и индивидуальных работ: решение систем линейных алгебраических уравнений приближенными методами

30

Тема 2.3. Интерполирование и экстраполирование функций

38

Самостоятельная работа №15: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: составление интерполяционных формул Лагранжа

38

Самостоятельная работа №16: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: Составление интерполяционных формул Ньютона

41

Самостоятельная работа №17: Подготовка сообщений «Ньютон - вклад в развитие математики», «Лагранж - вклад в развитие математики»

45

Самостоятельная работа №18: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: интерполирование сплайнами

45

Самостоятельная работа №19: Формирование и усвоение содержания теоретического материала, используя информационные образовательные ресурсы (онлайн-решения)

50

Тема 2.4. Численное интегрирование

50

Самостоятельная работа №20: Подготовка сообщений «Ньютон - вклад в развитие математики», «Лагранж - вклад в развитие математики», «Котес - вклад в развитие математики», «Применение определенных интегралов»

50

Самостоятельная работа №21: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: вычисление интегралов при помощи формул Ньютона-Котеса

50

Самостоятельная работа №22: Составление алгоритмов, блок-схем методов численного интегрирования

56

Самостоятельная работа №23: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: Вычисление интегралов при помощи формул Гаусса

56

Тема 2.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

60

Самостоятельная работа №24: подготовка сообщений «Эйлер - вклад в развитие математики», «Рунге-Кутт - вклад в развитие математики», «Применение дифференциальных уравнений»

60

Самостоятельная работа №25: Составление алгоритмов, блок-схем методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений

60

Методические указания к самостоятельной работе студента

66

Литература

74

Введение

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по естественно - научной дисциплине «Численные методы» предназначены для студентов, обучающихся по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах.

Объем самостоятельной работы студентов определяется государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах базовой подготовки.

Выполнение внеаудиторной самостоятельной работы является обязательной для каждого студента, её объём в часах определяется действующим рабочим учебным планом Семилукского государственного технико-экономического колледжа по данной специальности.

Самостоятельная внеаудиторная работа проводится с целью:

- систематизации и закрепления полученных теоретических знаний студентов;

- углубления и расширения теоретических знаний;

- развития познавательных способностей и активности студентов, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирования самостоятельности мышления, способностей к саморазвитию, самосовершенствованию и самореализации.

Внеаудиторная самостоятельная работа выполняется студентом по заданию преподавателя, но без его непосредственного участия. По дисциплине используются следующие виды заданий для внеаудиторной самостоятельной работы:

для овладения знаниями: чтение текста (учебника, дополнительной литературы), работа со словарями и справочниками, учебно-исследовательская работа, использование аудио- и видеозаписей, компьютерной техники и Интернета;

для закрепления и систематизации знаний: повторная работа над учебным материалом (учебника, дополнительной литературы, аудио- и видеозаписей), составление плана и алгоритма решения, составление таблиц для систематизации учебного материала, ответы на контрольные вопросы, подготовка сообщений к выступлению на уроке, конференции, подготовка сообщений, докладов, рефератов, тематических кроссвордов;

для формирования умений: выполнение схем, разработка программ.

Содержание заданий самостоятельной работы ориентировано на подготовку студентов к освоению профессиональных модулей ОПОП по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, и овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.7.в Осуществлять разработку кода программного продукта для решения вычислительных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата.

ПК 2.5.в Реализовывать основные численные подходы к решению математических задач при работе в базе данных;

ПК 3.7.в Осуществлять разработку тестовых сценариев при решения основных математических задач.

В процессе выполнения работы у студентов должны формироваться общие компетенции (ОК):

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен

уметь:

• использовать основные численные методы решения математических задач;

• разрабатывать алгоритмы и программы для решения вычислительных задач, учитывая необходимую точность получаемого результата.

знать:

• методы хранения чисел в памяти ЭВМ и действия над ними, оценку точности вычислений, т.е. действия над приближенными числами;

• методы решения основных математических задач - интегрирования, дифференцирования, решения линейных и трансцендентных уравнений и систем уравнений с помощью ЭВМ.

Перед выполнением внеаудиторной самостоятельной работы студент должен внимательно выслушать инструктаж преподавателя по выполнению задания, который включает определение цели задания, его содержание, сроки выполнения, ориентировочный объем работы, основные требования к результатам работы, критерии оценки. В процессе инструктажа преподаватель предупреждает студентов о возможных типичных ошибках, встречающихся при выполнении задания.

В пособии представлены как индивидуальные, так и групповые задания в зависимости от цели, объема, конкретной тематики самостоятельной работы, уровня сложности. В качестве форм и методов контроля внеаудиторной самостоятельной работы студентов используются аудиторные занятия, зачеты, тестирование, самоотчеты, контрольные работы.

Критериями оценки результатов внеаудиторной самостоятельной работы студента являются:

- уровень освоения студентом учебного материала;

- умение студента использовать теоретические знания при выполнении практических задач;

- сформированность общеучебных умений;

- обоснованность и четкость изложения ответа;

- оформление материала в соответствии с требованиями.

В методических указаниях приведены теоретический (справочный) материал в соответствии с темой работы, обращение к которому поможет выполнить задания самостоятельной работы; вопросы для самоконтроля, подготавливающие к выполнению заданий и сами задания.

Раздел 1. Действия над приближенными числами

Самостоятельная работа №1: Подготовка сообщения «Погрешности в практических задачах

Цель: получить представление о погрешностях, их видах и получении в задачах.

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №2: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: вычисление погрешностей результатов арифметических действий

Цель: научиться вычислять погрешности результатов арифметических действий.

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. Приближение числа. Погрешности приближённых значений чисел

Пусть X-точное значение некоторой величины, x - наилучшее приближение этой величины.

Определение: Абсолютной погрешностью е_х приближенного значения числа Х называется модуль разности между точным числом Х его приближенным значением х, т.е.

е_х = Х-х .

Определение: Число х называется приближённым значением точного числа Х с точностью до х, если абсолютная погрешность приближённого значения a не превышает х, т.е. Х-х  х . (1.1)

Определение: Число х называется границей абсолютной погрешности приближённого значения числа х.

Число х на практике стараются подобрать как можно меньше и простое по записи.

Из неравенства (1) найдём границы, в которых заключено точное значение числа Х:

х - х  Х  х + х.

НГ_х= х - х - нижняя граница приближения величины Х.

ВГ_х= х +х - верхняя граница приближения величины Х.

Пример: Даны приближённые значения числа Х =2/3, х= 0,6, х=0,66, х=0,67. Какое из трёх приближений является лучшим?

Решение: Вычислим абсолютные погрешности приближений:

е_х1 =2/3- 0,6=; е_х2 =2/3- 0,66=; е_х3 =2/3- 0,67=.

Так как величина е_х3 является наименьшей из трех просчитанных, то наилучшим приближением числа Х = 2/3 является х=0,67.

2. Верные цифры числа

Определение: Цифра m приближенного числа х, называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа х не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра m.

В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчетах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными.

Пример: Указать верные цифры следующих чисел:

а) ; б) .

Решение: а) Граница погрешности х =0,056 не превосходит единицы разряда десятых (0,056<0,1). Следовательно, верными являются цифры 3 и 7.

б) Так как х =0,0008<0,001, то все цифры приближенного числа 3,627 верны.

Определение: Цифры в записи приближенного числа, о которых не известно, являются ли они верными, называют сомнительными.

Определение: Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

Пример: 0,2409 - четыре значащие цифры; 24,09 - четыре значащие цифры; 100,700 - шесть значащих цифр.

Выдача числовых значений ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр.

3. Относительная погрешность приближенного значения числа

Определение: Относительной погрешностью приближенного числа х числа Х называется отношение абсолютной погрешности х этого приближения к числу х, т.е.

(1.2)

Чем меньше относительная погрешность числа, тем выше качество измерений или вычислений.

Если первая значащая цифра в относительной погрешности меньше 5, то граница относительной погрешности определяется из неравенства (1.3), где n- количество верных цифр.

Заключение:

При решении задач погрешность вызывается тремя причинами:

1. Неопределенность при задании входных данных, которая приводит к неопределенности в ответе. Ответ может быть указан лишь с погрешностью, которая называется неустранимой.

2. При фиксированных входных данных ответ вычисляется с помощью приближенного метода. Такая погрешность называется погрешностью метода вычислений.

3. Выбранный метод решения реализуется неточно из-за ошибок округления при вычислениях. Такая погрешность называется погрешностью округления.

4. Вычисление погрешностей арифметических действий

Задача: Имеются приближённые данные с известными оценками погрешностей. С данными производится арифметическая операция. Какое влияние на погрешность результата оказывают погрешности исходных данных?

1. Сложение и вычитание:

Абсолютная погрешность алгебраической суммы приближенных значений не превышает суммы абсолютных погрешностей этих значений:

(x+y) x+y.

Вычислим относительные погрешности суммы и разности, пользуясь формулой (1.2):

;

.

Пример: x = 62,425, y = 62,409. Найти разность и погрешность разности.

Решение: Имеем х-у = 62,425-62,409 = 0,016.

Граница абсолютной погрешности разности: , поэтому в числе 0,016 только 2 верные цифры (следовательно, можно было округлить до сотых). Сравним погрешности результата и исходных данных:

, , .

Таким образом, в данном случае относительная погрешность разности оказалась почти в 8000 раз больше относительной погрешности исходных данных.

Умножение и деление:

Принимая во внимание свойства логарифмов: ln(xy)=lnx+lny, ln(x/y) =lnx-lny и приближённую формулу , имеем:

, (знак «±» не влияет величину погрешности),

Таким образом, абсолютные погрешности произведения и частного:

Пример: x=43,1, y=5,72. Найти частное и погрешность результата.

Решение: Найдем частное

Найдём число верных цифр результата, для этого вычислим

частное имеет одну верную цифру. Округляя полученный результат с одной запасной цифрой, получим .

Для удобства все формулы для вычисления погрешностей арифметических действий сведем в общую таблицу (таб.1.1).

Таблица 1.1

5. Оценка погрешностей значений функций

Вычисления по формулам нередко предполагают нахождение значений различных математических функций. При нахождении значения функции с помощью МК или компьютера, функция преобразуется к стандартным. Какая погрешность при этом допускается?

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х.

Пусть е_х - абсолютная погрешность аргумента, тогда абсолютная погрешность функции

е_f .

Так как погрешность е_х очень мала по сравнению с аргументом х, воспользуемся равенством: . Заменим е_х на . Тогда можно записать формулы для вычисления абсолютных погрешностей значений некоторых функций одной переменной (таб.1.2)

Таблица 1.2

f(x)

sin x

cos x

tg x

ln x

lg x

arcsin x

arccos x

arctg x

Пример: Пусть х=0,8, причем x=0,05, т.е. все цифры в числе верны. Вычислить значение sinx.

