Проект научной работымагический квадрат

Средняя школа №122

отдела образования

акимата г. Костаная

Проект научной работы

На тему:

Автор: Алшинбаева К.А.

План

1. История магического квадрата

2. Определение и виды магических квадратов

3. Магический квадрат

4. Магический квадрат Пифагора

5. Применение и построение магических квадратов

Магическим квадратом (МК) порядка n называется числовая таблица

размером клеток, заполненная натуральными числами от 1 до n² , которые размещены таким образом, что суммы чисел любого столбца, строки или главных диагоналей (см. ниже) имеют одно и то же значение. Это значение называется константой квадрата и равно S = n(n² + 1)/2. Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.

Пример 1. МК 3-го порядка из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман ло-шу) представляется следующей матрицей 3x3:

Константа этого квадрата равна 15.

Этот квадрат можно встретить на палубах больших пассажирских судов - площадка для игры в палубный шаффлборд размечена в виде магического квадрата третьего порядка.

(Шаффлборд - игра, в которой монеты или диски ударом биты перемещают по расчерченной на девять клеток площадке).

Пример 2. МК 4-го порядка, известный еще в Древней Индии, представляется следующей матрицей 4x4:

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

Константа "индийского" квадрата равна 34.

Далее мы обсудим методы построения, отличия друг от друга и практическое применение МК.

2. История магических квадратов.

Мы не знаем страну, в которой были придуманы магические квадраты, не знаем век (и даже тысячелетие!), в котором они были впервые составлены. Известно только, что они появились задолго до эры вульгарис, и их родиной был Древний Восток. Существует китайская легенда, в которой говорится, что во времена правления императора Юй (около 2200 г. до н.э.) из вод Хуанхэ всплыла черепаха, у которой на панцире были начертаны таинственные иероглифы, эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. Сравните рис. 1 с квадратом из первого примера п.1.

Рис.1

Первый магический квадрат с тремя клетками в основании был описан в арабском манускрипте конца восьмого века, где упоминался его автор - греческий философ-неопифагореец Аполлоний Тианский (инвоцированный, кстати, Элиафасом Леви!), живший в начале эры вульгарис. Однако не он был создателем этого древнейшего из всех магических квадратов. Аполлоний лишь вновь открыл то, что было известно за много веков до него.

16

3

2

13

ﻯ

10

11

8

ﻭ

6

7

12

ﻻ

15

4

1В XI в. магические квадраты появились в Индии, а затем в Японии, где в XVI в. им была посвящена обширная литература. По-видимому, первое сочинение о магических квадратах, дошедшее до наших дней, было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом (примерно 1300 г). Он опубликовал многие построенные им МК с разным числом клеток в основании.

За работой Мосхопулоса последовали труды сотен математиков, в том числе крупнейших ученых, основоположников современной науки (Гаусс, Эйлер, Ферма).В начале XVI в. магический квадрат появился в искусстве.

Великий немецкий художник Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 г. гравюру, названную им «Меланхолия». На её заднем плане помещен магический квадрат 4 × 4, два средних числа его нижней строки (15 и 14) образуют дату создания гравюры.

С глубокой древности и до времени Дюрера сохранилось учение о том, что люди разного темперамента находятся под влиянием разных планет. Сангвиникам покровительствуют планеты Юпитер и Венера, холерики находятся под влиянием Марса, флегматики направляются Луной, а меланхолики - Сатурном. Почему для защиты Меланхолии Дюрер изобразил магический квадрат именно 4-го порядка, а не 5-го, например? Ответ мы находим в работе Корнелия Агриппы «Об оккультной философии». Агриппа пользовался древней космогонией Птолемея: в центре мира - Земля; вокруг нее небесные сферы, вложенные друг в друга, как старинные китайские резные шары из слоновой кости. Каждая сфера содержит орбиту одной планеты. На внутренней - Луна. Далее - Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер и на внешней -

Сатурн. Планеты Юпитер и Сатурн враждуют друг с другом,

как и их божественные прототипы, Кронос и победивший его Зевс. (Кстати, в своем сочинении Агриппа описал семь магических квадратов, имеющих в основании от 3 до 9 клеток. Он назвал их «планетными таблицами», связав с каждой из семи планет).

