Департамент образования и науки Брянской области

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Клинцовский Индустриальный техникум»

на тему:

«Числовые характеристики дискретных случайных величин»

Составил: преподаватель математики ГБОУ СПО «Клинцовский

индустриальный техникум» И.М. Савостьянова

Клинцы, 2015

Содержание

1 Понятие случайной величины…………………………………………………………3

2 Математическое ожидание дискретной случайной величины………………………4

3 Дисперсия дискретной случайной величины………………………………………..11

4 Среднее квадратическое отклонение…………………………………………….…..17

5 Начальные и центральные теоретические моменты………………………………..21

6 Асимметрия и эксцесс…………………………………………………………….…..23

Литература………………………………………………………………………..………27

Цель данного методического пособия - расширить знания студентов о случайных величинах, их видах и числовых характеристиках дискретных случайных величин. Данное пособие будет полезно для студентов 3 курса дневной формы обучения.

1 Понятие случайной величины

В обыденной жизни и в научных исследованиях постоянно приходится встречаться с такими ситуациями, когда интересующая нас величина может принимать различные значения в зависимость от случайных обстоятельств. Сколько вызовов поступит на телефонную стацию в течение ближайшего часа? На этот вопрос нельзя дать строго определенного ответа, поскольку число вызовов за определенный промежуток времени подвержено случайным колебаниям ото дня ко дню. Точно также нет возможности указать точное число уличных происшествий в течение предстоящих суток в каком-либо населенном пункте. В подобных ситуациях приходится иметь дело со случайными величинами.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Возникает необходимость различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной

величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их - различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями

… ;

… .

Первая строка содержит возможные значения, а вторая - их вероятности. Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что событие , , …, образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки равна единице:

.

2 Математическое ожидание дискретной случайной величины

Числовыми характеристиками случайной величины называются числа, описывающие случайную величину суммарно. Одной из важных числовых характеристик является математическое ожидание.

Математическое ожидание приблизительно равно среднему значению случайной величины.

При решении ряда задач достаточно, чтобы было известно математическое ожидание.

К примеру, если известно, что математическое ожидание числа попаданий первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем попадает чаще, чем второй.

Сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины на их вероятности, называется математическим ожиданием дискретной случайной величины.

Допустим, случайная величина может принимать лишь значения , вероятности которых соответственно равняются .

В этом случае математическое ожидание случайной величины обусловливается следующим равенством:

.

Когда дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то в этом случае можно записать

.

При этом математическое ожидание существует при условии, что ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равняется вероятности этого события.

Допустим, сделано испытаний, в которых случайная величина приняла раз значение . Соответственно раз приняла значение , …, раз значение . При этом . Следовательно, сумма всех значений, которые приняли , равняется

.

Для отыскания среднего арифметического всех значений, которые были приняты случайной величиной, нужно разделить вычисленную сумму на общее число испытаний:

или по- другому

.

Поскольку отношение - это относительная частота значения , а - это относительная частота значения и так далее, то можно записать данное соотношение иначе:

.

Положим, что число испытаний довольно большое, тогда относительная частота приблизительно равняется вероятности появления события:

, , …, .

Учтя это, после преобразования получим:

.

При этом правая часть этого приближенного равенства и есть , тогда

.

Это означает, что математическое ожидание приблизительно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины и есть сама

постоянная:

.

Доказательство. Пусть постоянная является дискретной случайной величиной, имеющей одно возможное значение и принимающей его с вероятностью . Таким образом,

.

Свойство 2. Постоянный множитель допускается выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство. Допустим, случайная величина задана законом распределения вероятностей:

… ;

… .

Закон распределения случайной величины запишется следующим образом

… ;

… .

При этом математическое ожидание случайной величины :

.

Значит, .

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Допустим, и - это независимые случайные величины, которые заданы определенными законами распределения вероятностей:

;

.

Для того, чтобы составить все значения, которые может принимать случайная величина , необходимо перемножить все возможные значения на каждое возможное значение . В результате получится и .

Закон распределения запишется следующим образом:

;

.

Для простоты предположили, что все возможные значения произведения различны. Однако, если это не так, то доказательство проводится аналогично.

Сумма произведений всех возможных значений на их вероятности и есть математическое ожидание:

,

или иначе

.