Решение: С помощью МК получаем sin0,8 =0,717356091. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность: , отсюда следует, что в полученном значении sin0,8 имеет лишь одну верную цифру .Округляя результат с одной запасной цифрой, получим sin0,8=0,72.

Варианты заданий:

Вычислите с помощью МК значение величины Z при заданны значениях параметров a, b и c, использую «ручные» расчетные таблицы для пошаговой регистрации результатов вычислений.

Самостоятельная работа №3: Подготовка сообщения «Важность погрешностей»

Цель: получить представление о погрешностях, их видах и важности вычислений.

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: сообщение на уроке

Раздел 2. Численные методы решения основных математических задач

Тема 2.1. Решение линейных и трансцендентных уравнений с помощью ЭВМ

Самостоятельная работа №4 Формирование и усвоение содержания теоретического материала, используя информационные образовательные ресурсы: разработка алгоритма метода

Цель: научиться использовать информационные образовательные ресурсы для самоконтроля по изучаемой теме

Самостоятельная работа: работа с Internet- ресурсами

Форма контроля: проверка работы

Самостоятельная работа №5: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: решение алгебраических и трансцендентных уравнений приближенными методами (метод половинного деления, касательных)

Самостоятельная работа №6: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд

Цель: научиться решать алгебраические и трансцендентные уравнения приближенными методами (метод половинного деления, касательных, хорд)

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Метод половинного деления решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

1. Постановка задачи решения уравнений.

2. Отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений.

3. Метод половинного деления решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

4. Пример решения алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления.

1. Постановка задачи решения уравнений

Решение уравнений - одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Примеры уравнений, позволяющих получат аналитические решения, хорошо известны из школьной математики. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически. Тогда применяются численные методы решения уравнений, которые являются более мощными.

Часто аналитические методы решения уравнений называют «точными», а аналитические - «приближенными». Действительно, численные методы практически всегда дают приближенный результат, но если необходимо довести решение «до числа», то часто и аналитические методы в реальности позволяют получить лишь приближенный результат.

Пусть имеется уравнение вида

f(x)=0 , (2.1)

где f(x) - алгебраическая или трансцендентная функция.

Решить такое уравнение - значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней (с указанной точностью). Ограничимся обсуждением методов поиска лишь действительных корней, не затрагивая проблему корней комплексных.

2. Отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений

Решение указанной задачи начинается с отделения корней, т.е. с установления:

количества корней;

наиболее «тесных» промежутков, каждый из которых содержит только один корень.

Следует отметить, что универсальных приемов решения этой задачи, пригодных для любых уравнений, не существует.

Если бы мы располагали графиком функции f(x), то примерное положение корней уравнения (2.1) было бы очевидным - точки пересечения графика с осью абсцисс. Однако построение графиков функций обычно и начинается с поиска ее нулей, т.е. возникает замкнутый круг.

Тем не менее, отделение корней во многих случаях можно произвести графически.

Упростим задачу, заменив уравнение (2.1) равносильным ему уравнением

f₁(x)= f₂(x). (2.2)

В этом случае строятся графики функций f₁(x) и f₂(x), а потом на оси х отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные положения:

1. Если непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. f(a)^. f(b)<0), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень.

2. Если функция f(x) к тому же еще и монотонна, то корень на отрезке [a;b] единственный.

Пример: Для графического отделения корней уравнения преобразуем его к равносильному уравнению и отдельно построим графики функций .

Из графика вполне очевидно, что уравнение имеет единственный корень ξ и этот корень находится на отрезке [1;1,5].

Вычислим для проверки значения функции на концах отрезка [1;1,5]: f(1)=0.909298; f(1,5)= -0,264344. Как видно, корень на отрезке [1;1,5] действительно имеется.

Рассмотренный прием позволяет при желании сузить отрезок, полученный графическим способом.

Так, в нашем примере, имеем f(1,3)=0,253138>0, так что отрезком, на котором находится корень, можно считать[1,3;1,5].

Для уточнения корней можно пользоваться различными методами. Рассмотрим некоторые из них.

3. Метод половинного деления

Пусть уравнение (2.1) имеет на отрезке [a;b] единственный корень, причем функция f(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [a;b] пополам точкой с=(a+b)/2. Если f(c)≠0(что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: f(x) меняет знак либо на отрезке [a;с] (рис 2.1), либо на отрезке [с;b] (рис 2.2).

Рис 2.1. - функция f(x) меняет знак на отрезке [a;c] Рис 2.2. - функция f(x) меняет знак на отрезке [c;b]

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на компьютере.

4. Пример решения уравнений методом половинного деления

Пример: Найти корень уравнения на отрезке [1,3;1,5] с точностью до 10^-4.

Решение: Уравнение имеет единственный корень на отрезке [1,3;1,5] (см.лекцию 2).

Уточним корень уравнения: Найдем середину отрезка [1,3;1,5]: .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,3;1,4] и [1,4;1,5] функция меняет свой знак.

1) [1,3;1,4]:

2) [1,4;1,5]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,3;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10^-4:

, точность не достигнута.

Разделим отрезок [1,3;1,4] пополам точкой .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,3;1,35] и [1,35;1,4] функция меняет свой знак.

1) [1,3;1,35]:

2) [1,35;1,4]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,35;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10^-4:

, точность не достигнута.

Снова разделим отрезок [1,35;1,4] пополам точкой .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,35;1,375] и [1,375;1,4] функция меняет свой знак.

1) [1,35;1,375]:

2) [1,375;1,4]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,375;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10^-4:

, точность не достигнута.

Продолжая делить отрезок пополам и проверять знаки функции на новых промежутках, до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность решения (сделайте самостоятельно), получим:

Решение уравнения с точностью 10^-4: х=1,3994.

Метод хорд и касательных решения алгебраических и трансцендентных уравнений

1. Метод касательных решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

2. Пример решения алгебраических и трансцендентных уравнений методом касательных.

3. Метод хорд решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

4. Пример решения алгебраических и трансцендентных уравнений методом хорд.

1. Метод касательных

Наряду с методом половинного деления существуют и другие, более сложные и более эффективные итерационные методы. Прежде всего, к ним относится группа методов, которые связаны с именем Ньютона. Рассмотрим два из них - метод касательных и метод хорд.

Оба метода основаны на следующем приеме.

Пусть уравнение (2.1) имеет единственный корень на отрезке [a;b]. Преобразуем его к равносильному уравнению

(2.3)

где - любая функция, определенная на отрезке [a;b] и не обращающаяся на нем в нуль. Осуществляя различными способами выбор , можно получить, в частности, и указанные методы.

Метод касательных. Пусть в (2.3) . Таким образом, итерационная последовательность строится с помощью рекуррентного соотношения

(2.4)

Функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) Является дважды дифференцируемой на отрезке [a;b];

2) Обе производные - первая и вторая - не меняют знак на этом отрезке, т.е. функция F(x) монотонна и не меняет характер выпуклости.

Таким образом, возможны четыре возможности поведения функции f(x) в окрестности корня:

Рис 2.4 четыре возможности поведения функции f(x) в окрестности корня:

а - функция f(x) убывает и выпукла; в - функция f(x) возрастает и вогнута;

б - функция f(x) убывает и вогнута; г - функция f(x) возрастает и выпукла.

В таком ситуации за х₀ берется тот конец отрезка [a;b], на котором функция f(x) и ее вторая производная имеют одинаковые знаки, т.е. выполняется условие . Очевидно, что это левый конец [a;b] на рис 2.4, а и г и правый конец [a;b] на рис 2.4, б и в.

На каждом шаге построения итерационной последовательности буде проверять точность достижения корня с помощью неравенства:

. (2.5)

Рассмотренный метод называется методом касательных потому, что если обратиться к графической иллюстрации (рис 2.5), то точка х₁, определяемая по формуле (2.4) при n=0, есть точка пересечения касательной, проведенной к графику y=f(x) в точке с абсциссой , определяемой предыдущим членом последовательности, с осью абсцисс.

Рис 2.5 геометрический смысл метода касательных

Каждому следующему члену итерационной последовательности (2.4) соответствует точка пересечения касательной, проведенной к графику y=f(x) в точке с абсциссой х₀, с осью абсцисс.

2. Пример решения уравнений методом касательных

Пример: Уточнить корень уравнения на отрезке [1,3;1,5] методом касательных с точностью до 1^..

Решение: Формула (2.4) в нашем примере имеет вид

,

т.к . производная .

Для определения точки найдем знаки и на концах отрезка [1,3;1,5]:

f (1, 3) = 0, 515501 - 0, 262363 = 0, 253137>0,

f (1, 5) = 0, 14112 - 0,405465 = - 0, 26435<0,

f" (1, 3) = -2,062 + 0,591716 = -1, 4703<0,

f" (1, 5) = -0, 56448 + 0, 4444 = - 0, 12<0.

Таким образом, .

Вычислим несколько членов итерационной последовательности «ручным» способом:

Сделаем проверку (2.5) точности достижения корня:

, значит

- требуемая точность не достигнута.

Снова проверка:

- требуемая точность достигнута.

Корень уравнения х₁= 1, 399429 .

3. Метод хорд

Реализуя метод касательных, при каждой итерации необходимо вычислить значение не только функции f(x), но и ее производной f'(х). Однако есть вариант метода Ньютона, в котором можно ограничиться вычислением только значений f(x), что иногда упрощает вычислительный алгоритм.

Если положить в (2.3) , а в качестве с взять тот конец промежутка [a;b], на котором , то приходим к итерационному методу:

, (2.6)

называемому методом хорд (или методом секущих).

В качестве х₀ в этом случае следует принять тот конец промежутка [a;b], который остался после выбора с (т.е. если c=a, то x₀=b или наоборот). Далее последовательность строится по формуле (2.6).

Оценка степени приближения к корню возможна с помощью неравенства (2.5).

На рисунке (2.6) проиллюстрирован геометрический смысл метода.

Рис 2.6 Геометрический смысл метода хорд

В данном случае c=b, x₀=a, х₁ соответствует точке пересечения хорды, соединяющей концы кривой, с осью абсцисс. Далее находится точка на кривой с абсциссой х₁, проводится следующая хорда и т.д.

4. Пример решения уравнений методом касательных

Пример: Уточнить корень уравнения на отрезке [1,3;1,5] методом хорд с точностью до 1^..

Решение: Точка с выбирается так же, как и точка х₀ в предыдущем примере, т.е. с=1,5. Будем приближать точку х₀= а = 1, 3.

Проверим, достигнута ли заданная точность.

- требуемая точность не достигнута.

Найдём следующее приближение:

Проверим точность:

- требуемая точность достигнута

Итак, корень уравнения х=1, 39941.

Варианты заданий:

Задание 1. Отделите корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом.