Именно поэтому Дюрер для защиты своего крылатого Гения от судьбоносного Сатурна (3) изобразил магический квадрат Юпитера (4). Юпитер должен был вновь победить Сатурна. (Однако, судя по выражению лица персонажа, этого не произошло! )

Дюрер, как и любой настоящий художник, и учёный, занимался оккультизмом, о чём свидетельствует его колода Таро (см. рисунок).

В конце XVII в. были опубликованы сочинения о магических квадратах французских математиков Арно, Озанама и Симона де Лялюбера.

Сочинения академика Бернара Френикля де Бесси были впервые напечатаны в результате хлопот математика Лягира только в 1693 г, спустя 18 лет после смерти Френикля. Не будь Лягира, неизвестно, сколько еще лет лежали бы работы Френикля в архивах Королевской академии.

В «Общей таблице магических квадратов в четыре» Френикль привёл все 880 магических квадратов четвёртого порядка. Таблица занимает 43 страницы книги. Трудно представить себе, сколько времени заняла у Френикля эта работа.

В 1705 г. в Париже было издано сочинение уже упомянутого ранее Филиппа де Лягира «Новые начертания и соображения о магических квадратах с их демонстрацией. Начертания магических квадратов при четном числе клеток в основании». Эта работа особенно интересна тем, что в ней Лягир впервые рассмотрел и описал особый тип магического квадрата, который он назвал «панмагическим». В нем содержится наибольшее число равных сумм чисел. В дальнейшем квадраты этого типа называли, также, «дьявольскими», «сатанинскими», «чертовскими». Дьявольский магический квадрат - магический квадрат, в котором с константой совпадают также суммы чисел по ломаным диагоналям в обоих направлениях.

Ломаной диагональю называется диагональ, которая, дойдя до границы квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (на рисунке такую диагональ образуют закрашенные клетки).

b

а

Рис.3

Существует всего три дьявольских квадрата 4×4:

Современные математики называют подобные квадраты «совершенными». Стало быть, «совершенный» и «дьявольский» для современных математиков - синонимы !

Но есть еще один МК не менее интересный, чем дьявольский. Выдающийся американский масон, ученый, общественный деятель и дипломат Бенджамин Франклин составил квадрат 16×16 (см. рис.4), который помимо наличия постоянной суммы 2056 во всех строках, столбцах и диагоналях имел еще одно дополнительное свойство. Если вырезать из листа бумаги квадрат 4×4 и уложить этот лист на большой квадрат так, чтобы 16 клеток большего квадрата попали в эту прорезь, то сумма чисел, появившихся в этой прорези, куда бы мы ее не положили, будет одна и та же - 2056.

Этот квадрат является самым магически-магическим из всех МК, составленных когда-либо каким-либо магом.В 1917 г. на франко-германском фронте, унтер-офицер Франц Буль, занимаясь мародерством на поле боя, нашел в кармане убитого солдата-индуса длинную полоску плотной бумаги, которая была исписана квадратами, разделенными на клетки, заполненными арабской вязью. Он передал эту полоску немецкому профессору, который занимался магическими квадратами. Скорее всего, полоска содержала талисман, не спасший, однако, его обладателя от смерти.

После перевода с арабского языка, выяснилось, что документ содержит магический квадрат 3-его порядка и полумагический квадрат 4-ого порядка. В квадрате 4 × 4 числа повторяются, и суммы диагоналей не совпадают с константой:

Затем следовал список заклинаний, имён богов и демонов, который профессор просто оторвал и уничтожил.

Магический квадрат

В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков. Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица:

У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4+3+8=15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении числе любой из трех строк. Мало этого, тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.

Наверное. Эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из числе и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.

Каким же образом составляют магические квадраты? Магический квадрат «ло-шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдет один раз, за исключением центрального, которое войдет четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство .. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5.

Теперь заметим, что число 9 не может стоять в углу таблицы, скажем в левом верхнем. Ведь тогда в противоположном углу стояло бы число 1, а на первые строку и столбец оставалась бы одна комбинация - числа 4 и 2. значит, 9 стоит в середине каких-то крайних строк или столбцов (у нас - в середине первой строки). Двумя другими числами этой строки являются 4 и 2, а третьим числом среднего столбца должно быть 15 - 9 - 5=1. В одной строке с 1 должны стоять числа 8 и 6. тем самым магический квадрат почти заполнен и легко найти место для оставшихся чисел. В результате получается квадрат «ло-шу». Конечно, для 9 можно выбрать другие 3 места, а после выбора места для этого числа остаются две возможности для расположения чисел 4 и 2. всего получается различных магических квадратов из трех строк и трех столбцов (или. Как говорят математики, квадратов третьего порядка). Все эти квадраты можно получить из «ло-шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90º, 180º или 270º, либо зеркально отражая его.

