Методическое пособие. Элементы линейной алгебры

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Чайковский техникум промышленных технологий и управления»

Юркова Светлана Николаевна

Элементы линейной алгебры

Методическое пособие

для студентов электротехнических специальностей.

2015

г. Чайковский

Содержание

1.

Пояснительная записка…………………………………….

3

2.

Основные теоретические положения……………………..

4

2.1.

Определители и их свойства………………………………

4

2.2.

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Метод Крамера……………………………

7

3.

Рекомендуемая литература…………………………………

8

4.

Задачи для самостоятельного решения……………………

9

5.

Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения………………………………………………………

11

1. Пояснительная записка

Изучение дисциплин профессионального цикла студентами, обучающимися по электротехническим специальностям опирается, в основном, на знания «школьного» курса математики. Однако, при расчете электрических цепей возникает необходимость решения большого числа систем линейных алгебраических уравнений. В связи с этим в курсе «Математика» целесообразно рассмотреть тему «Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений».

Данное методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по освоению методов вычисления определителей и решению систем и направлено на формирование:

умения: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знаний:

значений математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основных математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

основные понятия линейной алгебры.

Порядок работы:

1. Изучить теоретические положения: сделать краткий конспект, разобрать приведенные примеры.

2. Выполнить указанные преподавателем задания для самостоятельной работы.

Объем времени, отведенный на выполнение самостоятельной работы - 10 ч.

2. Основные теоретические положения

2.1. Определители и их свойства.

1. Определителем второго порядка называется число, первоначально записанное в виде таблицы и вычисляемое по следующему правилу:

Пример 1:

2. Определителем третьего порядка называется число, первоначально записанное в форме таблицы у которой три строки и три столбца и которая вычисляется методом диагоналей по следующему принципу:

Пример 2:

Примечание:

Иногда удобно элементы определителя обозначать одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает на номер строки, а второй - на номер столбца, на пересечении которых стоит взятый элемент.

Пример 3:

3. Пусть дан определитель . Минором элемента a_ij( где i - номер строки, j - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij ) называется определитель более низкого порядка (на единицу) , получаемый из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, проходящих через элемент a_ij.

Пример 4:

Мысленно вычеркиваем второй столбец и первую строку.

=57, =-8

4. Пусть дан определитель третьего порядка

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца i+j - четное число, и со знаком минус - если сумма i+j - нечетное число.

Пример 5:

, =-12

Свойства определителей.

1⁰. Величина определителя не изменится, если его строки сделать столбцами, и наоборот.

Пример 6:

2⁰. Если в некоторой строке (или столбце) имеется постоянный множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Пример 7:

3⁰. Если в определителе имеется две одинаковые строки ( или столбца ) то определитель равен нулю.

Пример 8:

4⁰. Определитель, в котором две строки (или столбца) пропорциональны, равен нулю.

Пример 9:

5⁰. Если в определителе какая-либо строка (или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Пример 10:

6⁰. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель изменит знак.

Пример 11: ,

7⁰. Если каждый из элементов какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей, получающихся из него заменой указанной строки (столбца) на строки (столбцы), составленные соответственно из первых и вторых слагаемых в отдельности.

=+

8⁰. Определитель можно разложить по элементам любой строки (или столбца), причем это разложение равно сумме произведений элементов взятой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 12:

Разложим определитель по элементам первой строки:

Разложим определитель по элементам третьей строки:

9⁰. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

2.3. Решение систем линейных уравнений с

помощью определителей.(Метод Крамера)

Теорема Крамера: Пусть  - определитель системы, а _j - определитель, получаемый из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, (j=1,2,…,n)

Пример 13. Решить систему уравнений

Решение

1. Определитель системы:

2. Вспомогательные определители:

3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:

,

,

Ответ: x=1, y=2.

Пример 14. Решить систему уравнений

Решение

1. Определитель системы:

2. Вспомогательные определители:

3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:

, ,

, ,

Ответ: x=1,125; y=1,125; z=-0,5.

3. Рекомендуемая литература

1. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учеб. пособие / В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. - Изд. 3-е; стереотип. - СПб.: Лань, 2011. - 463 с.

2. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. - М.: Проспект, 2012. - 400 c.

4. Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислить определитель

а) по правилу диагоналей и треугольников

б) разложив по элементам первой строки;

в) разложив по элементам первого столбца.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения

1

2

1

-3

x=3, y=1, z=-1

2

7

x=3, y=1, z=2

3

-168

x=1, y=3, z=2

4

456

x=2, y=1, z=3

5

566

x=2, y=3, z=1

6

31

x=3, y=2, z=1

7

141

x=-1, y=2, z=3

8

65

x=2, y=-1, z=3

9

-215

x=2, y=3, z=-1

10

16

x=3, y=-1, z=2

11

-3

x=1, y=2, z=3

12

7

x=10, y=-14,5, z=-9

13

-168

x=-2, y=1, z=-1

14

456

x=, y=, z=

15

566

x=1, y=1, z=1

16

31

x=1, y=1, z=1

17

121

x=2, y=3, z=4

18

65

x=, y=, z=

19

-265

x=2, y=-1, z=1

20

16

x=2, y=1, z=1

21

-3

x=1,5, y=-1, z=0,5

22

7

x=-1, y=-1, z=-1

23

-168

x=2, y=1, z=-2

24

456

x=1, y=1, z=1

25

566

x=-1, y=0,5, z=1

26

31

x=2, y=1, z=1

27

121

x=1, y=2, z=3

28

65

x=1, y=5, z=2

29

-215

x=1, y=1, z=-1

30

16

x=2, y=1, z=-1