Методы решения алгебраических уравнений высших степеней

Методы решения алгебраических уравнений высших степеней.

Хабибуллина Альфия Якубовна,

учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №177

города Казани, Заслуженный учитель Республики Татарстан,

кандидат педагогических наук.

Определение 1. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение вида P_n(x)=0, где P_n(x) - многочлен степени n, т.е. P_n(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n a₀.

Определение 2. Корень уравнения - числовое значение переменной х, которое при подстановке в данное уравнение дает верное равенство.

Определение 3. Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их нет.

I. Метод разложения многочлена на множители с последующим дроблением.

Уравнение можно разложить на множители и решить методом дробления, то есть, разбивая на совокупность уравнений меньших степеней.

Замечание: вообще, при решении уравнения методом дробления не следует забывать, что произведение равно нулю тогда, и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом сохраняют смысл.

Пути разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Квадратный трехчлен можно разложить на множители с помощью формулы ах²+вх+с=а(х-х₁)(х-х₂), где а0, х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена.

3. Использование формул сокращенного умножения :

аⁿ - вⁿ = (а - в)(а^n-1 + Сn-₂а^n-2 в + Сn-₃а^n-3 в + …+ С₁а в^n-2 +в^n-1), nN.

Выделение полного квадрата. Многочлен можно разложить на множители с помощью формулы разности квадратов, предварительно выделив полный квадрат суммы или разности выражений.

4. Группировка (в сочетании с вынесением общего множителя за скобки).

5. Использование следствия теоремы Безу.

1)если уравнение а₀хⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n-1x + a_n = 0 , a₀0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень х₀ = (где - несократимая дробь, p q ), то p -делитель свободного члена a_n ,а q - делитель старшего коэффициента a₀.

2)если х = х₀ - корень уравнения Р_n(х) = 0, то Р_n(х) = 0 равносильно уравнению

(х - х₀)Р_n-1(х)=0, где Р_n-1(х) - многочлен, который можно найти при делении

Р_n(х) на (х - х₀) "уголком" или методом неопределенных коэффициентов.

II. Метод введения новой переменной (Подстановка)

Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Оно равносильно уравнению f(x)-g(х) = 0. Обозначим разность f(x)-g(х) = h(р (x)), причем . Введем замену t=р (x) (функция t= р(x) называется подстановка). Тогда получим уравнение h(р (x)) =0 или h(t)=0 , решив последнее уравнение, находим t₁, t₂, … Вернувшись в подстановку р(x)=t₁, р(x)=t₂ ,…, находим значения переменной х.

III Метод строгой монотонности.

Теорема. Если у= f(x) строго монотонна на P, то уравнение f(x)=а (а - const) имеет на множестве Р не более одного корня. (Функция строго монотонная: либо только убывающая, либо только возрастающая)

Замечание. Можно использовать модификацию этого метода. Рассмотрим уравнение f(x)=g(x). Если функция у= f(x) монотонно убывает на P, а функция у= g(x) монотонно убывает на Р (или наоборот), то уравнение f(x)=g(x) имеет на множестве Р не более одного корня.

IV . Метод сравнения множества значений обеих частей уравнения (метод оценки)

Теорема Если для любого x из множества P выполняются неравенства f(x)а, и g(x)а, то уравнение f(x)=g(x) на множестве Р равносильно системе .

Следствие: Если на множестве Р или , то уравнение f(x)=g(x) не имеет корней.

Этот метод достаточно эффективен при решении трансцендентных уравнений

V . Метод перебора делителей крайних коэффициентов

Рассмотрим уравнение a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n = 0

Теорема. Если x₀ = - корень алгебраического уравнения степени n, а_i - целые коэффициенты, то p - делитель свободного члена а_n, а q - делитель старшего коэффициента a₀ . При а₀=1 x₀=p (делитель свободного члена).

Следствие теоремы Безу: Если х₀ - корень алгебраического уравнения, то P_n(x) делится на (x-x₀) без остатка, т.е P_n(x)=(x-x₀)Q_n-1(x).

VI Метод неопределенных коэффициентов.

Он базируется на следующих утверждениях:

два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

любой многочлен третьей степени разлагается в произведение двух множителей: линейного и квадратного.

любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов

второй степени.

VII. Схема Горнера.

С помощью таблицы коэффициентов по алгоритму Горнера подбором находятся корни уравнения среди делителей свободного члена.

VIII . Метод производных.

Теорема. Если 2 многочлена P(x) и Q(x) имеют тождественно равные производные, то существует такая С- const, что P(x)=Q(x)+С для xR.

Tеорема. Если (x) и (x) делятся на , то (x) делится на .

Следствие: Если (x) и (x) делятся на многочлен R(x) , то (x) делится на (x), а наибольший общий делитель многочленов (x) и (x)имеет корни, являющиеся лишь корнями многочлена (x) кратностью не менее 2.

IX. Симметрические, возвратные уравнения.

Определение. Уравнение a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n = 0 называется симметрическим, если

1. Рассмотрим случай, когда n-четное, n =2k. Если , тогда x = 0 не является корнем уравнения, что дает право разделить уравнение на

=0 +++=0 Введем замену t= и, учитывая лемму, решим квадратное уравнение относительно переменной t. Обратная подстановка даст решение относительно переменной х.

2. Рассмотрим случай, когда n-нечетное, n=2k+1. Тогда = -1 является корнем уравнения. Разделим уравнение на и получаем случай 1.

Определение. Возвратное уравнение 4 порядка - уравнение вида

, заметим , тогда

, . Используем подстановку и решим уравнение . Обратная подстановка позволяет найти значения х. Заметим, что при m=-1 уравнение называется кососимметрическим, тогда подстановка .

Теорема. Если - корень симметрического уравнения (возвратного), то - тоже корень.

X. Однородные алгебраические уравнения.

Если P_n(x),Q_m(x) - алгебраические многочлены, то уравнение вида aP_n(x)+bQ_m(x)=0 - однородное уравнение I порядка, а aP_n²(x)+bP_n(x)Q_m(x)+cQ_m²(x)=0 - однородное ур-е II порядка

Однородные алгебраические уравнения решаются делением на один из многочленов в степени, совпадающей с порядком уравнения, предварительно проверив, что многочлен отличен от нуля. При этом, происходит переход от двух данных функций к третьей.

XI. Функционально - графический метод.

Преобразуем алгебраическое уравнение P_n(x)=0 (где P_n(x)- многочлен степени n) в уравнение вида f(x)=g(x). Зададим функции у=f(x), у=g(x); опишем их свойства и построим графики в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения будут являться корнями уравнения. Проверка выполняется подстановкой в исходное уравнение.

4