Доклад на тему: Уравнения с параметрами с использованием среды Geogebra

Доклад на тему «Решение уравнений и систем уравнений с параметрами с использованием среды GeoGebra»

Ховалыг Б.Л.- учитель математики МБОУ Ээрбекской СОШ Кызылского кожууна РТ.

При решении уравнений и систем уравнений с параметрами очень удобен и нагляден графический метод решения, особенно с использованием среды GeoGebra. На уроках математики при изучении уравнений с параметрами использование динамической математики развивает зрительное и пространственное мышление учеников. А для подготовки учащихся к ОГЭ (23-е задание части 2) и ЕГЭ (18-е задание части 2) можно использовать графический метод решения.

Рассмотрим примеры из открытого текста КИМ-ов ОГЭ 2016 года под редакцией И.В. Ященко.

Вариант 1. (23-е задание) Постройте график функции
и определите, при каких значениях k прямая y= kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение: Преобразуем выражение
, при условии, что x≠3. Построим график:

Приравняем 1/х=1/3=3k. Отсюда находим k=1/9. Прямая y= kx имеет ровно одну общую точку при k=1/9, что приближённо равно 0,1. Т.е. прямая должна пройти через точку c абсциссой 3.

Ответ: k=1/9.

Вариант 5. (23-е задание) Постройте график функции

и определите, при каких значениях k прямая y=k не имеет с графиком общих точек.

Решение: Преобразуем выражение
, при условии, что x≠-1. Построим график:

При х=-1, y=-3, т.е. в этой точке функция имеет точку разрыва.

Изменяя значение параметра через ползунок мы убедимся, что при других значениях прямая и гипербола имеют общую точку.

Поэтому при k=-3, k=-4, прямая y=k не имеет с графиком ни одной общей точки.

Ответ: -4; -3.

Вариант 4. (23-е задание) Постройте график функции

и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение: Преобразуем выражение

при условии, что х≠ -2. Построим график:

Прямая y=kx имеет ровно одну общую точку, если она проходит через точку (-2;-5) или если уравнение

имеет один корень. Дискриминант уравнения
равен . Получаем, что k=-2, k=2. Подставив вместо х=-2, получим k=2.5.

Ответ: 2,5; -2; 2.

Аналогично решаются очень много примеров из открытого текста КИМ-ов ОГЭ.

Примеры из открытого текста КИМ-ов ЕГЭ 2016 года под редакцией И.В. Ященко.

Тренировочная работа №1 (18-е задание)

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Решение: Мы видим, что и первое, и второе уравнения- это уравнения окружностей. Система имеет одно решение в случае, когда окружности касаются. Построим график в среде GeoGebra.

Мы, передвигая ползунок а, видим, что при разных значениях параметра окружности либо пересекаются, либо не пересекаются, либо касаются. К условию нашей задачи соответствует только одно решение: а=2,5.

Ответ: а=2,5.

ТР №7. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

Решение: Преобразовав уравнение, получим, что

Найдём дискриминант квадратного уравнения и он должен быть меньше нуля: 4-48а<0, а>1/12

Построим параболу и прямую через строку ввода. Изменяя ползунок а, увидим решение. При а>1/12, они не пересекаются, т.е. данное уравнение не имеет корней. Ответ: а>1/12

ТР №10. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение не имеет корней.

Решение: Преобразовав уравнение, получим, что

Найдём дискриминант квадратного уравнения и он должен быть меньше нуля: 9+40а<0, а<-9/40.

Построим параболу и прямую через строку ввода. Изменяя ползунок а, увидим решение. При а<-9/40 данное уравнение не имеет корней. Ответ: а<-9/40.

Аналогично решаются примеры такого типа некоторых вариантов КИМ-ов ЕГЭ- 2016.