Задание 2. По методу половинного деления вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10^-3.

Задание 3. Вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10^-3, используя метод хорд.

Задание 4. Вычислите один корень заданного уравнения с точностью 10^-3, используя один из инструментальных пакетов.

Сопоставьте и прокомментируйте полученные результаты.

Самостоятельная работа №7: Формирование и усвоение содержания теоретического материала, используя информационные образовательные ресурсы: анализ методов решения уравнений

Цель: научиться использовать информационные образовательные ресурсы для самоконтроля по изучаемой теме, расширения знаний

Самостоятельная работа: работа с Internet- ресурсами

Форма контроля: проверка работы

Самостоятельная работа №8: Подготовка сообщений «Гаусс- вклад в развитие математики»

Цель: получить представление о вкладе Гаусса в развитие математики, методов решения систем уравнений

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: сообщение на уроке

Тема 2.2. Решение систем уравнений с помощью ЭВМ

Самостоятельная работа №9: Проведения типовых расчетно-компьютерных работ: вычисление определителей в Excel

Цель: научиться использовать электронные таблицы Excel для вычисления определителей матриц

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Вычисление определителя. Определитель |A| это числовая характеристика квадратной матрицы и вычисляется из значений ее элементов. Если |A|=0, то матрица называется вырожденной. Для матрицы 1-го порядка A=(a₁₁) определитель равен |A|=a₁₁. Для матрицы 2-го порядка определитель равен |A|=a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁. Определитель матрицы 3-го порядка содержит 6 слагаемых, 4-го порядка 24 и т.д. - для матрицы n-го порядка число слагаемых равно n!. Функция Excel МОПРЕД облегчает вычисления.

Вычислите определитель матрицы А1:С3, показанной ниже:

Для этого в ячейку В5 запишите функцию МОПРЕД и укажите диапазон А1:С3. Значение определителя равно 6.

Варианты заданий

Вычислите определители систем:

1. х₁ - 4х₂ - х₃ = -3

3х₁ + х₂ + х₃ = 5

3х₁ - 5х₂ - 6₃ = -9

2. 2х₁ - 3х₂ + х₃ = 2

х₁ + 5х₂ - 4х₃ = -5

4х₁ - х₂ - 3₃ = -4

3. 3х₁ - 4х₂ + 3х₃ = 15

2х₁ - х₂ + 5х₃ = -3

5х₁ - 2х₂ + 7х₃ = 1

6х₁ - 4х₂ + 10х₃ = 5

Самостоятельная работа №10: Проведения типовых расчетно-компьютерных работ: вычисление обратной матрицы в Excel

Цель: научиться использовать электронные таблицы Excel для вычисления обратной матрицы

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Нахождение обратной матрицы. Обратные матрицы используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Обратная матрица А^-1 существует только для невырожденной матрицы А. Для матрицы 2-го порядка

обратная матрица вычисляется так:

Функция Excel МОБР облегчает подобные вычисления. Ниже приведена матрица А1:С3, а в А5:С7 обратная матрица.

Выполните самостоятельно: выделите диапазон для обратной матрицы А5:С7, вызовите мастер функций кнопкой fx, выберите функцию МОБР и введите диапазон исходной матрицы А1:С3, после нажатия ОК встаньте на строку формул и нажмите Ctrl+Shift+Enter.

Варианты заданий

Вычислите обратные матрицы систем:

1. х₁ - 4х₂ - х₃ = -3

3х₁ + х₂ + х₃ = 5

3х₁ - 5х₂ - 6₃ = -9

2. 2х₁ - 3х₂ + х₃ = 2

х₁ + 5х₂ - 4х₃ = -5

4х₁ - х₂ - 3₃ = -4

3. 3х₁ - 4х₂ + 3х₃ = 15

2х₁ - х₂ + 5х₃ = -3

5х₁ - 2х₂ + 7х₃ = 1

6х₁ - 4х₂ + 10х₃ = 5

Самостоятельная работа №11: Подготовка сообщений «Применение систем линейных уравнений в различных областях жизни»

Цель: расширить теоретические знания о применение систем линейных уравнений в различных областях жизни

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №12: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Цель: научиться использовать электронные таблицы Excel для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Самостоятельная работа: индивидуальная домашняя работа

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Решение системы уравнений методом Гаусса - MS Office Excel

Для того чтобы решить данную систему уравнений в Excel, нужно выполнить следующие действия:

1. Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

2. В ячейку E1 ввести текст Контрольные суммы, а в F1 - Строчные суммы.

3. В ячейку E2 ввести формулу =СУММ(A2:D2) (для подсчета контрольных сумм) и методом протягивания заполнить ячейки E3, E4.

4. После этого необходимо выполнить "Прямой ход" - преобразование исходной системы к системе с треугольной матрицей, на главной диагонали которой стоят единицы. Для этого нужно выполнить следующие действия:

• Чтобы коэффициент при x1 равнялся 1, нужно в ячейку A5 ввести формулу =A2/$A$2, затем методом протягивания скопировать ее в ячейки B5:D5.

• Над столбцом контрольных сумм необходимо выполнить те же действия, что и над коэффициентами при неизвестных, следовательно в ячейку E5 нужно ввести формулу =E2/$A$2.

• В ячейку F6 ввести формулу =СУММ(A5:D5) (для подсчета строчных сумм).

• В ячейку A6 ввести формулу =A3-$A$3*A5 (для обнуления коэффициента при x1 во втором уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B6:E6.

• В ячейку A7 ввести формулу =A4-A5*$A$4 (для обнуления коэффициента при x1 в третьем уравнении системы), заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек B7:E7.

• В ячейку B8 ввести формулу =B6/$B$6, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C8:E8.

• В ячейку B9 ввести формулу =B7-B8*$B$7, заполнить этой формулой методом протягивания диапазон ячеек C9:E9.

• В ячейку C10 ввести формулу =C9/$C$9, скопировать эту формулу в диапазон ячеек D10:E10.

• Формулой из ячейки F5 методом протягивания заполнить ячейки F6:F10 (следует обратить внимание на то, что значения в столбцах строчных и контрольных сумм попарно равны).

5. После этого необходимо выполнить "Обратный ход" - последовательное нахождение значений x3, x2, x1. Для этого нужно выполнить следующие действия:

• В ячейки C11, B12, A13 ввести единицы.

• В ячейку D11 ввести формулу =D10 и скопировать ее в ячейку E11.

• В ячейку F11 ввести формулу =A11+B11+C11+D11.

• В ячейку D12 ввести формулу =D8-C8*D11.

• В ячейку E12 ввести формулу =E8-C8*E11.

• В ячейку D13 ввести формулу =D5-C5*D11-B5*D12.

• В ячейку E13 ввести формулу =E5-C5*E11-B5*E12.

• Формулу из ячейки F11 скопировать диапазон ячеек F12:F13.

6. Таким образом, получены x3, x2, x1. Для проверки правильности решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

• Диапазон ячеек A15:A18 последовательно заполнить следующими словами: проверка, 1 уравнение, 2 уравнение, 3 уравнение.

• В ячейку C16 ввести формулу =A2*$D$13+B2*$D$12+C2*$D$11, затем скопировать ее в диапазон ячеек C17:C18.

7. Нужно обратить внимание, что полученный результат в ячейках C17:C18 полностью совпадает с ячейками D2:D4, следовательно, задача решена верно.

Таким образом, получаем следующее:

Ответ: x1=3.333, x2 =3.561, x3 =3.782.

Варианты заданий:

Решить системы уравнений методом Гаусса:

1. х₁ - 4х₂ - х₃ = -3

3х₁ + х₂ + х₃ = 5

3х₁ - 5х₂ - 6₃ = -9

2. 2х₁ - 3х₂ + х₃ = 2

х₁ + 5х₂ - 4х₃ = -5

4х₁ - х₂ - 3₃ = -4

3. 3х₁ - 4х₂ + 3х₃ = 15

2х₁ - х₂ + 5х₃ = -3

5х₁ - 2х₂ + 7х₃ = 1

6х₁ - 4х₂ + 10х₃ = 5

Самостоятельная работа №13: Составление алгоритмов, блок-схем метода итераций решения систем уравнений с помощью ЭВМ

Цель: отработать умения составления алгоритмов, блок-схем метода итераций решения систем уравнений с помощью ЭВМ

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Данный метод относится к приближенным методам решения систем линейных уравнений. Для его применения необходимо преобразовать исходное уравнение АХ=В к эквивалентному виду Х=АХ+В, (9.1)

где матрица А и вектор В не те, что были в исходной задаче, и должны удовлетворять некоторым условиям, чтобы метод итераций давал последовательность векторов, сходящуюся к решению. Ясно, что для такого преобразования матрица А должна быть квадратной.

Упражнение 9.1. Обоснуйте.

Мы будем рассматривать уравнение (9.1) при условии, что его решение существует и единственно, т.е. будем рассматривать только корректную задачу.

Упражнение 9.2. Сформулируйте краткое математическое условие на матрицу А, при котором уравнение (9.1) имеет единственное решение для любого вектора В.

Так же, как метод итераций для обычных уравнений и метод Пикара для дифференциальных уравнений, метод простых итераций для систем линейных уравнений является следствием из общего принципа сжимающих отображений.

Условия применимости метода простых итераций.

Рассмотрим отображение n-мерного евклидова пространства в себя, заданное формулой: Y=AX+B, где А- матрица размерности nхn, X,B,Y Rⁿ. Главный вопрос применимости метода заключается в следующем: в каком случае это отображение будет сжимающим, т.е. существует некоторое число q, 0<q<1, такое что при всех х₁ и х₂ справедливо:

Что надо потребовать от матрицы А, чтобы выполнялось это условие?

Приведем несколько достаточных условий. Для этого вспомним, что основными нормами в пространстве Rⁿ являются

1. , где x=(x₁,x₂,...,x_n)

2.

3. , где i=1,2,...n

Рассмотрим в исходном пространстве векторов норму и оценим норму оператора преобразования Y=AX+B через элементы матрицы А.

Оценивать норму мы будем в два этапа: 1. Сначала оценим i-ую компоненту вектора y₁-y₂.

2. Затем оценим норму всего вектора y₁-y₂.

Возьмем i-ую компоненту вектора y₁-y₂ и оценим сверху эту разность по модулю.

Далее уже легко оценить и норму разности векторов y₁-y₂:

, где максимум берется при всех i=1,2,…,n

Следствие. Если =мах <1, (i=1,2,…,n), то отображение Y=AX+B сжимающее.

Задача. Доказать, что для двух других норм в исходном пространстве получим:

, и , где максимум берется при всех j=1,2,…,n.

Если при этом хотя бы одно из этих чисел меньше 1, то отображение сжимающее.

Описание метода простых итераций

Вернемся теперь к решению системы линейных уравнений, преобразованной к виду (9.1).