Следовательно,

.

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равняется произведению их математических ожиданий. К примеру, для трех случайных величин можно записать:

.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин есть сумма математических ожиданий слагаемых:

.

Доказательство. Допустим и - случайные величины, которые заданы законами распределения:

;

.

Для того, чтобы составить все возможные значения величины , нужно к каждому возможному значению прибавить каждое возможное значение . В результате этого получится , , и . Для простоты допустим, что эти возможные значения различны и обозначим их вероятности соответственно

, , и .

Математическое ожидание величины есть сумма произведений возможных значений на их вероятности:

,

или

.

Необходимо доказать, что . Поскольку событие, заключающееся в том, что примет значение (вероятность его ), то ему следует событие, заключающееся в том, что примет значение или (вероятность этого события по теореме сложения равна ) и обратно. Поэтому .

Аналогично доказываются равенства

, , .

Подставляя правые части этих равенств в предыдущее соотношение, будем иметь:

,

или окончательно

.

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Например, для трех слагаемых величин имеем:

.

Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Допустим, осуществляется независимых испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность появления события неизменна и равняется . Для того, чтобы найти среднее число появлений события в этих испытаниях, можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность

появления события в каждом испытании:

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины - число наступлений события в независимых испытаниях.

Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому, если - число появлений события в первом испытании, - во втором, …, - в ом, то общее число появлений события .

По третьему свойству математического ожидания имеем

. (*)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: - в первом, - во втором и т.д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равняется вероятности события, то можно записать следующее равенство:

.

Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждого слагаемого , окончательно получим:

.

Пример. Два орудия стреляют по цели; вероятности попадания в цель при одном выстреле для них равны соответственно 0,7 и 0,8. Для случайной величины Х (числа попаданий в мишень при одном залпе) составить ряд распределения и найти математическое ожидание.

Решение.

Случайная величина Х (Х- число попаданий в цель) может принимать лишь три значения: 0, 1, 2. Найдем вероятности, с которыми эти значения принимаются. Случайная величина Х принимает значение 0, если оба орудия не попали в цель. Значит, .

Случайная величина Х принимает значение 1, если в цель попало ровно одно орудие. Значит, . Наконец, Х=2, если только оба орудия попали в цель. Значит,

Составляем ряд распределения.

Математическое ожидание находим по формуле используя полученный ряд распределения.

.

Ответ: .

3 Дисперсия дискретной случайной величины

Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

Пусть даны дискретные случайные величины и , которые заданы следующими законами распределения:

-0,01 0,01 -100 100;

0,5 0,5 0,5 0,5.

Вычислим математические ожидания этих величин:

,

.

Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а - далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.

По этой причине, наряду с математическим ожиданием, вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, необходимо ввести понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Отклонение случайное величины от ее математического ожидания

Пусть - случайная величина и - ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность .

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Пусть закон распределения известен:

…

… .

Напишем закон распределения отклонения. Для того, чтобы отклонение приняло значение достаточно, чтобы случайная величина приняла значение . Вероятность же этого события равна ; следовательно, и вероятность того, что отклонение примет значение , также равна . Аналогично, обстоит дело и для остальных возможных значений отклонения.

Таким образом, отклонение имеет следующий закон распределения

…

… .

Приведем важное свойство отклонения, которой будет использовано далее.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

.

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что есть постоянная величина, имеем:

.

Дисперсия дискретной случайной величины

Нередко бывает необходимым оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Целесообразным считается в таких случаях заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Однако, если возможные отклонения

заменяют их абсолютными значениями, то приходиться иметь дело с абсолютными величинами. В свою очередь, это может привести к серьезным затруднениям, поэтому зачастую подсчитывают среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.

Дисперсия (рассеяние) дискретной случайной величины - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Пусть случайная величина задана законом распределения

…

… .

Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения

…

… .

На основании определения дисперсии можно записать:

.

Следовательно, для того, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

.

Доказательство. Математическое ожидание есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

.

Итак,

.

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Свойства дисперсии

Свойство1. Дисперсия постоянной величины :

.

Доказательство. По определению дисперсии имеем

.

Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим

.

Итак,

.

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.

Свойство2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

Доказательство. На основании определения дисперсии можно записать, что

.

