- Преподавателю
- Математика
- Проект Методы решения тригонометрических уравнений!
Проект Методы решения тригонометрических уравнений!
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Остапенко Т.И. |
Дата | 17.05.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Областное государственное автономное
образовательное учреждение
дополнительного профессионального образования
«Белгородский институт развития образования»
Методы решения тригонометрических уравнений
(проектное задание)
Выполнила:
Остапенко Татьяна Ивановна,
учитель математики и физики
МБОУ «Бехтеевская СОШ
Корочанского района
Белгородскойобласти
Руководитель курса:
Вертелецкая О.В.,
старший преподаватель
кафедры естественно-
математического образования
Белгород
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение…………………………………………………………………….3
Теоретическая часть……………………………………………………....4-6
Практическая часть………………………………………………………7-18
Заключение………………………………………………………………19-20
Библиография……………………………………………………………....21
Приложение
Введение
Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения.
Цель работы: изучить методы решения тригонометрических уравнений, исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и задач различного содержания.
Теоретическая часть
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда - с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида
sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать.
sinx = a, x = (-1)karcsin a + πk, kЄZ,
arcsin a - угол, содержащийся в промежутке от - π/2 до π/2, синус которого равен a.
cosx= a, x=arccos a +2πk, kЄZ,
arccos a - угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, косинус которого равен a.
tq x = a, x = arctq a + πk, kЄZ,
arctg a - угол, содержащийся в промежутке от - π/2 до π/2, тангенс которого равен a.
ctq x = a, x = arcctq a + πk, kЄZ,
arcctg a - угол, содержащийся в промежутке от 0 до π, котангенс которого равен a.
Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не сделано каких-либо оговорок, имеет бесчисленное множество решений.
Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул.
Частные случаи
При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций.
Рекомендации по решению тригонометрических уравнений
-
Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.
-
Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
-
Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.
-
Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения.
-
Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.
-
Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.
-
Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:
-
Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:
Практическая часть
Методы решения тригонометрических уравнений.
При решении тригонометрических уравнений все задачи сводятся к тому, чтобы привести к такому виду, чтобы слева стояла элементарная тригонометрическая функция, а справа - число. После того, как это будет достигнуто, следует найти значение аргумента функции, используя одну из основных формул выражения аргумента через обратные тригонометрические функции.
-
Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций.
Необходимо произвести замену неизвестных таким образом, чтобы тригонометрическое уравнение преобразовалось в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.
Примеры
1)Решить уравнение 2sin2 + 3sin -2 = 0.
Это уравнение является квадратным относительно sin.
Его корни: sin = , sin =-2. Второе из полученных простейших уравнений не имеет решений, так как Isinl1, решения первого можно записать так:
+2k,π+ 2k
Если в уравнении встречаются разные тригонометрические функции, то надо заменить их все на какую-нибудь одну, используя тригонометрические тождества.
2) Решить уравнение 2sin + cos = 2.
Если в этом уравнении заменим косинус на синус (по аналогии с предыдущими примерами) или наоборот, то получим уравнение с радикалами. Чтобы избежать этого, используем формулы, выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла:
и .
Делая замену, получаем уравнение относительно: .
Квадратное уравнение имеет корни откуда
Это же уравнение можно решить другим способом, вводя вспомогательный угол:
Пусть. Тогда можно продолжить преобразование: . Получаем простейшее уравнение т. е. , откуда , или
Ответ получился в другом виде, однако можно проверить, что решения на самом деле совпадают.
-
Понижение порядка уравнения.
Формулы удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменять линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.
Примеры
1)Решить уравнение.
Можно заменить cos2 на 2cos2-1 и получить квадратное уравнение относительно cos, но проще заменитьна и получить линейное уравнение относительно.
2) Решить уравнение
Подставляя вместо, их выражения через, получаем:
,
2
-
Использование тригонометрических формул сложения и следствий из них.
Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы сложения.
Примеры
1) Решить уравнение.
Сложим два крайних слагаемых:, откуда,. Тогда, .
2) Решить уравнение.
Преобразуем произведение синусов в сумму:,
откуда. Полученное уравнение можно решить разными способами: 1) воспользоваться формулами сложения; 2) преобразовать в произведение. Удобнее воспользоваться условием равенства косинусов двух углов и:.
Получаем два уравнения:.
Здесь решения второй серии содержат в себе все решения первой серии. Учитывая это, ответ можно записать короче:.
-
Однородные уравнения.
Уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одну и ту же степень, называется однородным. Его можно решить, выполнив деление на старшую степень синуса (или косинуса).
Так как, то постоянные слагаемые можно считать членами второй степени.
Пример: .
Заменяя 4 на ,получаем:
-
Переход к половинному углу
Рассмотрим этот метод на примере:
Пример 6. Решить уравнение: 3 sin x - 5 cos x = 7.
Решение.
6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) - 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) - 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tg ² ( x / 2 ) - 3 tg ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
-
Введение вспомогательного угла
Рассмотрим уравнение вида:
a sin x + b cos x = c,
где a, b, c - коэффициенты; x - неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль (абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
Пример. Решить уравнение:
Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований.
-
Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию.
Пример. Решите уравнение
Решение. Раскроем скобки и преобразуем произведение
в сумму:
Умножим обе части уравнения на. Заметим, что , не является решением данного уравнения. . Преобразуем левую часть уравнения:
; или тогда
или, т.е.
Исключим из найденных серий корни вида , :
а). Ясно, что - четное число, т.е. , а потому .