Решить систему - значит найти неподвижную точку Х такую, что если подставить ее координаты в правые части уравнений (9.1), то получим ту же точку Х. Для поиска неподвижной точки сжимающего отображения мы, как обычно, построим рекуррентную последовательность векторов по следующему правилу:

Х₀-произвольный, Х_k+1 = А Х_k + В (9.2)

После построения последовательности векторов посмотрим, сходится ли построенная последовательность. Если да, то она сходится обязательно к решению системы (9.1).

Упражнение 9.3. Докажите.

Сходится последовательность или нет - зависит от матрицы А и начального вектора Х₀.

ТЕОРЕМА. Пусть задана система линейных уравнений (9.1) и построена рекуррентная последовательность векторов по правилу (9.2). Если для матрицы А хотя бы одно из чисел q₁,q₂,q_ меньше 1, то мы можем утверждать, что последовательность векторов, которую мы построили, обязательно сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q.

Доказательство опирается на принцип сжимающих отображений и аналогично доказательству в одномерном случае, изложенному в самом начале работы.

Упражнение 9.4. Проведите самостоятельно доказательство теоремы.

Из теоремы вытекает соответствующий метод решения системы. Заметим, что при выполнении ограничений на элементы матрицы А последовательность построенных по правилу (9.2) векторов сходится к решению независимо от выбора вектора Х₀, но обычно в качестве Х₀ выбирают вектор В. Это можно объяснить тем, что если взять Х₀=0, то на следующем шаге получится вектор В, т.е. он как бы лежит на пути от 0 к решению системы. Повторим, что у метода итераций есть преимущество перед всеми другими методами: это устойчивый метод.

Условие окончания вычислений

Замечание. Если ответ надо получить с заданной точностью , то вычисления прекращают на том этапе вычислений, когда начнет выполняться неравенство:

, причем в качестве величины q берут наименьшую величину из трех вычисленных норм матрицы A, а в качестве нормы пространства Rⁿ- соответствующую норму.

Упражнение 9.5. Обоснуйте условие окончания вычислений в методе простых итераций.

Приведение исходной системы к нужному виду

Из различных вариантов приведения системы к виду, пригодному для применения метода простых итераций, мы отметим два простых случая, которые нередко встречаются на практике.

Случай диагонального преобладания.

Если в исходной системе все элементы, стоящие на главной диагонали, по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов в этой же строке (столбце) матрицы А, то для приведения к нужному виду в левой части оставляют только диагональные элементы, а остальные переносят в правую часть и каждое уравнение делят на диагональные элементы.

Пример1:

5x₁-x₂+2x₃=13 x₁=0.2x₂-0.4x₃+2.6

2x₁-10x₂+4x₃=0  x₂=0.2x₁+0.4x₃+0

x₁+2x₂+20x₃=100 x₃=-0.05x₁-0.1x₂+5

Аналогичным образом поступают и тогда, когда диагонального преобладания можно добиться перестановкой уравнений.

Случай, когда матрица А близка к единичной.

Если после вычитания из диагональных элементов по 1 сумма модулей элементов всех строк (столбцов) матрицы А будет меньше 1, то систему легко свести к нужному в методе простых итераций виду, выделяя из i-го уравнения x_i и перенося его в левую часть.

Этот случай похож на предыдущий, но обязательно ли матрица, близкая к единичной является матрицей с диагональным преобладанием?.

Упражнение 9.6. Выяснить, бывают ли системы линейных уравнений без диагонального преобладания, но с матрицей А, близкой к единичной.

Пример2.



Заметим, что в некоторых случаях удобнее комбинировать оба способа преобразования уравнений исходной системы - деление на диагональные элементы и вычитание из них 1.

Упражнение 9.7 Для матриц из примеров 1 и 2 посчитать их нормы в трех различных метриках пространства Rⁿ и найти минимальную (число q).

Упражнение 9.8. Для системы из примера1, приведенной к нужному виду, взять в качестве Х₀ нулевой вектор и построить два следующих вектора итерационной последовательности.

Напомним, что метод простых итераций, также как и другие итерационные методы решения систем линейных уравнений, обычно применяют, если порядок системы велик, например сотни или тысячи уравнений, и применение любых прямых методов затруднено в связи с очень большим количеством вычислений.

Варианты заданий:

1. Составьте блок-схему метода итераций решения систем уравнений.

Самостоятельная работа №14: Выполнение расчетно-компьютерных и индивидуальных работ: решение систем линейных алгебраических уравнений приближенными методами

Цель: расширить знания о приближенных методах решения систем линейных алгебраических уравнений; отработать умения решения систем линейных алгебраических уравнений приближенными методами

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Метод вращений решения линейных систем

Постановка задачи

Найти корни системы линейных алгебраических уравнений, используя метод вращений.

Краткие теоретические сведения

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид Ax=b, где

, ,

Приведение такой системы к треугольному виду прямым ходом метода Гаусса допускает рост элементов матрицы коэффициентов до 2ⁿ⁺¹, где n - размерность матрицы. В связи с этим возникают большие погрешности.

Более устойчивым является метод вращения. Он не допускает большого роста элементов в процессе преобразований.

Умножим первое уравнение исходной системы на с₁, второе на s₁ и сложим их. Полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на -s₁ , второе на c₁ и результатом их сложения заменим второе уравнение. Таким образом, первые два уравнения системы заменяются уравнениями

На параметры с₁ и s₁ наложим два условия:

1)

2)

Отсюда,

.

В результате преобразований получим систему

где

Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на а третье-уравнением, полученное при сложении результатов умножения тех же уравнений соответственно на -s₂ и c₂. Получим систему

Выполнив преобразование n-1 раз, придем к системе

Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.

Далее аналогично преобразуется подматрица

.

В результате n-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.

Обратный ход метода вращений не отличается от обратного хода метода Гаусса.

Алгоритм метода

Алгоритм прямого хода:

Шаг 1. Примем k=1

Шаг 2. Выбираем рабочую строку.

Если a_kk ≠ 0, то k-ая строка - рабочая.

Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n≥m>k), в которой a_mk ≠ 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить.

Шаг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов.

,

и новые правые части

складываем строки i и i+1.

Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага.

Получаем верхнюю треугольную матрицу А:

,

Алгоритм обратного хода:

Шаг 1. Вычислим

Шаг 2. Вычислим:

,

Для контроля правильности решения нужно считать невязки δ_i по формуле (7).

, (7)

Если невязки велики, задача решена неверно. Причиной может быть сбой машины (крайне редко), ошибки в программе, погрешность округления (при большом n и когда  = detA = 0- система плохо обусловлена).

Пример: Решить систему линейных уравнений методом вращений

(8)

Решение.

Умножим первое уравнение на с1, второе на s1, сложим их, а потом умножим первое на ( -s1), а второе на с1 и сложим.

Результат - система из 2 измененных уравнений и 1 оставшегося

Найти c1 и s1

=0

Подставим эти значения в первые два уравнения системы (8), получим новую систему (9):

(9)

Умножим уравнение 1 из системы(1) на с2, третье на s2, сложим их, а потом умножим первое на ( -s2), а второе на с2 и сложим.

Найти c2 и s2:

Результат

(10)

Теперь, оставляя 1 уравнение без изменений, умножим второе на с3, третье на s3, сложим их., умножим второе на (-s3), третье на с3, сложим и их. 52x1+28x2+31x3=90

Найдем c3 и s3:

Результат:

(11)

Найдем значения переменных, используя обратный ход метода Гаусса.

Из третьего уравнения системы, имеем:

Из второго уравнения системы, имеем:

Из первого уравнения системы, имеем:

Ответы:

х1=1, х2=5, х3=10.

Решение системы в MS Excel

Рисунок 7 - Решение системы в MS Excel

Все вычисления MS Excel производятся автоматически:

Рисунок 8 - формулы для решения системы в MS Excel

Варианты заданий:

Решить системы уравнений методом вращения:

1. х₁ - 4х₂ - х₃ = -3

3х₁ + х₂ + х₃ = 5

3х₁ - 5х₂ - 6₃ = -9

2. 2х₁ - 3х₂ + х₃ = 2

х₁ + 5х₂ - 4х₃ = -5

4х₁ - х₂ - 3₃ = -4

Тема 2.3. Интерполирование и экстраполирование функций

Самостоятельная работа №15: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: составление интерполяционных формул Лагранжа

Цель: научиться составлять интерполяционные формулы Лагранжа

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа

1. Постановка задачи аппроксимации функций.

2. Существование и единственность итерполяционного многочлена.

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа.

1. Постановка задачи аппроксимации функций

В вычислительной математике нередки случаи, когда одну функцию приходится заменять другой, более другой и удобной для дальнейшей работы. Такую задачу называют аппроксимацией функций.

Поводом для аппроксимации функции может послужить, в частности, табличный способ её задания. Предположим, что результате некоторого эксперимента для конечного набора значений величины x из отрезка [a;b]:

получен набор значений величины у (таблица 3.1).

таблица 3.1

x

x

x

…

x

…

F(x)

y

y

…

y

…

Допустим, существует функциональная зависимость y=F(x).

Необходимо задать F(x) аналитически.

Точки называют узлами аппроксимации.

Аппроксимация может быть необходима и когда функция трудновычисляемая или при вычислении определенных интегралов ( - по формуле Ньютона-Лейбница вычислен быть практически не может).

Классический подход к численному решению подобных задач заключается в том, чтобы, опираясь на информацию о функции F, по некоторому алгоритму подобрать аппроксимирующую функцию G, в определенном смысле «близкую» к F.

Чаще всего задача аппроксимации решается с помощью многочленов. Вычисления значений многочлена легко автоматизировать, производная и интеграл от многочлена, в свою очередь, также являются многочленами.

Для оценки «близости» функций выбирают тот или иной критерий согласия.

Для функций, заданных таблично, достаточно распространенным является критерий Чебышева, который определяет расстояние между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями как максимум величины отклонения между этими функциями в узлах: (3.1)

Если =0, т.е. (в узлах значения совпадают), то соответствующий способ аппроксимации называют интерполяцией, а процедуру вычисления значений F(x) с помощью G(x) в точках, не являющихся узлами сетки, - интерполированием.

Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия:

.

Применяемый на его основе способ аппроксимации называется методом наименьших квадратов.

2. Существование и единственность интерполяционного многочлена

Пусть известны значения некоторой функции F(x):

Будем решать задачу интерполирования этой функции с помощью построения интерполяционного многочлена n-ой степени.

(3.2)

который в узлах принимает значения

(3.3)

Условия интерполяции (3.3) приводят к системе из (n+1) линейных уравнений с (n+1) неизвестными - коэффициентами многочлена:

(3.4)

Решая эту с.л.у. относительно получим аналитическое выражение многочлена (3.2).