Пользуясь вторым свойством математического ожидания (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим

.

Итак,

.

Свойство становится ясным, если принять во внимание, что при величина имеет возможные значения (по абсолютной величине) большие, чем величина . Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания больше, чем возможные значения вокруг , т.е. . Напротив, если , то .

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

.

Доказательство. На основании формулы для вычисления дисперсии запишем:

.

Раскрыв скобки и пользуясь свойствами математического ожидания суммы нескольких величин и произведение двух независимых случайных величин, получим

.

Итак,

.

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

К примеру, для трех слагаемых запишется:

.

Для произвольного числа слагаемых доказательство проводится методом математической индукции.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

.

Доказательство. Поскольку величины и независимы, то по третьему свойству будем иметь:

.

В силу первого свойства , следовательно

.

Это очевидно при условии, что величины и отличаются лишь началом отсчета и, значит, они рассеяны вокруг своих математических ожиданий в равной мере.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

.

Доказательство. В силу третьего свойства

.

По второму свойству

или

.

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Допустим, осуществляется независимых испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность появления события неизменна. Для нахождения дисперсии числа появлений события в этих испытаниях следует воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину - число появлений события в независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

.

Здесь есть число наступлений события в первом испытании, - во втором, … , - в ом. Величины , , … , являются взаимно независимыми, поскольку исход каждого испытания не зависит от исходов остальных. На основании этого можно воспользоваться следствием 1:

.

Подсчитаем дисперсию по формуле

.

Так как величина есть число появлений события в первом испытании, то .

Теперь вычислим математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения: с вероятностью и с вероятностью :

.

Теперь подставим найденные результаты соотношение для , вследствие чего запишем:

.

Отсюда видно, что дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна . Поэтому, заменив каждое слагаемой правой части выражения для на , окончательно запишем:

.

4 Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии пользуются и другими характеристиками. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:

.

Следует отметить, что дисперсия обладает размерностью, равной квадрату размерности случайной величины. Поэтому в случае, если желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, подсчитывают не дисперсию, а среднее отклонение, то есть если выражается в метрах, то - также в метрах, а - в квадратных метрах.

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Допустим, средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин являются известными. Среднее квадратическое отклонение суммы этих величин можно подсчитать благодаря следующей теореме.

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

.

Доказательство. Пусть есть сумма рассматриваемых взаимно независимых величин, тогда запишем

.

Дисперсия сумы нескольких взаимно независимых случайных величин будет равняться сумме дисперсий слагаемых. На основании этого запишем

.

Исходя из этого равенства можно заключить, что

,

а следовательно,

.

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Уже известно, что по закону распределения можно найти числовые характеристики случайной величины. Отсюда следует, что если несколько случайных величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы.

Рассмотрим взаимно независимых случайных величин , , … , , которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.).

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

.

Ниже приведенные три положения устанавливают связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

Положение 1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:

.

Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидании; математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), имеем:

.

Приняв во внимание, что математическое ожидание каждой из величин по условию равно , получим

.

Положение 2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин:

.

Доказательство. Известно, что постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат, а дисперсия суммы независимых величин равна сумме дисперсий слагаемых. Применяя свойства дисперсии будем иметь:

.

Приняв во внимание, что дисперсия каждой из величин по условию равна , получим:

.

Положение 3. Среднее квадратическое отклонение арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

.

Доказательство. Поскольку , то среднее квадратическое отклонение равно следующему:

.

Известно, что дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мера-

ми рассеяния случайной величины. Поэтому среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеивание, чем каждая величина отдельно.

Пример. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной законом распределения

Решение.

Математическое ожидание случайной величины Х находим по формуле .

Математическое ожидание случайной величины находим по формуле .

Теперь находим дисперсию по формуле

.

Находим среднее квадратическое отклонение

.

Ответ: , , .

5 Начальные и центральные теоретические моменты

Пусть дискретная случайная величина задана следующим законом распределения:

1 2 5 100

0,6 0,2 0,19 0,01.

Вычислим математическое ожидание :

.

Закон распределения будет выглядеть следующим образом:

1 4 25 10000

0,6 0,2 0,19 0,01.

Подсчитаем математическое ожидание :

.

