Статья: Неравенства. Некоторые методы их решений

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА РАЦИОНАЛИЗАЦИИ

Очень многие неравенства, которые мы встречаем в заданиях 17 ЕГЭ, проще и короче решать с помощью метода рационализации, нежели методом интервалов. Для этого необходимо знать несколько формул, которые нетрудно запомнить. Приведу некоторые чаще других встречающиеся замены:

№

Исходное выражение (F(x))

Выражение после замены (G(x))

1

(h(x) ≠ 1)

(h(x) - 1) (f(x) - g(x))

2

(h(x) ≠ 1)

(h(x) - 1) (f(x) - 1)

3

(h(x) - 1) (p(x) - q(x))

Рассмотрим примеры, в которых удобно применить подобные замены:

Пример 1: + 2х +1) < 0

Найдем ОДЗ: х² +2х + 1 > 0

(х + 1)² > 0

Х ≠ -1

Воспользуемся второй строчкой таблицы замен. В нашем случае h(x) = 0,5; f(x) = х² +2х + 1. Значит на ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству:

(0,5 - 1)( х² +2х + 1 - 1) > 0

х² +2х < 0

х(х + 2) < 0 , т.е. х ϵ (-2; 0).

С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства: х ϵ (-2; -1) ᴜ (-1; 0).

ОТВЕТ: (-2; -1) ᴜ (-1; 0).

Пример 2: ≥ 0

Найдем ОДЗ: , т. е. мы получим:

Х ϵ (- ; - 1)

Воспользуемся первой строчкой таблицы замен. В нашем случае h(x) = х²; f(x) = х² +4; g(x) = 2x + 3. Значит на ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству:

(x² - 1)( х² +4 - (2x + 3));

(x² - 1)( х² - 2х + 1) ;

(х - 1)³(х + 1); т. е х

С учетом ОДЗ получим решение исходного неравенства: х ϵ (- ; - 1).

ОТВЕТ: (- ; - 1).

Пример 2: .

Преобразуем исходное неравенство к виду:

.

Воспользуемся третьей строчкой таблицы замен. В нашем случае h(x) = 4; p(x) = х² - 3; q(x) = х² - 4x. Таким образом данное неравенство можем заменить на следующее:

х² - 3 > х² - 4x;

4х > 3, т. е. х ϵ ( ; +).

ОТВЕТ: ( ; +).