Система (3.4) всегда будет иметь единственное решение, поскольку ее определитель не будет равен нулю. Отсюда и вытекает существование и единственность решения системы (3.4) и, следовательно, многочлена (3.2).

Интерполяция стандартно производится многочленами, степень которых на единицу меньше числа узлов.

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция F(x) задана таблицей (3.1).

Построим многочлен Ln(x), степень которого не выше, чем n, и для которого выполнены условия интерполяции

(3.5)

Будем искать Ln(x) в виде

(3.6),

где - многочлен степени n, причем

(3.7).

Очевидно, что требования (3.7) с учётом (3.6) вполне обеспечивает выполнение условий (3.5). Многочлен составим следующим образом:

(3.8)

- коэффициент, значение которого найдем из первой части условия (3.7):

Подставим в (3.8) и далее с учётом (3.6) получим:

(3.9)

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

По таблице исходной функции F формула (3.9) позволяет довольно просто составить «внешний вид» многочлена.

Пример: Построить интерполяционный многочлен для функции, заданной таблицей значений:

Решение:

Из таблицы следует, что n=2 (на 1 меньше, чем узлов).

По формуле (3.9) получаем:

Таким образом, интерполяционный многочлен для заданной функции имеет вид

Построим график и точки в одной координатной плоскости.

Варианты заданий:

Задание 1. По заданной таблице значений функции

х

х₀

х₁

х₂

х₃

у

у₀

у₁

у₂

у₃

составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Построить его график и отметить на нем узловые точки.

Задание 2. Вычислить с помощью калькулятора одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента (таблица 2) с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа и оценить погрешность интерполяции.

Таблица 1 Таблица 2

х₀

х₁

х₂

х₃

у₀

у₁

у₂

у₃

1

0

3

8

11

1

5

-4

-8

2

-3

-1

1

3

11

-1

6

-2

3

-4

0

2

5

4

8

-2

-9

Вариант

х

1

4.6

2

-2.5

3

-1.2

Самостоятельная работа №16: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: Составление интерполяционных формул Ньютона

Цель: научиться составлять интерполяционные формулы Ньютона

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Интерполяционные формулы Ньютона

1. Интерполяционные формулы Ньютона. Конечные разности.

2. Первая интерполяционная формула Ньютона.

3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

1. Интерполяционные формулы Ньютона

Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблично с равноотстоящими значениями аргумента. Шаг таблицы является постоянной величиной.

Для таких таблиц построение интерполяционных формул заметно упрощается.

Конечные разности

Пусть функция задана таблично с постоянным шагом:

таблица 3.2

Разности между значениями функций в соседних углах интерполяции называется конечными разностями первого порядка.

.

Из конечных разностей 1-го порядка образуются конечные разности второго порядка:

.

Продолжая этот процесс, можно по заданной таблице составить таблицу конечных разностей

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции.

Для разностей первого порядка это следует из определения:

.

Для разностей второго порядка имеем:

.

Аналогично для разностей третьего порядка:

Используя метод математической индукции можно доказать:

.

2. Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для функции заданной таблицей 3.2, составлена таблица конечных разностей.

Будем искать интерполяционный многочлен в виде

(3.10)

-коэффициенты многочлена. Найдем их из условия совпадений значений исходной функции и многочлена в узлах.

Полагая x=x₀, найдем y₀=P_n(x₀)=a₀, следовательно, a₀=y₀.

Далее, полагая

.

При имеем, т.е.

, откуда

Аналогично, получим .

Исходя из этих формул, можно записать . (3.11)

Представим (3.11) в выражение для многочлена (3.10), получим:

. (3.12)

Часто эта формула записывается в ином виде.

Введем замену: , или .

Тогда,

и т.д.

.

Формула (3.12) примет вид:

. (3.13)

Формула (3.13) называется первой интерполяционной формулой Ньютона.

Замечание: Эта формула традиционно применяется для интерполирования в начале отрезка интерпретации. Потому её называют формулой для интерполирования вперед.

Пример: Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующим данным:

Решение: Построим таблицу конечных разностей

По формуле (3.12) получим

По формуле (3.13) получим: и

3. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Когда значение аргумента находиться ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу Ньютона становится невыгодно.

В этом случае применяется формула для интерполирования назад - вторая интерполяционная формула Ньютона, которая ищется в виде

(3.14)

Коэффициенты находятся, как и для первой формулы

(3.15)

Подставим формулу (3.15) в выражение (3.14) и перейдем к новой переменной: , получим:

. (3.16)

Варианты заданий:

Пример: Построить интерполяционный многочлен Ньютона по следующим данным:

Таблица 1

х₀

х₁

х₂

х₃

у₀

у₁

у₂

у₃

1

0

3

8

11

1

5

-4

-8

2

-3

-1

1

3

11

-1

6

-2

3

-4

0

2

5

4

8

-2

-9

Самостоятельная работа №17: Подготовка сообщений «Ньютон - вклад в развитие математики», «Лагранж - вклад в развитие математики»

Цель: расширить теоретические знания о вкладе Ньютона и Лагранжа в развитие математики

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №18: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: интерполирование сплайнами

Цель: научиться выполнять интерполирование сплайнами

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Интерполяция сплайнами

1. Интерполяция сплайнами.

2. Пример построения кубического сплайна для функции y=f(x), заданной таблично.

1. Интерполяция сплайнами

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений.

Высокой степени многочлена можно избежать, разбив отрезок интерполяции на несколько частей, с последующим построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена.

Однако такое интерполирование наталкивается на существенный недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов бывает разрывной их первая производная.

В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции - интерполяции сплайнами.

Суть этого подхода заключается в следующем:

Определение: Функция S_m (x) называется интерполяционным сплайном порядка m для функции f(x), заданной таблицей:

если:

1. на каждом отрезке [x_i ; x_i+1] (i=0,…,n-1) S(x) является многочленом порядка m;

2. S(x) и её производная до (m-1)-го порядка включительно непрерывны на [x₀ ; x_n];

3. S(x_i)=y_i(i=0,…,n) - непосредственно условие интерполяции.

Остановимся на построении наиболее популярных в практике аппроксимации функций кубических сплайнов.

По определению кубический сплайн S(x) можно представить в виде

(3.17)

Где каждый из - многочлен третьей степени:

. (3.18)

Коэффициенты найдем из условия: , т.е.

(3.19)

Условие непрерывности S(x) в каждом узле приводит к равенствам:

В развернутом виде с учетом формулы (3.18) эти равенства примут вид:

(3.20)

Введем обозначения:

Понижая в равенстве (3.20) индекс на единицу (меняем i на i-1) и, учитывая (3.19), получим:

(3.21)

Условие непрерывности первой производной кубического сплайна сводится к требованию

Тогда дифференцируя формулу (3.18) и используя, введите обозначения, получим:

) (3.22)

Из условия непрерывности второй производной: получим:

) (3.23)

Составим систему из равенств (3.21)-(3.23) и, решив её, найдем коэффициенты .

Однако, для однозначной ее разрешимости добавим условия непрерывности на концах отрезка: , т.е.

(3.24)

В результате получаем систему уравнений:

Последовательно, исключая переменные получим

(3.25)

(это уравнение содержит лишь неизвестные ).

(3.26)

(это уравнение содержит лишь неизвестные ).

(3.27)

(это уравнение содержит лишь неизвестные ).

Построив кубический сплайн, найдем оценку погрешности интерполяции:

,

где - промежуток интерполяции.

2. Пример построения кубического сплайна для функции y=f(x), заданной таблично

Пример: Построить кубический сплайн для функции y=f(x), заданной таблицей:

с дополнительным условием: . Найти с помощью S(x) значения функции при x=0,3. (Заметим, что в основу таблицы положена функция у =2^x).

Решение:

Учитывая, что (т.к. вообще не используется в функциях) и (т.к. из условия (3.24):).

Шаг таблицы .

из (3.25) получаем:

Из (3.26) имеем:

,

,

.

Из (3.27) имеем:

,

,

.

из формулы (3.28) получаем:

,

.

,

.

,

Следовательно, сплайн S(x) построен:

Найдем его значение при x=0,3:

Заметим, что 0,3[0;1], поэтому используем многочлен :

.

Отметим для сопоставления с той же точностью значение функции, положенной в основу данного примера:.

Интерполяция сплайнами сопряжена с немалым объемом вычислительной работы. Весьма необычна и форма окончательного результата, ибо сплайн имеет различные представления на различных частичных отрезках интерполяции. Это осложняет доступ к значениям сплайна в каждой конкретной точке, так как предполагает, прежде всего, поиск параметров, определяющих соответствующую форму сплайна. Эти трудности легко предотвратимы при использовании компьютера, так как упорядоченное хранение всех необходимых параметров организовать нетрудно, а выполнение однотипных процедур по вычислению параметров сплайна и его значений может быть обеспечено специальными процедурами.

Варианты заданий:

Задание 1. По заданной таблице значений функции

х

х₀

х₁

х₂

х₃

у

у₀

у₁

у₂

у₃

вычислить коэффициенты и составить формулы кубического сплайна. Результат интерполирования проверить путем вычисления значений сплайна в узловых точках.

Построить график кубического сплайна и отобразить на нем узловые точки.

Вычислить с помощью калькулятора одно значение заданной функции для промежуточного значения аргумента с помощью построенного сплайна.

Таблица 1 Таблица 2

х₀

х₁

х₂

х₃

у₀

у₁

у₂

у₃

1

0

3

8

11

1

5

-4

-8

2

-3

-1

1

3

11

-1

6

-2

3

-4

0

2

5

4

8

-2

-9

Вариант

х

1

4.6

2

-2.5

3

-1.2

Самостоятельная работа №19: Формирование и усвоение содержания теоретического материала, используя информационные образовательные ресурсы (онлайн-решения)

Цель: научиться использовать информационные образовательные ресурсы для самоконтроля по изучаемой теме

Самостоятельная работа: работа с Internet- ресурсами

Форма контроля: проверка работы

Тема 2.4. Численное интегрирование

Самостоятельная работа №20: Подготовка сообщений «Ньютон - вклад в развитие математики», «Лагранж - вклад в развитие математики», «Котес - вклад в развитие математики», «Применение определенных интегралов»

Цель: получить представление о вкладах великих ученых в развитие математики: Ньютон, Лагранж, Котес; расширить знания о применении определенных интегралов

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №21: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: вычисление интегралов при помощи формул Ньютона-Котеса

Цель: научиться вычислять интегралы при помощи формул Ньютона-Котеса

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

1. Подстановка задачи численного интеграла

При вычислении определенного интеграла

,

где f(x) - функция непрерывная на отрезке [a,b] используется формула Ньютона - Лейбница:

(4.1)

Однако бывают случаи, когда первообразную F(x) нельзя найти, или не всегда удается довести вычисления до числового значения. Иногда подынтегральная функция может быть задана таблично или графиком, поэтому формула (4.1) не исчерпывает практических приемов вычисления интегралов.