Очевидно, что существенно больше , так как после возведения в квадрат возможное значение величины , соответствующее значению величины , стало равно 10000, другими словами, она существенно увеличилось.

Благодаря тому, что мы перешли от к есть возможность лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность.

Начальный момент порядка случайной величины - это математическое ожидание величины :

.

В частности,

,

.

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии можно записать следующим образом:

.

Рационально рассматривать, кроме моментов случайной величины и моменты отклонения .

Центральный момент порядка случайной величины - это математическое ожидание величины :

.

В частности,

.

.

Сравнивая последние два равенства, будем иметь:

.

Использую определение центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить следующие формулы:

.

.

Моменты более высоких порядков применяются редко.

6 Асимметрия и эксцесс

При изучении экономических явлений симметричные ряды встречаются довольно редко, чаще исследователю приходится иметь дело с асимметричными рядами. Когда график вариационного ряда (распределение набора данных) скошен в правую сторону больше, чем в левую, то мы говорим, что распределение имеет правостороннюю скошенность (асимметрию). Соответственно скос в левую сторону дает левостороннюю скошенность (асимметрию).

Характеристиками положения, которые дают представления о положении случайной величины на числовой оси, являются мода и медиана.

Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность достигает максимума).

Медианой непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого

,

т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение меньше или больше ее, одна и та же и равна ½.

Для симметричного распределения с одной модой имеет место равенство: мода = медиане = средней арифметической. В общем, при правосторонней асимметрии средняя находится справа от медианы, которая лежит справа от моды. Для распределения с левосторонней асимметрией - наоборот. Чем больше асимметричен график, тем больше расхождение между средней арифметической, медианой и модой. Поэтому наиболее простой мерой скошенности вариационного ряда (обозначается ) будет разность между средней арифметической и модой

.

Если - асимметрия правосторонняя, если - левосторонняя. Для сравнения асимметрии в нескольких рядах удобно пользоваться относительным показателем:

,

где - среднее квадратическое отклонение. Другой, более распространенный, показатель асимметрии основан на использовании центрального момента третьего порядка. В симметричных вариационных рядах нечетные центральные моменты равны нулю, при имеет место правосторонняя асимметрия, а при - левосторонняя. В качестве показателя асимметрии используется величина

,

которая называется нормированным моментом третьего порядка, или коэффициентом асимметрии случайной величины. Если (независимо от знака), то асимметрия считается существенной.

Графики вариационных рядов бывают плосковершинными (низковершинными) и островершинными (высоковершинными). Мерой крутости служит эксцесс (куртозис), который характеризует островершинность или плосковершинность ряда распределения. Островершинность или низковершинность ряда распределения определяется относительно кривой нормального распределения. В качестве показателя эксцесса используется величина:

.

Дробь называется нормированным моментом четвертого порядка.

Если , то эксцесс считают положительным (график ряда распределения островершинный), если , то эксцесс считают отрицательным (график ряда распределения плосковершинный.

Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.

Квантилем уровня (или -квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

.

Некоторые квантили получили особое название. Медиана случайной величины есть квантиль уровня 0,5, т.е. . Квантили и получили название соответственно верхнего и нижнего квантилей.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под - ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором .

Пример. Учет производительности труда станочников цеха №3 за смену задан рядом распределений:

Номер по списку

1

2

3

4

5

6

7

8

Производительность, дет./смену

52

52

53

54

56

57

57

57

Найти моду и медиану ДСВ .

Решение.

Мода равна 57 (деталей за смену), значит, .

Так как N=8, то медиана вычисляется с помощью определения номера места по формуле , тогда .

Среднее арифметическое значение ДСВ на четвертом и пятом местах , значит, .

Заметим, что в случае, если работник с табельным номером 1 не вышел на работу, медиана равна (из семи значений на четвертом месте), если не вышел работник с номером 8 - (на четвертом место).

Литература

1 Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:Высшая школа, 2005. 160с.

2 Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. 296с.

3 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. школа, 1972. 368с.

4 Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИДАНА, 2004. 573с.

5 Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: Айрис - пресс,2004. 256с.

6 Уилкс С. Математическая статистика. М.:Наука, 1967. 632с.

7 Боровков А.А. Математическая статистика. М.:Наука, 1984. 472с.

8 Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982. 256с.

9 Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 434с.

10 Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496с.