Вообще, если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше методами (поворотами и зеркальными отражениями) получить еще 7 магических квадратов. Но как же найти хоть один магический квадрат? Для квадратов несчетного порядка есть совсем простой способ. Он заключается в следующим. Берем средний столбец и в его верхней клетке пишем число 1. Это же число пишем ниже самой нижней клетки среднего столбца и от него начинаем писать числа 2, 3, …, идя вверх и вправо (нижнее число 1 находиться вне квадрата). Это делаем до тех пор, пока не дойдем до самого правого столбца. Тогда последнее написанное число записываем в той же строке слева от квадрата и идем от него вправо вверх, записывая числа в порядке возрастания. Когда дойдем до числа, за которым идет ранее написанное число 1, опускаемся на одну клетку вниз, записываем в ней следующее по порядку число и снова пишем числа в порядке возрастания так же, как и раньше. Получился квадрат пятого порядка:

17

24

1

8

15

16

23

5

7

14

16

22

4

6

13

20

22

3

10

12

19

21

3

9

11

18

25

2

9

17

24

1

8

Несложно написать и магический квадрат четвертого порядка: для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку. А теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика:

Магический квадрат Пифагора

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно - философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 20.08.1986. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 2+8+1+9+8+6=34. Далее складываем цифры результата: 3+4=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-4=30. И вновь складываем цифры последнего числа:

3+0=3. Осталось сделать последние сложения - 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10. Получили числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10.

и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки - в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:

Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 - целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 - законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 - характер, близкий к эгоистическому.

111 - «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 - люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных - профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.

11111 - диктатор, самодур.

111111 - человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой - то идеи.

Ячейка 2 - биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет - открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 - обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 - относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 - знак экстрасенса.

Ячейка 3 - точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».

Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

Ячейка 4 - здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 - здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.

44 - здоровье крепкое.

444 и более - люди с очень крепким здоровьем.

Ячейка 5 - интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет - канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто

ошибаются.

5 - канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.

55 - сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии - юрист, следователь.

555 - почти ясновидящие.

5555 - ясновидящие.

Ячейка 6 - заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет - этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 - могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 - люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.

666 - знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 - эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть

девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

Ячейка 7 - количество семерок определяет меру таланта.

7 - чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 - очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 - эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 - знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

Ячейка 8 - карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет - у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 - натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 - у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 - знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 - эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.

Ячейка 9 - ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 - эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 - эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 - очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 - этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно

приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.

Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка - природа.

.

Методы построения магических квадратов.

Существует много разных способов построения МК. Мы рассмотрим универсальный метод, который разделяется на 3 подметода, в зависимости от порядка квадрата.

Построение МК двойной четности.

В случае n=2m=4r заполним квадрат слева направо и сверху вниз числами от 1 до n² в их естественном порядке. Разделим заполненный квадрат на четыре квадрата порядка m осями симметрии.

Для каждой из отмеченных клеток (i,j) отметим симметричную ей относительно вертикальной оси клетку (i, n-j+1).

Содержимое каждой из отмеченных клеток переставим с содержимым соответствующей центрально-симметричной ей клетки. (См. цветовые соответствия.)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

После этих перестановок получится магический квадрат.

1

63

3

61

60

6

58

8

56

10

54

12

13

51

15

49

17

47

19

45

44

22

42

24

40

26

38

28

29

35

31

33

32

34

30

36

37

27

39

25

41

23

43

21

20

46

18

48

16

50

14

52

53

11

55

9

57

7

59

5

4

62

2

64

Построение МК порядка простой четности.

В случае n=2m, где m=2r+1, как и в предыдущем случае, заполним квадрат числами от 1 до n². Разделим заполненный квадрат на четыре квадрата порядка m осями симметрии.