На практике часто применяют различные методы приближенного (численного) интегрирования.

Определение: Формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называют квадратурными формулами.

Простой прием построения квадратурных формул состоит в том, что подынтегральная функция f(x) заменяется на отрезке [a;b] интерполяционным многочленом Лагранжа Ln(x), и тогда:

. (4.2)

Подобный подход удобен тем, что он приводит к алгоритмам, легко реализуемым на компьютере, и позволяющим получать результат с точностью, достаточной для широкого круга практических приложении.

2. Квадратурные формулы Ньютона - Котеса

Используя интерполяционные формулы Ньютона, и применяя замену

или ,

получим следующий вид квадратурных формул Ньютона - Котеса

. (4.3)

дающих на одном участке интегрирования различные представления для различного числа n отрезков разбиения

(4.4)

Числа , называются коэффициентами Котеса.

Различают 3 вида квадратурных формул Ньютона - Котеса:

1. Формула прямоугольников.

2. Формула трапеции.

3. Формула Симпсона (параболы).

3. Метод прямоугольников

Для вычисления определенного интеграла отрезок [a;b] разбивают на n криволинейную трапецию, заменяют прямоугольником с основанием , и высотой соответственно.

Данный подход к решению задачи дает площадь криволинейной трапеции, т.е. значение определенного интеграла с недостатком

. (4.5)

Формула (4.5) называется формулой прямоугольников с недостатком.

Аналогично можно получить формулу для вычисления определенного интеграла с избытком.

(4.6)

Формула (4.6) называется формулой прямоугольников с избытком.

где значение

. (4.7)

Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл

(n=5).

Решение:

Имеем a=0, , .

Тогда

Вычислим значение функции по формуле (4.7):

Применяя формулу прямоугольника с недостатком (4.2) получим

Вычислим данный интеграл по формуле Ньютона - Лейбница и сравним результаты:

Относительная погрешность вычисления:

.

4. Метод трапеций

Геометрический смысл этого метода практического вычисления определенного интеграла состоит в том, что нахождение площади криволинейной трапеции заменяется нахождением площади приблизительно равновеликой прямолинейной трапеции.

(4.8)

Для повышения точности результата разобьём фигуру на n частей, а затем суммируем площади получившихся трапеций:

(4.9)

где .

Формула (4.9) называется формулой трапеций.

Пример: По формуле трапеции вычислить интеграл

(n=5).

Решение: Имеем a=0, b=5, , .

Вычислим промежуточные значения функции в узлах:

Тогда по формуле трапеций (4.9) имеем:

.

5. Метод парабол

Замена подынтегральной функции f(x) параболой, проходящей через точки M_i(x_i; y_i), (i=0,1,2) позволяет получать более точное значение определенного интеграла.

Если считать, что n - четное (n=2m), то получим:

(4.10)

где .

Формула (4.10) называется формулой парабол или формулой Симпсона.

Для оценки погрешности формулы Симпсона применяется формула

, (4.11)

Как следует из оценки, формула Симпсона, оказывается точной для многочленов до 3-ей степени включительно. Так как для этих случаев производная 4-го порядка равна 0.

Формула Симпсона обладает повышенной точностью по сравнению с формулой трапеций, это обозначает, что для достижения той же точности, что и в формуле трапеций, в ней можно брать меньшее число n - отрезков разбиения. Последнее обстоятельство весьма важно для вычислений. Поскольку основное время затрачивается на нахождение значений функции в узлах. Укажем простой практический прием, позволяющий прогнозировать требуемое число отрезков разбиения по заданной точности.

, (4.12)

Пример: Вычислить интеграл по формуле парабол

, (n=10).

Решение: Значения подынтегральной функции в узловых точках запишем в таблицу:

Подставим найденные значения в формулу Симпсона, учитывая, что h=0,1:

В данном случае легко вычислить «точное» значение этого интеграла, пользуясь формулой Ньютона - Лейбница

.

Как видим, результат, полученный с помощью приближенной формулы парабол, дает высокую точность.

Варианты заданий:

Вычислить интеграл от заданной функции f(x) на отрезке [a;b] при делении отрезка на 10 равных частей четырьмя способами:

1. по формуле прямоугольников;

2. по формуле трапеций;

3. по формуле Симпсона;

4. по формуле Гаусса.

Сравнить точность полученных результатов.

Таблица 1

f(x)

a

b

1

0

1

2

0

1

3

0

1

Самостоятельная работа №22: Составление алгоритмов, блок-схем методов численного интегрирования

Цель: отработать умения составления алгоритмов, блок-схем методов численного интегрирования

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Варианты заданий:

Составьте блок-схемы четырех методов численного интегрирования:

1. по формуле прямоугольников;

2. по формуле трапеций;

3. по формуле Симпсона;

4. по формуле Гаусса.

Самостоятельная работа №23: Выполнение домашних заданий в виде решения отдельных задач: Вычисление интегралов при помощи формул Гаусса

Цель: научиться вычислять интегралы при помощи формул Гаусса

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Квадратные формулы Гаусса

Существует подход к построению квадратурных формул, в котором главную роль играет выбор узлов для интерполирования подынтегральной функции, называемый методом Гаусса.

При получении квадратных формул Гаусса в исходном интеграле выполняется замена переменной, переводящая интеграл по отрезку [a;b] в интеграл по отрезку [-1;1].

или (4.13)

Тогда

(4.14)

Последний интеграл обозначим и можно далее, развивать метод Гаусса применительно к нему.

Для разъяснения существа метода Гаусса будем использовать простейшую (линейную) интерполяцию подынтегральной функции:

Если в качестве узлов интерполяции взять концы отрезка [-1;1], то различие в площадях криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой и «обычной» трапеции, ограниченной сверху прямой, проведённой через концы указанной кривой, фиксировано видом функции .

Однако, если сделать узлы интерполяции «подвижными», то можно выбрать их таким образом, чтобы разность между площадями криволинейной и «обычной» трапеции была значительно меньше.

Более того, можно сделать эти площади равными , т.е. аппроксимировать интеграл точно, но для этого необходимо определить точки .

Сформулируем задачу следующим образом:

Выбрать значения так, чтобы площадь трапеции, ограниченной сверху прямой, проходящей через точки, была равна интегралу от любого многочлена некоторой (наивысшей возможной) степени.

Так как положение точек определяют четыре координаты, то это многочлен может определяться максимум четырьмя коэффициентами, т.е. является многочленом третьей степени.

(4.15)

Легко установить, что уравнение прямой, проходящей через точки имеет вид: , (4.16)

где .

Будем выбирать так, чтобы равенство

(4.17)

имело место при любых .

Вычисляя значения , получим:

Если взять узлами линейной интерполяции числа(4.18) ,то интеграл, вычисленный по формуле,точно совпадает с интегралом от любого многочлена третьей степени.

Вычислив интеграл по указанной формуле с учётом (4.18), получим

(4.19)

Формула (4.19) и называется квадратурной формулой Гаусса.

С учетом формулы (4.14) формула Гаусса примет вид:

(4.20)

Оценка погрешности вычисления интеграла по формуле (4.19) проводится по формуле:

(4.21)

Для повышения точности результата отрезок [a;b] разделим на n частей и применим формулу (4.20) на каждом из них.

Получим формулу для вычисления интеграла:

(4.22)

Формула для оценки погрешности примет вид:

(4.23)

Пример: Вычислить интеграл по формуле Гаусса при n = 10.

Решение: Имеем a = 0, b = 1, .

Тогда .

Составим таблицу значений, входящих в формулу (4.22)

0

0,02113249

0,078868

0,00000944

0,00049005

0,1

0,121132249

0,178868

0,00177304

0,00569215

0,2

0,22113249

0,278868

0,01072537

0,02140672

0,3

0,32113249

0,378868

0,03255086

0,05309115

0,4

0,42113249

0,478868

0,07250071

0,10566206

0,5

0,52113249

0,578868

0,13520907

0,18331848

0,6

0,62113249

0,678868

0,22452206

0,28938023

0,7

0,72113249

0,778868

0,34334373

0,42614496

0,8

0,82113249

0,878868

0,49350196

0,59476723

0,9

0,92113249

0,978868

0,67563779

0,795162236

1,0

Подставляя найденное значение суммы значений функции y_i , в формулу (4.22) получим:

.

Варианты заданий:

Вычислить интеграл методом Гаусса от заданной функции f(x) на отрезке [a;b] при делении отрезка на 10 равных частей

Таблица 1

f(x)

a

b

1

0

1

2

0

1

3

0

1

Тема 2.5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Самостоятельная работа №24: подготовка сообщений «Эйлер - вклад в развитие математики», «Рунге-Кутт - вклад в развитие математики», «Применение дифференциальных уравнений»

Цель: получить представление о вкладе в развитие математики Эйлера; расширить знаний о применение дифференциальных уравнений

Самостоятельная работа: работа с литературой

Форма контроля: сообщение на уроке

Самостоятельная работа №25: Составление алгоритмов, блок-схем методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель: отработать умения составления алгоритмов, блок-схем методов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Самостоятельная работа: индивидуальное домашнее задание

Форма контроля: проверка работы

Теоретический материал и методические указания к выполнению заданий

Численные методы решения дифференциальных уравнений.

Постановка задач

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

y'=f(x,y) (5.1)

Эта задача известна, как задача Коши: найти решение уравнения (5.1) в виде функции y(x), удовлетворяющей начальному условию

y(x_{0) =} y_0. (5.2)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку М₀ (x₀,y₀), при выполнении равенства (5.1).

Существует несколько классов дифференциальных уравнений 1-го порядка, для которых решение может быть найдено аналитически. Но даже для таких уравнений решение не всегда удается довести до вида y=y(x). Многие же дифференциальные уравнения, к которым приводят математические модели реальных процессов, не могут быть решены аналитически. По этой причине разработаны многочисленные методы приближенного решения дифференциальных уравнений.

Эти методы подразделяются на 3 основные группы:

1. аналитические методы, применения которых дает приближенное решение дифференциальных уравнений в виде формулы;

2. графические методы, дающие приближенное решение в виде графика;

3. численные методы, когда искомая функция получается в виде таблицы.

Метод Эйлера

В основе метода ломанных Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано уравнение (5.1) с начальным условием (5.2), т.е. поставлена раздача Коши.

Вначале найдем простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке , где h - достаточно малый шаг.

Заметим, что уравнение (5.1) совместно с начальным условием (5.2) задают направление касательной к искомой интегральной кривой в точке М(x,y). Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке х:

(5.3)

Аналогично, найдем приближенное значение решения в точке , и т.д.

Продолжая эту идею, построим систему равностоящих точек , i=0,..,n.

