Формула суммы п-первых членов геометрической прогрессии

Урок математики в 9-м классе по теме "Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии"

Цели урока:

• вывести формулу n-первых членов геометрической прогрессии, научить применять её при решении задач;

• способствовать воспитанию у учащихся внимания и аккуратности в применении формулы; вызвать интерес к изучению новой темы;

• способствовать формированию и развитию у учащихся логичных рассуждений и речи.

Тип урока:урок изучения нового материала.

Методы обучения:метод проблемной ситуации.

Оборудование: шахматная доска, формулы b _n члена, S _n

Ход урока

1. Организационный момент.

Постановка целей урока перед учащимися.

2. Актуализация урока.

Ученикам предлагается задача и к ней вопросы и задания.

Задача. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 минут.

Задания к задаче:

1. записать последовательность в соответствии с условием задачи (1;2;4;8;16;32;64)

2. найти частное q от деления последующего члена на предыдущий (b₂: b₁ =2; b₃ : b₂ =2 … b₇: b₆ = 2)

3. дать определение геометрической прогрессии.

Один ученик вызывается к доске и проделывает всю работу на доске с помощью остальных.

3. Формирование новых понятий.

В виде игровой ситуации учащимся предлагается задача, которая содержит жизненные факты, но при решении которой возникает необходимость вводе новой формулы.

Учитель предлагает одному из учеников совершить с ним сделку: "Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по 100 000 рублей, а ты мне в 1 день за 100000 рублей дашь 1 коп., во второй день - 2 коп., и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем".

• Ученик подсчитывает, что за 30 дней он получит 3 000 000.

• Учитель спрашивает, кто из них в сделке проиграет.

• Учащиеся считают, что учитель и поэтому учитель предлагает подсчитать ту сумму , которую получит он.

• Учащиеся определяют, что так как предыдущее число денег увеличивают в 2 раза. То мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой q = 2, a₁ = 1, n = 30.

Они пытаются составить всю последовательность, чтобы потом найти сумму. Но видят, что это громоздкая работа, которая требует времени. Обращаются с вопросом к учителю: "Возможно ли вывести формулу суммы n членов геометрической прогрессии в общем виде?"

Учитель дает утвердительный ответ и при этом усиливает проблемность, рассказывая историю.

По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе её изобретателя, ученого Сету и сказал ему "Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат , чтобы исполнить любое твое желание".

Принц рассмеялся, услышав. Какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за 1-ю клетку шахматной доски - одно зерно, за 2-ю - два, за 3-ю - четыре и так до 64-го поля".

Возникает необходимость найти S₆₄, где a₁=1,q=2, n=64.

S = 2⁶⁴ - 1= 18 446 744 073 709 551 615

Далее под руководством учителя учащиеся выводят формулу S_n.

S_n = , при q ≠ 1.

Иногда удобно пользоваться формулой записанной в другом виде.

Так как b_n = b₁ q^n-1 , то получим

Завершение задачи - сделки.

S₃₀ = 1 073 741 823 коп = 10 737 418 руб 23 коп. Кто в сделке проиграл?

4. Закрепление нового материала.

1. Дана геометрическая прогрессия первый член, которой равен 3, а знаменатель 2. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен -10, а знаменатель равен 3

3. Первый член геометрической прогрессии равен 1/3, а знаменатель -4. Найдите сумму четырех первых членов.

5. Подведение итогов.

6. Задание на дом: п. 19, №410, 417.