Выделим первые r клеток в первой строке знаком «*», а две следующие клетки - знаками «-» и «|». Аналогично разметим другие строки, циклически смещая знаки вправо на 1:

*

*

-

|

*

*

-

|

|

*

*

-

-

|

*

*

*

-

|

*

Получим:

1*

2*

3-

4|

5

6

7

8

9

10

11

12*

13*

14-

15|

16

17

18

19

20

21|

22

23*

24*

25-

26

27

28

29

30

31-

32|

33

34*

35*

36

37

38

39

40

41*

42-

43

44

45*

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Для всех ячеек, отмеченных «*», находим симметричные им клетки относительно вертикальной оси, помечаем их тоже знаком «*».

Затем содержимое каждой из 2mr отмеченных «*» клеток обмениваем с содержимым соответствующей ей центрально-симметричной клетки:

Содержимое каждой из m клеток, отмеченных знаком «-», обмениваем с содержимым симметричной относительно горизонтальной оси клетки, а содержимое каждой из m клеток, отмеченных «|», обмениваем с содержимым симметричной относительно вертикальной оси клетки.

После этих перестановок получится четно-нечетный магический квадрат:

100

99

93

7

5

6

4|

8

92

91

11

89

88

84

16|

15|

17

83

82

20

30

22

78

77

75

26

74

73

29

21|

61

39

33

67

66

65

64

38

32|

40

60

52

43

44

56

55

47

48

49

51

50

42-

53

54

46

45

57

58

59

41

31-

62

63

37

36

35

34

68

69

70

71

72

28

27

25-

76

24

23

79

80

81

19

18

14-

85

86

87

13

12

90

10

9

3-

94

95

96

97

98

2

1

Теперь мы можем составить магический квадрат любого порядка!

Применение магических квадратов.

Традиционной сферой применения МК являются талисманы. (Полный список планетных талисманов можно найти в монографии А.Санарова «Магия талисманов. Практическое пособие»).

К примеру, талисман Луны обладает определенными свойствами: предохраняет от кораблекрушения и болезней, делает человека любезным, способствует предотвращению дурного намерения, а так же укрепляет здоровье. Его гравируют на серебре в день и час Луны, когда Солнце или Луна находится в первых десяти градусах Рака. Магический квадрат 9-ого порядка вписывается в девятиугольник (9 - число Луны, см. ниже) и окружается специальными символами.

Однако, существуют и МК для стихий и знаков Зодиака. Найти порядок нужного МК поможет Liber 777 Алистера Кроули, которая устанавливает следующие соответствия:

МК является мощным символьным аттрактором магических сил. Если при инвокации духа Юпитера вдобавок к фиолетовой мантии, оливковой ветви, ароматам кедра и шафрана использовать талисман 4-ого или 21-ого порядка, эффективность увеличится.

Утверждается так же, что составляемый в ходе операции квадрат, действует сильнее, чем составленный заранее.

Поскольку в древнееврейском языке числа записывались буквами (это и есть причина зарождения численных методов Каббалы), магические квадраты становились буквенными и использовались для получения сигилл духов.

Буквы имени духа соединялись, образуя специальный знак, который так же выполнял функцию аттрактора по отношению к духу. В случае если буква имени имела большее значение, чем числа расположенные в квадрате, она заменялась на букву в 10 раз меньшую по гематрическому значению. Например, буква Рейш имеет числовое значение 200, оно может быть сокращено до 20, что составит букву Каф, если же в МК нет и такого числа, то оно может быть сокращено еще в десять раз, что составит число 2, букву Бет.

Цитируя А.Санарова, рассмотрим пример. Создадим символ имени Михаель, ангела солнца, в МК солнца. Квадрат состоит из чисел от 1 до 36, а заглавная буква Мем имеет числовое значение равное 40, поэтому 40 сокращаем до 4, по отношению к остальным буквам имени числовые эквиваленты в квадрате имеются.

Литература

1. Энциклопедический словарь юного математика.

2. М. Гарднер «Путешествие во времени»,

3. Физкультура и спорт № 10, 1998г.

4. Болл У., Коксетер Г. «Математические эссе и развлечения»

5.Гуревич Е.Я. «Тайна древнего талисмана»

6.Оре О. «Приглашение в теорию чисел»

7.Постников M.М. «Магические квадраты»