Получение таблицы значений искомой функции y(x) по методу Эйлера заключается в циклическом применении пары формул:

(5.4)

Геометрическая иллюстрация метода Эйлера:

Рис 5.1 Построение ломаной Эйлера

Вместо кривой в реальности получается совокупность прямых - ломаная Эйлера.

Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми.

Метод Эйлера - простейший пошаговый метод.

Отметим, что оценка погрешности метода при таком элементарном рассмотрении невозможна даже на первом шаге. Кроме того, особенностью любого пошагового метода является то, что, начиная со второго шага, исходное значение y в формуле (5.4) само является приближенным, т.е. погрешность на каждом шаге систематически возрастает.

Наиболее используемым методом оценки точности, как метода Эйлера, так и других пошаговых методов приближенного численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений является способ двойного прохождения заданного отрезка с шагом h и с шагом h/2. Совпадение соответствующих десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.

Пример: Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение c начальным условием y(0) = 1,3 на отрезке [0;1] применив h=0,2.

Решение: Имеем .

Составим таблицу значений функции f(x,y) с шагом h и h/2.

При составлении таблицы проводились следующие вычисления:

Если h=0,2:

1. х₀=0, у₀=1,3 из начального условия;

2. х₁=0,1,

3. х₂=0,2,

И т.д.

Аналогичные вычисления проводились и для h=0,1.

Таким образом, приближенное решение уравнения получаем в виде таблицы. Построим ломаную Эйлера для h=0,2 и h=0,1 в одной системе координат.

Метод Рунге-Кутта

Если к методу Эйлера подойти другим путем, не используя геометрических построений, то необходимо рассматривать производные функции f(x,y) и раскладывать эту функцию в степенной ряд. Но нахождение производных не является стандартной задачей, применяемой при решении математических задач систем программирования.

Альтернативный путь открывает метод Рунге-Кутта, названный по имени его создателей.

Основная идея метода Рунге-Кутта такова: вместо использования в формулах частных производных функции f(x,y) использовать лишь саму эту функцию, но на каждом шаге вычислять ее значение в нескольких точках.

На практике соблюдается некоторый компромисс между высоким порядком формул и их громоздкостью с одной стороны, и объемом вычислений по ним для достижения заданной точности, с другой. Запишем самую распространяемую формулу Рунге-Кутта четвертого порядка:

, (5.5)

(5.6)

Общий недостаток методов Рунге-Кутта - отсутствие простых способов оценки погрешности метода. Погрешность на одном шаге оценить сравнительно не трудно, гораздо труднее оценить накопление погрешностей на протяжении многих шагов. Широко используемый на практике для этих методов способ контроля точности - двойной счет: вычисляем решение дифференциального уравнение с шагом h и h/2 , а потом сравниваем полученные результаты.

Пример: Решить дифференциальное уравнение на отрезке с начальным условием у(0)=1 и шагом h=0.05.

Решение: Сначала решим это уравнение аналитически:

- уравнение с разделяющимися переменными.

,

Применим начальное условие , получим:

Таким образом, частное решение данного уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:

.

Пользуясь этой формулой, можно получить таблицу «точного» решение уравнения.

Найдем приближенное решение дифференциальное уравнение по методу Рунге-Кутта. Проведем последовательные вычисления по формулам (5.5), (5.6):

Имеем: f(x,y)=y(1-x), =0, =1, h=0.05. Тогда

Подставим найденные значения в формулу (5.5):

Поскольку вычисления достаточно громоздки и трудоемки, то численные решения заданного уравнения можно найти с помощью программы на компьютере.

Для сравнения результатов построим таблицу, в которой укажем численные решения, полученные по методу Эйлера, методу Рунге-Кутта и «точное решение».

Из таблицы видно, что результаты, получения по методу Рунге-Кутта практически совпадают с «точным» решением уравнения, в отличие от соответствующих значений, полученных по методу Эйлера.

Варианты заданий:

Составьте блок-схемы четырех метода Эйлера и Рунге-Кутта решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методические указания к самостоятельной работе студента

Целевые направления самостоятельной работы студентов

1.Для овладения и углубления знаний:

- составление различных видов планов и тезисов пот тексту;

- конспектирование текста;

- создание презентации.

2. Для закрепления знаний:

- работа с конспектом лекции;

- повторная работа с учебным материалом;

- составление плана ответа;

- составление различных таблиц.

3. Для систематизации учебного материала:

- подготовка ответов на контрольные вопросы;

- аналитическая обработка текста;

- подготовка сообщения, доклада;

- тестирование;

- составление кроссворда;

- формирование плаката;

- составление памятки.

4 .Для формирования практических и профессиональных умений.

-решение задач и упражнений по образцу;

-решение ситуативных и профессиональных задач;

Приёмы самостоятельной работы студентов.

1. Работа с учебником.

Для обеспечения максимально возможного усвоения материала и с учётом индивидуальных особенностей студенов, можно предложить им следующие приёмы обработки информации учебника:

- конспектирование;

- составление плана учебного текста;

- тезирование;

- аннотирование;

- выделение проблемы и нахождение путей её решения;

- самостоятельная постановка проблемы и нахождение в тексте путей её решения;

- определение алгоритма практических действий (план, схема).

2. Опорный конспект.

Опорный конспект необходимо давать на этапе изучения нового материала, а потом использовать его при повторении.

Опорный конспект позволяет не только обобщать, повторять необходимый теоретический материал, но и даёт педагогу огромный выигрыш во времени при прохождении материала.

3. Тесты

Основное достоинство тестовой формы контроля - это простота и скорость, с которой осуществляется первая оценка уровня обученности по конкретной теме, позволяющая, к тому же, реально оценить готовность к итоговому контролю в иных формах и, в случае необходимости, откорректировать те или иные элементы темы.

4.Семинар

Форма проведения семинара очень гибкая.

На семинарах решаются следующие задачи:

- углубление, конкретизация и систематизация знаний, полученных студентами на предшествующих этапах учёбы;

- развитие навыков самостоятельной работы

- ознакомление со спецификой работы с литературой;

- профессиональное использование знаний в учебных условиях.

Типы проведения семинарских занятий:

- вопросно-ответный семинар;

- развёрнутая беседа на основе заранее данного студентам плана, обсуждение письменных рефератов;

- заслушивание устных докладов студентов с последующим их обсуждением;

- семинар - диспут;

- теоретическая конференция;

- семинар - имитационная игра;

- комментированное чтение первоисточников.

5. Задачное обучение.

- практико-ориентированные задачи: выступают средством формирования у студентов системы интегрированных умений и навыков, необходимых для освоения профессиональных компетенций. Это могут быть ситуации, требующие применения умений и навыков, специфичных для профессии педагога (знания содержания предмета), ситуации, требующие организации деятельности, выбора её оптимальной структуры (организация детского коллектива, принципы организации занятий с детьми и т.п), личностно-ориентированных ситуаций (нахождение нестандартного способа решения).

- профессиональные задачи: выступают средством формирования у студентов умений определять, разрабатывать и применять оптимальные методы решения профессиональных задач. Они строятся на основе ситуаций, возникающих на различных уровнях осуществления практики и формулируются в виде производственных поручений (заданий).

Задачное обучение способно обеспечить целенаправленное, поэтапное формирование и контроль сформированности необходимых профессиональных компетенций.

Правила работы с книгой

При работе с книгой необходимо подобрать литературу, научиться правильно ее читать, вести записи. Для подбора литературы в библиотеке используются алфавитный и систематический каталоги.

Важно помнить, что рациональные навыки работы с книгой - это всегда большая экономия времени и сил.

Правильный подбор учебников рекомендуется преподавателем, читающим лекционный курс. Необходимая литература может быть также указана в методических разработках по данному курсу.

Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного уяснения предыдущего, описывая на бумаге все выкладки и вычисления (в том числе те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного вывода).

При изучении любой дисциплины большую и важную роль играет самостоятельная индивидуальная работа.

Особое внимание следует обратить на определение основных понятий курса. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. Нужно добиваться точного представления о том, что изучаешь. Полезно составлять опорные конспекты. При изучении материала по учебнику полезно в тетради (на специально отведенных полях) дополнять конспект лекций. Там же следует отмечать вопросы, выделенные студентом для консультации с преподавателем.

Выводы, полученные в результате изучения, рекомендуется в конспекте выделять, чтобы они при перечитывании записей лучше запоминались.

Опыт показывает, что помогает составление листа опорных сигналов, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы и понятия. Такой лист помогает запомнить формулы, основные положения лекции, а также может служить постоянным справочником для студента.

Различают два вида чтения; первичное и вторичное. Первичное - эти внимательное, неторопливое чтение, при котором можно остановиться на трудных местах. После него не должно остаться ни одного непонятного олова. Содержание не всегда может быть понятно после первичного чтения.

Задача вторичного чтения полное усвоение смысла целого (по счету это чтение может быть и не вторым, а третьим или четвертым).

Основные виды систематизированной записи прочитанного:

1. Аннотирование - предельно краткое связное описание просмотренной или прочитанной книги (статьи), ее содержания, источников, характера и назначения;

2. Планирование - краткая логическая организация текста, раскрывающая содержание и структуру изучаемого материала;

3. Тезирование - лаконичное воспроизведение основных утверждений автора без привлечения фактического материала;

4. Цитирование - дословное выписывание из текста выдержек, извлечений, наиболее существенно отражающих ту или иную мысль автора;

5. Конспектирование - краткое и последовательное изложение содержания прочитанного.

Конспект - сложный способ изложения содержания книги или статьи в логической последовательности. Конспект аккумулирует в себе предыдущие виды записи, позволяет всесторонне охватить содержание книги, статьи. Поэтому умение составлять план, тезисы, делать выписки и другие записи определяет и технологию составления конспекта

Методические рекомендации по составлению конспекта:

1. Внимательно прочитайте текст. Уточните в справочной литературе непонятные слова. При записи не забудьте вынести справочные данные на поля конспекта;

2. Выделите главное, составьте план;

3. Кратко сформулируйте основные положения текста, отметьте аргументацию автора;

4. Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи следует вести четко, ясно.

5. Грамотно записывайте цитаты. Цитируя, учитывайте лаконичность, значимость мысли.

В тексте конспекта желательно приводить не только тезисные положения, но и их доказательства. При оформлении конспекта необходимо стремиться к емкости каждого предложения. Мысли автора книги следует излагать кратко, заботясь о стиле и выразительности написанного. Число дополнительных элементов конспекта должно быть логически обоснованным, записи должны распределяться в определенной последовательности, отвечающей логической структуре произведения. Для уточнения и дополнения необходимо оставлять поля.

Овладение навыками конспектирования требует от студента целеустремленности, повседневной самостоятельной работы.

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ СООБЩЕНИЙ

• Текст сообщения распечатать на бумаге формата А4.