б).Tax как , то ,но тогда ,.
Ответ:
-
Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции.
Пример. Решите уравнение.
Решение. Область определения уравнения задается неравенствами:
При6авим к обеим частям уравнения по единице. ;
Разделим обе части уравнения на и после преобразований получим.
Тогда или .
Из первой серии корней области определения принадлежит только , но это серия корней содержится в серии. Нетрудно убедиться, что входит в область определения. Например:что верно, поскольку левая часть - число четное, а правая - нечетное.
Ответ:.
-
Тождественные преобразования одной из частей уравнения.
Пример. Решите уравнение .
Решение. Преобразуем левую часть уравнения:
Откуда , тогда или
Легко видеть, что
Ответ:
-
Использование свойств пропорции.
Необходимо помнить, что применение равенств
и т. д. приводит к изменению области определения уравнения. Так, у пропорции существует ограничение: , а у пропорции место другое ограничение:.
Пример. Решите уравнение
Решение. Применяя формулу тангенса разности, получим уравнение: . Используем свойство пропорции: ;
Область определения исходного уравнения:
В ходе решения произошло сужение области определения, добавились новые, ограничения: откуда
Проверим, удовлетворяют ли исходному уравнению значения
а) -верное равенство,
- решение исходного уравнения.
б) верное равенство.
в)-1 -1 - верное равенство, Ответ:
-
Решение тригонометрических уравнений методом экстремальных значений.
При решении некоторых тригонометрических уравнений бывает удобно использовать ограниченность функций, и. Покажем это на конкретных примерах.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Так как , то ,, откуда и возможные корни данного уравнения Подставив эти значения в левую часть уравнения, получим а последнее равенство возможно только при .
Следовательно, - решение данного уравнения.
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Легко видеть, что и . Следовательно, , но тогда , , откуда , - возможные корни данного
уравнения. Подстановка в данное уравнение показывает, что эти числа действительно являются его корнями.
Ответ:.
-
Уравнения, содержащие модуль функции и корень четной степени
Пример 1.
При отборе корней нет надобности решать неравенство, достаточно вынести корни на тригонометрический круг и выбрать нужные.
Ответ:
Пример 2.
Решение: Учитывая ОДЗ функций, получим:
Ответ:
Уравнения повышенной сложности
-
( Сканави М.И.8.022)
2sin3 x +2sin2x cos x - sin x cos2x - cos3x = 0 | : cos3x ≠ 0;
т.к. уравнение однородное тригонометрическое 3-ей степени
2tg3x + 2tg2x - tgx - 1 = 0;
Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены, получим
(tg x + 1)(2tg2x - 1) = 0;
tgx = -1 х= - + n , n ͼ Z
tgx= ; х= arctg + k, k ͼ Z.
Ответ: - + n , n ͼ Z ;arctg + k, k ͼ Z.
-
( Сканави М.И.8.081)
6sin2x + sin x cos x - cos2x = 2;
4sin2x + sin x cos x - 3 cos2x = 0; | : cos2x ≠ 0;
т. к. уравнение однородное тригонометрическое 2-ой степени
4tg2x + tg x - 3 = 0;
tgx = -1, х= - + n , n ͼ Z
tgx= ; х= arctg + k, k ͼ Z.
Ответ: - + n , n ͼ Z;
arctg + k, k ͼ Z.
-
( Сканави М.И. 8.076)
sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0;
сгруппировав первое с третьим, второе с четвертым слагаемые левой части и применив формулы суммы и разности синусов, получим
2sin 3x cos 2x + 2sin 3x cos 5x = 0;
вынесем в левой части общий множитель за скобки и применим формулу суммы косинусов
2sin 3x ∙ 2 cos cos = 0;
sin 3x = 0, x = , n ͼ Z
cos = 0, x = + , k ͼ Z
cos = 0; x = + , m ͼ Z.
Произведем отбор корней, воспользовавшись тригонометрической окружностью
Ответ: , n ͼ Z;
+ , k ͼ Z \ { 7m+3| m ͼ Z }.
-
( Сканави М.И. 8.076)
= 2;
воспользуемся формулой косинуса двойного угла
= 2;
sin = 1,
sin ≠ 0;
sin = 1;
х= + 4, k ͼ Z.
Ответ: + 4, k ͼ Z.
-
(Сканави М.И. 8.120)
+ - - =0
;понизим степень, воспользовавшись формулами косинуса двойного угла
1 +cos x +1 + cos 3x -1 +cos 4x -1 +cos 8x =0;
сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов
2cos 2x cos x + 2cos 2x cos 6x =0;
2cos 2x 2cos 3,5x cos 2,5x=0;
произведение всюду определенных множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю
cos 2x=0 2x= + , n ͼ Z
cos 3,5x=0 3,5x= + , m ͼ Z
cos 2,5x=0; 2,5x= + , k ͼ Z;
x= +, n ͼ Z
x= +, m ͼ Z
x= +, k ͼ Z .
Ответ: +, n ͼ Z;
+, m ͼ Z;
+, k ͼ Z .
Заключение.
Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.
В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.
Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов.
Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип.
Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.
Библиография
-
Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. - 1995. - №2. -с. 40 - 42.
-
Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982 г.
-
Г. И. Глейзер История математики в школе. - М.: «Просвещение» 1983г.
-
Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» - М.: Илекса, 2013.- 200 с.:ил.
-
Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.
-
Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г.
-
Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
-
Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии. - М.: Новая школа, 1993.