• По всем сторонам листа оставить поля от края листа. Размеры: левого поля - 20 мм; правого поля - 10 мм; верхнего поля - 15 мм; нижнего поля - 15 мм.

• Использовать шрифт Times New Roman. Цвет шрифта должен быть чёрным, кегль - 12 пт. Можно использовать компьютерные возможности акцентирования внимания на определённых терминах, применяя различные способы начертания.

• Заголовки следует располагать в середине строки без точки в конце и печатать прописными буквами, не подчеркивая.

• Для абзацев, не являющихся заголовками, установить отступ первой строки на 12,5 мм и выравнивание - по ширине. Расстояние между абзацами - 3 пт.

• Если в сообщении более одной страницы, то страницы следует нумеровать арабскими цифрами.

• Обязательно напечатать список использованных источников (название статей, сайтов, или др. и адреса Web-страниц). В сообщении должны быть ссылки на используемую литературу.

• Не забудьте подписать сообщение (указать фамилию, имя учащегося, подготовившего сообщение).

Основное требование к содержанию: сообщение должно быть информативно и интересно для большинства студентов.

Требования к докладам и докладчикам

Доклады, с которыми студенты выступают на семинарских занятиях, дают возможность разнообразить формы и содержание занятий, учитывая особые интересы студентов и не ограничиваясь тематическими рамками, установленными программой учебной дисциплины. Доклады позволяют студентам реализовать свои способности к самостоятельным научным исследованиям и творчеству.

Доклады представляют собой устные сообщения продолжительностью до 10 минут.

Доклад готовится по собственной инициативе студента, т.е. никто не обязывается к выступлению с докладом, но всякий имеет право предложить своё выступление вниманию студенческой группы и преподавателя.

Тему доклада студент определяет сам, исходя из собственных научно-исследовательских интересов. Разумеется, тема должна соответствовать изучаемой дисциплине.

При подготовке доклада следует ознакомиться с литературой по избранной теме. Основными источниками должны служить научные статьи и монографии, написанные компетентными авторами и опубликованные в научных и научно-популярных изданиях. Могут быть использованы также статьи из словарей и энциклопедий. Не рекомендуется воспроизводить в докладах тексты из учебных пособий (учебники служат для подготовки обычных уроков, а не исследовательских работ).

Недопустимо использование для доклада чужих рефератов, которых в Интернете имеется великое множество. Нельзя также составлять доклад из фрагментов чужих статей и монографий.

Умение студента прочитать вслух перед аудиторией чужие тексты, скачанные из Интернета или отсканированные, не заслуживает положительной оценки. На такие «доклады» не стоит тратить учебное время.

Во избежание плагиатов, выдаваемых за самостоятельно подготовленные доклады, тексты докладов или их аннотации будут подвергаться предварительному просмотру преподавателем. ,

Автор доклада должен показать актуальность избранной темы, сформулировать цель и задачи своего исследования, т.е. кратко объяснить, что и зачем он, собственно, хочет сказать, а в завершение своей речи он должен сделать выводы и обобщения. К тексту доклада следует приложить список использованной литературы. Автор доклада должен позаботиться о том, чтобы его слушатели могли понять, в чём заключается его самостоятельная работа.

Успех и оценка доклада в немалой степени зависят от того, насколько он окажется интересным для аудитории, сможет ли он вызвать живую дискуссию.

Требования к оформлению мультимедийных презентаций

Создавая презентацию, всегда думайте о тех, для кого она создается.

Каждый слайд должен иметь простую, понятную структуру и содержать текстовые или графические элементы, несущие в себе зрительный образ как основную идею слайда.

Цепочка образов должна полностью соответствовать логике. Такой подход способствует хорошему восприятию материала и воспроизведению в памяти представленного содержания посредством ассоциаций.

Используйте короткие слова и предложения. Минимизируйте количество предлогов, наречий, прилагательных.

Заголовки должны привлекать внимание (но не занимать все место и не отвлекать).

Текст, таблицы, диаграммы, схемы в презентациях

Для того чтобы ваша презентация имела успех, следует соблюдать ряд требований по ее оформлению.

• Предпочтительно горизонтальное расположение материала.

• Наиболее важная информация должна располагаться в центре экрана.

• При выборе цветового оформления слайдов презентации следует учитывать тот факт, что мультимедийные проекторы проецируют изображение на экран по-разному: светлее, чем оно есть на самом деле или темнее.

• На одном слайде рекомендуется использовать не более четырех цветов: один для фона, один-два для заголовков и один-два для текста. Достигайте сочетаемости цветов.

• Для фона лучше использовать светлые тона. Цвет и размер шрифта, оформление шаблона должны быть подобраны так, чтобы все надписи читались.

Выбор размера шрифта на слайде определяется, исходя из нескольких условий:

• размера помещения и максимальной удаленностью зрителей от экрана;

• освещенности помещения и качества проекционной аппаратуры.

Текст должен читаться из самой дальней точки помещения, где происходит демонстрация.

Примерные рекомендуемые размеры шрифтов (с учетом демонстрации презентации в маленьком учебном классе):

• заголовок - 22-28 pt;

• подзаголовок - 20 -24 pt;

• текст - 18 - 22 pt;

• подписи данных в диаграммах - 18 - 22 pt;

• шрифт легенды - 16 - 22 pt;

• информация в таблицах - 18 -22 pt.

Помните, чем больше помещение и удаленнее зрители (ученики) от экрана, тем крупнее должен быть шрифт.

Наименьшую высоту буквы (h), проецируемой на экран, можно рассчитать по формуле: h = 0, 003D, где D - расстояние от учащихся, сидящих за последними столами кабинета, до экрана.

Не рекомендуется смешивать разные типы шрифтов. Нельзя злоупотреблять прописными буквами, т.к. они читаются хуже.

• Количество текста на слайде регулируется с учетом назначения самой презентации и категории людей, на которых она рассчитана. (Чем младше дети, тем меньше информации на слайде должно быть).

• С точки зрения эффективного восприятия текстовой информации, один слайд в среднем должен содержать 7 - 13 строк. На слайде следует располагать список не более чем из 5-6 пунктов, в каждом из которых - не более 5-6 слов.

• Текстовая информация на слайде отражает цель и содержание урока (лекции, воспитательного мероприятия). С точки зрения содержания, текст на слайде - это определения, выводы, формулы, перечень объектов и пр. Как правило, один слайд - одна идея.

• Если вы используете таблицы на слайдах, то текстовая информация в ней должна хорошо читаться. Поэтому размер шрифта определяется в соответствии с требованиями к тексту, представленными выше. Следует отметить, что шрифт таблицы, может быть на 1-2 пункта меньше, чем основной текст на слайде.

• Одну таблицу можно разместить на нескольких слайдах (с сохранением заголовков) во избежание мелкого шрифта

• Таблица в презентации может стать более наглядной, если использовать приемы выделения цветом отдельных областей таблицы.

• Размер и вид используемой диаграммы на слайде определяется в соответствии с требованиями эффективного восприятия наглядной и текстовой информации.

• С точки зрения восприятия графических объектов, на одном слайде рекомендуется размещать не более 3-х круговых диаграмм.

• Тип диаграммы должен соответствовать типу отображаемых данных.

• Данные и подписи не должны накладываться друг на друга и сливаться с графическими элементами диаграммы.

• Если при форматировании слайда есть необходимость пропорционально уменьшить размер диаграммы, то размер шрифтов должен быть увеличен с таким расчетом, чтобы текстовая информация читалась.

• Таблицы и диаграммы лучше размещать на светлом или белом фоне.

• При демонстрации таблиц и диаграмм уместно последовательное появление текстовой информации, что достигается с помощью настроек анимационных эффектов. При этом следует придерживаться следующих правил: единство стиля подачи материала; удобство восприятия текстовой и наглядной информации.

• Если вы используете схемы, то на одном слайде рекомендуется размещать не более одной схемы.

• Схема располагается в центре слайда, заполняя всю его площадь.

• Количество элементов на схеме определяется, с одной стороны, ее назначением, а с дугой - элементарным правилом «разумности» с точки зрения зрительного восприятия.

• Текстовая информация в схеме должна хорошо читаться. Поэтому размер шрифта определяется в соответствии с требованиями к тексту, представленными выше.

• При выборе цветовой гаммы и конфигурации объектов схемы помните, что схема - это наглядный образ содержания. Внешний вид схемы должен гармонично сочетаться с другими слайдами презентации.

Рисунки, фотографии

Общие требования к использованию рисунков и фотографий на слайдах:

• разумное дозирование количества фотографий и рисунков в презентации и на одном слайде (как правило, это 3-5 изображений для иллюстрации одной идеи);

• размещение фотографий и рисунков на слайде должно отвечать общим дизайн-эргономическим требованиям экранного представления информации;

• для облегчения «веса презентации», т.е уменьшения объема файла фотографии рекомендуется представлять в сжатом виде;

• все рисунки должны быть подписаны; подпись располагается снизу.

Анимации и эффекты

Одна из самых привлекательных особенностей презентации - конечно, интерактивность, что обеспечивается различными анимационными эффектами.

При создании презентации педагогу важно помнить:

· Увиденное сначала предстает перед нами как образ - мы реагируем на поведение объекта (движение, изменение формы и цвета), выделяем размер, цвет, форму, а затем обращаем внимание на содержание.

· Понимание закономерностей восприятия, грамотное, планомерное использование приемов анимации - это залог повышения эффективности восприятия материала, представленного в презентации.

· С помощью анимации создается модель какого-либо процесса, явления, наглядного решения задачи, последовательности выполнения каких-либо действий, ответов на вопросы и т.д.

· Не следует увлекаться анимациями, помня о том, что важен не внешний эффект, а содержание информации.

Планируя и оценивая презентацию, помните: анимации и эффекты - только к месту.

Литература

Основные источники

1. Колдаев В.Д. Численные методы и программирование: учебное пособие для СПО / В.Д. Колдаев; под ред. проф. Л.Г. Гагариной. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2010.

Дополнительные источники

1. Самарский А.А. Задачи и упражнения по численным методам; Москва,2000.

2. Лабораторный практикум по курсу «Основы вычислительной математики»; Москва,2009.

3. Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков Численные методы в задачах и упражнениях; БИНОМ. Лаборатория знаний,2011.

4. Пакет прикладных программ по курсу численные методы OC Windows, XP - сервисная программа. MS Office, XP - сервисная программаю

Периодические издания

1. Научный журнал «Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии»

2. Exponenta Pro. Математика в приложениях

3. Математические заметки

Интернет-ресурсы:

1. Единое информационно-образовательное пространство колледжа NetSchool. Форма доступа: sgtek.ru

2. Информационно-справочная система «В помощь студентам». Форма доступа: window.edu.ru

3. Информационно-справочная система. Форма доступа: dit.isuct.ru.

4. Информационно-справочная система. Форма доступа: resolventa.ru